Problemi semplici di teoria della probabilità. Formula di base

Lezione-lezione sul tema “teoria della probabilità”

Compito n. 4 dell'Esame di Stato Unificato 2016.

Livello del profilo.

1 Gruppo: compiti sull’uso della formula classica della probabilità.

Esercizio 1. La compagnia di taxi dispone di 60 vetture; 27 di essi sono neri con iscrizioni gialle sui lati, il resto è giallo con iscrizioni nere. Trova la probabilità che un'auto gialla con scritte nere risponda a una chiamata casuale.

Compito 2. Misha, Oleg, Nastya e Galya hanno lanciato un sorteggio su chi dovrebbe iniziare il gioco. Trova la probabilità che Galya non inizi il gioco.

Compito 3. In media, su 1000 pompe da giardino vendute, 7 perdono. Trovare la probabilità che una pompa scelta a caso per il controllo non presenti perdite.

Compito 4. Ci sono solo 15 biglietti nella raccolta dei biglietti per la chimica, 6 dei quali contengono una domanda sull'argomento “Acidi”. Trova la probabilità che uno studente riceva una domanda sull'argomento "Acidi" su un biglietto d'esame selezionato casualmente.

Compito 5. Al campionato di tuffi partecipano 45 atleti, di cui 4 tuffatori spagnoli e 9 tuffatori statunitensi. L'ordine delle esibizioni è determinato tramite sorteggio. Trova la probabilità che un saltatore statunitense sia ventiquattresimo.

Compito 6. La conferenza scientifica si svolge nell'arco di 3 giorni. Sono previste complessivamente 40 relazioni: 8 relazioni il primo giorno, le restanti saranno distribuite equamente tra il secondo e il terzo giorno. L'ordine delle relazioni è determinato tramite sorteggio. Qual è la probabilità che la relazione del professor M. venga programmata per l'ultimo giorno del convegno?

Esercizio 1. Prima dell'inizio del primo turno del campionato di tennis, i partecipanti vengono divisi casualmente in coppie di gioco utilizzando i lotti. In totale, 26 tennisti partecipano al campionato, di cui 9 partecipanti dalla Russia, tra cui Timofey Trubnikov. Trova la probabilità che nel primo turno Timofey Trubnikov giocherà con qualsiasi tennista russo.

Compito 2. Prima dell'inizio del primo turno del campionato di badminton, i partecipanti vengono divisi casualmente in coppie di giocatori utilizzando i lotti. Al campionato partecipano 76 giocatori di badminton, tra cui 22 atleti russi, tra cui Viktor Polyakov. Trova la probabilità che nel primo turno Viktor Polyakov giocherà con un qualsiasi giocatore di badminton russo.

Compito 3. Nella classe ci sono 16 studenti, tra cui due amici: Oleg e Mikhail. La classe viene divisa casualmente in 4 gruppi uguali. Trova la probabilità che Oleg e Mikhail facciano parte dello stesso gruppo.

Compito 4. Nella classe ci sono 33 studenti, tra cui due amici: Andrey e Mikhail. Gli studenti vengono divisi casualmente in 3 gruppi uguali. Trova la probabilità che Andrey e Mikhail facciano parte dello stesso gruppo.

Esercizio 1: In una fabbrica di stoviglie in ceramica, il 20% dei piatti prodotti sono difettosi. Durante il controllo qualità del prodotto, viene identificato il 70% delle lastre difettose. I restanti piatti sono in vendita. Trovare la probabilità che un piatto scelto casualmente al momento dell'acquisto non presenti difetti. Arrotonda la tua risposta al centesimo più vicino.

Compito 2. In una fabbrica di stoviglie in ceramica, il 30% dei piatti prodotti sono difettosi. Durante il controllo qualità del prodotto, viene identificato il 60% delle lastre difettose. I restanti piatti sono in vendita. Trova la probabilità che un piatto scelto a caso durante l'acquisto abbia un difetto. Arrotonda la tua risposta al centesimo più vicino.

Compito 3: Due fabbriche producono lo stesso vetro per i fari delle automobili. La prima fabbrica produce il 30% di questi occhiali, la seconda il 70%. La prima fabbrica produce il 3% di vetro difettoso, la seconda il 4%. Trovare la probabilità che il vetro acquistato accidentalmente in un negozio sia difettoso.

2 Gruppo: trovare la probabilità dell’evento opposto.

Esercizio 1. La probabilità di colpire il centro del bersaglio da una distanza di 20 m per un tiratore professionista è 0,85. Trova la probabilità di mancare il centro del bersaglio.

Compito 2. Quando si producono cuscinetti con un diametro di 67 mm, la probabilità che il diametro differisca da quello specificato di meno di 0,01 mm è 0,965. Trovare la probabilità che un cuscinetto casuale abbia un diametro inferiore a 66,99 mm o superiore a 67,01 mm.

3 Gruppo: Trovare la probabilità del verificarsi di almeno uno degli eventi incompatibili. Formula per aggiungere probabilità.

Esercizio 1. Trova la probabilità che lanciando un dado otterrai 5 o 6 punti.

Compito 2. In un'urna ci sono 30 palline: 10 rosse, 5 blu e 15 bianche. Trova la probabilità di estrarre una pallina colorata.

Compito 3. Il tiratore spara ad un bersaglio diviso in 3 aree. La probabilità di colpire la prima area è 0,45, la seconda è 0,35. Trova la probabilità che il tiratore colpisca la prima o la seconda area con un colpo.

Compito 4. Un autobus collega ogni giorno il centro del distretto al villaggio. La probabilità che lunedì ci siano meno di 18 passeggeri sull'autobus è 0,95. La probabilità che ci siano meno di 12 passeggeri è 0,6. Trova la probabilità che il numero di passeggeri sia compreso tra 12 e 17.

Compito 5. La probabilità che un nuovo bollitore elettrico duri più di un anno è 0,97. La probabilità che duri più di due anni è 0,89. Trova la probabilità che duri meno di due anni ma più di un anno.

Compito 6. La probabilità che lo studente U. risolva correttamente più di 9 problemi durante un test di biologia è 0,61. La probabilità che U risolva correttamente più di 8 problemi è 0,73. Trova la probabilità che U risolva correttamente esattamente 9 problemi.

4 Gruppo: La probabilità del verificarsi simultaneo di eventi indipendenti. Formula di moltiplicazione delle probabilità.

Esercizio 1. La stanza è illuminata da una lanterna con due lampade. La probabilità che una lampada si bruci entro un anno è 0,3. Trovare la probabilità che almeno una lampada non si bruci durante l'anno.

