La probabilità dell'evento a è uguale. Teoria della probabilità

Quando viene lanciata una moneta, puoi dire che atterrerà a testa in su, oppure probabilità questo è 1/2. Naturalmente, questo non significa che se una moneta viene lanciata 10 volte, uscirà necessariamente testa 5 volte. Se la moneta è "giusta" e viene lanciata molte volte, la testa cadrà molto vicina nella metà delle volte. Esistono quindi due tipi di probabilità: sperimentale E teorico .

Probabilità sperimentale e teorica

Se lanciamo una moneta un gran numero di volte – diciamo 1000 – e contiamo quante volte esce testa, possiamo determinare la probabilità che esca testa. Se la testa viene lanciata 503 volte, possiamo calcolare la probabilità che cada:
503/1000, o 0,503.

Questo sperimentale determinazione della probabilità. Questa definizione di probabilità deriva dall'osservazione e dallo studio dei dati ed è abbastanza comune e molto utile. Ecco, ad esempio, alcune probabilità determinate sperimentalmente:

1. La probabilità che una donna sviluppi un cancro al seno è 1/11.

2. Se baci qualcuno che ha il raffreddore, la probabilità che anche tu prenderai il raffreddore è 0,07.

3. Una persona appena uscita di prigione ha l'80% di possibilità di tornare in prigione.

Se consideriamo il lancio di una moneta e tenendo conto che è altrettanto probabile che esca testa o croce, possiamo calcolare la probabilità che esca testa: 1/2 Questa è una definizione teorica di probabilità. Ecco alcune altre probabilità che sono state determinate teoricamente utilizzando la matematica:

1. Se in una stanza ci sono 30 persone, la probabilità che due di loro compiano lo stesso compleanno (anno escluso) è 0,706.

2. Durante un viaggio incontri qualcuno e durante la conversazione scopri di avere un amico in comune. Reazione tipica: “Non può essere!” In realtà, questa frase non è adatta, perché la probabilità di un tale evento è piuttosto alta, poco più del 22%.

Pertanto, le probabilità sperimentali vengono determinate attraverso l'osservazione e la raccolta di dati. Le probabilità teoriche sono determinate attraverso il ragionamento matematico. Esempi di probabilità sperimentali e teoriche, come quelli discussi sopra, e soprattutto quelli che non ci aspettiamo, ci portano all'importanza dello studio della probabilità. Potresti chiedere: "Cos'è la vera probabilità?" In realtà, non esiste una cosa del genere. Le probabilità entro certi limiti possono essere determinate sperimentalmente. Possono coincidere o meno con le probabilità che otteniamo teoricamente. Ci sono situazioni in cui è molto più facile determinare un tipo di probabilità piuttosto che un altro. Ad esempio, sarebbe sufficiente trovare la probabilità di prendere un raffreddore utilizzando la probabilità teorica.

Calcolo delle probabilità sperimentali

Consideriamo innanzitutto la definizione sperimentale di probabilità. Il principio di base che utilizziamo per calcolare tali probabilità è il seguente.

Principio P (sperimentale)

Se in un esperimento in cui vengono effettuate n osservazioni, una situazione o un evento E si verifica m volte in n osservazioni, allora la probabilità sperimentale dell'evento si dice che sia P (E) = m/n.

Esempio 1 Indagine sociologica. È stato condotto uno studio sperimentale per determinare il numero di mancini, destrimani e persone le cui entrambe le mani hanno lo stesso sviluppo. I risultati sono mostrati nel grafico.

a) Determinare la probabilità che la persona sia destrimane.

b) Determinare la probabilità che la persona sia mancina.

c) Determinare la probabilità che una persona parli ugualmente fluentemente entrambe le mani.

d) La maggior parte dei tornei della Professional Bowling Association sono limitati a 120 giocatori. Sulla base dei dati di questo esperimento, quanti giocatori potrebbero essere mancini?

Soluzione

a) Il numero di persone destre è 82, il numero di mancini è 17 e il numero di coloro che parlano ugualmente bene entrambe le mani è 1. Il numero totale di osservazioni è 100. Pertanto, la probabilità che una persona sia destrorsa è P
P = 82/100, o 0,82, o 82%.

b) La probabilità che una persona sia mancina è P, dove
P = 17/100, o 0,17, o 17%.

c) La probabilità che una persona parli ugualmente fluentemente entrambe le mani è P, dove
P = 1/100, o 0,01, o 1%.

d) 120 giocatori di bowling, e da (b) possiamo aspettarci che il 17% siano mancini. Da qui
17% di 120 = 0.17.120 = 20,4,
cioè, possiamo aspettarci che circa 20 giocatori siano mancini.

Esempio 2 Controllo di qualità . È molto importante per un produttore mantenere la qualità dei suoi prodotti ad un livello elevato. In effetti, le aziende assumono ispettori del controllo qualità per garantire questo processo. L’obiettivo è produrre il minor numero possibile di prodotti difettosi. Ma poiché l’azienda produce migliaia di prodotti ogni giorno, non può permettersi di testare ogni prodotto per determinare se è difettoso o meno. Per scoprire quale percentuale di prodotti è difettosa, l’azienda testa molti meno prodotti.
L'USDA richiede che l'80% dei semi venduti dai coltivatori debbano germinare. Per determinare la qualità dei semi che produce un'azienda agricola, vengono piantati 500 semi tra quelli prodotti. Successivamente si calcolò che germogliarono 417 semi.

a) Qual è la probabilità che il seme germini?

b) I semi soddisfano gli standard governativi?

