Podstawowe własności funkcji y sinx. Lekcja „Funkcja y=sinx, jej własności i wykres”

Jak wykreślić funkcję y=sin x? Najpierw spójrzmy na wykres sinusa na przedziale.

W notatniku bierzemy pojedynczy segment o długości 2 komórek. Na osi Oy zaznaczamy jeden.

Dla wygody zaokrąglamy liczbę π/2 do 1,5 (a nie do 1,6, jak wymagają tego zasady zaokrąglania). W tym przypadku odcinek o długości π/2 odpowiada 3 komórkom.

Na osi Wół zaznaczamy nie pojedyncze odcinki, ale odcinki o długości π/2 (co 3 komórki). Odpowiednio odcinek o długości π odpowiada 6 komórkom, a odcinek o długości π/6 odpowiada 1 komórce.

Przy takim wyborze segmentu jednostkowego wykres przedstawiony na kartce zeszytu w pudełku odpowiada w miarę możliwości wykresowi funkcji y=sin x.

Zróbmy tabelę wartości sinusów na przedziale:

Wynikowe punkty zaznaczamy na płaszczyźnie współrzędnych:

Ponieważ y=sin x jest funkcją nieparzystą, wykres sinusa jest symetryczny względem początku - punktu O(0;0). Biorąc ten fakt pod uwagę, kontynuujemy rysowanie wykresu w lewo, a następnie punkty -π:

Funkcja y=sin x jest okresowa o okresie T=2π. Dlatego wykres funkcji przyjętej na przedziale [-π;π] powtarza się nieskończoną liczbę razy w prawo i w lewo.

W tej lekcji przyjrzymy się szczegółowo funkcji y = sin x, jej podstawowym własnościom i wykresowi. Na początku lekcji podamy definicję funkcji trygonometrycznej y = sin t na okręgu współrzędnych i rozważymy wykres funkcji na okręgu i prostej. Pokażmy na wykresie okresowość tej funkcji i rozważmy główne właściwości tej funkcji. Na koniec lekcji rozwiążemy kilka prostych problemów wykorzystując wykres funkcji i jej własności.

Temat: Funkcje trygonometryczne

Lekcja: Funkcja y=sinx, jej podstawowe własności i wykres

Rozważając funkcję, ważne jest, aby powiązać każdą wartość argumentu z pojedynczą wartością funkcji. Ten prawo korespondencji i nazywa się funkcją.

Zdefiniujmy prawo korespondencyjne dla .

Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada pojedynczy punkt na okręgu jednostkowym. Punkt ma jedną rzędną, którą nazywamy sinusem liczby (ryc. 1).

Każda wartość argumentu jest powiązana z pojedynczą wartością funkcji.

Oczywiste właściwości wynikają z definicji sinusa.

Rysunek to pokazuje ponieważ jest rzędną punktu na okręgu jednostkowym.

Rozważmy wykres funkcji. Przypomnijmy geometryczną interpretację argumentu. Argumentem jest kąt środkowy mierzony w radianach. Wzdłuż osi nakreślimy liczby rzeczywiste lub kąty w radianach, wzdłuż osi odpowiednie wartości funkcji.

Np. kąt na okręgu jednostkowym odpowiada punktowi na wykresie (ryc. 2)

Otrzymaliśmy wykres funkcji w obszarze, ale znając okres sinusa, możemy przedstawić wykres funkcji w całym obszarze definicji (ryc. 3).

Główny okres funkcji to Oznacza to, że wykres można otrzymać na odcinku, a następnie kontynuować go w całym obszarze definicji.

Rozważ właściwości funkcji:

1) Zakres definicji:

2) Zakres wartości:

3) Funkcja nieparzysta:

4) Najmniejszy okres dodatni:

5) Współrzędne punktów przecięcia wykresu z osią odciętych:

6) Współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią rzędnych:

7) Przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie:

8) Przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości ujemne:

9) Zwiększanie interwałów:

10) Zmniejszające się odstępy:

11) Minimalna liczba punktów:

12) Funkcje minimalne:

13) Maksymalna liczba punktów:

14) Maksymalne funkcje:

Przyjrzeliśmy się właściwościom funkcji i jej wykresowi. Właściwości będą wykorzystywane wielokrotnie przy rozwiązywaniu problemów.