Compito 2. La stanza è illuminata da una lanterna a tre lampade. La probabilità che una lampada si bruci entro un anno è 0,3. Trovare la probabilità che almeno una lampada non si bruci durante l'anno.

Compito 3. Ci sono due venditori nel negozio. Ognuno di loro è impegnato con un cliente con probabilità 0,4. Trovare la probabilità che in un momento casuale entrambi i venditori siano occupati nello stesso momento (supponiamo che i clienti entrino indipendentemente l'uno dall'altro).

Compito 4. Ci sono tre venditori nel negozio. Ognuno di loro è impegnato con un cliente con probabilità 0,2. Trova la probabilità che in un momento casuale tutti e tre i venditori siano occupati contemporaneamente (supponi che i clienti entrino indipendentemente l'uno dall'altro).

Compito 5: Sulla base delle recensioni dei clienti, Mikhail Mikhailovich ha valutato l'affidabilità dei due negozi online. La probabilità che il prodotto desiderato venga consegnato dal negozio A è 0,81. La probabilità che questo prodotto venga consegnato dal negozio B è 0,93. Mikhail Mikhailovich ha ordinato merce da entrambi i negozi contemporaneamente. Supponendo che i negozi online operino indipendentemente gli uni dagli altri, calcola la probabilità che nessun negozio consegni il prodotto.

Compito 6: Se il Gran Maestro A. gioca con il bianco, allora vince contro il Gran Maestro B. con probabilità 0,6. Se A. gioca con il nero, allora A. vince contro B. con probabilità 0,4. I Grandi Maestri A. e B. giocano due partite e nella seconda cambiano il colore dei pezzi. Trova la probabilità che A. vinca entrambe le volte.

5 Gruppo: Problemi che coinvolgono l'uso di entrambe le formule.

Esercizio 1: Tutti i pazienti con sospetta epatite vengono sottoposti ad un esame del sangue. Se il test rivela l'epatite, il risultato del test viene definito positivo. Nei pazienti con epatite, il test dà un risultato positivo con una probabilità di 0,9. Se il paziente non ha l'epatite, il test può dare un risultato falso positivo con una probabilità di 0,02. È noto che il 66% dei pazienti ricoverati con sospetta epatite hanno effettivamente l'epatite. Trovare la probabilità che un paziente ricoverato in clinica con sospetta epatite risulti positivo.

Compito 2. Il cowboy John ha una probabilità di 0,9 di colpire una mosca sul muro se spara con un revolver azzerato. Se John spara con una rivoltella senza mira, colpisce al volo con probabilità 0,2. Ci sono 10 rivoltelle sul tavolo, solo 4 delle quali sono state colpite. Il cowboy John vede una mosca sul muro, afferra a caso il primo revolver che incontra e spara alla mosca. Trova la probabilità che John manchi l'obiettivo.

Compito 3:

In alcune aree, le osservazioni hanno mostrato:

1. Se una mattina di giugno è limpida, la probabilità che piova in quel giorno è 0,1. 2. Se una mattina di giugno è nuvolosa, la probabilità che piova durante il giorno è 0,4. 3. La probabilità che la mattina di giugno sia nuvolosa è 0,3.

Trova la probabilità che non piova in un giorno casuale del mese di giugno.

Compito 4. Durante il fuoco di artiglieria, il sistema automatico spara un colpo al bersaglio. Se il bersaglio non viene distrutto, il sistema spara un secondo colpo. I colpi vengono ripetuti finché il bersaglio non viene distrutto. La probabilità di distruggere un determinato bersaglio con il primo colpo è 0,3 e con ogni colpo successivo è 0,9. Quanti colpi saranno necessari per garantire che la probabilità di distruggere il bersaglio sia almeno 0,96?

Progetto di un seminario per insegnanti di matematica presso l'istituto scolastico della città di Tula sull'argomento “Risoluzione dei compiti dell'esame di stato unificato in matematica dalle sezioni: combinatoria, teoria della probabilità. Metodologia didattica"

Trascorrere del tempo: 12 00 ; 15 00

Posizione: MBOU "Liceo n. 1", ufficio. N. 8

IO. Risoluzione di problemi di probabilità

1. Risoluzione di problemi riguardanti la determinazione classica della probabilità

Noi insegnanti sappiamo già che i principali tipi di problemi nell'Esame di Stato Unificato in teoria della probabilità si basano sulla definizione classica di probabilità. Ricordiamo quella che viene chiamata probabilità di un evento?

Probabilità dell'eventoè il rapporto tra il numero di esiti favorevoli a un dato evento e il numero totale di esiti.

La nostra associazione scientifica e metodologica di insegnanti di matematica ha sviluppato uno schema generale per risolvere i problemi di probabilità. Vorrei presentarlo alla vostra attenzione. A proposito, abbiamo condiviso la nostra esperienza lavorativa e nei materiali che abbiamo dato alla vostra attenzione per la discussione congiunta sulla risoluzione dei problemi, abbiamo fornito questo diagramma. Tuttavia, voglio dargli voce.

A nostro avviso, questo schema aiuta a suddividere rapidamente e logicamente tutto in pezzi, dopodiché il problema può essere risolto molto più facilmente sia per l'insegnante che per gli studenti.

Quindi, voglio analizzare in dettaglio il seguente compito.

Volevo parlare con voi insieme per spiegare la metodologia, come trasmettere ai ragazzi una soluzione del genere, durante la quale i bambini capirebbero questo tipico problema, e successivamente capirebbero loro stessi questi problemi.

Cos'è un esperimento casuale in questo problema? Ora dobbiamo isolare un evento elementare in questo esperimento. Qual è questo evento elementare? Elenchiamoli.

Domande sul compito?

Cari colleghi, anche voi avete ovviamente considerato i problemi di probabilità con i dadi. Penso che dobbiamo analizzarlo, perché ha le sue sfumature. Analizziamo questo problema secondo lo schema che vi abbiamo proposto. Poiché su ciascun lato del cubo c'è un numero da 1 a 6, gli eventi elementari sono i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6. Abbiamo scoperto che il numero totale di eventi elementari è 6. Determiniamo quali eventi elementari favoriscono l'evento. Solo due eventi favoriscono questo evento: 5 e 6 (poiché deriva dalla condizione che 5 e 6 punti dovrebbero cadere).

Spiegare che tutti gli eventi elementari sono ugualmente possibili. Quali domande ci saranno riguardo al compito?

