Reguła znajdowania wierzchołków trzech liczb. Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność
Rozważ trzy sposoby znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności.
Znalezienie przez faktoring
Pierwszym sposobem jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności poprzez rozłożenie podanych liczb na czynniki pierwsze.
Załóżmy, że musimy znaleźć LCM liczb: 99, 30 i 28. W tym celu rozkładamy każdą z tych liczb na czynniki pierwsze:
Aby żądana liczba była podzielna przez 99, 30 i 28, konieczne i wystarczające jest, aby zawierała wszystkie czynniki pierwsze tych dzielników. Aby to zrobić, musimy podnieść wszystkie czynniki pierwsze tych liczb do najwyższej występującej potęgi i pomnożyć je razem:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
Zatem LCM (99, 30, 28) = 13 860. Żadna inna liczba mniejsza niż 13 860 nie jest podzielna przez 99, 30 lub 28.
Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność danych liczb, musisz rozłożyć je na czynniki pierwsze, a następnie wziąć każdy czynnik pierwszy z największym wykładnikiem, z którym występuje, i pomnożyć te czynniki razem.
Ponieważ liczby względnie pierwsze nie mają wspólnych czynników pierwszych, ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa iloczynowi tych liczb. Na przykład trzy liczby: 20, 49 i 33 są względnie pierwsze. Dlatego
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32340.
To samo należy zrobić, szukając najmniejszej wspólnej wielokrotności różnych liczb pierwszych. Na przykład LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Wyszukiwanie przez wybór
Drugim sposobem jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności przez dopasowanie.
Przykład 1. Gdy największa z podanych liczb jest równo podzielna przez inne podane liczby, to LCM tych liczb jest równy większej z nich. Np. biorąc pod uwagę cztery liczby: 60, 30, 10 i 6. Każda z nich jest podzielna przez 60, a więc:
NOC(60, 30, 10, 6) = 60
W innych przypadkach, aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, stosuje się następującą procedurę:
- Z podanych liczb wyznacz największą liczbę.
- Następnie znajdujemy liczby będące wielokrotnościami największej liczby, mnożąc ją przez liczby naturalne w kolejności rosnącej i sprawdzając, czy pozostałe podane liczby są podzielne przez wynikowy iloczyn.
Przykład 2. Biorąc pod uwagę trzy liczby 24, 3 i 18. Wyznacz największą z nich - jest to liczba 24. Następnie znajdź wielokrotności liczby 24, sprawdzając, czy każda z nich jest podzielna przez 18 i przez 3:
24 1 = 24 jest podzielne przez 3, ale nie podzielne przez 18.
24 2 = 48 - podzielne przez 3, ale niepodzielne przez 18.
24 3 \u003d 72 - podzielne przez 3 i 18.
Zatem LCM(24, 3, 18) = 72.
Wyszukiwanie metodą sekwencyjnego wyszukiwania LCM
Trzecim sposobem jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności poprzez sukcesywne znajdowanie LCM.
LCM dwóch podanych liczb jest równy iloczynowi tych liczb podzielonemu przez ich największy wspólny dzielnik.
Przykład 1. Znajdź LCM dwóch podanych liczb: 12 i 8. Wyznacz ich największy wspólny dzielnik: NWD (12, 8) = 4. Pomnóż te liczby:
Produkt dzielimy na ich GCD:
Zatem LCM(12, 8) = 24.
Aby znaleźć LCM trzech lub więcej liczb, stosuje się następującą procedurę:
- Najpierw znajduje się LCM dowolnych dwóch z podanych liczb.
- Następnie LCM znalezionej najmniejszej wspólnej wielokrotności i trzeciej podanej liczby.
- Następnie LCM wynikowej najmniejszej wspólnej wielokrotności i czwartej liczby i tak dalej.
- Tak więc wyszukiwanie LCM trwa tak długo, jak długo istnieją liczby.