Bibliografia

1. Algebra i początek analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Podręcznik dla szkół ogólnokształcących (poziom profilu), wyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra i początek analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Książka problemowa dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu), wyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i analiza matematyczna dla klasy 10 (podręcznik dla uczniów szkół i klas z rozszerzoną nauką matematyki).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Pogłębione studium algebry i analizy matematycznej.-M.: Edukacja, 1997.

5. Zbiór problemów z matematyki dla kandydatów do szkół wyższych (pod red. M.I. Skanavi – M.: Higher School, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Symulator algebraiczny.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Zagadnienia algebry i zasady analizy (podręcznik dla uczniów klas 10-11 szkół ogólnokształcących) - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Zbiór problemów algebry i zasad analizy: podręcznik. dodatek dla klas 10-11. z głębią badane Matematyka.-M.: Edukacja, 2006.

Praca domowa

Algebra i początek analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Książka problemowa dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu), wyd.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Dodatkowe zasoby internetowe

3. Portal edukacyjny przygotowujący do egzaminów ().

W tej lekcji przyjrzymy się szczegółowo funkcji y = sin x, jej podstawowym własnościom i wykresowi. Na początku lekcji podamy definicję funkcji trygonometrycznej y = sin t na okręgu współrzędnych i rozważymy wykres funkcji na okręgu i prostej. Pokażmy na wykresie okresowość tej funkcji i rozważmy główne właściwości tej funkcji. Na koniec lekcji rozwiążemy kilka prostych problemów wykorzystując wykres funkcji i jej własności.

Temat: Funkcje trygonometryczne

Lekcja: Funkcja y=sinx, jej podstawowe własności i wykres

Rozważając funkcję, ważne jest, aby powiązać każdą wartość argumentu z pojedynczą wartością funkcji. Ten prawo korespondencji i nazywa się funkcją.

Zdefiniujmy prawo korespondencyjne dla .

Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada pojedynczy punkt na okręgu jednostkowym. Punkt ma jedną rzędną, którą nazywamy sinusem liczby (ryc. 1).

Każda wartość argumentu jest powiązana z pojedynczą wartością funkcji.

Oczywiste właściwości wynikają z definicji sinusa.

Rysunek to pokazuje ponieważ jest rzędną punktu na okręgu jednostkowym.

Rozważmy wykres funkcji. Przypomnijmy geometryczną interpretację argumentu. Argumentem jest kąt środkowy mierzony w radianach. Wzdłuż osi nakreślimy liczby rzeczywiste lub kąty w radianach, wzdłuż osi odpowiednie wartości funkcji.

Np. kąt na okręgu jednostkowym odpowiada punktowi na wykresie (ryc. 2)

Otrzymaliśmy wykres funkcji w obszarze, ale znając okres sinusa, możemy przedstawić wykres funkcji w całym obszarze definicji (ryc. 3).

Główny okres funkcji to Oznacza to, że wykres można otrzymać na odcinku, a następnie kontynuować go w całym obszarze definicji.

Rozważ właściwości funkcji:

1) Zakres definicji:

2) Zakres wartości:

3) Funkcja nieparzysta:

4) Najmniejszy okres dodatni:

5) Współrzędne punktów przecięcia wykresu z osią odciętych:

6) Współrzędne punktu przecięcia wykresu z osią rzędnych:

7) Przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie:

8) Przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości ujemne:

9) Zwiększanie interwałów:

10) Zmniejszające się odstępy:

11) Minimalna liczba punktów:

12) Funkcje minimalne:

13) Maksymalna liczba punktów:

14) Maksymalne funkcje:

Przyjrzeliśmy się właściwościom funkcji i jej wykresowi. Właściwości będą wykorzystywane wielokrotnie przy rozwiązywaniu problemów.

Bibliografia

1. Algebra i początek analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Podręcznik dla szkół ogólnokształcących (poziom profilu), wyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra i początek analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Książka problemowa dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu), wyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i analiza matematyczna dla klasy 10 (podręcznik dla uczniów szkół i klas z rozszerzoną nauką matematyki).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Pogłębione studium algebry i analizy matematycznej.-M.: Edukacja, 1997.