Soluzione a) Sappiamo che su 500 semi piantati ne sono germogliati 417. Probabilità di germinazione dei semi P, e
P = 417/500 = 0,834, o 83,4%.

b) Poiché la percentuale di semi germinati ha superato l'80% come richiesto, i semi soddisfano gli standard governativi.

Esempio 3 Ascolti televisivi. Secondo le statistiche, negli Stati Uniti ci sono 105.500.000 famiglie dotate di televisione. Ogni settimana vengono raccolte ed elaborate informazioni sulla visione dei programmi. In una settimana, 7.815.000 famiglie si sono sintonizzate sulla serie comica di successo "Everybody Loves Raymond" sulla CBS e 8.302.000 famiglie si sono sintonizzate sulla serie di successo "Law & Order" sulla NBC (Fonte: Nielsen Media Research). Qual è la probabilità che la TV di una famiglia sia sintonizzata su "Tutti amano Raymond" durante una determinata settimana su "Law & Order"?

Soluzione La probabilità che la TV di una famiglia sia sintonizzata su "Tutti amano Raymond" è P, e
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
La possibilità che la TV di casa fosse sintonizzata su Law & Order è P, e
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Queste percentuali sono chiamate rating.

Probabilità teorica

Supponiamo di condurre un esperimento, come lanciare una moneta o delle freccette, pescare una carta da un mazzo o testare la qualità dei prodotti su una catena di montaggio. Viene chiamato ogni possibile risultato di un tale esperimento Esodo . Viene chiamato l'insieme di tutti i possibili risultati spazio dei risultati . Evento è un insieme di risultati, cioè un sottoinsieme dello spazio dei risultati.

Esempio 4 Lanciare freccette. Supponiamo che in un esperimento di lancio di una freccetta, una freccetta colpisca un bersaglio. Trova ciascuno dei seguenti:

b) Spazio dei risultati

Soluzione
a) I risultati sono: colpire il nero (B), colpire il rosso (R) e colpire il bianco (B).

b) Lo spazio dei risultati è (colpire il nero, colpire il rosso, colpire il bianco), che può essere scritto semplicemente come (H, K, B).

Esempio 5 Lancio di dadi. Un dado è un cubo con sei facce, su ciascuna delle quali sono disegnati da uno a sei punti.


Supponiamo di lanciare un dado. Trovare
a) Risultati
b) Spazio dei risultati

Soluzione
a) Risultati: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Spazio dei risultati (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Indichiamo la probabilità che un evento E si verifichi come P(E). Ad esempio, “la moneta esce testa” può essere indicato con H. Quindi P(H) rappresenta la probabilità che la moneta esca testa. Quando tutti i risultati di un esperimento hanno la stessa probabilità di verificarsi, si dicono che hanno la stessa probabilità. Per vedere le differenze tra eventi ugualmente probabili ed eventi che non lo sono, considera l'obiettivo mostrato di seguito.

Per il bersaglio A, gli eventi in cui viene colpito il nero, il rosso e il bianco sono ugualmente probabili, poiché i settori nero, rosso e bianco sono gli stessi. Tuttavia, per il bersaglio B, le zone con questi colori non sono le stesse, cioè colpirle non è ugualmente probabile.

Principio P (teorico)

Se un evento E può accadere in m modi tra n possibili risultati ugualmente probabili dallo spazio dei risultati S, allora probabilità teorica eventi, P(E) è
P(E) = m/n.

Esempio 6 Qual è la probabilità che lanciando un dado esca un 3?

Soluzione Ci sono 6 risultati ugualmente probabili su un dado e c'è solo una possibilità di far uscire il numero 3. Allora la probabilità P sarà P(3) = 1/6.

Esempio 7 Qual è la probabilità che su un dado esca un numero pari?

Soluzione L'evento è il lancio di un numero pari. Questo può accadere in 3 modi (se ottieni 2, 4 o 6). Il numero di risultati ugualmente probabili è 6. Quindi la probabilità P(pari) = 3/6 o 1/2.

Utilizzeremo una serie di esempi che coinvolgono un mazzo standard da 52 carte. Questo mazzo è composto dalle carte mostrate nella figura seguente.

Esempio 8 Qual è la probabilità di estrarre un asso da un mazzo di carte ben mescolato?

Soluzione Ci sono 52 risultati (il numero di carte nel mazzo), sono ugualmente probabili (se il mazzo è ben mescolato) e ci sono 4 modi per pescare un asso, quindi secondo il principio P, la probabilità
P(pesca un asso) = 4/52 o 1/13.

Esempio 9 Supponiamo di scegliere, senza guardare, una pallina da un sacchetto con 3 palline rosse e 4 palline verdi. Qual è la probabilità di scegliere una pallina rossa?

Soluzione Ci sono 7 risultati ugualmente probabili nell'estrarre una pallina qualsiasi, e poiché il numero di modi per estrarre una pallina rossa è 3, otteniamo
P (selezione della pallina rossa) = 3/7.

