Cosa fare se il logaritmo è una potenza. Logaritmo naturale, funzione ln x

Uno degli elementi dell'algebra di livello primitivo è il logaritmo. Il nome deriva dalla lingua greca dalla parola “numero” o “potenza” e significa la potenza alla quale bisogna elevare il numero alla base per trovare il numero finale.

Tipi di logaritmi

  • log a b – logaritmo del numero b in base a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
  • log b – logaritmo decimale (logaritmo in base 10, a = 10);
  • ln b – logaritmo naturale (logaritmo in base e, a = e).

Come risolvere i logaritmi?

Il logaritmo di b in base a è un esponente che richiede che b sia elevato in base a. Il risultato ottenuto si pronuncia così: “logaritmo di b in base a”. La soluzione ai problemi logaritmici è che è necessario determinare la potenza data in numeri dai numeri specificati. Esistono alcune regole di base per determinare o risolvere il logaritmo, nonché per convertire la notazione stessa. Usandoli, si risolvono le equazioni logaritmiche, si trovano le derivate, si risolvono gli integrali e si eseguono molte altre operazioni. Fondamentalmente, la soluzione del logaritmo stesso è la sua notazione semplificata. Di seguito sono riportate le formule e le proprietà di base:

Per qualsiasi a ; a > 0; a ≠ 1 e per qualsiasi x ; y > 0.

  • a log a b = b – identità logaritmica di base
  • log a 1 = 0
  • loga a = 1
  • log a (x y) = log a x + log a y
  • log a x/ y = log a x – log a y
  • log a 1/x = -log a x
  • logaritmo a x p = p logaritmo a x
  • log a k x = 1/k log a x , per k ≠ 0
  • log a x = log a c x c
  • log a x = log b x/ log b a – formula per spostarsi su una nuova base
  • logaritmo a x = 1/logaritmo x a


Come risolvere i logaritmi: istruzioni passo passo per la risoluzione

  • Per prima cosa, annota l'equazione richiesta.

Nota: se il logaritmo di base è 10, la voce viene abbreviata, risultando in un logaritmo decimale. Se esiste un numero naturale e, lo scriviamo riducendolo a un logaritmo naturale. Ciò significa che il risultato di tutti i logaritmi è la potenza alla quale viene elevato il numero base per ottenere il numero b.


Direttamente, la soluzione sta nel calcolare questo grado. Prima di risolvere un'espressione con un logaritmo, è necessario semplificarla secondo la regola, ovvero utilizzando le formule. Puoi trovare le identità principali tornando un po’ indietro nell’articolo.

Quando si sommano e sottraggono logaritmi con due numeri diversi ma con le stesse basi, sostituire con un logaritmo con il prodotto o la divisione dei numeri b e c, rispettivamente. In questo caso, puoi applicare la formula per spostarti in un'altra base (vedi sopra).

Se utilizzi le espressioni per semplificare un logaritmo, ci sono alcune limitazioni da considerare. E cioè: la base del logaritmo a è solo un numero positivo, ma non uguale a uno. Il numero b, come a, deve essere maggiore di zero.

Ci sono casi in cui, semplificando un'espressione, non sarai in grado di calcolare numericamente il logaritmo. Succede che tale espressione non ha senso, perché molte potenze sono numeri irrazionali. In queste condizioni, lascia la potenza del numero come logaritmo.



    Iniziamo con proprietà del logaritmo di uno. La sua formulazione è la seguente: il logaritmo dell'unità è uguale a zero, cioè registra un 1=0 per ogni a>0, a≠1. La dimostrazione non è difficile: poiché a 0 =1 per ogni a che soddisfa le condizioni di cui sopra a>0 e a≠1, allora il log di uguaglianza a 1=0 da dimostrare segue immediatamente dalla definizione del logaritmo.

    Diamo esempi di applicazione della proprietà considerata: log 3 1=0, log1=0 e .

    Passiamo alla proprietà successiva: il logaritmo di un numero uguale alla base è uguale a uno, questo è, log a a=1 per a>0, a≠1. Infatti, poiché a 1 =a per qualsiasi a, allora per definizione del logaritmo log a a=1.

    Esempi di utilizzo di questa proprietà dei logaritmi sono le uguaglianze log 5 5=1, log 5.6 5.6 e lne=1.

    Ad esempio, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 e .