Przykład 2. Znajdźmy LCM trzech podanych liczb: 12, 8 i 9. Znaleźliśmy już LCM liczb 12 i 8 w poprzednim przykładzie (jest to liczba 24). Pozostaje znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność 24 i trzecią podaną liczbę - 9. Wyznacz ich największy wspólny dzielnik: gcd (24, 9) = 3. Pomnóż LCM przez liczbę 9:
Produkt dzielimy na ich GCD:
Zatem LCM(12, 8, 9) = 72.
Największy wspólny dzielnik
Definicja 2
Jeśli liczba naturalna a jest podzielna przez liczbę naturalną $b$, to $b$ nazywamy dzielnikiem $a$, a liczbę $a$ nazywamy wielokrotnością $b$.
Niech $a$ i $b$ będą liczbami naturalnymi. Liczba $c$ jest nazywana wspólnym dzielnikiem zarówno dla $a$, jak i dla $b$.
Zbiór wspólnych dzielników liczb $a$ i $b$ jest skończony, ponieważ żaden z tych dzielników nie może być większy niż $a$. Oznacza to, że wśród tych dzielników jest największy, który nazywany jest największym wspólnym dzielnikiem liczb $a$ i $b$, a do jego oznaczenia służy notacja:
$gcd \ (a;b) \ lub \ D \ (a;b)$
Aby znaleźć największy wspólny dzielnik dwóch liczb:
- Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Wynikowa liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.
Przykład 1
Znajdź gcd liczb $121$ i $132.$
242 $=2\ckropka 11\ckropka 11$
$132=2\ckropka 2\ckropka 3\ckropka 11$
Wybierz liczby, które są zawarte w rozwinięciu tych liczb
242 $=2\ckropka 11\ckropka 11$
$132=2\ckropka 2\ckropka 3\ckropka 11$
Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Wynikowa liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.
$gcd=2\cdot 11=22$
Przykład 2
Znajdź NWD jednomianów $63$ i $81$.
Znajdziemy według przedstawionego algorytmu. Dla tego:
Rozłóżmy liczby na czynniki pierwsze
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\ckropka 3\ckropka 3\ckropka 3$
Wybieramy liczby, które są zawarte w rozwinięciu tych liczb
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\ckropka 3\ckropka 3\ckropka 3$
Znajdźmy iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Wynikowa liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.
$gcd=3\cdot 3=9$
Możesz znaleźć NWD dwóch liczb w inny sposób, używając zestawu dzielników liczb.
Przykład 3
Znajdź gcd liczb $48$ i $60$.
Rozwiązanie:
Znajdź zbiór dzielników $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Teraz znajdźmy zbiór dzielników $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Znajdźmy przecięcie tych zbiorów: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ten zbiór wyznaczy zbiór wspólnych dzielników liczb $48$ i $60 $. Największym elementem w tym zestawie będzie liczba $12$. Więc największym wspólnym dzielnikiem 48$ i 60$ jest 12$.
Definicja NOC
Definicja 3
wspólna wielokrotność liczb naturalnych$a$ i $b$ to liczba naturalna będąca wielokrotnością zarówno $a$, jak i $b$.
Wspólne wielokrotności liczb to liczby, które są podzielne przez oryginał bez reszty. Na przykład dla liczb 25 $ i 50 $ wspólnymi wielokrotnościami będą liczby 50 100 150 200 $ itd.
Najmniejsza wspólna wielokrotność będzie nazywana najmniejszą wspólną wielokrotnością i oznaczona jako LCM$(a;b)$ lub K$(a;b).$
Aby znaleźć LCM dwóch liczb, potrzebujesz:
- Rozłóż liczby na czynniki pierwsze
- Wypisz czynniki, które są częścią pierwszej liczby i dodaj do nich czynniki, które są częścią drugiej i nie przechodzą do pierwszej
Przykład 4
Znajdź LCM liczb 99 $ i 77 $.
Znajdziemy według przedstawionego algorytmu. Dla tego
Rozłóż liczby na czynniki pierwsze
99 $=3\ckropka 3\ckropka 11$
Zapisz czynniki zawarte w pierwszym
dodaj do nich czynniki, które są częścią drugiego i nie przechodzą do pierwszego
Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Otrzymana liczba będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Sporządzanie list dzielników liczb jest często bardzo czasochłonne. Istnieje sposób na znalezienie GCD zwany algorytmem Euclida.
