Il concetto di unità immaginaria e la definizione di numero complesso. Numeri complessi

L'argomento "Numeri complessi" spesso causa difficoltà agli studenti, ma in realtà non c'è nulla di spaventoso in loro, come potrebbe sembrare a prima vista.

Quindi, ora analizzeremo e considereremo, utilizzando semplici esempi, cos'è un numero complesso, come viene indicato e in cosa consiste. Espressione z = a + biè chiamato numero complesso. Questo è un numero singolo, non un'addizione.

Esempio 1 : z = 6 + 4i

In cosa consiste un numero complesso?

Un numero complesso ha una parte reale e una immaginaria.

Il numero a è chiamato parte reale di un numero complesso e si denota a = Re(z). Ed ecco cosa c'entra la lettera io- cioè. numero B si chiama coefficiente della parte immaginaria di un numero complesso e si denota b = Im(z). Insieme bi costituiscono la parte immaginaria di un numero complesso.

Non è difficile indovinare ed è facile ricordare che si tratta dell'abbreviazione "Rif" deriva dalla parola "Vero"- parte reale e valida. Rispettivamente, "Io sono"è un'abbreviazione della parola "Immaginario"- parte immaginaria, immaginaria.

Esempio 2 : z = 0,5 + 9i. Ecco la parte reale a = Re (z) = 0,5 e la parte immaginaria b = Im(z) = 9i

Esempio 3 : z = -5 + 19i. Ecco la parte reale a = Re (z) = -5 e la parte immaginaria b = Im(z) = 19.

Numero complesso puramente immaginario

Un numero complesso che non ha parte reale, cioè Re(z) = 0, si chiama puramente immaginario.

Esempio 4 : z = 2i. Manca la parte vera a = Re (z) = 0 e la parte immaginaria b = Im(z) = 2.

Esempio 5 . z = -8i. Ecco la parte immaginaria b = Im(z) = -8, parte reale a = Re (z) = 0.

Coniugare i numeri complessi

Il numero coniugato complesso è indicato "zet" con una barra e viene utilizzato, ad esempio, per trovare il quoziente di due numeri complessi, in altre parole per attuare la divisione dei numeri. Coloro che ci stanno pensando adesso, questo è il posto dove leggere sulla divisione dei numeri complessi.

I numeri si dicono complessi coniugati; hanno le stesse parti reali e differiscono solo per il segno delle parti immaginarie. Diamo un'occhiata ad un esempio:

Esempio 6 . Complesso coniugato a un numero z = 7 + 13iè il numero.

Unità immaginaria di un numero complesso

E infine parliamo della lettera io. La stessa lettera che forma una componente immaginaria in un numero complesso. Anche se abbiamo l'espressione z = 5, ciò significa semplicemente che la parte immaginaria di un dato numero è uguale a zero e la parte reale è uguale a cinque.

Grandezza io chiamato unità immaginaria.

L'unità immaginaria è utile per risolvere equazioni quadratiche quando il discriminante è inferiore a zero. Siamo abituati a pensare che se è negativo non c’è soluzione, non ci sono radici. Ciò non è del tutto corretto. Le radici esistono, sono semplicemente complesse. Ma ne parleremo più avanti. Adesso passiamo al prossimo articolo sullo studio dei numeri complessi, scopriamo come fare i calcoli

§1. Numeri complessi

1°. Definizione. Notazione algebrica.

Definizione 1. Numeri complessi vengono chiamate coppie ordinate di numeri reali E , se per essi vengono definiti il ​​concetto di operazioni di uguaglianza, addizione e moltiplicazione, soddisfacenti i seguenti assiomi:

1) Due numeri
E
uguale se e solo se
,
, cioè.

2) La somma di numeri complessi
E

e pari
, cioè.

3) Prodotto di numeri complessi
E
è il numero indicato da
e uguale, cioè

L'insieme dei numeri complessi è indicato C.

Formule (2), (3) per i numeri della forma
prendere la forma

donde ne consegue che le operazioni di addizione e moltiplicazione per i numeri della forma
coincide con l'addizione e la moltiplicazione per i numeri reali numero complesso della forma
identificato con un numero reale .

Numero complesso
chiamato unità immaginaria ed è designato , cioè.
Quindi da (3)

Da (2), (3)  che significa

Viene chiamata l'espressione (4). notazione algebrica numero complesso.

Nella notazione algebrica, le operazioni di addizione e moltiplicazione assumono la forma:

Un numero complesso è indicato con
,– parte reale, – parte immaginaria, è un numero puramente immaginario. Designazione:
,
.

Definizione 2. Numero complesso
chiamato coniugare con un numero complesso
.

Proprietà della coniugazione complessa.

1)

2)
.

3) Se
, Quello
.

4)
.

5)
- numero reale.

