Il concetto di prisma. Formule per il volume dei prismi di diverso tipo: regolari, diritti e obliqui
“Volume dei corpi” - Ф(x). Ô(х1). Volume di un prisma inclinato, di una piramide e di un cono. F(xi). F(x2). axbx. Quando a = x e b = x, un punto può degenerare in una sezione, ad esempio, quando x = a.
"Volume del concetto" - 1. La superficie totale del cubo è di 6 m2. Oppure il volume di un parallelepipedo rettangolare è pari al prodotto dell'area della base e dell'altezza. Il volume di un cilindro è uguale al prodotto dell'area della base e dell'altezza. Durante la lezione, viene svolto un lavoro di test differenziato utilizzando test. Volumi dei corpi geometrici.
“Volumi” - Esercizio 7. Esercizio 8*. Le nervature laterali sono pari a 3 e formano un angolo di 45° con il piano della base. Il volume di un prisma inclinato è 3. La faccia di un parallelepipedo è un rombo con lato 1 e angolo acuto di 60°. Volume di un prisma inclinato 1. Risposta: Un piano passante per i centri di simmetria dei parallelepipedi. Principio Cavalieri.
“Volumi dei corpi” - Il volume di una piramide è pari a un terzo del prodotto della base per l'altezza. Volume della piramide. Volume del cilindro. 2010 h. V=1/3S*h. Volumi di corpi simili. V=a*b*c. Volume di un prisma retto. Volumi di corpi. Conseguenza. Volume di un prisma inclinato. Il volume di un prisma inclinato è uguale al prodotto dell'area della base e dell'altezza. Il volume di un cilindro è uguale al prodotto dell'area della base e dell'altezza.
“Prisma del corpo geometrico” - Parallelepipedo rettangolare. Rettangolo. Sezioni diagonali. Teorema di Pitagora. Somma di aree. Picchi. Base prismatica. Qual è il nome del prisma mostrato in figura? Battaglia matematica. Soluzione. Prisma. Quale prisma è chiamato prisma diritto? Conoscenza ricevuta. Diagonale di un prisma triangolare regolare.
“Figura del prisma” - Definizione di prisma. Prisma obliquo e dritto. Dimostriamo prima il teorema per un prisma triangolare. Tipi di prismi. Volume di un prisma inclinato. Prisma. La superficie laterale del prisma. La superficie totale del prisma. Dimostriamo ora il teorema per un prisma arbitrario. Prisma corretto.
“Volume del prisma” - Area S della base del prisma originale. La soluzione del problema. Obiettivi della lezione. Il volume del prisma originale è uguale al prodotto S · h. Volume di un prisma retto. Il prisma può essere suddiviso in prismi triangolari diritti di altezza h. Il concetto di prisma. Disegnare l'altezza del triangolo ABC. Domande. Studio del teorema sul volume di un prisma. Passi fondamentali per dimostrare il teorema del prisma diretto?
"Il concetto di prisma" - La superficie totale di un prisma. Prisma dritto. La superficie laterale del prisma. Poligono. Sezioni del prisma. Prisma corretto. Prismi incontrati nella vita. Prismi triangolari. Prova. Volume di un prisma inclinato. Definizione di prisma. Prisma obliquo e dritto. Tipi di prismi. Prisma.
“Proprietà di un prisma” - Esistono prismi inclinati nei quali è possibile inscrivere una sfera? Proprietà di un prisma. Condizione formulata per un prisma diritto. Cilindro. Prisma. Sezione di un cilindro. Formula dei tre coseni. Base. Prisma triangolare. Teorema dei seni per gli angoli threedrali. Bordo di un prisma triangolare. Attorno a quali tipi di prismi si può sempre descrivere una sfera?
"Il concetto di poliedro prisma" - Nella sezione si forma un parallelogramma. Conseguenza. Proprietà di un prisma. Il termine “prisma” è di origine greca e significa letteralmente “segato” (corpo). La superficie del prisma e la superficie laterale del prisma. Questa sezione è chiamata sezione diagonale del prisma. Dato: il lato di base di un prisma triangolare regolare misura 8 cm, il bordo laterale è 6 cm.
Di cui due facce sono poligoni uguali che giacciono su piani paralleli, e le restanti facce sono parallelogrammi che hanno lati in comune con questi poligoni. Questi parallelogrammi sono chiamati facce laterali del prisma e i restanti due poligoni sono chiamati basi.
Un prisma è un caso speciale di cilindro. Un parallelepipedo è un caso particolare di prisma.
