L'area della superficie laterale della piramide. Come calcolare l'area di una piramide: base, lato e totale
Quale figura chiamiamo piramide? Innanzitutto, è un poliedro. In secondo luogo, alla base di questo poliedro c'è un poligono arbitrario, e i lati della piramide (facce laterali) hanno necessariamente la forma di triangoli convergenti su un vertice comune. Adesso, compreso il termine, scopriamo come trovare l’area della superficie della piramide.
È chiaro che la superficie di un tale corpo geometrico è costituita dalla somma delle aree della base e di tutta la sua superficie laterale.
Calcolo dell'area della base di una piramide
La scelta della formula di calcolo dipende dalla forma del poligono sottostante la nostra piramide. Può essere regolare, cioè con i lati della stessa lunghezza, oppure irregolare. Consideriamo entrambe le opzioni.
La base è un poligono regolare
Dal percorso scolastico sappiamo:
- l'area del quadrato sarà pari alla lunghezza del suo lato al quadrato;
- L'area di un triangolo equilatero è uguale al quadrato del suo lato diviso per 4 e moltiplicato per la radice quadrata di tre.
Ma esiste anche una formula generale per calcolare l'area di qualsiasi poligono regolare (Sn): è necessario moltiplicare il perimetro di questo poligono (P) per il raggio del cerchio in esso inscritto (r), quindi dividere il risultato per due: Sn=1/2P*r .
Alla base c'è un poligono irregolare
Lo schema per trovare la sua area consiste nel dividere prima l'intero poligono in triangoli, calcolare l'area di ciascuno di essi utilizzando la formula: 1/2a*h (dove a è la base del triangolo, h è l'altezza abbassata a questa base), sommare tutti i risultati.
Superficie laterale della piramide
Ora calcoliamo l'area della superficie laterale della piramide, cioè la somma delle aree di tutti i suoi lati laterali. Ci sono anche 2 opzioni qui.
- Prendiamo una piramide arbitraria, cioè uno con un poligono irregolare alla base. Quindi dovresti calcolare l'area di ciascuna faccia separatamente e aggiungere i risultati. Poiché i lati di una piramide, per definizione, possono essere solo triangoli, il calcolo viene effettuato utilizzando la formula sopra menzionata: S=1/2a*h.
- Lascia che la nostra piramide sia corretta, cioè alla sua base si trova un poligono regolare e al centro si trova la proiezione della sommità della piramide. Quindi, per calcolare l'area della superficie laterale (Sb), è sufficiente trovare la metà del prodotto tra il perimetro del poligono di base (P) e l'altezza (h) del lato laterale (uguale per tutte le facce) ): Sb = 1/2 P*h. Il perimetro di un poligono si determina sommando le lunghezze di tutti i suoi lati.
La superficie totale di una piramide regolare si trova sommando l'area della sua base con l'area dell'intera superficie laterale.
Esempi
Ad esempio, calcoliamo algebricamente le aree superficiali di diverse piramidi.
Area superficiale di una piramide triangolare
Alla base di una tale piramide c'è un triangolo. Utilizzando la formula So=1/2a*h troviamo l'area della base. Usiamo la stessa formula per trovare l'area di ciascuna faccia della piramide, anch'essa di forma triangolare, e otteniamo 3 aree: S1, S2 e S3. L'area della superficie laterale della piramide è la somma di tutte le aree: Sb = S1+ S2+ S3. Sommando le aree dei lati e della base, otteniamo la superficie totale della piramide desiderata: Sp= So+ Sb.
Area superficiale di una piramide quadrangolare
L'area della superficie laterale è la somma di 4 termini: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, ciascuno dei quali si calcola utilizzando la formula per l'area di un triangolo. E dovrai cercare l'area della base, a seconda della forma del quadrilatero: regolare o irregolare. La superficie totale della piramide si ottiene nuovamente sommando l'area della base e la superficie totale della piramide data.