La dimostrazione si effettua mediante calcolo diretto.

Definizione 3. Numero
chiamato modulo numero complesso
ed è designato
.

E' ovvio
, E


. Anche le formule sono ovvie:
E
.

2°. Proprietà delle operazioni di addizione e moltiplicazione.

1) Commutatività:
,
.

2) Associatività:,
.

3) Distributività: .

La dimostrazione 1) – 3) viene effettuata mediante calcoli diretti basati su proprietà simili per i numeri reali.

4)
,
.

5) , C ! , soddisfacendo l'equazione
. Questo

6) ,C, 0, ! :
. Questo si trova moltiplicando l'equazione per



.

Esempio. Immaginiamo un numero complesso
in forma algebrica. Per fare ciò, moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per il numero coniugato del denominatore. Abbiamo:

3°. Interpretazione geometrica dei numeri complessi. Forma trigonometrica ed esponenziale di scrittura di un numero complesso.

Sia specificato un sistema di coordinate rettangolari sul piano. Poi
C puoi abbinare un punto sul piano con le coordinate
.(vedi Fig. 1). Ovviamente, tale corrispondenza è uno a uno. In questo caso i numeri reali si trovano sull'asse delle ascisse, mentre i numeri puramente immaginari si trovano sull'asse delle ordinate. Pertanto, viene chiamato l'asse delle ascisse asse reale e l'asse delle ordinate − asse immaginario. Il piano su cui giacciono i numeri complessi si chiama piano complesso.

Notare che E
sono simmetrici rispetto all'origine e E simmetrico rispetto al Bue.

Ad ogni numero complesso (cioè ad ogni punto del piano) può essere associato un vettore che abbia inizio nel punto O e fine nel punto
. La corrispondenza tra vettori e numeri complessi è biunivoca. Pertanto, il vettore corrispondente ad un numero complesso , indicato con la stessa lettera

D linea vettoriale
corrispondente ad un numero complesso
, è uguale
, E
,
.

Usando l'interpretazione dei vettori, possiamo vedere che il vettore
− somma di vettori E , UN
− somma di vettori E
.(vedi Fig. 2). Valgono quindi le seguenti disuguaglianze: ,

Insieme alla lunghezza vettore introduciamo l'angolo tra vettore e l'asse del Bue, contato dalla direzione positiva dell'asse del Bue: se il conteggio è antiorario, allora il segno dell'angolo è considerato positivo, se il conteggio è orario, allora è negativo. Questo angolo si chiama argomento sui numeri complessi ed è designato
. Angolo non è determinato in modo univoco, ma con precisione
…. Per
l'argomento non è definito.

Le formule (6) definiscono il cosiddetto notazione trigonometrica numero complesso.

Dalla (5) segue che se
E
Quello

Da (5)
che dire E un numero complesso è determinato in modo univoco. Non è vero il contrario: cioè su un numero complesso il suo modulo è unico e l'argomento , in virtù della (7), − con esattezza
. Ne consegue anche dalla (7) che l'argomentazione può essere trovato come soluzione dell’equazione

Tuttavia, non tutte le soluzioni di questa equazione sono soluzioni della (7).

Tra tutti i valori dell'argomento di un numero complesso, ne viene selezionato uno, chiamato valore principale dell'argomento e indicato
. Di solito il valore principale dell'argomento viene scelto nell'intervallo
o nell'intervallo

È conveniente eseguire le operazioni di moltiplicazione e divisione in forma trigonometrica.

Teorema 1. Modulo di prodotto di numeri complessi E è uguale al prodotto dei moduli e l'argomento è la somma degli argomenti, ovvero

, UN .

Allo stesso modo

,

Prova. Permettere ,. Quindi per moltiplicazione diretta otteniamo:

Allo stesso modo

.■

Conseguenza(Formula di Moivre). Per
Vale la formula di Moivre

P esempio. Troviamo la posizione geometrica del punto
. Dal Teorema 1 segue che .

Pertanto, per costruirlo, devi prima costruire un punto , che è l'inversione rispetto alla circonferenza unitaria, quindi trovare un punto ad esso simmetrico rispetto all'asse del bue.

Permettere
,quelli.
Numero complesso
denotato da
, cioè. R La formula di Eulero è valida

Perché
, Quello
,
. Dal Teorema 1
cosa c'entra la funzione
puoi lavorare come con una normale funzione esponenziale, cioè valgono le uguaglianze

,
,
.

Da (8)
notazione dimostrativa numero complesso

, Dove
,

Esempio. .

4°. Radici -esima potenza di un numero complesso.

Considera l'equazione

Permettere
, e si cerca la soluzione dell'equazione (9) nella forma
. Allora (9) assume la forma
, da dove lo troviamo
,
, cioè.

,
,
.