Come fai a sapere che una moneta è simmetrica? Chiariamo subito le idee, a volte certe frasi creano malintesi. Comprendiamo questo problema concettualmente. Scopriamo insieme a te nell'esperimento descritto quali potrebbero essere i risultati elementari. Avete tutti idea di dove sia testa e dove sia croce? Quali sono le possibili opzioni di abbandono? Ci sono altri eventi? Qual è il numero totale di eventi? Secondo il problema, è noto che è uscita testa esattamente una volta. Ciò significa che questo eventogli eventi elementari di questi quattro OR e RO sono favorevoli; Usiamo la formula che calcola la probabilità di un evento. Come promemoria, le risposte nella Parte B devono essere un numero intero o un decimale.

Lo mostriamo sulla lavagna interattiva. Leggiamo il problema. Qual è il risultato elementare di questa esperienza? Chiarire che la coppia è ordinata, cioè il numero è caduto sul primo dado e sul secondo dado. In ogni problema ci sono momenti in cui è necessario scegliere metodi e forme razionali e presentare la soluzione sotto forma di tabelle, diagrammi, ecc. In questo problema è conveniente utilizzare una tabella del genere. Ti sto dando una soluzione già pronta, ma durante la soluzione si scopre che in questo problema è razionale utilizzare una soluzione sotto forma di tabella. Spieghiamo cosa significa la tabella. Puoi capire perché le colonne dicono 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Disegniamo un quadrato. Le linee corrispondono ai risultati del primo lancio: ce ne sono sei, perché il dado ha sei facce. Così sono le colonne. In ogni cella scriviamo la somma dei punti estratti. Mostriamo la tabella completata. Coloriamo le celle in cui la somma è uguale a otto (come richiesto nella condizione).

Credo che il problema successivo, dopo aver analizzato i precedenti, possa essere affidato ai bambini perché lo risolvano da soli.

Nei seguenti problemi non è necessario scrivere tutti i risultati elementari. Basta semplicemente contare il loro numero.

(Nessuna soluzione) Ho dato questo problema ai ragazzi perché lo risolvessero da soli. Algoritmo per la risoluzione del problema

1. Definire in cosa consiste un esperimento casuale e cos'è un evento casuale.

2. Trova il numero totale di eventi elementari.

3. Trova il numero di eventi favorevoli all'evento specificato nella dichiarazione del problema.

4. Trova la probabilità di un evento utilizzando la formula.

Agli studenti può essere posta una domanda: se 1000 batterie vengono messe in vendita e tra queste 6 sono difettose, come viene determinata la batteria selezionata? Qual è il nostro compito? Successivamente pongo la domanda su cosa viene utilizzato come numero quie ti consiglio di trovarlonumero. Poi chiedo: qual è l'evento qui? Quanti accumulatori contribuiscono all'evento? Successivamente, utilizzando la formula, calcoliamo questa probabilità.

Qui ai ragazzi può essere offerta una seconda soluzione. Parliamo di quale potrebbe essere questo metodo?

1. Quale evento possiamo considerare ora?

2. Come trovare la probabilità di un dato evento?

I ragazzi hanno bisogno di essere informati di queste formule. Sono i seguenti

L'ottavo problema può essere proposto ai bambini da soli, poiché è simile al sesto problema. Può essere offerto loro come lavoro indipendente o su una scheda presso il consiglio di amministrazione.

Questo problema può essere risolto in relazione alle Olimpiadi, che si stanno attualmente svolgendo. Nonostante il fatto che nei compiti siano coinvolti eventi diversi, i compiti sono tipici.

2. Le regole e le formule più semplici per il calcolo delle probabilità (eventi opposti, somma di eventi, prodotto di eventi)

Questa è un'attività della raccolta Esame di stato unificato. Mostriamo la soluzione alla lavagna. Quali domande dovremmo porre agli studenti per comprendere questo problema?

1. Quante macchine c'erano? Se ci sono due macchine, allora ci sono già due eventi. Faccio una domanda ai bambini: come sarà l'evento?? Quale sarà il secondo evento?

2. è la probabilità di un evento. Non è necessario calcolarlo poiché è indicato nella condizione. A seconda delle condizioni del problema, la probabilità che “il caffè finisca in entrambe le macchine” è 0,12. C'è stato l'evento A, c'è stato l'evento B. E appare un nuovo evento? Faccio una domanda ai bambini: quale? Questo è il caso in cui entrambe le macchine finiscono il caffè. In questo caso, nella teoria della probabilità, si tratta di un nuovo evento, che si chiama intersezione di due eventi A e B e viene designato in questo modo.

Usiamo la formula dell'addizione di probabilità. La formula è la seguente

Te lo forniamo nel materiale di riferimento e ai ragazzi può essere data questa formula. Permette di trovare la probabilità di una somma di eventi. Ci è stata chiesta la probabilità dell'evento opposto, la cui probabilità si trova utilizzando la formula.

Il problema 13 utilizza il concetto di prodotto di eventi, la cui formula per trovare la probabilità è fornita nell'appendice.

3. Problemi che coinvolgono l'uso di un albero di opzioni possibili

In base alle condizioni del problema, è facile tracciare un diagramma e trovare le probabilità indicate.

Quale materiale teorico hai utilizzato per aiutare gli studenti a risolvere problemi di questo tipo? Hai utilizzato un possibile albero o altri metodi per risolvere tali problemi? Hai spiegato il concetto di grafico? Nella quinta o sesta elementare, i bambini hanno tali problemi, la cui analisi dà il concetto di grafici.

Vorrei chiederti: tu e i tuoi studenti avete considerato l'utilizzo di un albero di opzioni possibili quando risolvete problemi di probabilità? Il fatto è che non solo l'Esame di Stato Unificato ha tali compiti, ma sono emersi problemi piuttosto complessi che ora risolveremo.

Discutiamo con te della metodologia per risolvere tali problemi: se coincide con la mia metodologia, come spiego ai ragazzi, allora sarà più facile per me lavorare con te, in caso contrario, ti aiuterò ad affrontare questo problema.

Parliamo degli eventi. Quali eventi nel problema 17 possono essere isolati?

Quando si costruisce un albero su un piano, viene designato un punto, chiamato radice dell'albero. Successivamente iniziamo a considerare gli eventiE. Costruiremo un segmento (nella teoria della probabilità si chiama ramo). Secondo la condizione, si dice che la prima fabbrica produce il 30% dei telefoni cellulari di questa marca (quale? Quello che producono), il che significa che in questo momento sto chiedendo agli studenti, qual è la probabilità che la prima fabbrica producono telefoni di questo marchio, quelli che producono loro? Poiché l'evento è il rilascio di un telefono presso la prima fabbrica, la probabilità di questo evento è del 30% o 0,3. I restanti telefoni sono stati prodotti nel secondo stabilimento: stiamo costruendo il secondo segmento e la probabilità che questo evento si verifichi è 0,7.

