Jak znaleźć ogniskową hiperboli. Hiperbola i jej równanie kanoniczne
Definicja. Hiperbola to miejsce geometryczne punktów na płaszczyźnie y; wartość bezwzględna różnicy odległości każdego z nich od dwóch danych punktów tej płaszczyzny, zwana ogniskami, jest wartością stałą, pod warunkiem, że wartość ta nie jest równa zeru i jest mniejsza niż odległość między ogniskami.
Oznaczmy odległość między ogniskami stałą wartością równą modułowi różnicy odległości od każdego punktu hiperboli do ognisk, według (według warunku ). Podobnie jak w przypadku elipsy, przez ogniska rysujemy oś odciętych, a za początek współrzędnych przyjmujemy środek odcinka (patrz ryc. 44). Ogniska w takim układzie będą miały współrzędne. Wyprowadzamy równanie hiperboli w wybranym układzie współrzędnych. Z definicji hiperboli dla dowolnego jej punktu mamy lub
Ale . Dlatego otrzymujemy
Po uproszczeniu analogicznym jak przy wyprowadzaniu równania elipsy otrzymujemy równanie:
co jest konsekwencją równania (33).
Łatwo zauważyć, że równanie to pokrywa się z równaniem (27) otrzymanym dla elipsy. Jednakże w równaniu (34) różnica wynosi , ponieważ dla hiperboli . Dlatego stawiamy
Następnie równanie (34) sprowadza się do postaci:
Równanie to nazywa się równaniem kanonicznym hiperboli. Równanie (36), jako konsekwencja równania (33), jest spełnione przez współrzędne dowolnego punktu hiperboli. Można wykazać, że współrzędne punktów nie leżących na hiperboli nie spełniają równania (36).
Ustalmy postać hiperboli, korzystając z jej równania kanonicznego. To równanie zawiera tylko parzyste potęgi bieżących współrzędnych. W związku z tym hiperbola ma dwie osie symetrii, w tym przypadku pokrywające się z osiami współrzędnych. W dalszej części osie symetrii hiperboli będziemy nazywać osiami hiperboli, a punkt ich przecięcia środkiem hiperboli. Oś hiperboli, na której znajdują się ogniska, nazywana jest osią ogniskową. Przyjrzyjmy się postaci hiperboli w pierwszym kwartale, gdzie
Tutaj, ponieważ w przeciwnym razie y przyjąłby wartości urojone. Gdy x wzrasta od a do, wzrasta od 0 do. Częścią hiperboli leżącą w pierwszej ćwiartce będzie łuk pokazany na ryc. 47.
Ponieważ hiperbola jest położona symetrycznie względem osi współrzędnych, krzywa ta ma postać pokazaną na ryc. 47.
Punkty przecięcia hiperboli z osią ogniskową nazywane są jej wierzchołkami. Zakładając w równaniu hiperbole, wyznaczamy odcięte jego wierzchołków: . Zatem hiperbola ma dwa wierzchołki: . Hiperbola nie przecina osi rzędnych. Tak naprawdę wstawiając hiperbole do równania otrzymujemy urojone wartości dla y: . Dlatego oś ogniskowa hiperboli nazywa się osią rzeczywistą, a oś symetrii prostopadłą do osi ogniskowej nazywa się osią urojoną hiperboli.
Oś rzeczywista nazywana jest także odcinkiem łączącym wierzchołki hiperboli, a jej długość wynosi 2a. Odcinek łączący punkty (patrz ryc. 47), a także jego długość nazywa się wyimaginowaną osią hiperboli. Liczby a i b nazywane są odpowiednio rzeczywistymi i urojonymi półosiami hiperboli.
Rozważmy teraz hiperbolę znajdującą się w pierwszej ćwiartce, która jest wykresem funkcji
Pokażmy, że punkty tego wykresu, położone w odpowiednio dużej odległości od początku współrzędnych, leżą dowolnie blisko prostej
przechodzący przez początek układu współrzędnych i mający współczynnik kątowy
W tym celu należy rozważyć dwa punkty o tej samej odciętej leżące odpowiednio na krzywej (37) i prostej (38) (ryc. 48) i uzupełnić różnicę rzędnych tych punktów
Licznik tego ułamka jest wartością stałą, a mianownik rośnie w nieskończoność przy nieograniczonym wzroście. Dlatego różnica dąży do zera, tj. punkty M i N zbliżają się do siebie w nieskończoność, gdy odcięta rośnie w nieskończoność.
Z symetrii hiperboli względem osi współrzędnych wynika, że istnieje jeszcze jedna linia prosta, do której punkty hiperboli są dowolnie blisko w nieograniczonej odległości od początku. Bezpośredni
nazywane są asymptotami hiperboli.
Na ryc. 49 pokazuje względne położenie hiperboli i jej asymptot. Rysunek ten pokazuje również, jak konstruować asymptoty hiperboli.