Pertanto, l'equazione (9) ha radici

Mostriamo che tra (10) c'è esattamente radici diverse. Veramente,

sono diversi, perché i loro argomenti sono diversi e differiscono meno di
. Ulteriore,
, Perché
. Allo stesso modo
.

Pertanto, l'equazione (9) a
ha esattamente radici
, situato ai vertici del regolare -un triangolo inscritto in una circonferenza di raggio con centro a t.O.

Così è dimostrato

Teorema 2. Estrazione della radice -esima potenza di un numero complesso
È sempre possibile. Tutti i significati delle radici ° grado di situato ai vertici del corretto -gon inscritto in una circonferenza con centro nullo e raggio
. In cui,

Conseguenza. Radici -esima potenza di 1 sono espresse dalla formula

.

Il prodotto di due radici di 1 è una radice, 1 è una radice -esimo potere dell'unità, radice
:
.

Ricordiamo le informazioni necessarie sui numeri complessi.

Numero complessoè un'espressione della forma UN + bi, Dove UN, B sono numeri reali e io- cosiddetto unità immaginaria, un simbolo il cui quadrato è uguale a –1, cioè io 2 = –1. Numero UN chiamato parte reale e il numero B - parte immaginaria numero complesso z = UN + bi. Se B= 0, allora invece UN + 0io semplicemente scrivono UN. Si può vedere che i numeri reali sono un caso speciale di numeri complessi.

Le operazioni aritmetiche sui numeri complessi sono le stesse che sui numeri reali: possono essere sommate, sottratte, moltiplicate e divise tra loro. L'addizione e la sottrazione avvengono secondo la regola ( UN + bi) ± ( C + di) = (UN ± C) + (B ± D)io, e la moltiplicazione segue la regola ( UN + bi) · ( C + di) = (AC – bd) + (anno Domini + avanti Cristo)io(qui si usa così io 2 = –1). Numero = UN – bi chiamato complesso coniugato A z = UN + bi. Uguaglianza z · = UN 2 + B 2 ti permette di capire come dividere un numero complesso per un altro numero complesso (diverso da zero):

(Per esempio, .)

I numeri complessi hanno una rappresentazione geometrica comoda e visiva: numero z = UN + bi può essere rappresentato da un vettore di coordinate ( UN; B) sul piano cartesiano (o, che è quasi la stessa cosa, un punto - l'estremità di un vettore con queste coordinate). In questo caso, la somma di due numeri complessi viene rappresentata come la somma dei vettori corrispondenti (che può essere trovata utilizzando la regola del parallelogramma). Secondo il teorema di Pitagora, la lunghezza del vettore con coordinate ( UN; B) è uguale a . Questa quantità si chiama modulo numero complesso z = UN + bi ed è indicato con | z|. Viene chiamato l'angolo che questo vettore forma con la direzione positiva dell'asse x (contato in senso antiorario). discussione numero complesso z ed è indicato con Arg z. L'argomento non è definito univocamente, ma solo fino all'addizione di un valore multiplo di 2 π radianti (o 360°, se contati in gradi) - è chiaro che ruotare di un tale angolo attorno all'origine non cambierà il vettore. Ma se il vettore di length R forma un angolo φ con la direzione positiva dell'asse x, allora le sue coordinate sono uguali a ( R cos φ ; R peccato φ ). Da qui si scopre notazione trigonometrica numero complesso: z = |z| · (cos(Arg z) + io peccato (Arg z)). Spesso è conveniente scrivere i numeri complessi in questa forma, perché semplifica notevolmente i calcoli. Moltiplicare numeri complessi in forma trigonometrica è molto semplice: z 1 · z 2 = |z 1| · | z 2| · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + io peccato (Arg z 1 + Arg z 2)) (quando si moltiplicano due numeri complessi, i loro moduli vengono moltiplicati e i loro argomenti vengono aggiunti). Da qui segui Le formule di Moivre: zn = |z|N· (cos( N· (Arg z)) + io peccato( N· (Arg z))). Usando queste formule, è facile imparare come estrarre radici di qualsiasi grado da numeri complessi. radice ennesima di z- questo è un numero complesso w, Che cosa w n = z. E' chiaro , E dove K può assumere qualsiasi valore dall'insieme (0, 1, ..., N- 1). Ciò significa che c'è sempre esattamente N radici N-esimo grado di un numero complesso (sul piano si trovano ai vertici del numero regolare N-gon).

SoggettoNumeri complessi e polinomi

Conferenza 22

§1. Numeri complessi: definizioni fondamentali

Simbolo è introdotto dal rapporto
ed è chiamata unità immaginaria. In altre parole,
.

Definizione. Espressione della forma
, Dove
, è chiamato numero complesso e il numero chiamata parte reale di un numero complesso e denotare
, numero – parte immaginaria e denotare
.