Le seguenti affermazioni sono il risultato del Principio P.

Proprietà della probabilità

a) Se l'evento E non può verificarsi, allora P(E) = 0.
b) Se l'evento E è certo che accadrà allora P(E) = 1.
c) La probabilità che si verifichi l'evento E è un numero da 0 a 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Ad esempio, nel lancio di una moneta, l'evento che la moneta cada sul bordo ha probabilità zero. La probabilità che una moneta sia testa o croce ha una probabilità pari a 1.

Esempio 10 Supponiamo che vengano estratte 2 carte da un mazzo di 52 carte. Qual è la probabilità che entrambi siano picchi?

Soluzione Il numero n di modi per pescare 2 carte da un mazzo di 52 carte ben mescolato è 52 C 2 . Poiché 13 delle 52 carte sono di picche, il numero di modi m per pescare 2 carte di picche è 13 C 2 . Poi,
P(tirando 2 picchi)= m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Esempio 11 Supponiamo che 3 persone vengano selezionate a caso da un gruppo di 6 uomini e 4 donne. Qual è la probabilità che vengano selezionati 1 uomo e 2 donne?

Soluzione Il numero di modi per selezionare tre persone da un gruppo di 10 persone è 10 C 3. Un uomo può essere scelto in 6 modi C 1 e 2 donne possono essere scelte in 4 modi C 2. Secondo il principio fondamentale del conteggio, il numero di modi per scegliere 1 uomo e 2 donne è 6 C 1. 4C2. Quindi, la probabilità che vengano selezionati 1 uomo e 2 donne è
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Esempio 12 Lancio di dadi. Qual è la probabilità di ottenere un totale di 8 su due dadi?

Soluzione Ogni dado ha 6 possibili risultati. I risultati vengono raddoppiati, il che significa che ci sono 6,6 o 36 modi possibili in cui possono apparire i numeri sui due dadi. (È meglio se i cubi sono diversi, diciamo che uno è rosso e l'altro è blu: questo aiuterà a visualizzare il risultato.)

Le coppie di numeri la cui somma dà come risultato 8 sono mostrate nella figura seguente. Esistono 5 modi possibili per ottenere una somma pari a 8, quindi la probabilità è 5/36.

Che ci piaccia o no, la nostra vita è piena di tutti i tipi di incidenti, sia piacevoli che meno piacevoli. Pertanto, non farebbe male a ciascuno di noi sapere come trovare la probabilità di un particolare evento. Questo ti aiuterà a prendere le decisioni giuste in qualsiasi circostanza che implichi incertezza. Ad esempio, tale conoscenza sarà molto utile quando si scelgono le opzioni di investimento, si valuta la possibilità di vincere un'azione o una lotteria, si determina la realtà del raggiungimento degli obiettivi personali, ecc., Ecc.

Formula della teoria della probabilità

In linea di principio, lo studio di questo argomento non richiede troppo tempo. Per ottenere una risposta alla domanda: "Come trovare la probabilità di un fenomeno?", è necessario comprendere i concetti chiave e ricordare i principi di base su cui si basa il calcolo. Quindi, secondo le statistiche, gli eventi oggetto di studio sono indicati con A1, A2,..., An. Ciascuno di essi ha sia risultati favorevoli (m) che un numero totale di risultati elementari. Ad esempio, siamo interessati a come trovare la probabilità che ci sia un numero pari di punti sul lato superiore del cubo. Allora A è un lancio di m - 2, 4 o 6 punti (tre opzioni favorevoli), e n sono tutte e sei le opzioni possibili.

La formula di calcolo stessa è la seguente:

Con un risultato tutto è estremamente semplice. Ma come trovare la probabilità se gli eventi si verificano uno dopo l'altro? Considera questo esempio: una carta viene mostrata da un mazzo di carte (36 pezzi), quindi viene nascosta di nuovo nel mazzo e, dopo aver mescolato, viene estratta la successiva. Come trovare la probabilità che almeno in un caso sia stata estratta la regina di picche? Esiste la seguente regola: se viene considerato un evento complesso, che può essere suddiviso in più eventi semplici incompatibili, è possibile prima calcolare il risultato per ciascuno di essi e quindi sommarli insieme. Nel nostro caso sarà simile a questo: 1/36 + 1/36 = 1/18. Ma cosa succede quando se ne verificano più contemporaneamente? Quindi moltiplichiamo i risultati! Ad esempio, la probabilità che lanciando due monete contemporaneamente escano due teste sarà pari a: ½ * ½ = 0,25.

Adesso facciamo un esempio ancora più complesso. Supponiamo di partecipare a una lotteria di libri in cui vincono dieci biglietti su trenta. È necessario determinare:

1. La probabilità che entrambi siano vincitori.
2. Almeno uno di loro porterà un premio.
3. Entrambi saranno perdenti.

Quindi, consideriamo il primo caso. Può essere suddiviso in due eventi: il primo biglietto sarà fortunato e anche il secondo sarà fortunato. Teniamo presente che gli eventi sono dipendenti, poiché dopo ogni estrazione il numero totale di opzioni diminuisce. Noi abbiamo:

10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.