Aby to zrobić, skonstruuj prostokąt ze środkiem w początku i bokami równoległymi do osi i odpowiednio równymi . Prostokąt ten nazywany jest prostokątem głównym. Każda z jej przekątnych, rozciągnięta w nieskończoność w obu kierunkach, jest asymptotą hiperboli. Przed skonstruowaniem hiperboli zaleca się skonstruowanie jej asymptot.
Stosunek połowy odległości ognisk do rzeczywistej półosi hiperboli nazywany jest mimośrodem hiperboli i jest zwykle oznaczany literą:
Ponieważ w przypadku hiperboli mimośród hiperboli jest większy niż jeden: Ekscentryczność charakteryzuje kształt hiperboli
Rzeczywiście ze wzoru (35) wynika, że . Z tego jasno wynika, że im mniejszy mimośród hiperboli, tym
im mniejszy jest stosunek jego półosi. Ale relacja określa kształt głównego prostokąta hiperboli, a co za tym idzie, kształt samej hiperboli. Im mniejszy mimośród hiperboli, tym bardziej wydłużony jest jej główny prostokąt (w kierunku osi ogniskowej).
Klasa 10 . Krzywe drugiego rzędu.
10.1. Elipsa. Równanie kanoniczne. Półosie, mimośród, wykres.
10.2. Hiperbola. Równanie kanoniczne. Półosie, mimośród, asymptoty, wykres.
10.3. Parabola. Równanie kanoniczne. Parabola, wykres.
Krzywe drugiego rzędu na płaszczyźnie to linie, których ukryta definicja ma postać:
Gdzie 
- podane liczby rzeczywiste, 
- współrzędne punktów krzywej. Najważniejszymi liniami wśród krzywych drugiego rzędu są elipsa, hiperbola i parabola.
10.1. Elipsa. Równanie kanoniczne. Półosie, mimośród, wykres.
Definicja elipsy.Elipsa to płaska krzywa, której suma odległości od dwóch stałych punktów 
płaszczyznę do dowolnego punktu 
(te.). Zwrotnica 
nazywane są ogniskami elipsy.
Kanoniczne równanie elipsy:
.
(2)
(lub oś 
) wykonuje sztuczki 
, a początek jest punktem 
- znajduje się w środku segmentu 
(ryc. 1). Elipsa (2) jest symetryczna względem osi współrzędnych i początku (środka elipsy). Stały 
,
są nazywane półosie elipsy.
Jeśli elipsę podaje równanie (2), wówczas ogniska elipsy znajdują się w ten sposób.
1) Najpierw określamy, gdzie leżą ogniska: ogniska leżą na osi współrzędnych, na której znajdują się główne półosie.
2) Następnie obliczana jest ogniskowa 
(odległość od ognisk do początku).
Na 
ogniska leżą na osi 
;
;
.
Na 
ogniska leżą na osi 
;
;
.
Ekscentryczność elipsa nazywana jest wielkością: 
(Na 
);
(Na 
).
Elipsa zawsze 
. Mimośród służy jako cecha ściskania elipsy.
Jeżeli elipsa (2) zostanie przesunięta tak, że środek elipsy trafi w punkt 
,
, wówczas równanie powstałej elipsy ma postać
.
10.2. Hiperbola. Równanie kanoniczne. Półosie, mimośród, asymptoty, wykres.
Definicja hiperboli.Hiperbola to krzywa płaska, w której jest wyrażona wartość bezwzględna różnicy odległości od dwóch stałych punktów 
płaszczyznę do dowolnego punktu 
krzywa ta ma stałą wartość niezależną od punktu 
(te.). Zwrotnica 
nazywane są ogniskami hiperboli.
Równanie kanoniczne hiperboli:
Lub 
.
(3)
Równanie to uzyskuje się, jeśli oś współrzędnych 
(lub oś 
) wykonuje sztuczki 
, a początek jest punktem 
- znajduje się w środku segmentu 
. Hiperbole (3) są symetryczne względem osi współrzędnych i początku. Stały 
,
są nazywane półosie hiperboli.
Ogniska hiperboli znajdują się w ten sposób.
W hiperboli 
ogniska leżą na osi 
:
(ryc. 2.a).
W hiperboli 
ogniska leżą na osi 
:
(Rys. 2.b)
Tutaj 
- ogniskowa (odległość od ognisk do początku). Oblicza się go według wzoru: 
.
Ekscentryczność hiperbola to ilość:
(Dla 
);
(Dla 
).
Hiperbola zawsze tak ma 
.
Asymptoty hiperboli(3) to dwie linie proste: 
. Obie gałęzie hiperboli wraz ze wzrostem zbliżają się do asymptot bez ograniczeń 
.
Konstrukcję wykresu hiperboli należy przeprowadzić w następujący sposób: najpierw wzdłuż półosi 
budujemy prostokąt pomocniczy o bokach równoległych do osi współrzędnych; następnie narysuj linie proste przez przeciwne wierzchołki tego prostokąta, są to asymptoty hiperboli; na koniec przedstawiamy gałęzie hiperboli, dotykają one punktów środkowych odpowiednich boków prostokąta pomocniczego i zbliżają się wraz ze wzrostem 
do asymptot (ryc. 2).
