Wykresy funkcji trygonometrycznych wielu kątów. Wykres funkcji y=sin x Zaplecze i sprzęt dydaktyczny

Lekcja i prezentacja na temat: „Funkcja y=sin(x). Definicje i własności”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń! Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Podręczniki i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 10 od 1C
Rozwiązujemy problemy z geometrii. Interaktywne zadania konstrukcyjne dla klas 7-10
Środowisko oprogramowania „1C: Konstruktor matematyczny 6.1”

Co będziemy studiować:

• Własności funkcji Y=sin(X).
• Wykres funkcji.
• Jak zbudować wykres i jego skalę.
• Przykłady.

Właściwości sinusa. Y=grzech(X)

Chłopaki, zapoznaliśmy się już z funkcjami trygonometrycznymi argumentu numerycznego. Czy pamiętasz je?

Przyjrzyjmy się bliżej funkcji Y=sin(X)

Zapiszmy niektóre właściwości tej funkcji:
1) Dziedziną definicji jest zbiór liczb rzeczywistych.
2) Funkcja jest nieparzysta. Przypomnijmy sobie definicję funkcji nieparzystej. Funkcję nazywamy nieparzystą, jeśli zachodzi równość: y(-x)=-y(x). Jak pamiętamy ze wzorów duchów: sin(-x)=-sin(x). Definicja jest spełniona, co oznacza, że ​​Y=sin(X) jest funkcją nieparzystą.
3) Funkcja Y=sin(X) rośnie na odcinku i maleje na odcinku [π/2; π]. Gdy poruszamy się po pierwszej ćwiartce (w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara), rzędna rośnie, a gdy przechodzimy przez drugą ćwiartkę, maleje.

4) Funkcja Y=sin(X) jest ograniczona od dołu i od góry. Własność ta wynika z faktu, że
-1 ≤ grzech(X) ≤ 1
5) Najmniejsza wartość funkcji to -1 (przy x = - π/2+ πk). Największą wartością funkcji jest 1 (przy x = π/2+ πk).

Użyjmy właściwości 1-5 do wykreślenia funkcji Y=sin(X). Nasz graf zbudujemy sekwencyjnie, stosując nasze właściwości. Zacznijmy budować wykres na segmencie.

Szczególną uwagę należy zwrócić na skalę. Na osi rzędnych wygodniej jest przyjąć odcinek jednostkowy równy 2 komórkom, a na osi odciętych wygodniej jest przyjąć odcinek jednostkowy (dwie komórki) równy π/3 (patrz rysunek).

Wykres funkcji sinus x, y=sin(x)

Obliczmy wartości funkcji w naszym segmencie:

Zbudujmy wykres wykorzystując nasze punkty, biorąc pod uwagę trzecią własność.

Tabela przeliczeniowa dla formuł duchów

Skorzystajmy z drugiej własności, która mówi, że nasza funkcja jest nieparzysta, co oznacza, że ​​może być odzwierciedlona symetrycznie względem początku:

Wiemy, że grzech(x+ 2π) = grzech(x). Oznacza to, że na przedziale [- π; π] wykres wygląda tak samo jak na odcinku [π; 3π] lub lub [-3π; - π] i tak dalej. Wszystko, co musimy zrobić, to ostrożnie przerysować wykres z poprzedniego rysunku wzdłuż całej osi x.

Wykres funkcji Y=sin(X) nazywamy sinusoidą.

Napiszmy jeszcze kilka właściwości zgodnie ze skonstruowanym wykresem:
6) Funkcja Y=sin(X) rośnie na dowolnym segmencie postaci: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k jest liczbą całkowitą i maleje na dowolnym segmencie postaci: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – liczba całkowita.
7) Funkcja Y=sin(X) jest funkcją ciągłą. Przyjrzyjmy się wykresowi funkcji i upewnijmy się, że nasza funkcja nie ma przerw, co oznacza ciągłość.
8) Zakres wartości: segment [- 1; 1]. Widać to również wyraźnie na wykresie funkcji.
9) Funkcja Y=sin(X) - funkcja okresowa. Spójrzmy jeszcze raz na wykres i zobaczmy, że funkcja przyjmuje te same wartości w określonych odstępach czasu.

Przykłady problemów z sinusem

1. Rozwiąż równanie sin(x)= x-π

Rozwiązanie: Zbudujmy 2 wykresy funkcji: y=sin(x) i y=x-π (patrz rysunek).
Nasze wykresy przecinają się w jednym punkcie A(π;0), oto odpowiedź: x = π

2. Narysuj wykres funkcji y=sin(π/6+x)-1

Rozwiązanie: Pożądany wykres otrzymamy przesuwając wykres funkcji y=sin(x) π/6 jednostek w lewo i 1 jednostkę w dół.

Rozwiązanie: Narysujmy funkcję i rozważmy nasz odcinek [π/2; 5π/4].
Z wykresu funkcji wynika, że ​​największe i najmniejsze wartości osiągane są na końcach odcinka, odpowiednio w punktach π/2 i 5π/4.
Odpowiedź: sin(π/2) = 1 – największa wartość, sin(5π/4) = najmniejsza wartość.

Problemy sinusoidalne do samodzielnego rozwiązania

• Rozwiąż równanie: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Naszkicuj funkcję y=sin(π/3+x)-2
• Naszkicuj funkcję y=sin(-2π/3+x)+1
• Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji y=sin(x) w segmencie
• Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji y=sin(x) w przedziale [- π/3; 5π/6]

Jak wykreślić funkcję y=sin x? Najpierw spójrzmy na wykres sinusa na przedziale.