Agli studenti viene posta la domanda: che tipo di telefono potrebbe essere prodotto dalla prima fabbrica? Con o senza difetto. Qual è la probabilità che un telefono prodotto dalla prima fabbrica abbia un difetto? La condizione dice che è uguale a 0,01. Domanda: Qual è la probabilità che il telefono prodotto dalla prima fabbrica non abbia difetti? Poiché questo evento è opposto a quello indicato, la sua probabilità è uguale.

Devi trovare la probabilità che il telefono sia difettoso. Potrebbe provenire dalla prima fabbrica, o forse dalla seconda. Quindi usiamo la formula per aggiungere le probabilità e troviamo che l'intera probabilità è la somma delle probabilità che il telefono difettoso provenga dalla prima fabbrica e che il telefono difettoso provenga dalla seconda fabbrica. Troveremo la probabilità che il telefono abbia un difetto e sia stato prodotto nella prima fabbrica utilizzando la formula del prodotto delle probabilità, riportata nell'appendice.

4. Uno dei problemi più difficili della banca Unified State Exam è la probabilità

Prendiamo ad esempio il n. 320199 della Task Bank FIPI. Questo è uno dei compiti più difficili in B6.

La probabilità che il candidato Z. riceva almeno 70 punti in matematica è 0,6, in russo - 0,8, in una lingua straniera - 0,7 e in studi sociali - 0,5.

Trovare la probabilità che Z. riesca ad iscriversi ad almeno una delle due specialità citate.

Per poter accedere ad almeno una delle due specialità, Z. deve totalizzare almeno 70 punti in matematica. E in russo. E anche - studi sociali o stranieri.

La probabilità che ottenga 70 punti in matematica è 0,6.

La probabilità di ottenere punti in matematica e in russo è uguale.

Parliamo di studi esteri e sociali. Le opzioni adatte a noi sono quando il richiedente ha ottenuto punti in studi sociali, studi stranieri o entrambi. L'opzione non è adatta quando non ha ottenuto alcun punto né in lingua né in “società”. Ciò significa che la probabilità di superare studi sociali o lingue straniere con almeno 70 punti è uguale. Di conseguenza, la probabilità di superare matematica, russo e studi sociali o stranieri è uguale

Questa è la risposta.

II . Risoluzione di problemi combinatori

1. Numero di combinazioni e fattoriali

Diamo un'occhiata brevemente al materiale teorico.

EspressioneN ! letto come “en-fattoriale” e denota il prodotto di tutti i numeri naturali da 1 aN compreso:N ! = 1 · 2 · 3 · ... ·N .

Inoltre, in matematica, per definizione, credono che 0! = 1. Tale espressione è rara, ma ricorre ancora nei problemi di teoria della probabilità.

Definizione

Lascia che ci siano oggetti (matite, caramelle, qualunque cosa) da cui vuoi selezionare oggetti esattamente diversi. Quindi viene chiamato il numero di opzioni per tale sceltanumero di combinazioni da elementi di. Questo numero è designato e calcolato utilizzando una formula speciale.

Designazione

Cosa ci offre questa formula? In effetti, quasi nessun problema serio può essere risolto senza di esso.

Per una migliore comprensione, diamo un’occhiata ad alcuni semplici problemi combinatori:

Compito

Il barista ha 6 tipi di tè verde. Per condurre una cerimonia del tè, devi servire esattamente 3 diversi tipi di tè verde. In quanti modi il barista può evadere un ordine?

Soluzione

Qui tutto è semplice: c'èN = 6 varietà tra cui scegliereK = 3 varietà. Il numero di combinazioni può essere trovato utilizzando la formula:

Risposta

Sostituisci nella formula. Non possiamo risolvere tutti i problemi, ma abbiamo scritto i problemi tipici e li sottoponiamo alla vostra attenzione.

Compito

In un gruppo di 20 studenti, devi scegliere 2 rappresentanti che parleranno alla conferenza. In quanti modi è possibile farlo?

Soluzione

Ancora una volta, questo è tutto ciò che abbiamoN = 20 studenti, ma devi scegliereK = 2 studenti. Trova il numero di combinazioni:

Nota: i moltiplicatori inclusi nei diversi fattoriali sono contrassegnati in rosso. Questi moltiplicatori possono essere ridotti senza problemi e quindi ridurre significativamente la quantità complessiva di calcoli.

Risposta

190

Compito

Sono stati consegnati al magazzino 17 server con difetti vari, che costano 2 volte meno dei server normali. Il direttore ha acquistato 14 server di questo tipo per la scuola e ha utilizzato il denaro risparmiato, pari a 200.000 rubli, per acquistare altre attrezzature. In quanti modi il regista può selezionare i server difettosi?

Soluzione

Il problema contiene molti dati aggiuntivi che possono creare confusione. I fatti più importanti: ci sono soloN = 17 server e il regista ne ha bisognoK = 14 server. Contiamo il numero di combinazioni:

I moltiplicatori che vengono ridotti sono nuovamente indicati in rosso. In totale, c'erano 680 combinazioni. In generale, il regista ha molto da scegliere.

Risposta

680

Questa attività è complicata perché sono presenti dati aggiuntivi in questa attività. Portano molti studenti fuori strada dal prendere la decisione giusta. C'erano 17 server in totale e il regista doveva sceglierne 14. Sostituendo nella formula, otteniamo 680 combinazioni.

2. Legge della moltiplicazione

Definizione

Legge della moltiplicazione in combinatoria: il numero di combinazioni (modi, combinazioni) in insiemi indipendenti viene moltiplicato.

In altre parole, lascia che ci siaUN modi per eseguire un'azione eB modi per eseguire un'altra azione. Il percorso è anche che queste azioni siano indipendenti, cioè non sono legati tra loro in alcun modo. Quindi puoi trovare il numero di modi per eseguire la prima e la seconda azione utilizzando la formula:C = UN · B .

Compito

Petya ha 4 monete da 1 rublo e 2 monete da 10 rubli. Petya, senza guardare, prese dalla tasca 1 moneta con un valore nominale di 1 rublo e un'altra moneta con un valore nominale di 10 rubli per acquistare una penna per 11 rubli. In quanti modi può scegliere queste monete?

Soluzione

Quindi, prima ottiene PetyaK = 1 moneta daN = 4 monete disponibili con un valore nominale di 1 rublo. Il numero di modi per farlo èC 4 1 = ... = 4.