Jeśli hiperbole (3) zostaną przesunięte tak, aby ich środek trafił w punkt 
, a półosie pozostaną równoległe do osi 
,
, wówczas równanie powstałych hiperbol zostanie zapisane w postaci
,
.
10.3. Parabola. Równanie kanoniczne. Parabola, wykres.
Definicja paraboli.Parabola to płaska krzywa, dla której, dla dowolnego punktu 
ta krzywa jest odległością od 
do stałego punktu 
płaszczyzna (zwana ogniskiem paraboli) jest równa odległości od 
do ustalonej linii prostej na płaszczyźnie(zwana kierownicą paraboli) .
Równanie kanoniczne paraboli:
,
(4)
Gdzie 
- stała tzw parametr parabole.
Kropka 
parabola (4) nazywana jest wierzchołkiem paraboli. Oś 
jest osią symetrii. Ognisko paraboli (4) znajduje się w punkcie 
, równanie kierownicy 
. Wykresy paraboli (4) ze znaczeniami 
I 
są pokazane na ryc. Odpowiednio 3.a i 3.b.
Równanie 
definiuje również parabolę na płaszczyźnie 
, którego osie w porównaniu do paraboli (4), 
,
zamienił się miejscami.
Jeśli parabola (4) zostanie przesunięta tak, że jej wierzchołek trafi w punkt 
, a oś symetrii pozostanie równoległa do osi 
, wówczas równanie powstałej paraboli ma postać
.
Przejdźmy do przykładów.
Przykład 1. Krzywą drugiego rzędu wyznacza równanie 
. Nadaj nazwę tej krzywej. Znajdź jego ogniska i ekscentryczność. Narysuj krzywą i jej ogniska na płaszczyźnie 
.
Rozwiązanie. Ta krzywa jest elipsą o środku w punkcie 
i półosi 
. Można to łatwo sprawdzić wymieniając 
. Transformacja ta oznacza przejście z danego kartezjańskiego układu współrzędnych 
do nowego kartezjańskiego układu współrzędnych 
, którego oś 
równolegle do osi 
,
. Ta transformacja współrzędnych nazywana jest przesunięciem układu 
Dokładnie 
. W nowym układzie współrzędnych 
równanie krzywej przekształca się w równanie kanoniczne elipsy 
, jego wykres pokazano na ryc. 4.
Znajdźmy sztuczki. 
, więc sztuczki 
elipsa znajdująca się na osi 
.. W układzie współrzędnych 
:
. Ponieważ 
, w starym układzie współrzędnych 
ogniska mają współrzędne.
Przykład 2. Podaj nazwę krzywej drugiego rzędu i podaj jej wykres.
Rozwiązanie. Wybierzmy idealne kwadraty na podstawie terminów zawierających zmienne 
I 
.
Teraz równanie krzywej można przepisać w następujący sposób:
Zatem dana krzywa jest elipsą o środku w punkcie 
i półosi 
. Uzyskane informacje pozwalają na narysowanie jej wykresu.
Przykład 3. Podaj nazwę i wykres linii 
.
Rozwiązanie. . Jest to równanie kanoniczne elipsy o środku w punkcie 
i półosi 
.
Ponieważ, 
, stwierdzamy: dane równanie wyznacza się na płaszczyźnie 
dolna połowa elipsy (ryc. 5).
Przykład 4. Podaj nazwę krzywej drugiego rzędu 
. Znajdź jego skupienie, ekscentryczność. Podaj wykres tej krzywej.
- równanie kanoniczne hiperboli z półosiami 
.
Długość ogniskowa.
Znak minus poprzedza termin z 
, więc sztuczki 
hiperbole leżą na osi 
:. Gałęzie hiperboli znajdują się powyżej i poniżej osi 
.
- ekscentryczność hiperboli.
Asymptoty hiperboli: .
Konstrukcję wykresu tej hiperboli przeprowadzamy zgodnie z opisaną powyżej procedurą: budujemy prostokąt pomocniczy, rysujemy asymptoty hiperboli, rysujemy gałęzie hiperboli (patrz ryc. 2.b).
Przykład 5. Znajdź rodzaj krzywej podanej w równaniu 
i nakreśl to.
- hiperbola ze środkiem w punkcie 
i półosi.
Ponieważ , stwierdzamy: dane równanie wyznacza tę część hiperboli, która leży na prawo od prostej 
. Lepiej jest narysować hiperbolę w pomocniczym układzie współrzędnych 
, uzyskany z układu współrzędnych 
zmiana 
, a następnie zaznacz żądaną część hiperboli pogrubioną linią
Przykład 6. Znajdź rodzaj krzywej i narysuj jej wykres.
Rozwiązanie. Wybierzmy pełny kwadrat na podstawie terminów ze zmienną 
:
Przepiszmy równanie krzywej.