    Logaritmo del prodotto di due numeri positivi xey è uguale al prodotto dei logaritmi di questi numeri: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Dimostriamo la proprietà del logaritmo di un prodotto. A causa delle proprietà del grado a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, e poiché per l'identità logaritmica principale un log a x =x e un log a y =y, allora un log a x ·a log a y =x·y. Quindi, un log a x+log a y =x·y, da cui, per la definizione di logaritmo, segue l'uguaglianza da dimostrare.

    Mostriamo esempi di utilizzo della proprietà del logaritmo di un prodotto: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 e .

    La proprietà del logaritmo di un prodotto può essere generalizzata al prodotto di un numero finito n di numeri positivi x 1 , x 2 , …, x n come logaritmo a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Questa uguaglianza può essere dimostrata senza problemi.

    Ad esempio, il logaritmo naturale del prodotto può essere sostituito dalla somma di tre logaritmi naturali dei numeri 4, e, e.

    Logaritmo del quoziente di due numeri positivi xey è uguale alla differenza tra i logaritmi di questi numeri. La proprietà del logaritmo di un quoziente corrisponde a una formula della forma , dove a>0, a≠1, xey sono alcuni numeri positivi. La validità di questa formula è dimostrata così come quella della formula per il logaritmo di un prodotto: poiché , quindi per definizione di logaritmo.

    Ecco un esempio di utilizzo di questa proprietà del logaritmo: .

    Passiamo a proprietà del logaritmo della potenza. Il logaritmo di un grado è uguale al prodotto dell'esponente e del logaritmo del modulo della base di questo grado. Scriviamo questa proprietà del logaritmo di una potenza come formula: log a b p =p·log a |b|, dove a>0, a≠1, b e p sono numeri tali che il grado b p abbia senso e b p >0.

    Per prima cosa dimostriamo questa proprietà per il positivo b. L'identità logaritmica di base ci permette di rappresentare il numero b come un log a b , quindi b p =(a log a b) p , e l'espressione risultante, per la proprietà della potenza, è uguale a a p·log a b . Arriviamo così all'uguaglianza b p = a p·log a b, dalla quale, per la definizione di logaritmo, concludiamo che log a b p = p·log a b.

    Resta da dimostrare questa proprietà per b negativo. Qui notiamo che l'espressione log a b p per b negativo ha senso solo per esponenti pari p (poiché il valore del grado b p deve essere maggiore di zero, altrimenti il ​​logaritmo non avrà senso), e in questo caso b p =|b| P. Poi bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, da dove log a b p = p·log a |b| .

    Per esempio, e ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

    Ne consegue dalla proprietà precedente proprietà del logaritmo dalla radice: il logaritmo della radice n-esima è uguale al prodotto della frazione 1/n per il logaritmo dell'espressione radicale, cioè , dove a>0, a≠1, n è un numero naturale maggiore di uno, b>0.

    La dimostrazione si basa sull'uguaglianza (vedi), che vale per qualsiasi b positivo, e sulla proprietà del logaritmo della potenza: .

    Ecco un esempio di utilizzo di questa proprietà: .

    Ora dimostriamo formula per passare a una nuova base logaritmica tipo . Per fare ciò è sufficiente dimostrare la validità dell'uguaglianza log c b=log a b·log c a. L'identità logaritmica di base ci consente di rappresentare il numero b come log a b , quindi log c b=log c a log a b . Resta da utilizzare la proprietà del logaritmo del grado: log c a log a b =log a b·log c a. Ciò dimostra l'uguaglianza log c b=log a b·log c a, il che significa che è stata dimostrata anche la formula per passare a una nuova base logaritmica.

    Mostriamo un paio di esempi di utilizzo di questa proprietà dei logaritmi: e .

    La formula per passare a una nuova base ti consente di passare a lavorare con logaritmi che hanno una base “conveniente”. Ad esempio, può essere utilizzato per passare ai logaritmi naturali o decimali in modo da poter calcolare il valore di un logaritmo da una tabella di logaritmi. La formula per passare ad una nuova base logaritmica consente anche, in alcuni casi, di trovare il valore di un dato logaritmo quando si conoscono i valori di alcuni logaritmi con altre basi.

    Viene spesso utilizzato un caso speciale della formula per la transizione a una nuova base logaritmica per c=b della forma . Ciò mostra che log a b e log b a – . Per esempio, .