5. Zbiór problemów z matematyki dla kandydatów do szkół wyższych (pod red. M.I. Skanavi – M.: Higher School, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Symulator algebraiczny.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Zagadnienia algebry i zasady analizy (podręcznik dla uczniów klas 10-11 szkół ogólnokształcących) - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Zbiór problemów algebry i zasad analizy: podręcznik. dodatek dla klas 10-11. z głębią badane Matematyka.-M.: Edukacja, 2006.

Praca domowa

Algebra i początek analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Książka problemowa dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu), wyd.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Dodatkowe zasoby internetowe

3. Portal edukacyjny przygotowujący do egzaminów ().

Dowiedzieliśmy się, że zachowanie funkcji trygonometrycznych i funkcji y = grzech x w szczególności, na całej osi liczbowej (lub dla wszystkich wartości argumentu X) jest całkowicie zdeterminowany jego zachowaniem w przedziale 0 < X < π / 2 .

Dlatego najpierw wykreślimy funkcję y = grzech x dokładnie w tym przedziale.

Zróbmy następującą tabelę wartości naszej funkcji;

Zaznaczając odpowiednie punkty na płaszczyźnie współrzędnych i łącząc je gładką linią, otrzymujemy krzywą pokazaną na rysunku

Powstałą krzywą można również skonstruować geometrycznie, bez konieczności tworzenia tabeli wartości funkcji y = grzech x .

1. Podziel pierwszą ćwiartkę koła o promieniu 1 na 8 równych części. Współrzędnymi punktów podziału koła są sinusy odpowiednich kątów.

2. Pierwsza ćwiartka koła odpowiada kątom od 0 do π / 2 . Dlatego na osi X Weźmy odcinek i podzielmy go na 8 równych części.

3. Narysujmy linie proste równoległe do osi X, a z punktów podziału konstruujemy prostopadłe, aż przetną się z liniami poziomymi.

4. Połącz punkty przecięcia gładką linią.

Teraz spójrzmy na interwał π / 2 < X < π .
Każda wartość argumentu X z tego przedziału można przedstawić jako

X = π / 2 + φ

Gdzie 0 < φ < π / 2 . Według wzorów redukcyjnych

grzech( π / 2 + φ ) = sałata φ = grzech( π / 2 - φ ).

Punkty osi X z odciętymi π / 2 + φ I π / 2 - φ symetrycznie względem siebie względem punktu osi X z odciętą π / 2 , a sinusy w tych punktach są takie same. Dzięki temu możemy otrzymać wykres funkcji y = grzech x w przedziale [ π / 2 , π ] po prostu symetrycznie wyświetlając wykres tej funkcji w przedziale względem linii prostej X = π / 2 .

Teraz korzystam z nieruchomości nieparzysta funkcja parzystości y = grzech x,

grzech(- X) = - grzech X,

łatwo jest wykreślić tę funkcję w przedziale [- π , 0].

Funkcja y = sin x jest okresowa z okresem 2π ;. Aby zatem skonstruować cały wykres tej funkcji, wystarczy kontynuować krzywą pokazaną na rysunku w lewo i w prawo okresowo z kropką 2π .

Powstała krzywa nazywa się sinusoida . To jest wykres funkcji y = grzech x.

Rysunek dobrze ilustruje wszystkie własności funkcji y = grzech x , co już wcześniej udowodniliśmy. Przypomnijmy te właściwości.

1) Funkcja y = grzech x zdefiniowane dla wszystkich wartości X , więc jego dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

2) Funkcja y = grzech x ograniczony. Wszystkie wartości, które akceptuje, mieszczą się w przedziale od -1 do 1, łącznie z tymi dwiema liczbami. W konsekwencji zakres zmienności tej funkcji wyznacza nierówność -1 < Na < 1. Kiedy X = π / 2 + 2 tys π funkcja przyjmuje największe wartości równe 1, a dla x = - π / 2 + 2 tys π - najmniejsze wartości równe - 1.

3) Funkcja y = grzech x jest nieparzysta (sinusoida jest symetryczna względem początku).

4) Funkcja y = grzech x okresowe z okresem 2 π .

5) W odstępach 2n π < X < π + 2n π (n jest dowolną liczbą całkowitą) jest dodatnia i w przedziałach π + 2 tys π < X < 2π + 2 tys π (k jest dowolną liczbą całkowitą) jest ujemna. Przy x = k π funkcja dąży do zera. Dlatego te wartości argumentu x (0; ± π ; ±2 π ; ...) nazywane są zerami funkcji y = grzech x

6) W przerwach - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funkcjonować y = grzech X rośnie monotonicznie i w odstępach czasu π / 2 + 2 tys π < X < 3π / 2 + 2 tys π maleje monotonicznie.