Jest to równanie paraboli z wierzchołkiem w punkcie 
. Za pomocą transformacji przesunięcia równanie paraboli zostaje sprowadzone do postaci kanonicznej 
, z czego jasno wynika, że jest to parametr paraboli. Centrum 
parabole w układzie 
ma współrzędne 
,, oraz w systemie 
(zgodnie z transformacją przesunięcia). Wykres paraboli pokazano na ryc. 7.
Praca domowa.
1. Narysuj elipsy określone równaniami: 
Znajdź ich półosie, ogniskową, mimośród i wskaż na wykresach elips położenie ich ognisk.
2. Narysuj hiperbole określone równaniami: 
Znajdź ich półosie, ogniskową, mimośród i wskaż na wykresach hiperboli położenie ich ognisk. Napisz równania na asymptoty podanych hiperboli.
3. Narysuj parabole określone równaniami: 
. Znajdź ich parametr, ogniskową i wskaż na wykresach paraboli położenie ogniska.
4. Równanie 
definiuje część drugiego rzędu krzywej. Znajdź równanie kanoniczne tej krzywej, zapisz jej nazwę, narysuj jej wykres i zaznacz na nim tę część krzywej, która odpowiada pierwotnemu równaniu.
Hiperbola to miejsce punktów na płaszczyźnie, moduł różnicy odległości każdego z nich do dwóch danych punktów F_1 i F_2 jest wartością stałą (2a), mniejszą niż odległość (2c) pomiędzy tymi danymi punktami (rys. 3,40, a). Ta geometryczna definicja wyraża ogniskowa właściwość hiperboli.
Ogniskowa właściwość hiperboli
Punkty F_1 i F_2 nazywane są ogniskami hiperboli, odległość 2c=F_1F_2 między nimi to ogniskowa, środek O odcinka F_1F_2 to środek hiperboli, liczba 2a to długość rzeczywistej osi hiperboli hiperbola (odpowiednio a jest rzeczywistą półosią hiperboli). Odcinki F_1M i F_2M łączące dowolny punkt M hiperboli z jej ogniskami nazywane są promieniami ogniskowymi punktu M. Odcinek łączący dwa punkty hiperboli nazywa się cięciwą hiperboli.
Relacja e=\frac(c)(a) , gdzie c=\sqrt(a^2+b^2) nazywa się ekscentryczność hiperboli. Z definicji (2a<2c) следует, что e>1 .
Geometryczna definicja hiperboli, wyrażający jego właściwość ogniskową, jest równoznaczny z jego definicją analityczną - linią zadaną przez kanoniczne równanie hiperboli:
\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1.
Rzeczywiście, wprowadźmy prostokątny układ współrzędnych (ryc. 3.40, b). Za początek układu współrzędnych przyjmujemy środek O hiperboli; Linię prostą przechodzącą przez ogniska (oś ogniskową) przyjmiemy jako oś odciętych (kierunek dodatni przebiega od punktu F_1 do punktu F_2); Weźmy prostą prostopadłą do osi odciętych i przechodzącą przez środek hiperboli jako oś rzędnych (kierunek na osi rzędnych dobieramy tak, aby prostokątny układ współrzędnych Oxy był prawidłowy).
Utwórzmy równanie hiperboli, korzystając z definicji geometrycznej wyrażającej właściwość ogniskową. W wybranym układzie współrzędnych wyznaczamy współrzędne ognisk F_1(-c,0) i F_2(c,0) . Dla dowolnego punktu M(x,y) należącego do hiperboli mamy:
\left||\overrightarrow(F_1M)|-|\overrightarrow(F_2M)|\right|=2a.
Zapisując to równanie w postaci współrzędnych, otrzymujemy:
\sqrt((x+c)^2+y^2)-\sqrt((x-c)^2+y^2)=\pm2a.
Wykonując przekształcenia podobne do tych stosowanych przy wyprowadzaniu równania elipsy (czyli pozbywając się irracjonalności), dochodzimy do kanonicznego równania hiperboli:
\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1\,
gdzie b=\sqrt(c^2-a^2) , tj. wybrany układ współrzędnych jest kanoniczny.
Prowadząc rozumowanie w odwrotnej kolejności można wykazać, że wszystkie punkty, których współrzędne spełniają równanie (3.50), i tylko one, należą do zbioru punktów zwanego hiperbolą. Zatem analityczna definicja hiperboli jest równoważna jej definicji geometrycznej.
Kierunkowa właściwość hiperboli
Kierownice hiperboli to dwie linie proste przechodzące równolegle do osi rzędnych kanonicznego układu współrzędnych w tej samej odległości a^2\!\!\not(\phantom(|))\,c z niego (ryc. 3.41, a). Kiedy a=0, kiedy hiperbola degeneruje się w parę przecinających się linii, kierownice pokrywają się.