Stwierdzenia, na których opiera się algorytm Euklidesa:
Jeśli $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi, a $a\vkropki b$, to $D(a;b)=b$
Jeśli $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi takimi, że $b
Używając $D(a;b)= D(a-b;b)$, możemy sukcesywnie zmniejszać rozważane liczby, aż dojdziemy do takiej pary liczb, że jedna z nich jest podzielna przez drugą. Wtedy mniejsza z tych liczb będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem dla liczb $a$ i $b$.
Własności NWD i LCM
- Każda wspólna wielokrotność $a$ i $b$ jest podzielna przez K$(a;b)$
- Jeśli $a\vdots b$ , to K$(a;b)=a$
Jeśli K$(a;b)=k$ i $m$-liczba naturalna, to K$(am;bm)=km$
Jeśli $d$ jest wspólnym dzielnikiem dla $a$ i $b$, to K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Jeśli $a\vdots c$ i $b\vdots c$ , to $\frac(ab)(c)$ jest wspólną wielokrotnością $a$ i $b$
Dla dowolnych liczb naturalnych $a$ i $b$ równość
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Każdy wspólny dzielnik $a$ i $b$ jest dzielnikiem $D(a;b)$
Przedstawiony poniżej materiał jest logiczną kontynuacją teorii z artykułu pod nagłówkiem LCM – najmniejsza wspólna wielokrotność, definicja, przykłady, zależność pomiędzy LCM a NWD. Tutaj porozmawiamy o znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) i zwróć szczególną uwagę na rozwiązywanie przykładów. Najpierw pokażmy, jak oblicza się LCM dwóch liczb na podstawie NWD tych liczb. Następnie rozważ znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Następnie skupimy się na znalezieniu LCM trzech lub więcej liczb, a także zwrócimy uwagę na obliczenie LCM liczb ujemnych.
Nawigacja po stronie.
Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) przez gcd
Jednym ze sposobów znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest relacja między LCM i NWD. Istniejąca zależność między LCM i NWD pozwala obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych przez znany największy wspólny dzielnik. Odpowiednia formuła ma postać LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Rozważ przykłady znajdowania LCM według powyższego wzoru.
Przykład.
Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb 126 i 70 .
Rozwiązanie.
W tym przykładzie a=126 , b=70 . Skorzystajmy z zależności między LCM i NWD wyrażonej wzorem LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Oznacza to, że najpierw musimy znaleźć największy wspólny dzielnik liczb 70 i 126, po czym możemy obliczyć LCM tych liczb zgodnie z zapisanym wzorem.
Znajdź gcd(126, 70) za pomocą algorytmu Euklidesa: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , stąd gcd(126, 70)=14 .
Teraz znajdujemy wymaganą najmniejszą wspólną wielokrotność: LCM(126, 70)=126 70: LM(126, 70)= 126 70:14=630 .
Odpowiedź:
LCM(126, 70)=630 .
Przykład.
Co to jest LCM(68, 34)?
Rozwiązanie.
Ponieważ 68 jest równo podzielne przez 34 , to gcd(68, 34)=34 . Teraz obliczamy najmniejszą wspólną wielokrotność: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .
Odpowiedź:
LCM(68, 34)=68 .
Zauważ, że poprzedni przykład pasuje do następującej reguły znajdowania LCM dla dodatnich liczb całkowitych a i b : jeśli liczba a jest podzielna przez b , to najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest a .
Znalezienie LCM przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze
Innym sposobem znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności jest rozłożenie liczb na czynniki pierwsze. Jeśli zrobimy iloczyn wszystkich czynników pierwszych tych liczb, po czym wykluczymy z tego iloczynu wszystkie wspólne czynniki pierwsze, które występują w rozwinięciach tych liczb, to wynikowy iloczyn będzie równy najmniejszej wspólnej wielokrotności tych liczb.