    Anche la formula viene spesso utilizzata , che è utile per trovare i valori del logaritmo. Per confermare le nostre parole, mostreremo come può essere utilizzato per calcolare il valore di un logaritmo della forma . Abbiamo . Per dimostrare la formula è sufficiente utilizzare la formula per la transizione ad una nuova base del logaritmo a: .

    Resta da dimostrare le proprietà di confronto dei logaritmi.

    Proviamo che per ogni numero positivo b 1 e b 2, b 1 log a b 2 , e per a>1 – la disuguaglianza log a b 1

    Resta infine da dimostrare l'ultima delle proprietà elencate dei logaritmi. Limitiamoci alla dimostrazione della sua prima parte, dimostreremo cioè che se a 1 >1, a 2 >1 e a 1 1 è vero log a 1 b>log a 2 b . Le restanti affermazioni di questa proprietà dei logaritmi si dimostrano secondo un principio simile.

    Usiamo il metodo opposto. Supponiamo che per a 1 >1, a 2 >1 e a 1 1 è vero log a 1 b≤log a 2 b . Sulla base delle proprietà dei logaritmi, queste disuguaglianze possono essere riscritte come E rispettivamente, e da essi segue che log b a 1 ≤ log b a 2 e log b a 1 ≥ log b a 2, rispettivamente. Allora, secondo le proprietà delle potenze con le stesse basi, devono valere le uguaglianze b log b a 1 ≥b log b a 2 e b log b a 1 ≥b log b a 2, cioè a 1 ≥a 2 . Quindi siamo arrivati ​​a una contraddizione con la condizione a 1

Bibliografia.

  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e altri. Algebra e gli inizi dell'analisi: libro di testo per i gradi 10 - 11 degli istituti di istruzione generale.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematica (un manuale per chi entra nelle scuole tecniche).

Man mano che la società si sviluppava e la produzione diventava più complessa, si sviluppò anche la matematica. Movimento dal semplice al complesso. Dalla contabilità ordinaria utilizzando il metodo dell'addizione e della sottrazione, con la loro ripetuta ripetizione, siamo arrivati ​​al concetto di moltiplicazione e divisione. Ridurre l'operazione ripetuta di moltiplicazione divenne il concetto di esponenziazione. Le prime tabelle sulla dipendenza dei numeri dalla base e sul numero di esponenziazione furono compilate nell'VIII secolo dal matematico indiano Varasena. Da loro puoi contare il tempo in cui si verificano i logaritmi.

Schizzo storico

La rinascita dell'Europa nel XVI secolo stimolò anche lo sviluppo della meccanica. T richiedeva una grande quantità di calcoli relativo alla moltiplicazione e divisione di numeri a più cifre. Le tavole antiche erano di grande servizio. Hanno permesso di sostituire operazioni complesse con operazioni più semplici: addizione e sottrazione. Un grande passo avanti fu il lavoro del matematico Michael Stiefel, pubblicato nel 1544, in cui realizzò l'idea di molti matematici. Ciò ha permesso di utilizzare le tabelle non solo per le potenze sotto forma di numeri primi, ma anche per quelle razionali arbitrarie.

Nel 1614, lo scozzese John Napier, sviluppando queste idee, introdusse per primo il nuovo termine “logaritmo di un numero”. Sono state compilate nuove tabelle complesse per il calcolo dei logaritmi di seno e coseno, nonché delle tangenti. Ciò ha notevolmente ridotto il lavoro degli astronomi.

Cominciarono ad apparire nuove tabelle, che furono utilizzate con successo dagli scienziati per tre secoli. Passò molto tempo prima che la nuova operazione algebra acquisisse la sua forma definitiva. È stata data la definizione del logaritmo e sono state studiate le sue proprietà.

Solo nel XX secolo, con l'avvento della calcolatrice e del computer, l'umanità abbandonò gli antichi tavoli che avevano funzionato con successo per tutto il XIII secolo.

Oggi chiamiamo il logaritmo di b in base a il numero x cioè la potenza di a per formare b. Questo si scrive come una formula: x = log a(b).

Ad esempio, log 3(9) sarebbe uguale a 2. Ciò è ovvio se si segue la definizione. Se eleviamo 3 alla potenza di 2, otteniamo 9.