Należy zwrócić szczególną uwagę na zachowanie funkcji y = grzech x blisko punktu X = 0 .

Na przykład grzech 0,012 ≈ 0,012; grzech (-0,05) ≈ -0,05;

grzech 2° = grzech π 2 / 180 = grzech π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Jednocześnie należy zauważyć, że dla dowolnych wartości x

| grzech X| < | x | . (1)

Rzeczywiście, niech promień okręgu pokazanego na rysunku będzie równy 1,
A / AOB = X.

Potem grzech X= AC. Ale AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Długość tego łuku jest oczywiście równa X, ponieważ promień okręgu wynosi 1. Zatem przy 0< X < π / 2

grzech x< х.

Stąd wynika nieparzystość funkcji y = grzech x łatwo to pokazać, gdy - π / 2 < X < 0

| grzech X| < | x | .

Wreszcie kiedy X = 0

| grzech x | = | x |.

Zatem dla | X | < π / 2 nierówność (1) została udowodniona. W rzeczywistości ta nierówność jest prawdziwa również dla | X | > π / 2 z uwagi na fakt, że | grzech X | < 1, za π / 2 > 1

Ćwiczenia

1.Zgodnie z wykresem funkcji y = grzech x określić: a) grzech 2; b) grzech 4; c) grzech (-3).

2.Zgodnie z wykresem funkcji y = grzech x określić, która liczba z przedziału
[ - π / 2 , π / 2 ] ma sinus równy: a) 0,6; b) -0,8.

3. Zgodnie z wykresem funkcji y = grzech x określić, które liczby mają sinus,
równa 1/2.

4. Znajdź w przybliżeniu (bez korzystania z tabel): a) sin 1°; b) grzech 0,03;
c) grzech (-0,015); d) grzech (-2°30").

Geometryczna definicja sinusa i cosinusa

\(\sin \alfa = \dfrac(|BC|)(|AB|) \), \(\cos \alpha = \dfrac(|AC|)(|AB|) \)

α - kąt wyrażony w radianach.

Sinus (sin α) jest funkcją trygonometryczną kąta α między przeciwprostokątną a ramieniem trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości przeciwnej nogi |BC| do długości przeciwprostokątnej |AB|.

Cosinus (cos α) jest funkcją trygonometryczną kąta α między przeciwprostokątną a ramieniem trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości sąsiedniej nogi |AC| do długości przeciwprostokątnej |AB|.

Definicja trygonometryczna

Korzystając z powyższych wzorów, możesz znaleźć sinus i cosinus kąta ostrego. Ale musisz nauczyć się obliczać sinus i cosinus kąta o dowolnej wielkości. Trójkąt prostokątny nie daje takiej możliwości (nie może mieć np. kąta rozwartego); Dlatego potrzebujemy bardziej ogólnej definicji sinusa i cosinusa, zawierającej te wzory jako szczególny przypadek.

Na ratunek przychodzi koło trygonometryczne. Niech zostanie podany pewien kąt; odpowiada punktowi o tej samej nazwie na okręgu trygonometrycznym.

Ryż. 2. Trygonometryczna definicja sinusa i cosinusa

Cosinus kąta jest odciętą punktu. Sinus kąta jest rzędną punktu.

Na ryc. 2, przyjmuje się, że kąt jest ostry i łatwo zrozumieć, że ta definicja pokrywa się z ogólną definicją geometryczną. W rzeczywistości widzimy trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną jednostkową O i kątem ostrym. Sąsiednia odnoga tego trójkąta to cos (por. ryc. 1) i jednocześnie odcięta punktu; przeciwną stroną jest grzech (jak na ryc. 1) i jednocześnie rzędna punktu.

Ale teraz nie jesteśmy już ograniczeni pierwszym kwartałem i mamy możliwość rozszerzenia tej definicji pod dowolnym kątem. Na ryc. Rysunek 3 pokazuje, jakie są sinus i cosinus kąta w drugiej, trzeciej i czwartej ćwiartce.