Istruzioni
Prima di tutto, vale la pena capire che la superficie laterale della piramide è rappresentata da diversi triangoli, le cui aree possono essere trovate utilizzando una varietà di formule, a seconda dei dati conosciuti:
S = (a*h)/2, dove h è l'altezza ribassata al lato a;
S = a*b*sinβ, dove a, b sono i lati del triangolo e β è l'angolo compreso tra questi lati;
S = (r*(a + b + c))/2, dove a, b, c sono i lati del triangolo, e r è il raggio del cerchio inscritto in questo triangolo;
S = (a*b*c)/4*R, dove R è il raggio del triangolo circoscritto alla circonferenza;
S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R (se il triangolo è rettangolo);
S = S = (a²*√3)/4 (se il triangolo è equilatero).
In realtà, queste sono solo le formule più elementari conosciute per trovare l'area di un triangolo.
Dopo aver calcolato le aree di tutti i triangoli che sono le facce della piramide utilizzando le formule sopra, puoi iniziare a calcolare l'area di questa piramide. Questo viene fatto in modo estremamente semplice: devi sommare le aree di tutti i triangoli che formano la superficie laterale della piramide. Ciò può essere espresso dalla formula:
Sp = ΣSi, dove Sp è l'area della superficie laterale, Si è l'area dell'i-esimo triangolo, che fa parte della sua superficie laterale.
Per maggiore chiarezza, possiamo considerare un piccolo esempio: data una piramide regolare, le cui facce laterali sono formate da triangoli equilateri, e alla sua base si trova un quadrato. La lunghezza del bordo di questa piramide è di 17 cm ed è necessario trovare l'area della superficie laterale di questa piramide.
Soluzione: la lunghezza dello spigolo di questa piramide è nota, è noto che le sue facce sono triangoli equilateri. Pertanto, possiamo dire che tutti i lati di tutti i triangoli sulla superficie laterale sono pari a 17 cm, quindi per calcolare l'area di uno qualsiasi di questi triangoli sarà necessario applicare la formula:
S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 cm²
È noto che alla base della piramide si trova un quadrato. Pertanto è chiaro che i triangoli equilateri dati sono quattro. Quindi l'area della superficie laterale della piramide viene calcolata come segue:
125.137 cm² * 4 = 500.548 cm²
Risposta: La superficie laterale della piramide è 500.548 cm²
Innanzitutto, calcoliamo l'area della superficie laterale della piramide. La superficie laterale è la somma delle aree di tutte le facce laterali. Se si tratta di una piramide regolare (cioè che ha alla base un poligono regolare e il vertice è proiettato al centro di questo poligono), allora per calcolare l'intera superficie laterale è sufficiente moltiplicare il perimetro di la base (ovvero la somma delle lunghezze di tutti i lati del poligono che giace alla base della piramide) per l'altezza della faccia laterale (altrimenti chiamata apotema) e dividere il valore risultante per 2: Sb = 1/2P* h, dove Sb è l'area della superficie laterale, P è il perimetro della base, h è l'altezza della faccia laterale (apotema).
Se hai una piramide arbitraria davanti a te, dovrai calcolare separatamente le aree di tutte le facce e poi sommarle. Poiché le facce laterali della piramide sono triangoli, usa la formula per l'area di un triangolo: S=1/2b*h, dove b è la base del triangolo e h è l'altezza. Quando sono state calcolate le aree di tutte le facce non resta che sommarle per ottenere l'area della superficie laterale della piramide.
Quindi è necessario calcolare l'area della base della piramide. La scelta della formula per il calcolo dipende da quale poligono si trova alla base della piramide: regolare (cioè uno con tutti i lati della stessa lunghezza) o irregolare. L'area di un poligono regolare può essere calcolata moltiplicando il perimetro per il raggio del cerchio inscritto nel poligono e dividendo il valore risultante per 2: Sn = 1/2P*r, dove Sn è l'area del poligono poligono, P è il perimetro e r è il raggio del cerchio inscritto nel poligono.
Una piramide tronca è un poliedro formato da una piramide e la sua sezione trasversale è parallela alla base. Trovare la superficie laterale della piramide non è affatto difficile. È molto semplice: l'area è uguale al prodotto della metà della somma delle basi per . Consideriamo un esempio di calcolo della superficie laterale. Supponiamo di avere una piramide regolare. Le lunghezze della base sono b = 5 cm, c = 3 cm. Apotema a = 4 cm. Per trovare l'area della superficie laterale della piramide bisogna prima trovare il perimetro delle basi. In una base grande sarà pari a p1=4b=4*5=20 cm. In una base più piccola la formula sarà la seguente: p2=4c=4*3=12 cm. Pertanto l'area sarà pari a : s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 cm.