Ogłoszona reguła znajdowania LCM wynika z równości LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Rzeczywiście, iloczyn liczb aib jest równy iloczynowi wszystkich czynników zaangażowanych w rozwinięcia liczb aib. Z kolei gcd(a, b) jest równe iloczynowi wszystkich czynników pierwszych występujących jednocześnie w rozwinięciach liczb a i b (co jest opisane w części dotyczącej znajdowania gcd z rozkładu liczb na czynniki pierwsze ).
Weźmy przykład. Powiedzmy, że 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Skomponuj iloczyn wszystkich czynników tych rozszerzeń: 2 3 3 5 5 5 7 . Teraz wyłączymy z tego iloczynu wszystkie czynniki, które występują zarówno w rozwinięciu liczby 75, jak iw rozwinięciu liczby 210 (takimi czynnikami są 3 i 5), wtedy iloczyn przyjmie postać 2 3 5 5 7 . Wartość tego iloczynu jest równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb 75 i 210, czyli LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.
Przykład.
Po rozłożeniu liczb 441 i 700 na czynniki pierwsze, znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb.
Rozwiązanie.
Rozłóżmy liczby 441 i 700 na czynniki pierwsze:
Otrzymujemy 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .
Teraz zróbmy iloczyn wszystkich czynników zaangażowanych w rozwinięcia tych liczb: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Wykluczmy z tego iloczynu wszystkie czynniki występujące jednocześnie w obu rozwinięciach (jest tylko jeden taki czynnik - jest to liczba 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Zatem, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.
Odpowiedź:
LCM(441, 700)= 44 100 .
Regułę znajdowania LCM na podstawie rozkładu liczb na czynniki pierwsze można sformułować nieco inaczej. Jeśli do czynników z rozwinięcia liczby a dodamy brakujące czynniki z rozwinięcia liczby b, to wartość otrzymanego iloczynu będzie równa najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb a i b.
Weźmy na przykład te same liczby 75 i 210, ich rozwinięcia na czynniki pierwsze są następujące: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Do czynników 3, 5 i 5 z rozkładu liczby 75 dodamy brakujące czynniki 2 i 7 z rozkładu liczby 210, otrzymamy iloczyn 2 3 5 5 7 , którego wartość to LCM(75 , 210).
Przykład.
Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 84 i 648.
Rozwiązanie.
Najpierw otrzymujemy rozkład liczb 84 i 648 na czynniki pierwsze. Wyglądają jak 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Do czynników 2 , 2 , 3 i 7 z rozkładu liczby 84 dodajemy brakujące czynniki 2 , 3 , 3 i 3 z rozkładu liczby 648 , otrzymujemy iloczyn 2 2 2 3 3 3 3 7 , co równa się 4 536 . Zatem pożądaną najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 84 i 648 jest 4536.
Odpowiedź:
LCM(84, 648)=4 536 .
Znalezienie LCM trzech lub więcej liczb
Najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można znaleźć, znajdując kolejno LCM dwóch liczb. Przypomnij sobie odpowiednie twierdzenie, które pozwala znaleźć LCM trzech lub więcej liczb.
Twierdzenie.
Niech dodatnie liczby całkowite a 1 , a 2 , …, a k to najmniejsza wspólna wielokrotność m k tych liczb znajduje się w obliczeniu sekwencyjnym m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , za k) .
Rozważ zastosowanie tego twierdzenia na przykładzie znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności czterech liczb.
Przykład.
Znajdź LCM czterech liczb 140 , 9 , 54 i 250 .
Rozwiązanie.
W tym przykładzie a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .
Najpierw znajdujemy m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Aby to zrobić, używając algorytmu Euklidesa, wyznaczamy gcd(140, 9) , mamy 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , zatem gcd( 140, 9)=1 , skąd LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . To znaczy m 2 = 1 260 .
Teraz znajdujemy m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Obliczmy to za pomocą funkcji gcd(1 260, 54) , która jest również określona przez algorytm Euklidesa: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Wtedy gcd(1 260, 54)=18 , skąd LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . To znaczy m 3 \u003d 3 780.
Pozostało znaleźć m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Aby to zrobić, znajdujemy NWD(3 780, 250) za pomocą algorytmu Euklidesa: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Dlatego gcd(3 780, 250)=10 , skąd gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . To znaczy m 4 \u003d 94 500.