Ryż. 3. Sinus i cosinus w II, III i IV ćwiartce

Wartości tabeli sinus i cosinus

Kąt zerowy \(\DUŻY 0^(\circ ) \)

Odcięta punktu 0 jest równa 1, rzędna punktu 0 jest równa 0. Stąd,

cos 0 = 1 grzech 0 = 0

Rys. 4. Kąt zerowy

Kąt \(\DUŻY \frac(\pi)(6) = 30^(\circ )\)

Widzimy trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną jednostkową i kątem ostrym 30°. Jak wiadomo, noga leżąca naprzeciw kąta 30° jest równa połowie przeciwprostokątnej 1; innymi słowy, odnoga pionowa jest równa 1/2 i dlatego

\[ \sin \frac(\pi)(6) =\frac(1)(2) \]

Odnogę poziomą znajdujemy za pomocą twierdzenia Pitagorasa (lub, co jest tym samym, cosinus znajdujemy za pomocą podstawowej tożsamości trygonometrycznej):

\[ \cos \frac(\pi)(6) = \sqrt(1 - \left(\frac(1)(2) \right)^(2) ) =\frac(\sqrt(3) )(2 ) \]

1 Dlaczego tak się dzieje? Wytnij trójkąt równoboczny o boku 2 wzdłuż jego wysokości! Podzieli się na dwa trójkąty prostokątne z przeciwprostokątną równą 2, kątem ostrym 30° i krótszą odnogą równą 1.

Ryc. 5. Kąt π / 6

Kąt \(\DUŻY \frac(\pi)(4) = 45^(\circ )\)

W tym przypadku trójkąt prostokątny jest równoramienny; Sinus i cosinus kąta 45° są sobie równe. Oznaczmy je na razie przez x. Mamy:

\[ x^(2) + x^(2) = 1 \]

skąd \(x=\frac(\sqrt(2) )(2) \). Stąd,

\[ \cos \frac(\pi)(4) = \sin \frac(\pi)(4) =\frac(\sqrt(2) )(2) \]

Rys. 5. Kąt π/4

Własności sinusa i cosinusa

Zaakceptowane oznaczenia

\(\sin^2 x \równoważnik (\sin x)^2; \)\(\quad \sin^3 x \równoważnik (\sin x)^3; \)\(\quad \sin^n x \equiv (\sin x)^n \)\(\sin^(-1) x \równoważnik \arcsin x \)\((\sin x)^(-1) \equiv \dfrac1(\sin x) \equiv \cosec x \).

\(\cos^2 x \równoważnik (\cos x)^2; \)\(\quad \cos^3 x \equiv (\cos x)^3; \)\(\quad \cos^n x \equiv (\cos x)^n \)\(\cos^(-1) x \równoważnik \arccos x \)\((\cos x)^(-1) \equiv \dfrac1(\cos x) \equiv \sec x \).

Okresowość

Funkcje y = sin x i y = cos x są okresowe z okresem 2π.

\(\sin(x + 2\pi) = \sin x; \quad \)\(\cos(x + 2\pi) = \cos x \)

Parytet

Funkcja sinus jest nieparzysta. Funkcja cosinus jest parzysta.

\(\sin(-x) = - \sin x; \quad \)\(\cos(-x) = \cos x \)

Obszary definicji i wartości, ekstrema, wzrost, spadek

Podstawowe właściwości sinusa i cosinusa przedstawiono w tabeli ( N- cały).

Podstawowe wzory zawierające sinus i cosinus

Suma kwadratów

\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)

Wzory sinus i cosinus na sumę i różnicę

\(\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \)
\(\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \)
\(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \)
\(\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \)

\(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \)
\(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \)\(2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x \)
\(\cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \sin x \) ; \(\sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \cos x \)
\(\cos(x + \pi) = - \cos x \) ; \(\sin(x + \pi) = - \sin x \)

Wzory na iloczyn sinusów i cosinusów

\(\sin x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \sin(x - y) + \sin(x + y) (\Large ]) \)
\(\sin x \sin y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \cos(x - y) - \cos(x + y) (\Large ]) \)
\(\cos x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Large [) \cos(x - y) + \cos(x + y) (\Large ]) \)

\(\sin x \cos y = \dfrac12 \sin 2x \)
\(\sin^2 x = \dfrac12 (\Large [) 1 - \cos 2x (\Large ]) \)
\(\cos^2 x = \dfrac12 (\Large [) 1 + \cos 2x (\Large ]) \)