Poi Petya si mette di nuovo la mano in tasca e tira fuoriK = 1 moneta daN = 2 monete disponibili con un valore nominale di 10 rubli. Qui il numero di combinazioni è uguale aC 2 1 = ... = 2.

Poiché queste azioni sono indipendenti, il numero totale di opzioni è pari aC = 4 · 2 = 8.

Risposta

Compito

In un canestro ci sono 8 palline bianche e 12 palline nere. In quanti modi puoi estrarre 2 palline bianche e 2 palline nere da questo canestro?

Soluzione

Totale nel carrelloN = 8 palline bianche tra cui scegliereK = 2 palline. Si può fareC 8 2 = ... = 28 modi diversi.

Inoltre il carrello contieneN = 12 palline nere, tra le quali devi scegliere nuovamenteK = 2 palline. Il numero di modi per farlo èC 12 2 = ... = 66.

Poiché la scelta della pallina bianca e la scelta della pallina nera sono eventi indipendenti, il numero totale delle combinazioni si calcola secondo la legge della moltiplicazione:C = 28 · 66 = 1848. Come puoi vedere, ci possono essere molte opzioni.

Risposta

1848

La legge della moltiplicazione mostra in quanti modi può essere eseguita un'azione complessa composta da due o più azioni semplici, a condizione che siano tutte indipendenti.

3. Legge dell'addizione

Se la legge della moltiplicazione opera con eventi “isolati” che non dipendono l'uno dall'altro, allora nella legge dell'addizione è vero il contrario. Si tratta di eventi reciprocamente esclusivi che non accadono mai nello stesso momento.

Ad esempio, "Petya ha tirato fuori 1 moneta dalla tasca" e "Petya non ha tirato fuori una sola moneta dalla tasca" sono eventi che si escludono a vicenda, poiché è impossibile estrarre una moneta senza estrarne altre.

Allo stesso modo, anche gli eventi “La palla a caso è bianca” e “La palla a caso è nera” si escludono a vicenda.

Definizione

Legge dell'addizione in combinatoria: se possono essere eseguite due azioni mutuamente esclusiveUN EB metodi di conseguenza, questi eventi possono essere combinati. Questo creerà un nuovo evento che puoi eseguireX = UN + B modi.

In altre parole, quando si combinano azioni reciprocamente esclusive (eventi, opzioni), il numero delle loro combinazioni si somma.

Possiamo dire che la legge dell'addizione è un "OR" logico in combinatoria, quando siamo soddisfatti di una qualsiasi delle opzioni mutuamente esclusive. Al contrario, la legge della moltiplicazione è un “AND” logico, in cui siamo interessati all'esecuzione simultanea sia della prima che della seconda azione.

Compito

Nel canestro ci sono 9 palline nere e 7 rosse. Il ragazzo tira fuori 2 palline dello stesso colore. In quanti modi può farlo?

Soluzione

Se le palline sono dello stesso colore, ci sono poche opzioni: sono entrambe nere o rosse. Ovviamente queste opzioni si escludono a vicenda.

Nel primo caso il ragazzo deve scegliereK = 2 palline nere daN = 9 disponibili. Il numero di modi per farlo èC 9 2 = ... = 36.

Allo stesso modo, nel secondo caso scegliamoK = 2 palline rosse daN = 7 possibili. Il numero di modi è ugualeC 7 2 = ... = 21.

Resta da trovare il numero totale di modi. Poiché le opzioni con palline nere e rosse si escludono a vicenda, secondo la legge dell'addizione abbiamo:X = 36 + 21 = 57.

Risposta57

Compito

La bancarella vende 15 rose e 18 tulipani. Uno studente di terza media vuole comprare 3 fiori per il suo compagno di classe e tutti i fiori devono essere uguali. In quanti modi può realizzare un bouquet del genere?

Soluzione

Secondo la condizione, tutti i fiori devono essere uguali. Ciò significa che compreremo 3 rose o 3 tulipani. Comunque,K = 3.

Nel caso delle rose dovrai scegliereN = 15 opzioni, quindi il numero di combinazioni èC 15 3 = ... = 455. Per i tulipaniN = 18 e il numero di combinazioni èC 18 3 = ... = 816.

Poiché rose e tulipani si escludono a vicenda, lavoriamo secondo la legge dell'addizione. Otteniamo il numero totale di opzioniX = 455 + 816 = 1271. Questa è la risposta.

Risposta

1271

Termini e restrizioni aggiuntivi

Molto spesso, il testo del problema contiene condizioni aggiuntive che impongono restrizioni significative alle combinazioni di nostro interesse. Confronta due frasi:

C'è un set di 5 penne in diversi colori. In quanti modi puoi scegliere 3 penne per delineare un disegno?

C'è un set di 5 penne in diversi colori. In quanti modi si possono scegliere 3 penne per delineare un disegno se tra queste deve esserci il rosso?

Nel primo caso, abbiamo il diritto di scegliere qualsiasi colore preferiamo: non ci sono ulteriori restrizioni. Nel secondo caso tutto è più complicato, poiché dobbiamo scegliere una penna rossa (si presume che sia nel set originale).

Ovviamente, eventuali restrizioni riducono drasticamente il numero finale di opzioni. Bene, come puoi trovare il numero di combinazioni in questo caso? Ricorda solo questa regola:

Lascia che ci sia una serie diN elementi tra cui scegliereK elementi. Quando si introducono ulteriori restrizioni sul numeroN EK diminuire dello stesso importo.

In altre parole, se su 5 penne devi sceglierne 3, e una di queste deve essere rossa, allora dovrai scegliere daN = 5 − 1 = 4 elementi ciascunoK = 3 − 1 = 2 elementi. Quindi invece diC 5 3 deve essere contatoC 4 2 .

Ora vediamo come funziona questa regola utilizzando esempi specifici:

Compito

In un gruppo di 20 studenti, di cui 2 studenti eccellenti, è necessario selezionare 4 persone per partecipare alla conferenza. In quanti modi è possibile selezionare questi quattro se gli studenti eccellenti devono partecipare alla conferenza?

Soluzione

Quindi c'è un gruppo diN = 20 studenti. Ma devi solo scegliereK = 4 di loro. Se non ci fossero ulteriori restrizioni, il numero di opzioni sarebbe uguale al numero di combinazioniC 20 4 .