Se alla base della piramide è presente un poligono irregolare, per calcolare l'area dell'intera figura, dovrai prima suddividere il poligono in triangoli, calcolare l'area di ciascuno e poi sommarli. In altri casi, per trovare la superficie laterale della piramide, è necessario trovare l'area di ciascuna delle sue facce laterali e sommare i risultati. In alcuni casi, il compito di trovare la superficie laterale della piramide può essere semplificato. Se una faccia laterale è perpendicolare alla base o due facce laterali adiacenti sono perpendicolari alla base, la base della piramide è considerata una proiezione ortogonale di parte della sua superficie laterale e sono collegate da formule.
Per completare il calcolo dell'area della piramide, sommare le aree della superficie laterale e della base della piramide.
Una piramide è un poliedro, una delle cui facce (base) è un poligono arbitrario, e le restanti facce (lati) sono triangoli di . Secondo il numero degli angoli, le basi della piramide sono triangolari (tetraedro), quadrangolari e così via.
Una piramide è un poliedro con una base a forma di poligono e le restanti facce sono triangoli con un vertice comune. Un apotema è l'altezza della faccia laterale di una piramide regolare, che si disegna dal suo vertice.
Una piramide è un poliedro, la cui base è un poligono e le facce laterali sono triangoli con un vertice comune. Piazza superfici piramidi pari alla somma delle aree dei laterali superfici e motivi piramidi.
Avrai bisogno
- Carta, penna, calcolatrice
Istruzioni
Per prima cosa calcoliamo l'area del lato superfici . Per superficie laterale intendiamo la somma di tutte le facce laterali. Se hai a che fare con una piramide regolare (cioè quella in cui giace un poligono regolare e il vertice è proiettato al centro di questo poligono), allora per calcolare l'intero laterale superficiè sufficiente moltiplicare il perimetro della base (cioè la somma delle lunghezze di tutti i lati del poligono giacente alla base piramidi) per l'altezza della faccia laterale (altrimenti detta) e dividere il valore risultante per 2: Sb=1/2P*h, dove Sb è l'area del lato superfici, P - perimetro della base, h - altezza della faccia laterale (apotema).
Se hai davanti a te una piramide arbitraria, dovrai calcolare le aree di tutte le facce e poi sommarle. Dal momento che il lato è rivolto piramidi sono , usa la formula per l'area di un triangolo: S=1/2b*h, dove b è la base del triangolo e h è l'altezza. Una volta calcolate le aree di tutte le facce non resta che sommarle per ottenere l'area del lato superfici piramidi.
Quindi è necessario calcolare l'area della base piramidi. La scelta per il calcolo dipende da se il poligono si trova alla base della piramide: regolare (cioè i cui lati hanno tutti la stessa lunghezza) o. Piazza di un poligono regolare si calcola moltiplicando il perimetro per il raggio del cerchio inscritto nel poligono e dividendo il valore risultante per 2: Sn = 1/2P*r, dove Sn è l'area del poligono, P è il perimetro e r è il raggio del cerchio inscritto nel poligono.
Se alla base piramidi si trova un poligono irregolare, quindi per calcolare l'area dell'intera figura dovrai nuovamente dividere il poligono in triangoli, calcolare l'area di ciascuno, e poi sommarli.
Per completare il calcolo dell'area superfici piramidi, piega il lato quadrato superfici e motivi piramidi.
Video sull'argomento
Un poligono è una figura geometrica costruita chiudendo una polilinea. Esistono diversi tipi di poligono, che differiscono a seconda del numero di vertici. L'area viene calcolata per ciascun tipo di poligono in determinati modi.
Istruzioni
Moltiplica le lunghezze dei lati se devi calcolare l'area di un quadrato o di un rettangolo. Se hai bisogno di scoprire l'area di un triangolo rettangolo, estendilo a un rettangolo, calcola la sua area e dividila per due.