Tak więc najmniejszą wspólną wielokrotnością czterech oryginalnych liczb jest 94 500.
Odpowiedź:
LCM(140, 9, 54, 250)=94500.
W wielu przypadkach najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb można wygodnie znaleźć za pomocą rozkładu na czynniki pierwsze podanych liczb. W takim przypadku należy przestrzegać następującej zasady. Najmniejsza wspólna wielokrotność kilku liczb jest równa iloczynowi, który składa się z następujących elementów: brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby dodaje się do wszystkich czynników z rozwinięcia pierwszej liczby, brakujące czynniki z rozwinięcia do otrzymanych współczynników dodaje się trzecią liczbę i tak dalej.
Rozważmy przykład znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności za pomocą rozkładu liczb na czynniki pierwsze.
Przykład.
Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność pięciu liczb 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Rozwiązanie.
Najpierw otrzymujemy rozwinięcia tych liczb na czynniki pierwsze: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 czynników pierwszych) i 143=11 13 .
Aby znaleźć LCM tych liczb, do czynników pierwszej liczby 84 (są to 2 , 2 , 3 i 7 ) należy dodać brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby 6 . Rozwinięcie liczby 6 nie zawiera brakujących czynników, ponieważ zarówno 2, jak i 3 są już obecne w rozwinięciu pierwszej liczby 84 . Oprócz czynników 2 , 2 , 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia trzeciej liczby 48 , otrzymujemy zbiór czynników 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 . Nie ma potrzeby dodawania czynników do tego zestawu w następnym kroku, ponieważ 7 jest już w nim zawarte. Na koniec do czynników 2 , 2 , 2 , 2 , 3 i 7 dodajemy brakujące czynniki 11 i 13 z rozwinięcia liczby 143 . Otrzymujemy iloczyn 2 2 2 2 3 7 11 13 , co jest równe 48 048 .
Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność?
Jak znaleźć NOC
Oto film, który pokaże Ci dwa sposoby na znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM). Ćwicząc pierwszą z proponowanych metod, możesz lepiej zrozumieć, czym jest najmniejsza wspólna wielokrotność.
- Każdą liczbę przedstawiamy jako iloczyn jej czynników pierwszych:
- Zapisujemy potęgi wszystkich czynników pierwszych:
- Wybieramy wszystkie dzielniki pierwsze (mnożniki) o największych stopniach, mnożymy je i znajdujemy LCM:
- Pierwszym krokiem jest rozłożenie tych liczb na czynniki pierwsze.
- Wypisujemy czynniki, które są zawarte w rozwinięciu liczby 30. To jest 2 x 3 x 5.
- Teraz musisz je pomnożyć przez brakujący czynnik, który mamy przy rozkładaniu 42, a to jest 7. Otrzymujemy 2 x 3 x 5 x 7.
- Znajdujemy to, co jest równe 2 x 3 x 5 x 7 i otrzymujemy 210.
- Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze: 8=2*2*2 i 12=3*2*2
- Zmniejszamy te same mnożniki dla jednej z liczb. W naszym przypadku dopasowanie 2*2 zmniejszamy je do liczby 12, wtedy 12 będzie miało jeden czynnik: 3.
- Znajdź iloczyn wszystkich pozostałych czynników: 2*2*2*3=24
Konieczne jest znalezienie każdego czynnika każdej z dwóch liczb, dla których znajdujemy najmniejszą wspólną wielokrotność, a następnie pomnożenie przez siebie czynników, które pokrywały się z pierwszą i drugą liczbą. Wynikiem produktu będzie pożądana wielokrotność.
Na przykład mamy liczby 3 i 5 i musimy znaleźć LCM (najmniejszą wspólną wielokrotność). Nas trzeba pomnożyć oraz trzy i pięć dla wszystkich liczb zaczynających się od 1 2 3 ... i tak dalej, aż zobaczymy tę samą liczbę zarówno tam, jak i tam.