Pertanto, la definizione formulata pone una sola restrizione: i numeri a e b devono essere reali.

Tipi di logaritmi

La definizione classica si chiama logaritmo reale ed è in realtà la soluzione dell'equazione a x = b. L'opzione a = 1 è borderline e non interessa. Attenzione: 1 a qualsiasi potenza è uguale a 1.

Valore reale del logaritmo definito solo quando la base e l'argomento sono maggiori di 0 e la base non deve essere uguale a 1.

Posto speciale nel campo della matematica riproduci i logaritmi, che verranno nominati a seconda della dimensione della loro base:

Regole e restrizioni

La proprietà fondamentale dei logaritmi è la regola: il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma logaritmica. log abp = log a(b) + log a(p).

Come variante di questa affermazione ci sarà: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), la funzione quoziente è uguale alla differenza delle funzioni.

Dalle due regole precedenti è facile vedere che: log a(b p) = p * log a(b).

Altre proprietà includono:

Commento. Non è necessario commettere un errore comune: il logaritmo di una somma non è uguale alla somma dei logaritmi.

Per molti secoli, l'operazione di ricerca di un logaritmo è stata un compito piuttosto dispendioso in termini di tempo. I matematici usarono la famosa formula della teoria logaritmica dell'espansione polinomiale:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), dove n è un numero naturale maggiore di 1, che determina la precisione del calcolo.

I logaritmi con altre basi sono stati calcolati utilizzando il teorema sulla transizione da una base all'altra e la proprietà del logaritmo del prodotto.

Poiché questo metodo è molto laborioso e quando si risolvono problemi pratici Di difficile implementazione, abbiamo utilizzato tabelle di logaritmi precompilate, che hanno notevolmente velocizzato tutto il lavoro.

In alcuni casi, sono stati utilizzati grafici di logaritmi appositamente compilati, che hanno dato meno precisione, ma hanno accelerato significativamente la ricerca del valore desiderato. La curva della funzione y = log a(x), costruita su più punti, consente di utilizzare un normale righello per trovare il valore della funzione in qualsiasi altro punto. Per molto tempo gli ingegneri hanno utilizzato per questi scopi la cosiddetta carta millimetrata.

Nel XVII secolo apparvero le prime condizioni ausiliarie di calcolo analogico, che nel XIX secolo acquisirono una forma completa. Il dispositivo di maggior successo si chiamava regolo calcolatore. Nonostante la semplicità del dispositivo, il suo aspetto ha accelerato significativamente il processo di tutti i calcoli ingegneristici ed è difficile sopravvalutarlo. Attualmente poche persone hanno familiarità con questo dispositivo.

L'avvento delle calcolatrici e dei computer ha reso inutile l'uso di qualsiasi altro dispositivo.

Equazioni e disuguaglianze

Per risolvere varie equazioni e disuguaglianze utilizzando i logaritmi, vengono utilizzate le seguenti formule:

  • Passando da una base all'altra: log a(b) = log c(b) / log c(a);
  • Come conseguenza dell'opzione precedente: log a(b) = 1 / log b(a).

Per risolvere le disuguaglianze è utile sapere:

  • Il valore del logaritmo sarà positivo solo se base e argomento sono entrambi maggiori o minori di uno; se almeno una condizione viene violata, il valore del logaritmo sarà negativo.
  • Se la funzione logaritmo viene applicata ai lati destro e sinistro di una disuguaglianza e la base del logaritmo è maggiore di uno, il segno della disuguaglianza viene preservato; altrimenti cambia.

Esempi di problemi

Consideriamo diverse opzioni per l'utilizzo dei logaritmi e delle loro proprietà. Esempi con la risoluzione di equazioni:

Considera l'opzione di porre il logaritmo in una potenza:

  • Problema 3. Calcola 25^log 5(3). Soluzione: nelle condizioni del problema, la voce è simile alla seguente (5^2)^log5(3) o 5^(2 * log 5(3)). Scriviamolo diversamente: 5^log 5(3*2), ovvero il quadrato di un numero come argomento di una funzione può essere scritto come il quadrato della funzione stessa (5^log 5(3))^2. Usando le proprietà dei logaritmi, questa espressione è uguale a 3^2. Risposta: come risultato del calcolo otteniamo 9.