Utilizzare il seguente metodo per calcolare l'area se la figura non ha più di 180 gradi (un poligono convesso), mentre tutti i suoi vertici si trovano nella griglia delle coordinate e non si interseca.
Disegna un rettangolo attorno a tale poligono in modo che i suoi lati siano paralleli alle linee della griglia (assi coordinati). In questo caso almeno uno dei vertici del poligono deve essere il vertice di un rettangolo.
Solo uno troncato può avere due basi piramidi. In questo caso la seconda base è formata da un tratto parallelo alla base maggiore piramidi. Trovane uno motivi possibile se è noto o elementi lineari del secondo.
Avrai bisogno
- - proprietà della piramide;
- - funzioni trigonometriche;
- - somiglianza delle figure;
- - trovare le aree dei poligoni.
Istruzioni
Se la base è un triangolo regolare, trovala piazza moltiplicando il quadrato del lato per la radice quadrata di 3 divisa per 4. Se la base è un quadrato, eleva il suo lato alla seconda potenza. In generale, per qualsiasi poligono regolare, applicare la formula S=(n/4) a² ctg(180º/n), dove n è il numero di lati del poligono regolare, a è la lunghezza del suo lato.
Trova il lato della base più piccola utilizzando la formula b=2 (a/(2 tg(180º/n))-h/tg(α)) tg(180º/n). Qui a è la base maggiore, h è l'altezza del troncato piramidi, α – angolo diedro alla base, n – numero di lati motivi(è lo stesso). Trova l'area della seconda base in modo simile alla prima, utilizzando nella formula la lunghezza del suo lato S=(n/4) b² ctg(180º/n).
Se le basi sono altri tipi di poligoni, tutti i lati di uno di essi sono noti motivi, e uno dei lati dell'altro, quindi calcola i lati rimanenti come simili. Ad esempio, i lati della base maggiore sono 4, 6, 8 cm. Il lato maggiore della base minore è 4 cm. Calcola il coefficiente di proporzionalità, 4/8 = 2 (prendiamo i lati in ciascuno di motivi), e calcoliamo gli altri lati 6/2=3 cm, 4/2=2 cm. Otteniamo i lati 2, 3, 4 cm alla base minore del lato. Ora calcolali come le aree dei triangoli.
Se è noto il rapporto degli elementi corrispondenti in quello troncato, allora il rapporto delle aree motivi sarà uguale al rapporto tra i quadrati di questi elementi. Ad esempio, se le parti interessate sono note motivi a e a1, quindi a²/a1²=S/S1.
Sotto la zona piramidi di solito si riferisce all'area della sua superficie laterale o totale. Alla base di questo corpo geometrico c'è un poligono. I bordi laterali sono di forma triangolare. Hanno un vertice comune, che è anche il vertice piramidi.
Avrai bisogno
- - carta;
- - penna;
- - calcolatrice;
- - una piramide con determinati parametri.
Istruzioni
Considera la piramide fornita nel compito. Determina se il poligono ha la base regolare o irregolare. Quello corretto ha tutti i lati uguali. L'area in questo caso è pari alla metà del prodotto del perimetro e del raggio. Trova il perimetro moltiplicando la lunghezza del lato l per il numero di lati n, cioè P=l*n. L'area della base può essere espressa con la formula So=1/2P*r, dove P è il perimetro e r è il raggio del cerchio inscritto.
Il perimetro e l'area di un poligono irregolare vengono calcolati diversamente. I lati hanno lunghezze diverse. A
Superficie della piramide. In questo articolo esamineremo i problemi con le piramidi regolari. Lascia che ti ricordi che una piramide regolare è una piramide la cui base è un poligono regolare, la sommità della piramide è proiettata nel centro di questo poligono.
La faccia laterale di tale piramide è un triangolo isoscele.L'altezza di questo triangolo tracciato dal vertice di una piramide regolare si chiama apotema, SF - apotema:
Nel tipo di problema presentato di seguito, è necessario trovare la superficie dell'intera piramide o l'area della sua superficie laterale. Il blog ha già discusso diversi problemi con le piramidi regolari, in cui la domanda riguardava la ricerca degli elementi (altezza, bordo di base, bordo laterale).
