Formula per la somma di una progressione aritmetica 9. Progressione aritmetica

Calcolatore in linea.
Risoluzione di una progressione aritmetica.
Dati: a n , d, n
Trova: un 1

Questo programma matematico trova \(a_1\) di una progressione aritmetica basata sui numeri specificati dall'utente \(a_n, d\) e \(n\).
I numeri \(a_n\) e \(d\) possono essere specificati non solo come numeri interi, ma anche come frazioni. Inoltre, il numero frazionario può essere inserito sotto forma di frazione decimale (\(2.5\)) e sotto forma di frazione ordinaria (\(-5\frac(2)(7)\)).

Il programma non solo fornisce la risposta al problema, ma mostra anche il processo per trovare una soluzione.

Questo calcolatore online può essere utile per gli studenti delle scuole superiori nelle scuole secondarie durante la preparazione a test ed esami, per testare le conoscenze prima dell'Esame di Stato Unificato e per i genitori per controllare la soluzione di molti problemi di matematica e algebra. O forse è troppo costoso per te assumere un tutor o acquistare nuovi libri di testo? O vuoi semplicemente finire i compiti di matematica o algebra il più velocemente possibile? In questo caso potete anche utilizzare i nostri programmi con soluzioni dettagliate.

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Se non hai familiarità con le regole per l'immissione dei numeri, ti consigliamo di familiarizzare con esse.

Regole per l'immissione dei numeri

I numeri \(a_n\) e \(d\) possono essere specificati non solo come numeri interi, ma anche come frazioni.
Il numero \(n\) può essere solo un numero intero positivo.

Regole per l'immissione delle frazioni decimali.
Le parti intere e frazionarie nelle frazioni decimali possono essere separate da un punto o da una virgola.
Ad esempio, puoi inserire frazioni decimali come 2,5 o come 2,5

Regole per l'immissione delle frazioni ordinarie.
Solo un numero intero può fungere da numeratore, denominatore e parte intera di una frazione.

Il denominatore non può essere negativo.

Quando si inserisce una frazione numerica, il numeratore è separato dal denominatore da un segno di divisione: /
Ingresso:
Risultato: \(-\frac(2)(3)\)

La parte intera è separata dalla frazione dal segno e commerciale: &
Ingresso:
Risultato: \(-1\frac(2)(3)\)

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Una piccola teoria.

Sequenza numerica

Nella pratica quotidiana, la numerazione dei vari oggetti viene spesso utilizzata per indicare l'ordine in cui sono disposti. Ad esempio, le case di ogni strada sono numerate. In biblioteca gli abbonamenti dei lettori vengono numerati e poi disposti secondo l'ordine dei numeri assegnati in appositi schedari.

In una cassa di risparmio, utilizzando il numero di conto personale del depositante, puoi facilmente trovare questo conto e vedere quale deposito c'è su di esso. Supponiamo che il conto n. 1 contenga un deposito di a1 rubli, il conto n. 2 contenga un deposito di a2 rubli, ecc. sequenza numerica
un 1, un 2, un 3, ..., un N
dove N è il numero di tutti i conti. Qui, ogni numero naturale n da 1 a N è associato a un numero a n.

Ha studiato anche matematica sequenze di numeri infinite:
un 1 , un 2 , un 3 , ..., un n , ... .
Il numero viene chiamato 1 primo termine della sequenza, numero a 2 - secondo termine della sequenza, numero a 3 - terzo termine della sequenza eccetera.
Si chiama il numero a n ennesimo (ennesimo) membro della sequenza, e il numero naturale n è suo numero.

Ad esempio, nella sequenza dei quadrati dei numeri naturali 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... e 1 = 1 è il primo termine della sequenza; e n = n 2 è l'ennesimo termine della successione; a n+1 = (n + 1) 2 è il (n + 1)esimo (n più il primo) termine della sequenza. Spesso una sequenza può essere specificata dalla formula del suo ennesimo termine. Ad esempio, la formula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) definisce la sequenza \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Progressione aritmetica

La durata dell'anno è di circa 365 giorni. Un valore più accurato è \(365\frac(1)(4)\) giorni, quindi ogni quattro anni si accumula un errore di un giorno.