Da questa definizione segue che i numeri reali sono quei numeri complessi la cui parte immaginaria è uguale a zero.

È conveniente rappresentare i numeri complessi mediante punti di un piano su cui è dato un sistema di coordinate cartesiane rettangolari, vale a dire: un numero complesso
corrisponde al punto
e viceversa. In asse
sono raffigurati i numeri reali e viene chiamato asse reale. Numeri complessi della forma

sono chiamati puramente immaginari. Sono rappresentati da punti sull'asse
, che è chiamato asse immaginario. Questo piano, che serve a rappresentare i numeri complessi, è chiamato piano complesso. Un numero complesso che non è reale, ad es. tale che
, a volte chiamato immaginario.

Due numeri complessi si dicono uguali se e solo se la loro parte reale e quella immaginaria sono uguali.

L'addizione, la sottrazione e la moltiplicazione di numeri complessi viene eseguita secondo le consuete regole dell'algebra polinomiale, tenendo conto del fatto che

. L'operazione di divisione può essere definita come l'inverso dell'operazione di moltiplicazione e l'unicità del risultato può essere dimostrata (se il divisore è diverso da zero). Tuttavia, in pratica viene utilizzato un approccio diverso.

Numeri complessi
E
sono detti coniugati; sul piano complesso sono rappresentati da punti simmetrici rispetto all'asse reale. È ovvio che:

1)

;

2)
;

3)
.

Ora dividi SU può essere fatto come segue:

.

Non è difficile dimostrarlo

,

dov'è il simbolo indica qualsiasi operazione aritmetica.

Permettere
qualche numero immaginario, e – variabile reale. Prodotto di due binomi

è un trinomio quadratico a coefficienti reali.

Ora, avendo a disposizione numeri complessi, possiamo risolvere qualsiasi equazione quadratica
.Se poi

e l'equazione ha due radici coniugate complesse

.

Se
, allora l'equazione ha due radici reali diverse. Se
, allora l'equazione ha due radici identiche.

§2. Forma trigonometrica di un numero complesso

Come accennato in precedenza, un numero complesso
conveniente da rappresentare come un punto
. Questo numero può anche essere identificato con il raggio vettore di questo punto
. Con questa interpretazione, l'addizione e la sottrazione di numeri complessi viene eseguita secondo le regole per l'addizione e la sottrazione dei vettori. Per moltiplicare e dividere numeri complessi è più conveniente un'altra forma.

Introduciamo sul piano complesso
sistema di coordinate polari. Poi dove
,
e numero complesso
può essere scritto come:

Questa forma di notazione è chiamata trigonometrica (in contrasto con la forma algebrica
). In questa forma il numero è chiamato modulo e – argomento di un numero complesso . Sono designati:
,

. Per il modulo abbiamo la formula

L'argomento di un numero non è definito in modo univoco, ma fino a un termine
,
. Il valore dell'argomento che soddisfa le disuguaglianze
, è chiamato principale ed è denotato
. Poi,
. Per il valore principale dell'argomento, puoi ottenere le seguenti espressioni:

,

argomento numerico
è considerato incerto.

La condizione per l'uguaglianza di due numeri complessi in forma trigonometrica ha la forma: i moduli dei numeri sono uguali e gli argomenti differiscono di un multiplo di
.

Troviamo il prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica:

Pertanto, quando i numeri vengono moltiplicati, i loro moduli vengono moltiplicati e i loro argomenti vengono aggiunti.

In modo simile possiamo stabilire che durante la divisione si dividono i moduli dei numeri e si sottraggono gli argomenti.

Comprendendo l'elevamento a potenza come una moltiplicazione ripetuta, possiamo ottenere una formula per elevare un numero complesso a una potenza:

Deriviamo una formula per
- radice -esima potenza di un numero complesso (da non confondere con la radice aritmetica di un numero reale!). L'operazione di estrazione della radice è l'inverso dell'operazione di esponenziazione. Ecco perché
è un numero complesso tale che
.

Permettere
è noto, ma
necessario per essere trovato. Poi

Dall'uguaglianza di due numeri complessi in forma trigonometrica segue questo

,
,
.

Da qui
(questa è una radice aritmetica!),

,
.

È facile verificarlo non può che accettare valori essenzialmente diversi, ad esempio, quando
. Infine abbiamo la formula:

,
.

Quindi la radice ha la -esima potenza di un numero complesso significati diversi. Sul piano complesso questi valori si trovano correttamente ai vertici -un triangolo inscritto in una circonferenza di raggio
con centro nell'origine. La “prima” radice ha un argomento
, gli argomenti di due radici “vicine” differiscono per
.

Esempio. Prendiamo la radice cubica dell'unità immaginaria:
,
,
. Poi:

,