I compiti dell'esame di stato unificato di solito esaminano piramidi triangolari, quadrangolari ed esagonali regolari. Non ho riscontrato alcun problema con le piramidi pentagonali ed ettagonali regolari.
La formula per l'area dell'intera superficie è semplice: devi trovare la somma dell'area della base della piramide e dell'area della sua superficie laterale:
Consideriamo i compiti:
I lati della base di una piramide quadrangolare regolare sono 72, i bordi laterali sono 164. Trova la superficie di questa piramide.
La superficie della piramide è pari alla somma delle aree della superficie laterale e della base:
*La superficie laterale è composta da quattro triangoli di uguale area. La base della piramide è un quadrato.
Possiamo calcolare l'area del lato della piramide utilizzando:
Pertanto, la superficie della piramide è:
Risposta: 28224
I lati della base di una piramide esagonale regolare sono pari a 22, i bordi laterali sono pari a 61. Trova la superficie laterale di questa piramide.
La base di una piramide esagonale regolare è un esagono regolare.
La superficie laterale di questa piramide è composta da sei aree di triangoli uguali con lati 61,61 e 22:
Troviamo l'area del triangolo utilizzando la formula di Erone:
Pertanto la superficie laterale è:
Risposta: 3240
*Nei problemi presentati sopra, l'area della faccia laterale potrebbe essere trovata utilizzando un'altra formula del triangolo, ma per questo è necessario calcolare l'apotema.
27155. Trova la superficie totale di una piramide regolare quadrangolare i cui lati di base sono 6 e la cui altezza è 4.
Per trovare l'area della piramide dobbiamo conoscere l'area della base e l'area della superficie laterale:
L'area della base è 36 poiché è un quadrato di lato 6.
La superficie laterale è composta da quattro facce, che sono triangoli uguali. Per trovare l'area di un tale triangolo, devi conoscerne la base e l'altezza (apotema):
*L'area di un triangolo è pari alla metà del prodotto della base per l'altezza tracciata su questa base.
La base è nota, è pari a sei. Troviamo l'altezza. Considera un triangolo rettangolo (evidenziato in giallo):
Una gamba è pari a 4, poiché questa è l'altezza della piramide, l'altra è pari a 3, poiché è pari alla metà dello spigolo della base. Possiamo trovare l'ipotenusa usando il teorema di Pitagora:
Ciò significa che l'area della superficie laterale della piramide è:
Pertanto, la superficie dell'intera piramide è:
Risposta: 96
27069. I lati della base di una piramide quadrangolare regolare sono pari a 10, gli spigoli laterali sono pari a 13. Trova la superficie di questa piramide.
27070. I lati della base di una piramide esagonale regolare sono pari a 10, gli spigoli laterali sono pari a 13. Trova la superficie laterale di questa piramide.
Esistono anche formule per la superficie laterale di una piramide regolare. In una piramide regolare la base è una proiezione ortogonale della superficie laterale, quindi:
P- perimetro della base, l- apotema della piramide
*Questa formula si basa sulla formula per l'area di un triangolo.
Se vuoi saperne di più su come vengono derivate queste formule, non perdertelo, segui la pubblicazione degli articoli.È tutto. Buona fortuna a te!
Cordiali saluti, Alexander Krutitskikh.
P.S: ti sarei grato se mi parlassi del sito sui social network.
Nella preparazione all'Esame di Stato Unificato di matematica, gli studenti devono sistematizzare le loro conoscenze di algebra e geometria. Vorrei combinare tutte le informazioni conosciute, ad esempio, su come calcolare l'area di una piramide. Inoltre, partendo dalla base e dai bordi laterali fino a tutta la superficie. Se la situazione con le facce laterali è chiara, poiché sono triangoli, allora la base è sempre diversa.
Come trovare l'area della base della piramide?
Può essere assolutamente qualsiasi figura: da un triangolo arbitrario a un n-gon. E questa base, oltre alla differenza nel numero degli angoli, può essere una figura regolare o irregolare. Nei compiti dell'Esame di Stato Unificato che interessano gli scolari, ci sono solo compiti con le cifre corrette alla base. Pertanto, parleremo solo di loro.