Ci è stata però posta una condizione aggiuntiva: tra questi quattro devono esserci 2 studenti eccellenti. Quindi, secondo la regola di cui sopra, riduciamo i numeriN EK per 2. Abbiamo:

Risposta

153

Compito

Petya ha 8 monete in tasca, di cui 6 sono monete in rubli e 2 sono monete da 10 rubli. Petya mette circa tre monete in un'altra tasca. In quanti modi Petya può farlo se si sa che entrambe le monete da 10 rubli sono finite nell'altra tasca?

Soluzione

Quindi c'èN = 8 monete. Petya cambia direzioneK = 3 monete, di cui 2 da dieci rubli. Si scopre che delle 3 monete che verranno trasferite, 2 sono già state fissate, quindi i numeriN EK deve essere ridotto di 2. Abbiamo:

Risposta

III . Risolvere problemi combinati utilizzando formule di calcolo combinatorio e teoria della probabilità

Compito

Petya aveva in tasca 4 monete da rubli e 2 monete da rubli. Pétja, senza guardare, mise in un'altra tasca circa tre monete. Trova la probabilità che entrambe le monete da due rubli siano nella stessa tasca.

Soluzione

Supponiamo che entrambe le monete da due rubli siano effettivamente finite nella stessa tasca, quindi sono possibili 2 opzioni: o Petya non le ha trasferite affatto, oppure le ha trasferite entrambe contemporaneamente.

Nel primo caso, quando le monete da due rubli non sono state spostate, dovrai spostare le monete da 3 rubli. Poiché ci sono 4 monete di questo tipo in totale, il numero di modi per farlo è uguale al numero di combinazioni di 4 per 3:C 4 3 .

Nel secondo caso, quando entrambe le monete da due rubli saranno state trasferite, sarà necessario trasferire un'altra moneta da rublo. Deve essere scelto tra 4 esistenti e il numero di modi per farlo è pari al numero di combinazioni di 4 per 1:C 4 1 .

Ora troviamo il numero totale di modi per riorganizzare le monete. Dato che ci sono 4 + 2 = 6 monete in totale, e devi sceglierne solo 3, il numero totale di opzioni è uguale al numero di combinazioni di 6 per 3:C 6 3 .

Resta da trovare la probabilità:

Risposta

0,4

Mostra sulla lavagna interattiva. Presta attenzione al fatto che, a seconda delle condizioni del problema, Petya, senza guardare, ha messo tre monete in una tasca. Per rispondere a questa domanda, possiamo supporre che in una tasca siano effettivamente rimaste due monete da due rubli. Fare riferimento alla formula per sommare le probabilità. Mostra di nuovo la formula.

Compito

Petya aveva in tasca 2 monete da 5 rubli e 4 monete da 10 rubli. Petya, senza guardare, ha trasferito circa 3 monete in un'altra tasca. Trova la probabilità che le monete da cinque rubli siano ora in tasche diverse.

Soluzione

Per conservare le monete da cinque rubli in tasche diverse, è necessario spostarne solo una. Il numero di modi per farlo è uguale al numero di combinazioni di 2 per 1:C 2 1 .

Poiché Petya ha spostato 3 monete in totale, dovrà spostare altre 2 monete da 10 rubli ciascuna. Petya ha 4 monete di questo tipo, quindi il numero di modi è uguale al numero di combinazioni di 4 per 2:C 4 2 .

Non resta che scoprire quante opzioni ci sono per trasferire 3 monete sulle 6 disponibili. Questa quantità, come nel problema precedente, è uguale al numero di combinazioni di 6 per 3:C 6 3 .

Troviamo la probabilità:

Nell'ultimo passaggio, abbiamo moltiplicato il numero di modi per scegliere le monete da due rubli e il numero di modi per scegliere le monete da dieci rubli, poiché questi eventi sono indipendenti.

Risposta

0,6

Quindi, i problemi con le monete hanno la loro formula di probabilità. È così semplice e importante che può essere formulato come un teorema.

Teorema

Lasciamo che la moneta venga lanciataN una volta. Quindi la probabilità che le teste cadano esattamenteK volte, può essere trovato utilizzando la formula:

DoveC N K - numero di combinazioni diN elementi diK , che si calcola con la formula:

Pertanto, per risolvere il problema della moneta, sono necessari due numeri: il numero di lanci e il numero di teste. Molto spesso questi numeri vengono forniti direttamente nel testo del problema. Inoltre, non importa cosa conti esattamente: croce o testa. La risposta sarà la stessa.

A prima vista, il teorema sembra troppo macchinoso. Ma dopo aver fatto un po’ di pratica, non vorrai più tornare all’algoritmo standard sopra descritto.

La moneta viene lanciata quattro volte. Trovare la probabilità che esca testa esattamente tre volte.

Soluzione

Secondo il problema, i lanci totali eranoN = 4. Numero richiesto di aquile:K = 3. SostituisciN EK nella formula:

Puoi contare altrettanto facilmente il numero di teste:K = 4 − 3 = 1. La risposta sarà la stessa.

Risposta

0,25

Compito [Libro di esercizi “Esame di Stato Unificato 2012 in matematica. Problemi B6"]

La moneta viene lanciata tre volte. Trova la probabilità di non ottenere mai testa.

Soluzione

Scrivere di nuovo i numeriN EK . Poiché la moneta viene lanciata 3 volte,N = 3. E poiché non dovrebbero esserci teste,K = 0. Non resta che sostituire i numeriN EK nella formula:

Lascia che ti ricordi che 0! = 1 per definizione. Ecco perchéC 3 0 = 1.

Risposta

0,125

Problema [Esame di stato unificato di prova in matematica 2012. Irkutsk]

In un esperimento casuale, una moneta simmetrica viene lanciata 4 volte. Trova la probabilità che appaia più volte testa che croce.

Soluzione

Affinché ci sia più testa che croce, devono apparire 3 volte (quindi ci sarà 1 croce) o 4 volte (quindi non ci sarà affatto croce). Troviamo la probabilità di ciascuno di questi eventi.

PermettereP 1 - la probabilità che la testa appaia 3 volte. PoiN = 4, K = 3. Abbiamo:

Ora troviamoP 2 - la probabilità che appaia testa tutte e 4 le volte. In questo casoN = 4, K = 4. Abbiamo:

Per avere la risposta non resta che sommare le probabilitàP 1 EP 2 . Ricorda: puoi aggiungere probabilità solo per eventi mutuamente esclusivi. Abbiamo:

P = P 1 + P 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Risposta

0,3125

Per risparmiare tempo durante la preparazione con i ragazzi per l'Esame di Stato Unificato e l'Esame di Stato, abbiamo presentato soluzioni a molti altri problemi che puoi scegliere e risolvere con i ragazzi.

Materiali dell'Istituto Esame di Stato, Esame di Stato Unificato di vari anni, libri di testo e siti web.