Nel secondo caso, dovrai determinare la probabilità di un biglietto perdente e tenere conto che può essere il primo o il secondo: 10/30 * 20/29 + 20/29 * 10/30 = 0,4598.

Infine, il terzo caso, quando non potrai vincere nemmeno un libro alla lotteria: 20/30 * 19/29 = 0,4368.

Probabilità L'evento è il rapporto tra il numero di risultati elementari favorevoli a un dato evento e il numero di tutti i risultati ugualmente possibili dell'esperienza in cui questo evento può verificarsi. La probabilità dell'evento A è indicata con P(A) (qui P è la prima lettera della parola francese probabilite - probabilità). Secondo la definizione
(1.2.1)
dove è il numero di esiti elementari favorevoli all'evento A; - il numero di tutti i risultati elementari ugualmente possibili dell'esperimento, formando un gruppo completo di eventi.
Questa definizione di probabilità è chiamata classica. È sorto nella fase iniziale dello sviluppo della teoria della probabilità.

La probabilità di un evento ha le seguenti proprietà:
1. La probabilità di un evento affidabile è pari a uno. Indichiamo un evento affidabile con la lettera . Per un certo evento, quindi
(1.2.2)
2. La probabilità di un evento impossibile è zero. Indichiamo un evento impossibile con la lettera . Per un evento impossibile, quindi
(1.2.3)
3. La probabilità di un evento casuale è espressa come un numero positivo inferiore a uno. Poiché per un evento casuale le disuguaglianze , o , sono allora soddisfatte
(1.2.4)
4. La probabilità di qualsiasi evento soddisfa le disuguaglianze
(1.2.5)
Ciò segue dalle relazioni (1.2.2) - (1.2.4).

Esempio 1. Un'urna contiene 10 palline di uguale dimensione e peso, di cui 4 rosse e 6 blu. Si estrae una pallina dall'urna. Qual è la probabilità che la pallina estratta sia blu?

Soluzione. Indichiamo con la lettera A l'evento “la pallina estratta si è rivelata blu”. Questo test ha 10 esiti elementari ugualmente possibili, di cui 6 favoriscono l'evento A. Secondo la formula (1.2.1), otteniamo

Esempio 2. Tutti i numeri naturali da 1 a 30 vengono scritti su carte identiche e posti in un'urna. Dopo aver mescolato accuratamente le carte, una carta viene rimossa dall'urna. Qual è la probabilità che il numero sulla carta presa sia un multiplo di 5?

Soluzione. Indichiamo con A l'evento “il numero sulla carta presa è un multiplo di 5”. In questo test ci sono 30 esiti elementari ugualmente possibili, di cui l'evento A è favorito da 6 esiti (i numeri 5, 10, 15, 20, 25, 30). Quindi,

Esempio 3. Si lanciano due dadi e si calcola la somma dei punti sulle facce superiori. Trova la probabilità dell'evento B tale che le facce superiori del dado abbiano un totale di 9 punti.

Soluzione. In questo test ci sono solo 6 2 = 36 risultati elementari ugualmente possibili. L'evento B è favorito da 4 esiti: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), quindi

Esempio 4. Si sceglie a caso un numero naturale non maggiore di 10. Qual è la probabilità che questo numero sia primo?

Soluzione. Indichiamo con la lettera C l'evento “il numero scelto è primo”. In questo caso, n = 10, m = 4 (numeri primi 2, 3, 5, 7). Pertanto, la probabilità richiesta

Esempio 5. Vengono lanciate due monete simmetriche. Qual è la probabilità che sul lato superiore di entrambe le monete ci siano dei numeri?

Soluzione. Indichiamo con la lettera D l'evento “c'è un numero sul lato superiore di ogni moneta”. In questo test ci sono 4 risultati elementari ugualmente possibili: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (La notazione (G, C) significa che la prima moneta ha uno stemma, la seconda un numero). L'evento D è favorito da un risultato elementare (C, C). Poiché m = 1, n = 4, allora

Esempio 6. Qual è la probabilità che un numero di due cifre scelto a caso abbia le stesse cifre?

Soluzione. I numeri a due cifre sono i numeri da 10 a 99; Ci sono 90 numeri di questo tipo in totale. 9 numeri hanno cifre identiche (questi sono i numeri 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Poiché in questo caso m = 9, n = 90, allora
,
dove A è l'evento “numero con cifre identiche”.

Esempio 7. Dalle lettere della parola differenziale Una lettera viene scelta a caso. Qual è la probabilità che questa lettera sia: a) una vocale, b) una consonante, c) una lettera H?

Soluzione. La parola differenziale ha 12 lettere, di cui 5 vocali e 7 consonanti. Lettere H non c'è nulla in questa parola. Denotiamo gli eventi: A - "lettera vocale", B - "lettera consonante", C - "lettera". H". Il numero di esiti elementari favorevoli: - per l'evento A, - per l'evento B, - per l'evento C. Poiché n = 12, allora
, E .

Esempio 8. Si lanciano due dadi e si annota il numero di punti sulla parte superiore di ciascun dado. Trova la probabilità che entrambi i dadi mostrino lo stesso numero di punti.