Wzory na sumę i różnicę

\(\sin x + \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\sin x - \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x-y)2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \)
\(\cos x + \cos y = 2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\cos x - \cos y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \sin \dfrac(y-x)2 \)

Wyrażanie sinusa przez cosinus

\(\sin x = \cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \)\(\cos\left(x - \dfrac(\pi)2 \right) = - \cos\left(x + \dfrac(\pi)2 \right) \)\(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) \(\sin x = \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2 \pi n \) \)\(\sin x = - \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( -\pi + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 2 \pi n \) \).

Wyrażanie cosinusa poprzez sinus

\(\cos x = \sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \)\(- \sin\left(x - \dfrac(\pi)2 \right) = \sin\left(x + \dfrac(\pi)2 \right) \)\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) \(\cos x = \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( -\pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi/2 + 2 \pi n \) \)\(\cos x = - \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( \pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 3\pi/2 + 2 \pi n \) \).

Wyrażenie poprzez tangens

\(\sin^2 x = \dfrac(\tg^2 x)(1+\tg^2 x) \)\(\cos^2 x = \dfrac1(1+\tg^2 x) \).

Na \(- \dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n \) \(\sin x = \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).

Na \(\dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{3\pi}2 + 2 \pi n \) :
\(\sin x = - \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = - \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).

Tabela sinusów i cosinusów, stycznych i kotangentów

Ta tabela pokazuje wartości sinusów i cosinusów dla niektórych wartości argumentu.
[ img style="max-width:500px;max-height:1080px;" src="tablitsa.png" alt="Tabela sinusów i cosinusów" title="Tabela sinusów i cosinusów" ]!}

Wyrażenia poprzez zmienne zespolone

\(i^2 = -1\)
\(\sin z = \dfrac(e^(iz) - e^(-iz))(2i) \)\(\cos z = \dfrac(e^(iz) + e^(-iz))(2) \)

Wzór Eulera

\(e^(iz) = \cos z + i \sin z \)

Wyrażenia poprzez funkcje hiperboliczne

\(\sin iz = i \sh z \) \(\cos iz = \ch z \)
\(\sh iz = i \sin z \) \(\ch iz = \cos z \)

Pochodne

\((\sin x)" = \cos x \) \((\cos x)" = - \sin x \) . Wyprowadzanie wzorów > > >

Pochodne n-tego rzędu:
\(\left(\sin x \right)^((n)) = \sin\left(x + n\dfrac(\pi)2 \right) \)\(\left(\cos x \right)^((n)) = \cos\left(x + n\dfrac(\pi)2 \right) \).

Całki

\(\int \sin x \, dx = - \cos x + C \)\(\int \cos x \, dx = \sin x + C \)
Zobacz także rozdział Tabela całek nieoznaczonych >>>

Rozszerzenia serii

\(\sin x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n+1) )( (2n+1)! ) = \)\(x - \dfrac(x^3)(3 + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + ... \) !} \(\(- \infty< x < \infty \} \)
\(\cos x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n) )( (2n)! ) = \)\(1 - \dfrac(x^2)(2 + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + ... \) !} \(\( - \infty< x < \infty \} \)

Sieczna, cosekansowa

\(\sec x = \dfrac1( \cos x ) ; \) \(\cosec x = \dfrac1( \sin x ) \)

Funkcje odwrotne

Funkcje odwrotne sinusa i cosinusa to odpowiednio arcsinus i arccosinus.

Arcsin, arcsin

\(y = \arcsin x\) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; - \dfrac(\pi)2 \leqslant y \leqslant \dfrac(\pi)2 \right\) \)
\(\sin(\arcsin x) = x\)
\(\arcsin(\sin x) = x\) \(\left\( - \dfrac(\pi)2 \leqslant x \leqslant \dfrac(\pi)2 \right\) \)

Arcosinus, arccos

\(y = \arccos x\) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; 0 \leqslant y \leqslant \pi \right\) \)
\(\cos(\arccos x) = x \) \(\( -1 \leqslant x \leqslant 1 \) \)
\(\arccos(\cos x) = x\) \(\( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) \)

Bibliografia:
W. Bronstein, KA Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów, „Lan”, 2009.