Hiperbolę z mimośrodem e=1 można zdefiniować jako miejsce punktów na płaszczyźnie, dla każdego z nich stosunek odległości do danego punktu F (ognisko) do odległości do danej prostej d (kierownicy) nieprzechodzącej przechodzącego przez dany punkt jest stała i równa mimośrodowi e ( właściwość reżyserska hiperboli). Tutaj F i d są jednym z ognisk hiperboli i jedną z jej kierownic, umieszczonymi po jednej stronie osi rzędnych kanonicznego układu współrzędnych.
W rzeczywistości na przykład dla ogniska F_2 i kierownicy d_2 (ryc. 3.41, a) warunek \frac(r_2)(\rho_2)=e można zapisać w postaci współrzędnych:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\lewo(x-\frac(a^2)(c)\prawo)
Pozbycie się irracjonalności i zastąpienie e=\frac(c)(a),~c^2-a^2=b^2, dochodzimy do kanonicznego równania hiperboli (3.50). Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla ogniska F_1 i kierownicy d_1:
\frac(r_1)(\rho_1)=e \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt((x+c)^2+y^2)= e\left(x+\frac(a^2)(c) \right ).
Równanie hiperboli w biegunowym układzie współrzędnych
Równanie prawej gałęzi hiperboli w biegunowym układzie współrzędnych F_2r\varphi (ryc. 3.41,b) ma postać
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), gdzie p=\frac(p^2)(a) - ogniskowy parametr hiperboli.
W istocie wybierzmy właściwe ognisko F_2 hiperboli jako biegun biegunowego układu współrzędnych oraz półprostą mającą początek w punkcie F_2, który należy do prostej F_1F_2, ale nie zawiera punktu F_1 (Rys. 3.41 ,b), jako oś biegunowa. Wtedy dla dowolnego punktu M(r,\varphi) należącego do prawej gałęzi hiperboli, zgodnie z definicją geometryczną (właściwością ogniskową) hiperboli, mamy F_1M-r=2a. Wyrażamy odległość pomiędzy punktami M(r,\varphi) i F_1(2c,\pi) (patrz akapit 2 uwag 2.8):
F_1M=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)^2\cdot r\cdot\cos(\varphi-\pi))=\sqrt(r^2+4\cdot c \cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).
Dlatego w formie współrzędnych równanie hiperboli ma postać
\sqrt(r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)-r=2a.
Izolujemy pierwiastek, podnosimy obie strony równania, dzielimy przez 4 i przedstawiamy podobne wyrażenia:
r^2+4cr\cdot\cos\varphi+4c^2=4a^2+4ar+r^2 \quad \Leftrightarrow \quad a\left(1-\frac(c)(a)\cos\varphi\ po prawej)r=c^2-a^2.
Wyraź promień biegunowy r i dokonaj podstawień e=\frac(c)(a),~b^2=c^2-a^2,~p=\frac(b^2)(a):
r=\frac(c^2-a^2)(a(1-e\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a(1-e\cos\varphi) ) )) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cos\varphi),
co było do okazania Należy zauważyć, że we współrzędnych biegunowych równania hiperboli i elipsy pokrywają się, ale opisują różne proste, ponieważ różnią się mimośrodami (e>1 dla hiperboli, 0\leqslant e<1 для эллипса).
Znaczenie geometryczne współczynników w równaniu hiperboli
Znajdźmy punkty przecięcia hiperboli (ryc. 3.42, a) z osią odciętych (wierzchołki hiperboli). Podstawiając y=0 do równania, wyznaczamy odciętą punktów przecięcia: x=\pm a. Dlatego wierzchołki mają współrzędne (-a,0),\,(a,0) . Długość odcinka łączącego wierzchołki wynosi 2a. Odcinek ten nazywany jest rzeczywistą osią hiperboli, a liczba a jest rzeczywistą półosią hiperboli. Podstawiając x=0, otrzymujemy y=\pm ib. Długość odcinka osi y łączącego punkty (0,-b),\,(0,b) jest równa 2b. Odcinek ten nazywany jest wyimaginowaną osią hiperboli, a liczba b jest wyimaginowaną półosią hiperboli. Hiperbola przecina linię zawierającą rzeczywistą oś, ale nie przecina linii zawierającej urojoną oś.
Uwagi 3.10.
1. Linie proste x=\pm a,~y=\pm b ograniczają główny prostokąt w płaszczyźnie współrzędnych, poza którą znajduje się hiperbola (ryc. 3.42, a).
2. Linie proste zawierające przekątne głównego prostokąta nazywane są asymptotami hiperboli (ryc. 3.42, a).
Dla hiperbola równoboczna opisany równaniem (tj. dla a=b) prostokąt główny jest kwadratem, którego przekątne są prostopadłe. Dlatego asymptoty hiperboli równobocznej są również prostopadłe i można je przyjąć jako osie współrzędnych prostokątnego układu współrzędnych Ox„y” (ryc. 3.42, b). W tym układzie współrzędnych równanie hiperboli ma postać y"=\frac(a^2)(2x")(hiperbola pokrywa się z wykresem funkcji elementarnej wyrażającej zależność odwrotnie proporcjonalną).