Soluzione. Indichiamo questo evento con la lettera A. L'evento A è favorito da 6 esiti elementari: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Il numero totale di risultati elementari ugualmente possibili che formano un gruppo completo di eventi, in questo caso n=6 2 =36. Ciò significa che la probabilità richiesta

Esempio 9. Il libro ha 300 pagine. Qual è la probabilità che una pagina aperta a caso abbia un numero seriale divisibile per 5?

Soluzione. Dalle condizioni del problema segue che tutti i risultati elementari ugualmente possibili che formano un gruppo completo di eventi saranno n = 300. Di questi, m = 60 favoriscono il verificarsi dell'evento specificato. Infatti, un numero multiplo di 5 ha la forma 5k, dove k è un numero naturale, e , da cui . Quindi,
, dove A - l'evento “pagina” ha un numero di sequenza che è un multiplo di 5".

Esempio 10. Si lanciano due dadi e si calcola la somma dei punti sulle facce superiori. Cos'è più probabile: ottenere un totale di 7 o 8?

Soluzione. Indichiamo gli eventi: A - “7 punti vengono lanciati”, B – “8 punti vengono lanciati”. L'evento A è favorito da 6 esiti elementari: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), e l'evento B è favorito per 5 esiti: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Tutti i risultati elementari ugualmente possibili sono n = 6 2 = 36. Quindi, E .

Quindi, P(A)>P(B), cioè ottenere un totale di 7 punti è un evento più probabile che ottenere un totale di 8 punti.

Compiti

1. Viene scelto a caso un numero naturale non superiore a 30. Qual è la probabilità che questo numero sia multiplo di 3?
2. Nell'urna UN rosso e B palline blu, identiche per dimensioni e peso. Qual è la probabilità che la pallina estratta a caso da questa urna sia blu?
3. Viene scelto a caso un numero non superiore a 30. Qual è la probabilità che questo numero sia un divisore di 30?
4. Nell'urna UN blu e B palline rosse, identiche per dimensioni e peso. Si prende una pallina da questa urna e la si mette da parte. Questa palla si è rivelata rossa. Successivamente si estrae un'altra pallina dall'urna. Trova la probabilità che anche la seconda pallina sia rossa.
5. Viene scelto a caso un numero nazionale non superiore a 50. Qual è la probabilità che questo numero sia primo?
6. Si lanciano tre dadi e si calcola la somma dei punti sulle facce superiori. Cos'è più probabile: ottenere un totale di 9 o 10 punti?
7. Si lanciano tre dadi e si calcola la somma dei punti ottenuti. Cos'è più probabile: ottenere un totale di 11 (evento A) o 12 punti (evento B)?

Risposte

1. 1/3. 2 . B/(UN+B). 3 . 0,2. 4 . (B-1)/(UN+B-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - probabilità di ottenere 9 punti in totale; p 2 = 27/216 - probabilità di ottenere 10 punti in totale; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Domande

1. Come si chiama la probabilità di un evento?
2. Qual è la probabilità di un evento affidabile?
3. Qual è la probabilità di un evento impossibile?
4. Quali sono i limiti della probabilità di un evento casuale?
5. Quali sono i limiti della probabilità di qualsiasi evento?
6. Quale definizione di probabilità è chiamata classica?

Se gli eventi H 1, H 2, ..., H n formano un gruppo completo, allora per calcolare la probabilità di un evento arbitrario puoi utilizzare la formula della probabilità totale:

P(A) = P(A/H 1) P(H 1)+P(A/H 2) P(H 2)

Secondo il quale la probabilità del verificarsi dell'evento A può essere rappresentata come la somma dei prodotti delle probabilità condizionate dell'evento A, soggetto al verificarsi degli eventi Hi, per le probabilità incondizionate di tali eventi Hi. Questi eventi H i sono chiamati ipotesi.

Dalla formula della probabilità totale segue la formula di Bayes:

Le probabilità P(H i) delle ipotesi H i sono chiamate probabilità a priori - probabilità prima di condurre esperimenti.
Le probabilità P(A/H i) sono chiamate probabilità a posteriori - le probabilità delle ipotesi H i, perfezionate come risultato dell'esperienza.

Scopo del servizio. Il calcolatore online è progettato per calcolare la probabilità totale con l'intero processo di soluzione scritto in formato Word (vedi esempi di risoluzione dei problemi).

Esempio n.1. Il negozio riceve lampadine da due fabbriche, di cui la quota della prima fabbrica è del 25%. È noto che la percentuale di difetti in questi stabilimenti è rispettivamente pari al 5% e al 10% di tutti i prodotti fabbricati. Il venditore prende una lampadina a caso. Qual è la probabilità che sia difettoso?
Soluzione: Indichiamo con A l'evento: "la lampadina risulta essere difettosa". Sono possibili le seguenti ipotesi sull'origine di questa lampadina: H1- "la lampadina proveniva dalla prima fabbrica." H2- “la lampadina proveniva dalla seconda pianta.” Poiché la quota del primo impianto è del 25%, le probabilità di queste ipotesi sono rispettivamente uguali ; .
La probabilità condizionata che una lampadina difettosa sia stata prodotta dal primo impianto è , la seconda pianta - p(A/H2)=troviamo la probabilità richiesta che il venditore abbia acquistato una lampadina difettosa utilizzando la formula della probabilità totale
0,25·0,05+0,75·0,10=0,0125+0,075=0,0875
Risposta: papà)= 0,0875.