Un prisma ha le seguenti proprietà:
Qualsiasi sezione di un prisma mediante un piano parallelo alla sua base divide questo prisma in due prismi in modo che il rapporto tra le superfici laterali e il rapporto tra i volumi di questi prismi sia uguale al rapporto tra le lunghezze dei loro bordi laterali. Qualsiasi sezione di un prisma lungo un piano parallelo al suo bordo laterale divide questo prisma in due prismi in modo che il rapporto dei volumi di questi prismi sia uguale al rapporto delle lunghezze dei loro bordi laterali. Qualsiasi sezione di un prisma lungo un piano parallelo al suo bordo laterale divide questo prisma in due prismi in modo che il rapporto dei volumi di questi prismi sia uguale al rapporto delle aree della loro base.
Tipi di prismi
Prisma dritto. Gli spigoli laterali di un prisma rettilineo sono perpendicolari al piano della base.
Prisma obliquo. I bordi laterali del prisma inclinato si trovano rispetto al piano di base con un angolo diverso da $90^\circ$.
Prisma corretto. La base di un prisma retto è un poligono regolare. Le sue facce laterali sono rettangoli uguali.
Un poliedro semiregolare è un prisma regolare le cui facce laterali sono quadrate.
Volume di un prisma retto
Per ricavare una formula per calcolare il volume di un prisma regolare, prendiamo un prisma con un triangolo alla base. Costruiamolo fino a ottenere un parallelepipedo rettangolare (Figura 1).
Figura 1. Tetraedro esteso a parallelepipedo
Dal capitolo precedente sappiamo che il volume di un parallelepipedo rettangolare è pari a:
Perché il parallelepipedo risultante è costituito dal prisma originale e da un prisma di uguale volume, quindi il volume del prisma originale sarà pari a
dove $a$, $b$, $c$ sono rispettivamente le lunghezze dei lati $AB$, $BC$, $AC$ e il loro prodotto è uguale all'area della base del prisma originale, quindi scriviamo in forma generale la formula per trovare il volume di un prisma diritto:
dove $S_(principale)$ è l'area della base del prisma, $H$ è l'altezza raggiunta dalla base del prisma.
Questa formula è vera per un prisma diritto con qualsiasi poligono alla base.
Volume di un prisma inclinato
Per ricavare la formula per trovare il volume di un prisma inclinato, considera un prisma inclinato triangolare $ABCDFE$. Disegniamo un piano $\alpha $ passante per il bordo $DC$, perpendicolare alla base $ABCD$ del prisma originale, e costruiamo un prisma triangolare troncato (Figura 2).
Figura 2. Prisma inclinato, piano $\alpha $
Ora attraverso il bordo $AB$ disegniamo un piano $\beta $ parallelo al piano $\alpha $ (Figura 3).
Figura 3. Prisma inclinato, piani $\alpha $ e $\beta $
Se applichiamo nuovamente questa trasformazione alle facce inclinate, otterremo un prisma in cui tutte le facce laterali sono perpendicolari alla base. Ancora una volta il risultato è un prisma dritto.
Se viene sottoposto a una trasformazione simile (prima integrato con il primo prisma troncato, poi tagliato con il secondo prisma troncato), i prismi completati e tagliati vengono combinati mediante trasferimento parallelo nel segmento $AB$. Ne consegue che le cifre hanno lo stesso volume.
Di conseguenza il volume del prisma diritto costruito è uguale al volume di quello inclinato originario.
Il volume di un prisma inclinato è uguale al prodotto dell'area della base e dell'altezza:
Conclusione
Il volume di qualsiasi prisma (obliquo e diritto) si trova con la formula:
dove $a\cdot b$ è l'area della base, $c$ è l'altezza del prisma.
Il volume è una caratteristica di qualsiasi figura che abbia dimensioni diverse da zero in tutte e tre le dimensioni dello spazio. In questo articolo, dal punto di vista della stereometria (la geometria delle figure spaziali), esamineremo un prisma e mostreremo come trovare i volumi di vari tipi di prismi.
La stereometria ha una risposta precisa a questa domanda. In esso, per prisma si intende una figura formata da due facce poligonali identiche e diversi parallelogrammi. L'immagine sotto mostra quattro prismi diversi.
Ognuno di essi può essere ottenuto come segue: è necessario prendere un poligono (triangolo, quadrilatero, ecc.) E un segmento di una certa lunghezza. Quindi ciascun vertice del poligono dovrebbe essere trasferito utilizzando segmenti paralleli su un altro piano. Nel nuovo piano, che sarà parallelo a quello originale, si otterrà un nuovo poligono, simile a quello inizialmente selezionato.
I prismi possono essere di diversi tipi. Quindi possono essere dritti, inclinati e regolari. Se il bordo laterale del prisma (il segmento che collega i vertici delle basi) è perpendicolare alle basi della figura, allora quest'ultima è dritta. Di conseguenza, se questa condizione non è soddisfatta, stiamo parlando di un prisma inclinato. Una figura regolare è un prisma rettilineo con base equiangolare ed equilatera.