IV. Materiale di riferimento

In un centro commerciale due macchine identiche vendono caffè. Le macchine vengono revisionate la sera dopo la chiusura del centro. È noto che la probabilità dell'evento “Entro sera la prima macchina finirà il caffè” è 0,25. La probabilità dell'evento “Entro sera la seconda macchina finirà il caffè” è la stessa. La probabilità che entrambe le macchine finiscano il caffè entro sera è 0,15. Trovare la probabilità che entro sera sia rimasto del caffè in entrambe le macchine.

Soluzione.

Considera gli eventi

A = il caffè finirà nella prima macchina,

B = il caffè finirà nella seconda macchina.

A·B = il caffè finirà in entrambe le macchine,

A + B = il caffè finirà in almeno una macchina.

Per la condizione P(A) = P(B) = 0,25; P(A·B) = 0,15.

Gli eventi A e B sono congiunti, la probabilità della somma di due eventi congiunti è pari alla somma delle probabilità di questi eventi, ridotta della probabilità del loro prodotto:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.

Pertanto la probabilità dell’evento opposto, che il caffè rimanga in entrambe le macchine, è 1 − 0,35 = 0,65.

Risposta: 0,65.

Diamo un'altra soluzione.

La probabilità che il caffè rimanga nella prima macchina è 1 − 0,25 = 0,75. La probabilità che il caffè rimanga nella seconda macchina è 1 − 0,25 = 0,75. La probabilità che il caffè rimanga nella prima o nella seconda macchina è 1 − 0,15 = 0,85. Poiché P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B), abbiamo: 0,85 = 0,75 + 0,75 − X, da dove viene la probabilità richiesta? X = 0,65.

Nota.

Si noti che gli eventi A e B non sono indipendenti. Infatti, la probabilità che si verifichino eventi indipendenti sarebbe pari al prodotto delle probabilità di questi eventi: P(A·B) = 0,25·0,25 = 0,0625, tuttavia, secondo la condizione, questa probabilità è pari a 0,15.

Elena Aleksandrovna Popova 10.10.2018 09:57

Io, professore associato, candidato in scienze pedagogiche, ritengo COMPLETAMENTE STUPIDO E RIDICOLO INCLUDERE COMPITI SU EVENTI DIPENDENTI PER GLI SCOLARI. Gli insegnanti NON CONOSCONO questa sezione - Sono stato invitato a tenere lezioni in TV durante i corsi di formazione per insegnanti. Questa sezione non è e non può essere nel programma. NON È NECESSARIO inventare metodi senza giustificazione. COMPITI di questo tipo possono essere semplicemente eliminati. Limitati alla DEFINIZIONE CLASSICA DELLE PROBABILITÀ. E anche allora, studia prima i libri di testo scolastici e guarda cosa hanno scritto gli autori al riguardo. Guarda la quinta elementare di Zubareva. Non conosce nemmeno i simboli e dà la probabilità in percentuale. Dopo aver imparato da questi libri di testo, gli studenti credono ancora che la probabilità sia una percentuale. Ci sono molti problemi interessanti sulla determinazione classica delle probabilità. Questo è ciò che devono chiedersi gli scolari. Non c'è limite all'indignazione dei docenti universitari per la TUA stupidità nell'introdurre tali compiti.

Attenzione ai candidati! Qui vengono discusse diverse attività USE. Il resto, più interessante, è nel nostro video gratuito. Guarda e fai!

Inizieremo con problemi semplici e concetti di base della teoria della probabilità.
Casuale Viene chiamato un evento che non può essere previsto con precisione in anticipo. Può succedere oppure no.
Hai vinto alla lotteria: un evento casuale. Hai invitato gli amici a festeggiare la tua vittoria e mentre venivano da te sono rimasti bloccati nell'ascensore, anche questo un evento casuale. È vero, il maestro si è rivelato nelle vicinanze e ha liberato l'intera compagnia in dieci minuti - e anche questo può essere considerato un felice incidente...

La nostra vita è piena di eventi casuali. Di ciascuno di essi possiamo dire che ciò accadrà con alcuni probabilità. Molto probabilmente, hai intuitivamente familiarità con questo concetto. Diamo ora la definizione matematica di probabilità.

Cominciamo con l'esempio più semplice. Lancia una moneta. Testa o croce?

Tale azione, che può portare a diversi risultati, viene chiamata teoria della probabilità test.

Testa e croce: due possibili risultato test.

Le teste cadranno in un caso su due possibili. Dicono che probabilità che la moneta cadrà su testa è .

Lanciamo un dado. Il dado ha sei facce, quindi ci sono anche sei possibili risultati.

Ad esempio, avresti desiderato che apparissero tre punti. Questo è un risultato possibile su sei. Nella teoria della probabilità si chiamerà esito favorevole.

La probabilità di ottenere un tre è uguale (un risultato favorevole su sei possibili).

Anche la probabilità di quattro lo è

Ma la probabilità che appaia un sette è zero. Dopotutto, sul cubo non esiste alcun bordo con sette punti.

La probabilità di un evento è pari al rapporto tra il numero di esiti favorevoli e il numero totale di esiti.

Ovviamente la probabilità non può essere maggiore di uno.

Ecco un altro esempio. Ci sono delle mele in un sacchetto, alcune sono rosse, le altre sono verdi. Le mele non differiscono né per forma né per dimensione. Metti la mano nel sacchetto e tiri fuori una mela a caso. La probabilità di estrarre una mela rossa è uguale a , e la probabilità di estrarre una mela verde è uguale a .

La probabilità di ottenere una mela rossa o verde è uguale.

Analizziamo i problemi di teoria della probabilità inclusi nelle raccolte per la preparazione all'Esame di Stato Unificato.

. La compagnia di taxi attualmente dispone di auto gratuite: rossa, gialla e verde. Ha risposto alla chiamata una delle auto che si trovava più vicina al cliente. Trova la probabilità che arrivi un taxi giallo.

Ci sono un totale di auto, cioè una su quindici verrà dal cliente. Ce ne sono nove gialle, il che significa che la probabilità che arrivi un'auto gialla è pari a .

. (Versione demo) Nella raccolta dei biglietti sulla biologia di tutti i biglietti, in due di essi c'è una domanda sui funghi. Durante l'esame, lo studente riceve un biglietto selezionato casualmente. Trova la probabilità che questo biglietto non contenga una domanda sui funghi.

Ovviamente la probabilità di estrarre un biglietto senza chiedere dei funghi è pari a , cioè .