Rzeczywiście, obróćmy kanoniczny układ współrzędnych o kąt \varphi=-\frac(\pi)(4)(ryc. 3.42, b). W tym przypadku współrzędne punktu w starym i nowym układzie współrzędnych powiązane są równościami
\left\(\!\begin(aligned)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y",\\ y& =-\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y"\end(aligned)\right \quad \Leftrightarrow \quad \ left \(\!\begin(aligned)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot(x"+y"),\\ y&=\frac(\sqrt(2))(2) \ cdot(y"-x")\end(wyrównane)\right.
Podstawiając te wyrażenia do równania. \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(a^2)=1 hiperbola równoboczna i przynosząc podobne warunki, otrzymujemy
\frac(\frac(1)(2)(x"+y")^2)(a^2)-\frac(\frac(1)(2)(y"-x")^2)(a ^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad 2\cdot x"\cdot y"=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad y"=\frac(a^2)(2\cdot x").
3. Osie współrzędnych (kanonicznego układu współrzędnych) są osiami symetrii hiperboli (zwanymi głównymi osiami hiperboli), a jej środek jest środkiem symetrii.
Rzeczywiście, jeśli punkt M(x,y) należy do hiperboli . wówczas punkty M”(x,y) i M””(-x,y), symetryczne do punktu M względem osi współrzędnych, również należą do tej samej hiperboli.
Oś symetrii, na której znajdują się ogniska hiperboli, jest osią ogniskową.
4. Z równania hiperboli we współrzędnych biegunowych r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(patrz ryc. 3.41, b) wyjaśniono geometryczne znaczenie parametru ogniskowego - jest to połowa długości cięciwy hiperboli przechodzącej przez jej ognisko prostopadle do osi ogniskowej (r=p przy \varphi=\frac(\pi)(2)).
5. Mimośrodowość e charakteryzuje kształt hiperboli. Im większe e, tym szersze gałęzie hiperboli, a im bliższe e jest jedności, tym węższe gałęzie hiperboli (ryc. 3.43, a).
Rzeczywiście, wartość \gamma kąta między asymptotami hiperboli zawierającej jej gałąź jest określona przez stosunek boków głównego prostokąta: \operatorname(tg)\frac(\gamma)(2)=\frac(b)(2). Biorąc pod uwagę, że e=\frac(c)(a) i c^2=a^2+b^2 , otrzymujemy
e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2+b^2)(a^2)=1+(\left(\frac(b)(a)\right )\^2=1+\operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2}. !}
Im większe e, tym większy kąt \gamma. Dla hiperboli równobocznej (a=b) mamy e=\sqrt(2) i \gamma=\frac(\pi)(2). Dla e>\sqrt(2) kąt \gamma jest rozwarty, a dla 1 6. Dwie hiperbole zdefiniowane w tym samym układzie współrzędnych za pomocą równań \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1 i są tzw powiązane ze sobą. Hiperbole sprzężone mają te same asymptoty (ryc. 3.43b). Równanie hiperboli sprzężonej -\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 zostaje zredukowany do kanonicznego poprzez zmianę nazwy osi współrzędnych (3.38). 7. Równanie \frac((x-x_0)^2)(a^2)-\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1 definiuje hiperbolę ze środkiem w punkcie O”(x_0,y_0), której osie są równoległe do osi współrzędnych (ryc. 3.43, c). Równanie to sprowadza się do równania kanonicznego za pomocą translacji równoległej (3.36). Równanie -\frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1 definiuje hiperbolę sprzężoną ze środkiem w punkcie O”(x_0,y_0) . Równanie parametryczne hiperboli w kanonicznym układzie współrzędnych ma postać \begin(cases)x=a\cdot\operatorname(ch)t,\\y=b\cdot\operatorname(sh)t,\end(cases)t\in\mathbb(R), Gdzie \operatorname(ch)t=\frac(e^t+e^(-t))(2)- cosinus hiperboliczny, a \operatorname(sh)t=\frac(e^t-e^(-t))(2) sinus hiperboliczny. Rzeczywiście, podstawiając wyrażenia współrzędnych do równania (3.50), dochodzimy do głównej tożsamości hiperbolicznej \operatorname(ch)^2t-\operatorname(sh)^2t=1. Przykład 3.21. Narysuj hiperbolę \frac(x^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1 w kanonicznym układzie współrzędnych Oxy. Znajdź półosie, ogniskową, mimośrodowość, parametr ogniskowy, równania asymptot i kierownic. Rozwiązanie. Porównując podane równanie z kanonicznym wyznaczamy półosie: a=2 - półoś rzeczywista, b=3 - półoś urojona hiperboli. Budujemy główny prostokąt o bokach 2a=4,~2b=6 ze środkiem w początku układu współrzędnych (ryc. 3.44). Asymptoty rysujemy poprzez przedłużenie przekątnych głównego prostokąta. Konstruujemy hiperbolę, biorąc pod uwagę jej symetrię względem osi współrzędnych. Jeśli to konieczne, określ współrzędne niektórych punktów hiperboli. Na przykład, podstawiając x=4 do równania hiperboli, otrzymamy \frac(4^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=27 \quad \Leftrightarrow \quad y=\pm3\sqrt (3). Zatem punkty o współrzędnych (4;3\sqrt(3)) i (4;-3\sqrt(3)) należą do hiperboli. Obliczanie ogniskowej 2\cdot c=2\cdot\sqrt(a^2+b^2)=2\cdot\sqrt(2^2+3^2)=2\sqrt(13) ekscentryczność e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(13))(2); parametr ogniskowy p=\frac(b^2)(a)=\frac(3^2)(2)=4,\!5. Układamy równania asymptot y=\pm\frac(b)(a)\,x, to jest y=\pm\frac(3)(2)\,x i równania kierownicy: x=\pm\frac(a^2)(c)=\frac(4)(\sqrt(13)). Hiperbola to zbiór punktów na płaszczyźnie, różnica odległości od dwóch danych punktów, ognisk, jest wartością stałą i równą . Podobnie jak w przypadku elipsy, ogniska umieszczamy w punktach , (patrz rys. 1). Ryż. 1 Z rysunku widać, że mogą występować przypadki i tytuł="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> title="Renderowane przez QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> , тогда согласно определению !