Volume dei prismi regolari
Cominciamo dal caso più semplice. Diamo la formula per il volume di un prisma regolare con base n-gonale. La formula del volume V per qualsiasi figura della classe in esame ha la seguente forma:
Cioè, per determinare il volume, è sufficiente calcolare l'area di una delle basi S o e moltiplicarla per l'altezza h della figura.
Nel caso di un prisma regolare, indichiamo la lunghezza del lato della sua base con la lettera a e l'altezza, che è uguale alla lunghezza del bordo laterale, con la lettera h. Se la base è un n-gon regolare, per calcolare la sua area è più semplice utilizzare la seguente formula universale:
S n = n/4*a2*ctg(pi/n).
Sostituendo nell'equazione il numero di lati n e la lunghezza di un lato a, puoi calcolare l'area della base n-gonale. Nota che la funzione cotangente qui è calcolata per l'angolo pi/n, che è espresso in radianti.
Tenendo conto dell'uguaglianza scritta per S n, otteniamo la formula finale per il volume di un prisma regolare:
V n = n/4*a2*h*ctg(pi/n).
Per ogni caso specifico puoi scrivere le formule corrispondenti per V, ma derivano tutte inequivocabilmente dall'espressione generale scritta. Ad esempio, per un prisma quadrangolare regolare, che nel caso generale è un parallelepipedo rettangolare, si ottiene:
V4 = 4/4*a2*h*ctg(pi/4) = a2*h.
Se prendiamo h=a in questa espressione, otteniamo la formula per il volume del cubo.
Volume dei prismi diritti
Notiamo subito che per le figure rette non esiste una formula generale per il calcolo del volume, data sopra per i prismi regolari. Quando si trova il valore in esame, è necessario utilizzare l'espressione originale:
Qui h è la lunghezza del bordo laterale, come nel caso precedente. Per quanto riguarda l'area di base S o , essa può assumere diversi valori. Il problema del calcolo del volume di un prisma diritto si riduce a trovare l'area della sua base.
Il calcolo del valore di S o va effettuato in base alle caratteristiche della base stessa. Ad esempio, se è un triangolo, l'area può essere calcolata in questo modo:
Qui h a è l'apotema del triangolo, cioè la sua altezza abbassata alla base a.
Se la base è un quadrilatero, allora può essere un trapezio, un parallelogramma, un rettangolo o di tipo del tutto arbitrario. In tutti questi casi è opportuno utilizzare l'apposita formula planimetrica per determinare l'area. Ad esempio, per un trapezio questa formula è simile a:
S o4 = 1/2*(a 1 + a 2)*h a .
Dove h a è l'altezza del trapezio, a 1 e a 2 sono le lunghezze dei suoi lati paralleli.
Per determinare l'area dei poligoni di ordine superiore, dovresti dividerli in figure semplici (triangoli, quadrangoli) e calcolare la somma delle aree di questi ultimi.
Volume dei prismi inclinati
Questo è il caso più difficile per calcolare il volume di un prisma. Si applica anche la formula generale per tali cifre:
Tuttavia alla difficoltà di trovare l'area della base rappresentante un poligono di qualsiasi tipo si aggiunge il problema di determinare l'altezza della figura. In un prisma inclinato è sempre inferiore alla lunghezza del bordo laterale.
Il modo più semplice per trovare questa altezza è conoscere un angolo qualsiasi della figura (piano o diedro). Se viene fornito un tale angolo, dovresti usarlo per costruire un triangolo rettangolo all'interno del prisma, che conterrebbe l'altezza h come uno dei lati e, utilizzando le funzioni trigonometriche e il teorema di Pitagora, trovare il valore di h.
Problema geometrico per la determinazione del volume
Dato un prisma regolare a base triangolare, avente altezza 14 cm e lato lungo 5 cm Qual è il volume di un prisma triangolare?
Poiché stiamo parlando della cifra corretta, abbiamo il diritto di utilizzare la formula ben nota. Abbiamo:
V 3 = 3/4*a2*h*ctg(pi/3) = 3/4*52*14*1/√3 = √3/4*25*14 = 151,55 cm3.
Un prisma triangolare è una figura abbastanza simmetrica, la cui forma viene spesso utilizzata in varie strutture architettoniche. Questo prisma di vetro viene utilizzato nell'ottica.
Il concetto di prisma. Formule per il volume dei prismi di diverso tipo: regolari, diritti e obliqui. Risolvere il problema: tutto sul viaggio sul sito
La capacità di determinare il volume delle figure spaziali è importante per risolvere problemi geometrici e pratici. Una di queste figure è un prisma. In questo articolo vedremo di cosa si tratta e mostreremo come calcolare il volume di un prisma inclinato.