Esempio n.2. Il negozio ha ricevuto due quantità uguali del prodotto con lo stesso nome. È noto che il 25% del primo lotto e il 40% del secondo lotto sono merci di prima classe. Qual è la probabilità che un'unità di bene scelta a caso non sia di prima scelta?
Soluzione:
Indichiamo con A l'evento: "il prodotto sarà di prima scelta". Sono possibili le seguenti ipotesi sull'origine di questo prodotto: H1- “prodotto del primo lotto”. H2- “prodotto del secondo lotto”. Poiché la quota del primo lotto è del 25%, le probabilità di queste ipotesi sono rispettivamente uguali ; .
La probabilità condizionata che il prodotto sia del primo lotto , dal secondo lotto - la probabilità desiderata che un’unità di beni scelta casualmente sia di prima classe
p(A) = P(H 1) p(A/H 1)+P(H 2) (A/H 2)= 0,25·0,5+0,4·0,5=0,125+0,2=0,325
Quindi, la probabilità che un'unità di bene scelta a caso non sia di prima scelta sarà pari a: 1- 0,325 = 0,675
Risposta: .

Esempio n.3. È noto che il 5% degli uomini e l'1% delle donne sono daltonici. La persona scelta a caso si è rivelata non daltonica. Qual è la probabilità che si tratti di un uomo (supponendo che ci siano un numero uguale di uomini e donne).
Soluzione.
Evento A: la persona scelta a caso risulta non essere daltonica.
Troviamo la probabilità che si verifichi questo evento.
P(A) = P(A|H=maschio) + P(A|H=femmina) = 0,95*0,5 + 0,99*0,5 = 0,475 + 0,495 = 0,97
Allora la probabilità che si tratti di un uomo è: p = P(A|H=uomo) / P(A) = 0,475/0,97 = 0,4897

Esempio n.4. Alle Olimpiadi sportive partecipano 4 studenti del primo anno, 6 del secondo anno e 5 del terzo anno. Le probabilità che uno studente del primo, del secondo e del terzo anno vincano le Olimpiadi sono rispettivamente 0,9; 0,7 e 0,8.
a) Trova la probabilità di vincita di un partecipante selezionato casualmente.
b) Nelle condizioni di questo problema, uno studente ha vinto le Olimpiadi. A quale gruppo appartiene più probabilmente?
Soluzione.
Evento A: vittoria di un partecipante selezionato casualmente.
Qui P(H1) = 4/(4+6+5) = 0,267, P(H2) = 6/(4+6+5) = 0,4, P(H3) = 5/(4+6+5) = 0,333,
P(A|H1) = 0,9, P(A|H2) = 0,7, P(A|H3) = 0,8
a) P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0,267*0,9 + 0,4*0,7 + 0,333*0,8 = 0,787
b) La soluzione può essere ottenuta utilizzando questa calcolatrice.
p1 = P(H1)*P(A|H1)/P(A)
p2 = P(H2)*P(A|H2)/P(A)
p3 = P(H3)*P(A|H3)/P(A)
Da p1, p2, p3, scegli quello massimo.

Esempio n.5. L'azienda dispone di tre macchine dello stesso tipo. Uno di loro fornisce il 20% della produzione totale, il secondo il 30%, il terzo il 50%. In questo caso, la prima macchina produce il 5% di difetti, la seconda il 4%, la terza il 2%. Trovare la probabilità che un prodotto difettoso scelto a caso venga prodotto dalla prima macchina.

come categoria ontologica riflette la portata della possibilità dell'emergere di qualsiasi entità in qualsiasi condizione. Contrariamente all'interpretazione matematica e logica di questo concetto, la matematica ontologica non si associa all'obbligo dell'espressione quantitativa. Il significato di V. si rivela nel contesto della comprensione del determinismo e della natura dello sviluppo in generale.

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concetto che caratterizza le quantità. la misura della possibilità del verificarsi di un determinato evento in un determinato momento condizioni. In scientifico conoscenza ci sono tre interpretazioni di V. Il concetto classico di V., che nasce dalla matematica. analisi del gioco d'azzardo e sviluppata in modo più completo da B. Pascal, J. Bernoulli e P. Laplace, considera la vincita come il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero totale di tutti quelli ugualmente possibili. Ad esempio, quando si lancia un dado con 6 facce, ci si può aspettare che ciascuna di esse esca con un valore di 1/6, poiché nessuna faccia ha vantaggi rispetto a un'altra. Tale simmetria dei risultati sperimentali viene presa in considerazione soprattutto quando si organizzano giochi, ma è relativamente rara nello studio di eventi oggettivi nella scienza e nella pratica. Classico L'interpretazione di V. ha lasciato il posto alla statistica. I concetti di V., che si basano sulla realtà osservare il verificarsi di un determinato evento per un lungo periodo di tempo. esperienza in condizioni precise. La pratica conferma che quanto più spesso si verifica un evento, tanto maggiore è il grado di possibilità oggettiva che si verifichi, o B. Pertanto, statistico. L'interpretazione di V. si basa sul concetto di relazione. frequenza, che può essere determinata sperimentalmente. V. come teorico il concetto non coincide mai con la frequenza determinata empiricamente, però, al plurale. In alcuni casi differisce praticamente poco da quello relativo. frequenza trovata come risultato della durata. osservazioni. Molti statistici considerano V. come un “doppio” riferimento. frequenze, i bordi sono determinati statisticamente. studio dei risultati osservativi