. Il comitato dei genitori ha acquistato puzzle da regalare ai bambini alla fine dell'anno scolastico, tra cui dipinti di artisti famosi e immagini di animali. I regali vengono distribuiti in modo casuale. Trova la probabilità che Vovochka riceva un puzzle con un animale.

Il problema è risolto in modo simile.

Risposta: .

. Al campionato di ginnastica partecipano atleti provenienti dalla Russia, dagli Stati Uniti e il resto dalla Cina. L'ordine in cui si esibiscono le ginnaste è determinato dal sorteggio. Trovare la probabilità che l'ultimo atleta a gareggiare provenga dalla Cina.

Immaginiamo che tutti gli atleti si siano avvicinati contemporaneamente al cappello e abbiano tirato fuori dei pezzi di carta con i numeri. Alcuni di loro otterranno il numero venti. La probabilità che un atleta cinese lo ritiri è uguale (poiché gli atleti provengono dalla Cina). Risposta: .

. Allo studente è stato chiesto di nominare il numero da a . Qual è la probabilità che nomini un numero multiplo di cinque?

Ogni quinto un numero di questo insieme è divisibile per . Ciò significa che la probabilità è uguale a .

Si lancia un dado. Trova la probabilità di ottenere un numero dispari di punti.

Numeri dispari; - Anche. La probabilità di un numero dispari di punti è .

Risposta: .

. La moneta viene lanciata tre volte. Qual è la probabilità che escano due teste e una croce?

Si noti che il problema può essere formulato diversamente: sono state lanciate tre monete contemporaneamente. Ciò non influenzerà la decisione.

Quanti possibili risultati pensi che ci siano?

Lanciamo una moneta. Questa azione ha due possibili esiti: testa e croce.

Due monete - già quattro risultati:

Tre monete? Esatto, i risultati, poiché .

Due teste e una croce appaiono tre volte su otto.

Risposta: .

. In un esperimento casuale si lanciano due dadi. Trova la probabilità che il totale sia costituito da punti. Arrotondare il risultato ai centesimi.

Lanciamo il primo dado: sei risultati. E per ognuno di essi ne sono possibili altri sei - quando lanciamo il secondo dado.

Troviamo che questa azione - lanciare due dadi - ha un totale di possibili risultati, poiché .

E ora - risultati favorevoli:

La probabilità di ottenere otto punti è .

>. Il tiratore colpisce il bersaglio con probabilità. Trova la probabilità che colpisca il bersaglio quattro volte di seguito.

Se la probabilità di un successo è uguale, allora la probabilità di un fallimento è . Ragioniamo come nel problema precedente. La probabilità di due successi consecutivi è uguale. E la probabilità di quattro successi di fila è uguale.

Probabilità: logica della forza bruta.

Ecco un problema derivante dal lavoro diagnostico che molte persone hanno trovato difficile.

Petya aveva in tasca monete che valevano rubli e monete che valevano rubli. Petya, senza guardare, trasferì alcune monete in un'altra tasca. Trova la probabilità che le monete da cinque rubli siano ora in tasche diverse.

Sappiamo che la probabilità di un evento è uguale al rapporto tra il numero di esiti favorevoli e il numero totale di esiti. Ma come calcolare tutti questi risultati?

Ovviamente puoi designare le monete da cinque rubli con numeri e quelle da dieci rubli con numeri, quindi contare in quanti modi puoi selezionare tre elementi dal set.

Esiste però una soluzione più semplice:

Codifichiamo le monete con numeri: , (queste sono monete da cinque rubli), (queste sono monete da dieci rubli). La condizione problematica può ora essere formulata come segue:

Ci sono sei fiches con i numeri da a . In quanti modi possono essere distribuiti equamente in due tasche, in modo che le fiches con i numeri non finiscano insieme?

Scriviamo quello che abbiamo nella nostra prima tasca.

Per fare ciò, comporremo tutte le combinazioni possibili dal set. Un set di tre fiche sarà un numero di tre cifre. Ovviamente, nelle nostre condizioni, sono lo stesso set di chip. Per non perderci nulla e non ripeterci, disponiamo i numeri a tre cifre corrispondenti in ordine crescente:

Tutto! Abbiamo esaminato tutte le possibili combinazioni iniziando con . Continuiamo:

Risultati possibili totali.

Abbiamo una condizione: i chip con i numeri non dovrebbero stare insieme. Ciò significa, ad esempio, che la combinazione non ci soddisfa: significa che entrambe le fiches non sono finite nella prima, ma nella seconda tasca. I risultati favorevoli per noi sono quelli in cui c'è solo o solo . Eccoli:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – totale risultati favorevoli.

Allora la probabilità richiesta è pari a .

Quali compiti ti aspettano all'Esame di Stato Unificato di matematica?

Analizziamo uno dei problemi complessi della teoria della probabilità.

Per entrare nell'istituto per la specialità "Linguistica", il candidato Z. deve ottenere almeno 70 punti all'esame di stato unificato in ciascuna delle tre materie: matematica, lingua russa e lingua straniera. Per iscriversi alla specialità "Commercio", è necessario ottenere almeno 70 punti in ciascuna delle tre materie: matematica, lingua russa e studi sociali.

La probabilità che il candidato Z. riceva almeno 70 punti in matematica è 0,6, in russo - 0,8, in una lingua straniera - 0,7 e in studi sociali - 0,5.
Trovare la probabilità che Z. riesca ad iscriversi ad almeno una delle due specialità citate.

Si noti che il problema non chiede se un candidato di nome Z. studierà contemporaneamente sia linguistica che commercio e riceverà due diplomi. Qui dobbiamo trovare la probabilità che Z. possa iscriversi ad almeno una di queste due specialità, ovvero segnerà il numero di punti richiesto.
Per poter accedere ad almeno una delle due specialità, Z. deve totalizzare almeno 70 punti in matematica. E in russo. E anche - studi sociali o stranieri.
La probabilità che ottenga 70 punti in matematica è 0,6.
La probabilità di ottenere punti in matematica e russo è 0,6 ± 0,8.

Parliamo di studi esteri e sociali. Le opzioni adatte a noi sono quando il richiedente ha ottenuto punti in studi sociali, studi stranieri o entrambi. L'opzione non è adatta quando non ha ottenuto alcun punto né in lingua né in “società”. Ciò significa che la probabilità di superare studi sociali o lingue straniere con almeno 70 punti è pari a
1 – 0,5 0,3.
Di conseguenza, la probabilità di superare matematica, russo e studi sociali o stranieri è uguale
0,6 0,8 (1 - 0,5 0,3) = 0,408. Questa è la risposta.