Uso pratico

Essendo uno strumento puramente matematico, sembra lontano dalla vita reale che il logaritmo abbia improvvisamente acquisito grande importanza per descrivere gli oggetti nel mondo reale. È difficile trovare una scienza in cui non venga utilizzata. Ciò si applica pienamente non solo ai campi della conoscenza naturale, ma anche a quelli umanitari.

Dipendenze logaritmiche

Ecco alcuni esempi di dipendenze numeriche:

Meccanica e fisica

Storicamente, la meccanica e la fisica si sono sempre sviluppate utilizzando metodi di ricerca matematica e allo stesso tempo sono servite da incentivo per lo sviluppo della matematica, compresi i logaritmi. La teoria della maggior parte delle leggi della fisica è scritta nel linguaggio della matematica. Diamo solo due esempi di descrizione delle leggi fisiche utilizzando il logaritmo.

Il problema del calcolo di una quantità così complessa come la velocità di un razzo può essere risolto utilizzando la formula di Tsiolkovsky, che ha gettato le basi per la teoria dell'esplorazione spaziale:

V = I * ln (M1/M2), dove

  • V è la velocità finale dell'aereo.
  • I – impulso specifico del motore.
  • M 1 – massa iniziale del razzo.
  • M2 – massa finale.

Un altro esempio importante- questo è usato nella formula di un altro grande scienziato Max Planck, che serve a valutare lo stato di equilibrio in termodinamica.

S = k * ln (Ω), dove

  • S – proprietà termodinamica.
  • k – Costante di Boltzmann.
  • Ω è il peso statistico dei diversi stati.

Chimica

Meno ovvio è l'uso di formule in chimica contenenti il ​​rapporto dei logaritmi. Facciamo solo due esempi:

  • Equazione di Nernst, condizione del potenziale redox del mezzo in relazione all'attività delle sostanze e alla costante di equilibrio.
  • Anche il calcolo di costanti come l'indice di autolisi e l'acidità della soluzione non può essere effettuato senza la nostra funzione.

Psicologia e biologia

E non è affatto chiaro cosa c’entri la psicologia. Si scopre che la forza della sensazione è ben descritta da questa funzione come il rapporto inverso tra il valore dell'intensità dello stimolo e il valore dell'intensità inferiore.

Dopo gli esempi precedenti, non sorprende più che il tema dei logaritmi sia ampiamente utilizzato in biologia. Si potrebbero scrivere interi volumi sulle forme biologiche corrispondenti alle spirali logaritmiche.

Altre aree

Sembra che l'esistenza del mondo sia impossibile senza connessione con questa funzione, ed essa governa tutte le leggi. Soprattutto quando le leggi della natura sono associate alla progressione geometrica. Vale la pena visitare il sito web MatProfi e ci sono molti esempi simili nelle seguenti aree di attività:

L'elenco può essere infinito. Avendo padroneggiato i principi di base di questa funzione, puoi immergerti nel mondo della saggezza infinita.

  1. Controlla se ci sono numeri negativi o uno sotto il segno del logaritmo. Questo metodo è applicabile alle espressioni del modulo log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Tuttavia, non è adatto per alcuni casi particolari:

    • Il logaritmo di un numero negativo non è definito in nessuna base (ad esempio, log ⁡ (- 3) (\displaystyle \log(-3)) O log 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). In questo caso scrivi "nessuna soluzione".
    • Anche il logaritmo da zero a qualsiasi base è indefinito. Se vieni catturato ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), scrivi "nessuna soluzione".
    • Logaritmo di uno in base qualsiasi ( log ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) è sempre zero, perché x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1) per tutti i valori X. Scrivi 1 invece di questo logaritmo e non utilizzare il metodo seguente.
    • Se i logaritmi hanno basi diverse, per esempio l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))) e non sono ridotti a numeri interi, il valore dell'espressione non può essere trovato manualmente.

  2. Converti l'espressione in un logaritmo. Se l'espressione non si applica ai casi speciali di cui sopra, può essere espressa come un singolo logaritmo. Utilizzare la seguente formula per questo: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).

    • Esempio 1: considera l'espressione log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
      Innanzitutto, rappresentiamo l'espressione come un singolo logaritmo utilizzando la formula sopra: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
    • Questa formula per “sostituire la base” di un logaritmo deriva dalle proprietà di base dei logaritmi.