W notatniku bierzemy pojedynczy segment o długości 2 komórek. Na osi Oy zaznaczamy jeden.

Dla wygody zaokrąglamy liczbę π/2 do 1,5 (a nie do 1,6, jak wymagają tego zasady zaokrąglania). W tym przypadku odcinek o długości π/2 odpowiada 3 komórkom.

Na osi Wół zaznaczamy nie pojedyncze odcinki, ale odcinki o długości π/2 (co 3 komórki). Odpowiednio odcinek o długości π odpowiada 6 komórkom, a odcinek o długości π/6 odpowiada 1 komórce.

Przy takim wyborze segmentu jednostkowego wykres przedstawiony na kartce zeszytu w pudełku odpowiada w miarę możliwości wykresowi funkcji y=sin x.

Zróbmy tabelę wartości sinusów na przedziale:

Wynikowe punkty zaznaczamy na płaszczyźnie współrzędnych:

Ponieważ y=sin x jest funkcją nieparzystą, wykres sinusa jest symetryczny względem początku - punktu O(0;0). Biorąc ten fakt pod uwagę, kontynuujemy rysowanie wykresu w lewo, a następnie punkty -π:

Funkcja y=sin x jest okresowa o okresie T=2π. Dlatego wykres funkcji przyjętej na przedziale [-π;π] powtarza się nieskończoną liczbę razy w prawo i w lewo.

Teraz przyjrzymy się pytaniu, jak wykreślić funkcje trygonometryczne wielu kątów ωx, Gdzie ω - jakaś liczba dodatnia.

Aby wykreślić funkcję y = grzech ωx Porównajmy tę funkcję z funkcją, którą już badaliśmy y = grzech x. Załóżmy, że kiedy x = x 0 funkcjonować y = grzech x przyjmuje wartość równą 0. Następnie

y 0 = grzech X 0 .

Przekształćmy tę relację w następujący sposób:

Dlatego funkcja y = grzech ωx Na X = X 0 / ω przyjmuje tę samą wartość Na 0 , co jest tym samym co funkcja y = grzech x Na x = X 0 . Oznacza to, że funkcja y = grzech ωx powtarza swoje znaczenie w ω razy częściej niż funkcja y = grzech x. Dlatego wykres funkcji y = grzech ωx uzyskany przez „kompresję” wykresu funkcji y = grzech x V ω razy wzdłuż osi x.

Na przykład wykres funkcji y = grzech 2x uzyskany poprzez „kompresję” sinusoidy y = grzech x dwukrotnie wzdłuż osi odciętych.

Wykres funkcji y = grzech x / 2 uzyskuje się przez dwukrotne „rozciągnięcie” sinusoidy y = sin x (lub „ściśnięcie” jej przez 1 / 2 razy) wzdłuż osi x.

Ponieważ funkcja y = grzech ωx powtarza swoje znaczenie w ω razy częściej niż funkcja
y = grzech x, to jest jego okres ω razy krótszy niż okres funkcji y = grzech x. Na przykład okres funkcji y = grzech 2x równa się 2π/2 = π i okres funkcji y = grzech x / 2 równa się π / X/ 2 = 4π .

Interesujące jest badanie zachowania funkcji y = topór grzechu na przykładzie animacji, którą w bardzo prosty sposób można stworzyć w programie Klon:

Wykresy innych funkcji trygonometrycznych wielu kątów są konstruowane w podobny sposób. Rysunek przedstawia wykres funkcji y = cos 2x, który uzyskuje się poprzez „kompresję” fali cosinus y = cos x dwa razy wzdłuż osi x.

Wykres funkcji y = cos x / 2 uzyskane poprzez „rozciągnięcie” fali cosinus y = cos x podwojona wzdłuż osi x.

Na rysunku widać wykres funkcji y = opalenizna 2x, uzyskany przez „ściskanie” stycznych y = opalenizna x dwukrotnie wzdłuż osi odciętych.

Wykres funkcji y = tg X/ 2 , uzyskany poprzez „rozciągnięcie” stycznych y = opalenizna x podwojona wzdłuż osi x.

I na koniec animacja wykonywana przez program Klon:

Ćwiczenia

1. Zbuduj wykresy tych funkcji i wskaż współrzędne punktów przecięcia tych wykresów z osiami współrzędnych. Wyznacz okresy tych funkcji.

A). y = grzech 4x/ 3 G). y = opalony 5x/ 6 I). y = sałata 2x/ 3

B). y=cos 5x/ 3 D). y = ctg 5x/ 3 H). y=ctg X/ 3

V). y = opalony 4x/ 3 mi). y = grzech 2x/ 3

2. Wyznaczanie okresów funkcji y = grzech (πх) I y = tg (πх/2).

3. Podaj dwa przykłady funkcji, które przyjmują wszystkie wartości od -1 do +1 (w tym te dwie liczby) i zmieniają się okresowo z okresem 10.

4 *. Podaj dwa przykłady funkcji, które przyjmują wszystkie wartości od 0 do 1 (w tym te dwie liczby) i zmieniają się okresowo z kropką π/2.

5. Podaj dwa przykłady funkcji, które przyjmują wszystkie wartości rzeczywiste i zmieniają się okresowo z okresem 1.

6 *. Podaj dwa przykłady funkcji, które akceptują wszystkie wartości ujemne i zero, ale nie akceptują wartości dodatnich i zmieniają się okresowo z okresem 5.