o esperimenti. Meno realistica è stata la definizione di V. in quanto si riferisce al limite. frequenze di eventi di massa, o gruppi, proposte da R. Mises. Come ulteriore sviluppo dell'approccio frequenziale a V. viene proposta un'interpretazione disposizionale o propensiva di V. (K. Popper, J. Hacking, M. Bunge, T. Settle). Secondo questa interpretazione, V. caratterizza, ad esempio, la proprietà di generare condizioni. sperimentare. installazioni per ottenere una sequenza di enormi eventi casuali. È proprio questo atteggiamento che dà origine al fisico disposizioni, o predisposizioni, V. che possono essere verificate utilizzando i parenti. frequenza

Statistico L'interpretazione di V. domina la ricerca scientifica. cognitiva, perché riflette specifici. la natura dei modelli inerenti ai fenomeni di massa di natura casuale. In molti aspetti fisici, biologici, economici, demografici. e altri processi sociali, è necessario tenere conto dell'azione di molti fattori casuali, caratterizzati da una frequenza stabile. Identificare queste frequenze e quantità stabili. la sua valutazione con l'aiuto di V. permette di rivelare la necessità che si fa strada attraverso l'azione cumulativa di tanti incidenti. Qui trova la sua manifestazione la dialettica della trasformazione del caso in necessità (vedi F. Engels, nel libro: K. Marx e F. Engels, Opere, vol. 20, pp. 535-36).

Il ragionamento logico, o induttivo, caratterizza il rapporto tra le premesse e la conclusione del ragionamento non dimostrativo e, in particolare, induttivo. A differenza della deduzione, le premesse dell'induzione non garantiscono la verità della conclusione, ma la rendono solo più o meno plausibile. Questa plausibilità, con premesse formulate con precisione, può talvolta essere valutata utilizzando V. Il valore di questo V. è spesso determinato mediante confronto. concetti (maggiore, minore o uguale a) e talvolta in modo numerico. Logico l'interpretazione viene spesso utilizzata per analizzare il ragionamento induttivo e costruire vari sistemi di logica probabilistica (R. Carnap, R. Jeffrey). Nella semantica concetti logici V. è spesso definito come il grado in cui un'affermazione è confermata da altre (ad esempio, un'ipotesi dai suoi dati empirici).

In connessione con lo sviluppo delle teorie del processo decisionale e dei giochi, i cosiddetti interpretazione personalistica di V. Sebbene V. esprima allo stesso tempo il grado di fede del soggetto e il verificarsi di un determinato evento, V. stessi devono essere scelti in modo tale che gli assiomi del calcolo di V. siano soddisfatti. Pertanto, V. con tale interpretazione esprime non tanto il grado di fede soggettiva, ma piuttosto ragionevole. Di conseguenza, le decisioni prese sulla base di tale V. saranno razionali, perché non tengono conto dell'aspetto psicologico. caratteristiche e inclinazioni del soggetto.

Con epistemologico t.zr. differenza tra statistico, logico. e le interpretazioni personalistiche di V. è che se il primo caratterizza le proprietà oggettive e le relazioni dei fenomeni di massa di natura casuale, allora gli ultimi due analizzano le caratteristiche del soggettivo, cognitivo. attività umane in condizioni di incertezza.

PROBABILITÀ

uno dei concetti più importanti della scienza, che caratterizza una speciale visione sistemica del mondo, della sua struttura, evoluzione e conoscenza. La specificità della visione probabilistica del mondo si rivela attraverso l'inclusione dei concetti di casualità, indipendenza e gerarchia (l'idea dei livelli nella struttura e nella determinazione dei sistemi) tra i concetti base dell'esistenza.

Le idee sulla probabilità hanno avuto origine in tempi antichi e si riferivano alle caratteristiche della nostra conoscenza, mentre era riconosciuta l'esistenza di una conoscenza probabilistica, che differiva dalla conoscenza attendibile e dalla conoscenza falsa. L'impatto dell'idea di probabilità sul pensiero scientifico e sullo sviluppo della conoscenza è direttamente correlato allo sviluppo della teoria della probabilità come disciplina matematica. L'origine della dottrina matematica della probabilità risale al XVII secolo, quando lo sviluppo di un nucleo di concetti lo consentì. caratteristiche quantitative (numeriche) ed esprimere un'idea probabilistica.