  3. Se possibile, valutare manualmente il valore dell'espressione. Trovare log a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), immagina l'espressione " UN? = x (\displaystyle a^(?)=x)", cioè porre la seguente domanda: "A quale potere dovresti elevare UN, Ottenere X?. Per rispondere a questa domanda potrebbe essere necessaria una calcolatrice, ma se sei fortunato potresti riuscire a trovarla manualmente.

    • Esempio 1 (continua): Riscrivi come 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Devi trovare quale numero dovrebbe stare al posto del segno "?". Questo può essere fatto per tentativi ed errori:
      2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
      2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
      2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
      Quindi, il numero che stiamo cercando è 4: log 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .

  4. Lascia la risposta in forma logaritmica se non puoi semplificarla. Molti logaritmi sono molto difficili da calcolare a mano. In questo caso, per ottenere una risposta precisa, avrai bisogno di una calcolatrice. Tuttavia, se stai risolvendo un problema in classe, molto probabilmente l’insegnante sarà soddisfatto della risposta in forma logaritmica. Il metodo discusso di seguito viene utilizzato per risolvere un esempio più complesso:

    • esempio 2: cosa è uguale log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
    • Convertiamo questa espressione in un logaritmo: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). Si noti che la base 3 comune ad entrambi i logaritmi scompare; questo è vero per qualsiasi motivo.
    • Riscriviamo l'espressione nella forma 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58) e provare a trovare il valore?:
      7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
      7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
      Poiché 58 si trova tra questi due numeri, non viene espresso come numero intero.
    • Lasciamo la risposta in forma logaritmica: log 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Spieghiamolo più semplicemente. Ad esempio, \(\log_(2)(8)\) è uguale alla potenza alla quale deve essere elevato \(2\) per ottenere \(8\). Da ciò è chiaro che \(\log_(2)(8)=3\).

Esempi:

\(\log_(5)(25)=2\)

Perché \(5^(2)=25\)

\(\log_(3)(81)=4\)

Perché \(3^(4)=81\)

\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)

Perché \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argomento e base del logaritmo

Qualsiasi logaritmo ha la seguente “anatomia”:

L'argomento di un logaritmo è solitamente scritto al suo livello e la base è scritta in pedice più vicino al segno del logaritmo. E questa voce si legge così: “logaritmo di venticinque in base cinque”.

Come calcolare il logaritmo?

Per calcolare il logaritmo è necessario rispondere alla domanda: a quale potenza deve essere elevata la base per ottenere l'argomento?

Per esempio, calcolare il logaritmo: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) A quale potenza bisogna elevare \(4\) per ottenere \(16\)? Ovviamente la seconda. Ecco perché:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) A quale potenza deve essere elevato \(\sqrt(5)\) per ottenere \(1\)? Quale potere rende un numero uno? Zero, ovviamente!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) A quale potenza bisogna elevare \(\sqrt(7)\) per ottenere \(\sqrt(7)\)? Innanzitutto qualsiasi numero elevato alla prima potenza è uguale a se stesso.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) A quale potenza bisogna elevare \(3\) per ottenere \(\sqrt(3)\)? Da sappiamo che è una potenza frazionaria, il che significa che la radice quadrata è la potenza di \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Esempio : Calcola il logaritmo \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Soluzione :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)

Dobbiamo trovare il valore del logaritmo, denotatelo come x. Usiamo ora la definizione di logaritmo:
\(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)

\((4\quadrato(2))^(x)=8\)

Cosa collega \(4\sqrt(2)\) e \(8\)? Due, perché entrambi i numeri possono essere rappresentati da due:
\(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)

\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)

A sinistra utilizziamo le proprietà del grado: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) e \((a^(m))^(n)= a^(m\cpunto n)\)

\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)

Le basi sono uguali, si passa all’uguaglianza degli indicatori

\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \(\frac(2)(5)\)

La radice risultante è il valore del logaritmo

Risposta : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Perché è stato inventato il logaritmo?

Per capirlo, risolviamo l'equazione: \(3^(x)=9\). Basta abbinare \(x\) per far funzionare l'equazione. Naturalmente, \(x=2\).

Ora risolvi l'equazione: \(3^(x)=8\).A cosa è uguale x? Questo è il punto.