Triangolo regolare
Cioè, equilatero. Quello in cui tutti i lati sono uguali e sono contrassegnati dalla lettera “a”. In questo caso, l'area della base della piramide viene calcolata con la formula:
S = (a 2 * √3) / 4.
Piazza
La formula per calcolare la sua area è la più semplice, anche qui “a” è il lato:
N-gon regolare arbitrario
Il lato di un poligono ha la stessa notazione. Per il numero degli angoli si usa la lettera latina n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Cosa fare quando si calcola la superficie laterale e totale?
Poiché la base è una figura regolare, tutte le facce della piramide sono uguali. Inoltre ciascuno di essi è un triangolo isoscele, poiché i bordi laterali sono uguali. Quindi, per calcolare l'area laterale della piramide, avrai bisogno di una formula composta dalla somma di monomi identici. Il numero di termini è determinato dal numero di lati della base.
L'area di un triangolo isoscele si calcola con la formula in cui la metà del prodotto della base viene moltiplicata per l'altezza. Questa altezza nella piramide è chiamata apotema. La sua designazione è "A". La formula generale per la superficie laterale è:
S = ½ P*A, dove P è il perimetro della base della piramide.
Ci sono situazioni in cui non si conoscono i lati della base, ma si danno i bordi laterali (c) e l'angolo piatto al suo apice (α). Quindi è necessario utilizzare la seguente formula per calcolare l'area laterale della piramide:
S = n/2 * in 2 sin α .
Compito n. 1
Condizione. Trova l'area totale della piramide se la sua base ha un lato di 4 cm e l'apotema ha un valore di √3 cm.
Soluzione. Devi iniziare calcolando il perimetro della base. Poiché questo è un triangolo regolare, allora P = 3*4 = 12 cm Poiché l'apotema è noto, possiamo immediatamente calcolare l'area dell'intera superficie laterale: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.
Per il triangolo alla base, ottieni il seguente valore dell'area: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.
Per determinare l'intera area, dovrai sommare i due valori risultanti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Risposta. 10√3 cm2.
Problema n.2
Condizione. C'è una piramide quadrangolare regolare. La lunghezza del lato base è di 7 mm, il bordo laterale è di 16 mm. È necessario scoprire la sua superficie.
Soluzione. Poiché il poliedro è quadrangolare e regolare, la sua base è quadrata. Una volta conosciuta l'area della base e delle facce laterali, sarai in grado di calcolare l'area della piramide. La formula per il quadrato è riportata sopra. E per le facce laterali si conoscono tutti i lati del triangolo. Pertanto, puoi utilizzare la formula di Erone per calcolare le loro aree.
I primi calcoli sono semplici e portano al seguente numero: 49 mm 2. Per il secondo valore dovrai calcolare il semiperimetro: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Ora puoi calcolare l'area di un triangolo isoscele: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Esistono solo quattro triangoli di questo tipo, quindi quando calcoli il numero finale dovrai moltiplicarlo per 4.
Risulta: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 mm 2.
Risposta. Il valore desiderato è 267,576 mm 2.
Problema n.3
Condizione. Per una piramide quadrangolare regolare, è necessario calcolare l'area. Come sappiamo, il lato del quadrato è 6 cm e l'altezza è 4 cm.
Soluzione. Il modo più semplice è utilizzare la formula con il prodotto tra perimetro e apotema. Il primo valore è facile da trovare. La seconda è un po’ più complicata.
Dovremo ricordare il teorema di Pitagora e considerare che è formato dall'altezza della piramide e dall'apotema, che è l'ipotenusa. La seconda gamba è uguale alla metà del lato del quadrato, poiché l'altezza del poliedro cade nel suo centro.
L'apotema richiesto (ipotenusa di un triangolo rettangolo) è pari a √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Ora puoi calcolare il valore richiesto: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
Risposta. 96 cm2.
Problema n.4
Condizione. Viene fornito il lato corretto: i lati della sua base sono 22 mm, i bordi laterali sono 61 mm. Qual è l'area della superficie laterale di questo poliedro?