} Wiadomo, że w trójkącie różnica między dwoma bokami jest mniejsza niż trzecia, więc np. otrzymujemy: Sprowadźmy obie strony do kwadratu i po dalszych przekształceniach znajdziemy: Gdzie . Równanie hiperboli (1) jest równanie kanoniczne hiperboli. Hiperbola jest symetryczna względem osi współrzędnych, zatem podobnie jak w przypadku elipsy wystarczy wykreślić jej wykres w pierwszej ćwiartce, gdzie: Zakres wartości za pierwszy kwartał. Kiedy mamy jeden z wierzchołków hiperboli. Drugi szczyt. Jeśli , to nie ma rzeczywistych pierwiastków z (1). Tak mówią i są wyimaginowanymi wierzchołkami hiperboli. Z zależności okazuje się, że dla odpowiednio dużych wartości jest miejsce na najbliższą równość tytuł="Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> title="Renderowane przez QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> . Поэтому прямая есть линией, расстояние между которой и соответствующей точкой гиперболы направляется к нулю при .!} Zbadajmy równanie (1) kształt i położenie hiperboli. Hiperbola ma dwie asymptoty. Znajdźmy asymptotę gałęzi hiperboli w pierwszej ćwiartce, a następnie skorzystajmy z symetrii. Rozważmy sytuację w pierwszym kwartale. W tym przypadku asymptota ma postać: , gdzie Oznacza to, że prosta jest asymptotą funkcji. Dlatego ze względu na symetrię asymptoty hiperboli są liniami prostymi. Korzystając z ustalonych cech, skonstruujemy gałąź hiperboli, która znajduje się w pierwszej ćwiartce i skorzystamy z symetrii: Ryż. 2 W przypadku gdy , czyli hiperbola jest opisana równaniem. Hiperbola ta zawiera asymptoty, które są dwusiecznymi kątów współrzędnych. Przykład 1 Zadanie Znajdź osie, wierzchołki, ogniska, mimośrodowość i równania asymptot hiperboli. Konstruuj hiperbolę i jej asymptoty. Rozwiązanie Sprowadźmy równanie hiperboli do postaci kanonicznej: Porównując to równanie z równaniem kanonicznym (1), znajdujemy , , . Szczyty, ogniska i . Ekscentryczność; asptoty; Budujemy parabolę. (patrz rys. 3) Napisz równanie hiperboli: Rozwiązanie Zapisując równanie asymptoty w postaci, znajdujemy stosunek półosi hiperboli. Z warunków problemu wynika, że . Dlatego Problem został zredukowany do rozwiązania układu równań: Podstawiając do drugiego równania układu otrzymujemy: Gdzie . Teraz to znajdziemy. Dlatego hiperbola ma następujące równanie: Odpowiedź Hiperbola i jej równanie kanoniczne aktualizacja: 17 czerwca 2017 r. przez: Artykuły naukowe.Ru Definicja
. Hiperbola to miejsce punktów, różnica każdego z nich do dwóch danych punktów, zwanych ogniskami, jest wartością stałą Weźmy taki układ współrzędnych, w którym ogniska leżą na osi odciętych, a początek współrzędnych dzieli odcinek F 1 F 2 na pół (ryc. 30). Oznaczmy F 1 F 2 = 2c. Następnie F 1 (c; 0); F 2 (-c; 0) MF 2 = r 2 , MF 1 = r 1 – promienie ogniskowe hiperboli. Zgodnie z definicją hiperboli r 1 – r 2 = const. Oznaczmy to przez 2a Następnie r 2 - r 1 = ±2a więc: Ponieważ równanie hiperboli x i y jest parzyste, to jeśli punkt M 0 (x 0; y 0) leży na hiperboli, to punkty M 1 (x 0; -y 0) M 2 (-x 0) również na nim leżą -y 0) M 3 (-x 0; -y 0). Dlatego hiperbola jest symetryczna względem obu osi współrzędnych. Gdy y = 0 x 2 = a 2 x = ± a. Wierzchołki hiperboli będą punktami A 1 (a; 0); A 2 (-a; 0). 1) o godz 2) dla x = a; y = 0 A 1 (a; 0) należy do hiperboli 3) dla x > a; y > 0. Co więcej, przy nieograniczonym wzroście x gałąź hiperboli zmierza do nieskończoności. Wynika z tego, że hiperbola jest krzywą składającą się z dwóch nieskończonych gałęzi. Rozważmy razem z równaniem DO Znajdziemy Jeśli więc punkt M, poruszając się po hiperboli w pierwszej ćwiartce, oddala się w nieskończoność, to jego odległość od prostej Ze względu na symetrię linia prosta ma tę samą właściwość Definicja. Bezpośrednio do którego o godz
I Asymptoty hiperboli leżą na przekątnych prostokąta, którego jeden bok jest równoległy do osi x i równy 2a, drugi jest równoległy do osi oy i równy 2b, a środek leży w punkcie pochodzenie współrzędnych (ryc. 32). r 2 – r 1 = ± 2a znak + oznacza prawą gałąź hiperboli znak – odnosi się do lewej gałęzi hiperboli Definicja.