I più furbi diranno: “X è poco meno di due”. Come scrivere esattamente questo numero? Per rispondere a questa domanda fu inventato il logaritmo. Grazie a lui, la risposta qui può essere scritta come \(x=\log_(3)(8)\).

Voglio sottolinearlo \(\log_(3)(8)\), like qualsiasi logaritmo è solo un numero. Sì, sembra insolito, ma è breve. Perché se volessimo scriverlo come decimale, sarebbe così: \(1.892789260714.....\)

Esempio : Risolvi l'equazione \(4^(5x-4)=10\)

Soluzione :

\(4^(5x-4)=10\)

\(4^(5x-4)\) e \(10\) non possono essere portati sulla stessa base. Ciò significa che non puoi fare a meno di un logaritmo.

Usiamo la definizione di logaritmo:
\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

\(\log_(4)(10)=5x-4\)

Capovolgiamo l'equazione in modo che X sia a sinistra

\(5x-4=\log_(4)(10)\)

Prima di noi. Spostiamo \(4\) a destra.

E non aver paura del logaritmo, trattalo come un numero normale.

\(5x=\log_(4)(10)+4\)

Dividi l'equazione per 5

\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Questa è la nostra radice. Sì, sembra insolito, ma non scelgono la risposta.

Risposta : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritmi decimali e naturali

Come affermato nella definizione di logaritmo, la sua base può essere qualsiasi numero positivo tranne uno \((a>0, a\neq1)\). E tra tutte le basi possibili, ce ne sono due che ricorrono così spesso che con esse è stata inventata una breve notazione speciale per i logaritmi:

Logaritmo naturale: un logaritmo la cui base è il numero di Eulero \(e\) (pari a circa \(2,7182818…\)), e il logaritmo è scritto come \(\ln(a)\).

Questo è, \(\ln(a)\) è uguale a \(\log_(e)(a)\)

Logaritmo decimale: un logaritmo la cui base è 10 si scrive \(\lg(a)\).

Questo è, \(\lg(a)\) è uguale a \(\log_(10)(a)\), dove \(a\) è un numero.

Identità logaritmica di base

I logaritmi hanno molte proprietà. Uno di questi è chiamato “Identità logaritmica di base” e assomiglia a questo:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Questa proprietà segue direttamente dalla definizione. Vediamo esattamente come è nata questa formula.

Ricordiamo una breve notazione della definizione di logaritmo:

se \(a^(b)=c\), allora \(\log_(a)(c)=b\)

Cioè, \(b\) è uguale a \(\log_(a)(c)\). Quindi possiamo scrivere \(\log_(a)(c)\) invece di \(b\) nella formula \(a^(b)=c\). Il risultato è \(a^(\log_(a)(c))=c\) - l'identità logaritmica principale.

Puoi trovare altre proprietà dei logaritmi. Con il loro aiuto puoi semplificare e calcolare i valori delle espressioni con logaritmi, difficili da calcolare direttamente.

Esempio : Trova il valore dell'espressione \(36^(\log_(6)(5))\)

Soluzione :

Risposta : \(25\)

Come scrivere un numero come logaritmo?

Come accennato in precedenza, qualsiasi logaritmo è solo un numero. È vero anche il contrario: qualsiasi numero può essere scritto come logaritmo. Ad esempio, sappiamo che \(\log_(2)(4)\) è uguale a due. Quindi invece di due puoi scrivere \(\log_(2)(4)\).

Ma \(\log_(3)(9)\) è anche uguale a \(2\), il che significa che possiamo anche scrivere \(2=\log_(3)(9)\) . Allo stesso modo con \(\log_(5)(25)\), e con \(\log_(9)(81)\), ecc. Cioè, si scopre

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Pertanto, se necessario, possiamo scrivere due come logaritmo con qualsiasi base ovunque (sia in un'equazione, in un'espressione o in una disuguaglianza) - scriviamo semplicemente la base quadrata come argomento.

È lo stesso con la tripla: può essere scritta come \(\log_(2)(8)\), o come \(\log_(3)(27)\), o come \(\log_(4)( 64) \)... Qui scriviamo la base nel cubo come argomento:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

E con quattro:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

E con meno uno:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

E con un terzo:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Qualsiasi numero \(a\) può essere rappresentato come un logaritmo con base \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Esempio : Trova il significato dell'espressione \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Soluzione :

Risposta : \(1\)



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