Soluzione. Il ragionamento in esso contenuto è lo stesso descritto nell'attività n. 2. Solo che è stata data una piramide con un quadrato alla base, e ora è un esagono.
Innanzitutto, la superficie di base viene calcolata utilizzando la formula sopra: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.
Ora devi trovare il semiperimetro di un triangolo isoscele, che è la faccia laterale. (22+61*2):2 = 72 cm Non resta che utilizzare la formula di Erone per calcolare l'area di ciascuno di questi triangoli, quindi moltiplicarla per sei e aggiungerla a quella ottenuta per la base.
Calcoli utilizzando la formula di Erone: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Calcoli che daranno la superficie laterale: 660 * 6 = 3960 cm 2. Resta da sommarli per scoprire l'intera superficie: 5217,47≈5217 cm 2.
Risposta. La base è 726√3 cm 2, la superficie laterale è 3960 cm 2, l'area totale è 5217 cm 2.
Un cilindro è un corpo geometrico delimitato da due piani paralleli e una superficie cilindrica. Nell'articolo parleremo di come trovare l'area di un cilindro e, utilizzando la formula, risolveremo diversi problemi a titolo di esempio.
Un cilindro ha tre superfici: una superiore, una base e una superficie laterale.
La parte superiore e la base di un cilindro sono cerchi e sono facili da identificare.
È noto che l'area di un cerchio è uguale a πr 2. Pertanto, la formula per l'area di due cerchi (la parte superiore e la base del cilindro) sarà πr 2 + πr 2 = 2πr 2.
La terza superficie laterale del cilindro è la parete curva del cilindro. Per immaginare meglio questa superficie, proviamo a trasformarla per ottenere una forma riconoscibile. Immagina che il cilindro sia un normale barattolo di latta senza coperchio né fondo. Facciamo un taglio verticale sulla parete laterale dall'alto verso il basso della lattina (Step 1 nella figura) e proviamo ad aprire (raddrizzare) il più possibile la figura risultante (Step 2).
Dopo che il barattolo risultante sarà completamente aperto, vedremo una figura familiare (passaggio 3), questo è un rettangolo. L'area di un rettangolo è facile da calcolare. Ma prima torniamo per un momento al cilindro originale. Il vertice del cilindro originale è un cerchio, e sappiamo che la circonferenza si calcola con la formula: L = 2πr. Nella figura è segnato in rosso.
Quando la parete laterale del cilindro è completamente aperta, vediamo che la circonferenza diventa la lunghezza del rettangolo risultante. I lati di questo rettangolo saranno la circonferenza (L = 2πr) e l'altezza del cilindro (h). L'area di un rettangolo è uguale al prodotto dei suoi lati - S = lunghezza x larghezza = L x h = 2πr x h = 2πrh. Di conseguenza, abbiamo ricevuto una formula per calcolare l'area della superficie laterale del cilindro.
Formula per la superficie laterale di un cilindro
Lato S = 2πrh
Superficie totale di un cilindro
Infine, se sommiamo l'area di tutte e tre le superfici, otteniamo la formula per la superficie totale di un cilindro. L'area della superficie di un cilindro è uguale all'area della sommità del cilindro + l'area della base del cilindro + l'area della superficie laterale del cilindro oppure S = πr 2 + πr2 + 2πrh = 2πr2 + 2πrh. A volte questa espressione è scritta identica alla formula 2πr (r + h).
Formula per la superficie totale di un cilindro
S = 2πr2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – raggio del cilindro, h – altezza del cilindro
Esempi di calcolo della superficie di un cilindro
Per comprendere le formule di cui sopra, proviamo a calcolare la superficie di un cilindro utilizzando degli esempi.
1. Il raggio della base del cilindro è 2, l'altezza è 3. Determina l'area della superficie laterale del cilindro.
La superficie totale si calcola utilizzando la formula: lato S. = 2πrh
Lato S = 2*3,14*2*3
Lato S = 6,28 * 6
Lato S = 37,68
La superficie laterale del cilindro è 37,68.
2. Come trovare la superficie di un cilindro se l'altezza è 4 e il raggio è 6?
La superficie totale si calcola utilizzando la formula: S = 2πr 2 + 2πrh
S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4
S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24