Ekscentryczność hiperboli to stosunek odległości między ogniskami tej hiperboli do odległości między jej wierzchołkami. Wyraźmy ogniskowe promienie hiperboli w kategoriach mimośrodu: Definicja
. Nazwijmy linie proste
T O Aby ułożyć równanie paraboli, przyjmujemy jako oś x linię prostą przechodzącą przez ognisko F 1 prostopadle do kierownicy i zakładamy, że oś x jest skierowana od kierownicy do ogniska. Za początek współrzędnych bierzemy środek O odcinka od punktu F do tej prostej, której długość oznaczamy przez p (ryc. 34). Wartość p nazwiemy parametrem paraboli. Punkt współrzędnych ostrości Niech M (x, y) będzie dowolnym punktem paraboli. Zgodnie z definicją Na 2
= 2рх – równanie kanoniczne paraboli Aby określić rodzaj paraboli, przekształcamy jej równanie U X Parabola ma jedną oś symetrii. Jeśli x jest do pierwszej potęgi, a y do drugiej, wówczas oś symetrii wynosi x. Jeśli x jest do drugiej potęgi, a y do pierwszej potęgi, to osią symetrii jest oś y. Notatka 1.
Równanie kierownicy paraboli ma postać
Uwaga 2.
Ponieważ dla paraboli
Równanie parametryczne hiperboli
Forma i cechy hiperboli
Asymptoty hiperboli
Przykłady problemów konstruowania hiperboli
=>
równanie kanoniczne hiperboli
. Ze względu na symetrię badania prowadzimy w pierwszym kwartale 
y ma wartość urojoną, dlatego punkty hiperboli z odciętymi 
nie istniejeP 6. Asymptoty hiperboli
równanie linii 
krzywa będzie leżeć poniżej linii prostej (ryc. 31). Rozważmy punkty N (x, Y) i M (x, y), których odcięte są takie same, oraz Y - y = MN. Rozważmy długość odcinka MN
maleje i dąży do zera.
.
Krzywa zbliża się w nieskończoność i nazywa się asymptotami.
więc równanie asymptot hiperboli 
.P 7. Mimośród i kierownice hiperboli
. Ponieważ c > a, ε > 1
, prostopadły do ogniskowej osi hiperboli i znajdujący się w pewnej odległościod jego środka kierownicami hiperboli odpowiadającymi prawym i lewym ogniskom.
co do hiperboli 
dlatego kierownice hiperboli znajdują się pomiędzy jej wierzchołkami (ryc. 33). Pokażmy, że stosunek odległości dowolnego punktu hiperboli do ogniska i odpowiadającej mu kierownicy jest wartością stałą i równą ε.
Str. 8 Parabola i jej równanie
definicja.
Parabola to zbiór punktów w jednakowej odległości od danego punktu, zwanego ogniskiem, i od danej linii, zwanej kierownicą.
.
to oznacza. Dlatego wierzchołek paraboli znajduje się w początku, a oś symetrii paraboli wynosi 0. Równanie y 2 = -2px z dodatnim p sprowadza się do równania y 2 = 2px zastępując x przez –x i jego wykres wygląda tak (Rys. 35).
Równanie x2 = 2py jest równaniem paraboli z wierzchołkiem w punkcie O (0; 0), której ramiona są skierowane w górę.
2 = -2ру – równanie paraboli ze środkiem w początku układu współrzędnych, symetrycznej względem osi y, której ramiona są skierowane w dół (rys. 36).
.
, Toε
parabola jest równa 1.ε
= 1
.