Nella seconda metà si verificano applicazioni intensive della probabilità per lo sviluppo cognitivo. 19 - 1° piano 20 ° secolo La probabilità è entrata nelle strutture di scienze fondamentali della natura come la fisica statistica classica, la genetica, la teoria quantistica e la cibernetica (teoria dell'informazione). Di conseguenza, la probabilità personifica quella fase dello sviluppo della scienza, che ora è definita scienza non classica. Per rivelare la novità e le caratteristiche del modo di pensare probabilistico, è necessario procedere da un'analisi del tema della teoria della probabilità e dei fondamenti delle sue numerose applicazioni. La teoria della probabilità è solitamente definita come una disciplina matematica che studia i modelli di fenomeni casuali di massa in determinate condizioni. Casualità significa che, nell'ambito del carattere di massa, l'esistenza di ogni fenomeno elementare non dipende e non è determinata dall'esistenza di altri fenomeni. Allo stesso tempo, la natura di massa dei fenomeni stessi ha una struttura stabile e contiene alcune regolarità. Un fenomeno di massa è diviso abbastanza rigorosamente in sottosistemi e il numero relativo di fenomeni elementari in ciascuno dei sottosistemi (frequenza relativa) è molto stabile. Questa stabilità viene confrontata con la probabilità. Un fenomeno di massa nel suo insieme è caratterizzato da una distribuzione di probabilità, cioè specificando i sottosistemi e le loro probabilità corrispondenti. Il linguaggio della teoria della probabilità è il linguaggio delle distribuzioni di probabilità. Di conseguenza, la teoria della probabilità è definita come la scienza astratta che opera con le distribuzioni.

La probabilità ha dato origine nella scienza alle idee sui modelli statistici e sui sistemi statistici. Questi ultimi sono sistemi formati da entità indipendenti o quasi indipendenti; la loro struttura è caratterizzata da distribuzioni di probabilità; Ma come è possibile formare sistemi composti da entità indipendenti? Di solito si presume che per la formazione di sistemi con caratteristiche integrali, sia necessario che esistano connessioni sufficientemente stabili tra i loro elementi che cementano i sistemi. La stabilità dei sistemi statistici è data dalla presenza di condizioni esterne, ambiente esterno, forze esterne anziché interne. La definizione stessa di probabilità si basa sempre sulla fissazione delle condizioni per la formazione del fenomeno di massa iniziale. Un'altra idea importante che caratterizza il paradigma probabilistico è l'idea di gerarchia (subordinazione). Questa idea esprime la relazione tra le caratteristiche dei singoli elementi e le caratteristiche integrali dei sistemi: queste ultime, per così dire, sono costruite sopra le prime.

L'importanza dei metodi probabilistici nella cognizione risiede nel fatto che consentono di studiare ed esprimere teoricamente i modelli di struttura e comportamento di oggetti e sistemi che hanno una struttura gerarchica “a due livelli”.

L'analisi della natura della probabilità si basa sulla sua frequenza, sull'interpretazione statistica. Allo stesso tempo, per molto tempo, nella scienza ha dominato una tale comprensione della probabilità, chiamata probabilità logica o induttiva. La probabilità logica è interessata alle questioni relative alla validità di un giudizio individuale separato in determinate condizioni. È possibile valutare in forma quantitativa il grado di conferma (attendibilità, verità) di una conclusione induttiva (conclusione ipotetica)? Durante lo sviluppo della teoria della probabilità, tali domande furono discusse ripetutamente e iniziarono a parlare dei gradi di conferma delle conclusioni ipotetiche. Questa misura di probabilità è determinata dalle informazioni a disposizione di una determinata persona, dalla sua esperienza, dalle sue opinioni sul mondo e dalla mentalità psicologica. In tutti questi casi, la grandezza della probabilità non è suscettibile di misurazioni rigorose e praticamente si trova al di fuori della competenza della teoria della probabilità come disciplina matematica coerente.

L'interpretazione oggettiva e frequentista della probabilità si è affermata nella scienza con notevoli difficoltà. Inizialmente, la comprensione della natura della probabilità era fortemente influenzata da quelle visioni filosofiche e metodologiche caratteristiche della scienza classica. Storicamente, lo sviluppo dei metodi probabilistici in fisica è avvenuto sotto l'influenza determinante delle idee della meccanica: i sistemi statistici venivano interpretati semplicemente come meccanici. Poiché i problemi corrispondenti non sono stati risolti con metodi rigorosi della meccanica, sono emerse affermazioni secondo cui il ricorso a metodi probabilistici e leggi statistiche è il risultato dell'incompletezza della nostra conoscenza. Nella storia dello sviluppo della fisica statistica classica, furono fatti numerosi tentativi per comprovarla sulla base della meccanica classica, ma tutti fallirono. La base della probabilità è che esprime le caratteristiche strutturali di una certa classe di sistemi, diversi dai sistemi meccanici: lo stato degli elementi di questi sistemi è caratterizzato dall'instabilità e da una natura speciale (non riducibile alla meccanica) delle interazioni.

L'ingresso della probabilità nella conoscenza porta alla negazione del concetto di determinismo duro, alla negazione del modello fondamentale dell'essere e della conoscenza sviluppato nel processo di formazione della scienza classica. I modelli di base rappresentati dalle teorie statistiche sono di natura diversa, più generale: includono le idee di casualità e indipendenza. L'idea di probabilità è associata alla divulgazione delle dinamiche interne di oggetti e sistemi, che non possono essere interamente determinate da condizioni e circostanze esterne.

Il concetto di una visione probabilistica del mondo, basata sull'assolutizzazione delle idee sull'indipendenza (come prima del paradigma della rigida determinazione), ha ora rivelato i suoi limiti, che si riflettono più fortemente nella transizione della scienza moderna verso metodi analitici per lo studio sistemi complessi e fondamenti fisici e matematici dei fenomeni di autorganizzazione.

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