Cosa si intende per prisma in geometria?
Stiamo parlando di un poliedro regolare (poliedro), formato da due basi identiche disposte su piani paralleli e diversi parallelogrammi che collegano le basi contrassegnate.
Le basi del prisma possono essere poligoni arbitrari, ad esempio un triangolo, un quadrilatero, un ettagono e così via. Inoltre, il numero di angoli (lati) del poligono determina il nome della figura.
Qualsiasi prisma che abbia un n-gono alla base (n è il numero di lati) è costituito da n+2 facce, 2 × n vertici e 3 × n bordi. Dai numeri indicati è chiaro che il numero di elementi prismatici corrisponde al teorema di Eulero:
3 × n = 2 × n + n + 2 - 2
L'immagine qui sotto mostra come appaiono i prismi triangolari e quadrangolari in vetro.
Tipi di figura. Prisma obliquo
Abbiamo già detto sopra che il nome di un prisma è determinato dal numero dei lati del poligono alla base. Tuttavia, ci sono altre caratteristiche nella sua struttura che determinano le proprietà della figura. Quindi, se tutti i parallelogrammi che formano la superficie laterale del prisma sono rappresentati da rettangoli o quadrati, tale figura è chiamata linea retta. Infatti la distanza tra le basi è uguale alla lunghezza del bordo laterale di un rettangolo qualsiasi.
Se alcuni o tutti i lati sono parallelogrammi, allora parliamo di un prisma inclinato. La sua altezza sarà già inferiore alla lunghezza della nervatura laterale.
Un altro criterio con cui vengono classificate le figure in questione sono le lunghezze dei lati e degli angoli alla base del poligono. Se sono uguali tra loro, il poligono sarà regolare. Una figura retta avente alla base un poligono regolare si dice regolare. È conveniente lavorare per determinare la superficie e il volume. Un prisma inclinato presenta alcune difficoltà a questo riguardo.
La figura seguente mostra due prismi a base quadrangolare. L'angolo di 90° mostra la differenza fondamentale tra un prisma diritto e uno inclinato.
Formula per determinare il volume di una figura
La parte di spazio delimitata dalle facce di un prisma si chiama volume. Per le figure di qualsiasi tipologia in esame, tale valore può essere determinato utilizzando la seguente formula:
Qui il simbolo h indica l'altezza del prisma, che è una misura della distanza tra due basi. Simbolo S o - un'area di base.
L'area della base è facile da trovare. Tenendo conto del fatto se il poligono è regolare o meno, e conoscendo anche il numero dei suoi lati, si dovrebbe applicare la formula opportuna e ottenere S o . Ad esempio, per un n-gono regolare con lato di lunghezza a, l'area sarà:
S n = n / 4 × a 2 × ctg (pi / n)
Passiamo ora all'altezza h. Per un prisma diritto determinare l'altezza non presenta alcuna difficoltà, ma per un prisma inclinato non è un compito facile. Può essere risolto utilizzando vari metodi geometrici, partendo da specifiche condizioni iniziali. Tuttavia, esiste un modo universale per determinare l'altezza di una figura. Descriviamolo brevemente.
L'idea è trovare la distanza da un punto nello spazio a un piano. Supponiamo che il piano sia dato dall'equazione:
A × x+ B × y + C × z + D = 0
Quindi l'aereo si troverà a una distanza dal punto con coordinate (x 1 ; y 1 ; z 1):
h = |A × x 1 + B × y 1 + C × z 1 + D| / √ (LA2 + SI2 + DO2)
Se gli assi delle coordinate sono posizionati in modo tale che il punto (0; 0; 0) si trova nel piano della base inferiore del prisma, l'equazione per il piano base può essere scritta come segue:
Ciò significa che la formula per l'altezza verrà scritta in questo modo:
È sufficiente trovare la coordinata z di un punto qualsiasi della base superiore per determinare l'altezza della figura.
Esempio di soluzione del problema
Nella figura seguente, la base del prisma inclinato è un quadrato di lato 10 cm. È necessario calcolarne il volume se si sa che la lunghezza del bordo laterale è di 15 cm, e l'angolo acuto del frontale. il parallelogramma è 70°.
Poiché l'altezza h della figura è anche l'altezza del parallelogramma, usiamo formule per determinare la sua area per trovare h. Indichiamo i lati del parallelogramma come segue:
Quindi puoi scrivere le seguenti formule per determinare l'area S p:
S p = a × b × peccato (α);
Da dove lo prendiamo:
dove α è l'angolo acuto del parallelogramma. Poiché la base è quadrata, la formula per calcolare il volume di un prisma inclinato assumerà la forma:
V = a 2 × b × peccato (α)
Sostituiamo i dati della condizione nella formula e otteniamo la risposta: V ≈ 1410 cm 3.