Mnożymy trzy i otrzymujemy: 3, 6, 9, 12, 15
Pomnóż pięć i otrzymaj: 5, 10, 15
Metoda rozkładu na czynniki pierwsze jest najbardziej klasyczną metodą znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) liczb wielokrotnych. Ta metoda jest jasno i prosto pokazana na poniższym filmie:
Dodawanie, mnożenie, dzielenie, sprowadzanie do wspólnego mianownika i inne operacje arytmetyczne to bardzo ekscytujące zajęcie, szczególnie podziwiane są przykłady zajmujące cały arkusz.
Znajdź więc wspólną wielokrotność dla dwóch liczb, która będzie najmniejszą liczbą, przez którą dwie liczby są podzielne. Chcę zauważyć, że w przyszłości nie trzeba uciekać się do formuł, aby znaleźć to, czego szukasz, jeśli potrafisz liczyć w swoim umyśle (a to można wytrenować), wtedy same liczby pojawiają się w twojej głowie, a potem ułamki klikają jak orzechy.
Na początek dowiadujemy się, że możemy pomnożyć dwie liczby przez siebie, a następnie zmniejszyć tę liczbę i podzielić ją na przemian przez te dwie liczby, aby znaleźć najmniejszą wielokrotność.
Na przykład dwie liczby 15 i 6. Mnożymy i otrzymujemy 90. Jest to wyraźnie większa liczba. Co więcej, 15 jest podzielne przez 3, a 6 jest podzielne przez 3, co oznacza, że również dzielimy 90 przez 3. Otrzymujemy 30. Próbujemy podzielić 30 przez 15, czyli 2. A 30, dzieląc 6, daje 5. Ponieważ 2 jest granicą, okazuje się, że najmniejszą wielokrotnością liczb 15 i 6 będzie 30.
Przy większej ilości będzie to trochę trudniejsze. ale jeśli wiesz, które liczby dają zerową resztę po podzieleniu lub pomnożeniu, to w zasadzie nie ma dużych trudności.
Oto inny sposób na znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności. Rzućmy okiem na ilustrujący przykład.
Konieczne jest znalezienie LCM trzech liczb jednocześnie: 16, 20 i 28.
16 = 224 = 2^24^1
20 = 225 = 2^25^1
28 = 227 = 2^27^1
LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.
LCM(16, 20, 28) = 560.
Tak więc w wyniku obliczeń uzyskano liczbę 560. Jest to najmniejsza wspólna wielokrotność, to znaczy jest podzielna przez każdą z trzech liczb bez reszty.
Najmniejszą wspólną wielokrotnością jest liczba, którą można podzielić przez kilka podanych liczb bez reszty. Aby obliczyć taką liczbę, musisz wziąć każdą liczbę i rozłożyć ją na proste czynniki. Te pasujące numery są usuwane. Pozostawia wszystkich po kolei, mnoży ich między sobą po kolei i otrzymuje pożądaną - najmniejszą wspólną wielokrotność.
NOC, lub najmniejsza wspólna wielokrotność, to najmniejsza liczba naturalna dwóch lub więcej liczb, która jest podzielna przez każdą z podanych liczb bez reszty.
Oto przykład, jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 30 i 42.
Dla 30 to jest 2 x 3 x 5.
Dla 42 jest to 2 x 3 x 7. Ponieważ 2 i 3 są rozwinięciem liczby 30, przekreślamy je.
W rezultacie otrzymujemy, że LCM liczb 30 i 42 wynosi 210.
Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, musisz wykonać kolejno kilka prostych kroków. Rozważ to na przykładzie dwóch liczb: 8 i 12
Sprawdzając, upewniamy się, że 24 jest podzielne zarówno przez 8, jak i 12, i jest to najmniejsza liczba naturalna, która jest podzielna przez każdą z tych liczb. Oto jesteśmy znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność.
Spróbuję to wyjaśnić na przykładzie liczb 6 i 8. Najmniejszą wspólną wielokrotnością jest liczba, którą można podzielić przez te liczby (w naszym przypadku 6 i 8) i nie będzie reszty.
Zaczynamy więc mnożyć pierwsze 6 przez 1, 2, 3 itd., a 8 przez 1, 2, 3 itd.