Per tenere conto di questo errore, viene aggiunto un giorno ogni quattro anni e l'anno prolungato viene chiamato anno bisestile.

Ad esempio, nel terzo millennio, gli anni bisestili sono gli anni 2004, 2008, 2012, 2016,….

In questa sequenza ogni membro, a partire dal secondo, è uguale al precedente, sommato allo stesso numero 4. Tali sequenze sono chiamate progressioni aritmetiche.

Definizione.
La sequenza numerica è chiamata a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... progressione aritmetica, se per tutto naturale n l'uguaglianza
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
dove d è un numero.

Da questa formula segue che a n+1 - a n = d. Il numero d è chiamato differenza progressione aritmetica.

Per definizione di progressione aritmetica abbiamo:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
Dove
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), dove \(n>1 \)

Pertanto ogni termine di una progressione aritmetica, a partire dal secondo, è uguale alla media aritmetica dei suoi due termini adiacenti. Questo spiega il nome progressione "aritmetica".

Si noti che se vengono forniti a 1 e d, i restanti termini della progressione aritmetica possono essere calcolati utilizzando la formula ricorrente a n+1 = a n + d. In questo modo non è difficile calcolare i primi termini della progressione, però, ad esempio, un 100 richiederà già molti calcoli. In genere, per questo viene utilizzata la formula dell'ennesimo termine. Per definizione di progressione aritmetica
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
eccetera.
Affatto,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
poiché l'ennesimo termine di una progressione aritmetica si ottiene dal primo termine sommando (n-1) volte il numero d.
Questa formula si chiama formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica.

Somma dei primi n termini di una progressione aritmetica

Trova la somma di tutti i numeri naturali da 1 a 100.
Scriviamo questo importo in due modi:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Sommiamo queste uguaglianze termine per termine:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Questa somma ha 100 termini
Pertanto, 2S = 101 * 100, quindi S = 101 * 50 = 5050.

Consideriamo ora una progressione aritmetica arbitraria
un 1 , un 2 , un 3 , ..., un n , ...
Sia S n la somma dei primi n termini di questa progressione:
S n = un 1 , un 2 , un 3 , ..., un n
Poi la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica è uguale a
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Poiché \(a_n=a_1+(n-1)d\), sostituendo una n in questa formula otteniamo un'altra formula per trovare somma dei primi n termini di una progressione aritmetica:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Prima di iniziare a decidere problemi di progressione aritmetica, consideriamo cos'è una sequenza numerica, poiché una progressione aritmetica è un caso speciale di sequenza numerica.

Una sequenza numerica è un insieme di numeri, ciascun elemento del quale ha il proprio numero di serie. Gli elementi di questo insieme sono chiamati membri della sequenza. Il numero di serie di un elemento di sequenza è indicato da un indice:

Il primo elemento della sequenza;

Quinto elemento della sequenza;

- l'elemento “n-esimo” della sequenza, ovvero elemento "in coda" al numero n.

Esiste una relazione tra il valore di un elemento di sequenza e il suo numero di sequenza. Pertanto, possiamo considerare una sequenza come una funzione il cui argomento è il numero ordinale dell'elemento della sequenza. In altre parole, possiamo dirlo la sequenza è una funzione dell'argomento naturale:

La sequenza può essere impostata in tre modi:

1 . La sequenza può essere specificata utilizzando una tabella. In questo caso, impostiamo semplicemente il valore di ciascun membro della sequenza.

Ad esempio, qualcuno ha deciso di dedicarsi alla gestione del tempo personale e, per cominciare, di contare quanto tempo trascorre su VKontakte durante la settimana. Registrando il tempo nella tabella riceverà una sequenza composta da sette elementi:

La prima riga della tabella indica il numero del giorno della settimana, la seconda l'ora in minuti. Vediamo che lunedì qualcuno ha trascorso 125 minuti su VKontakte, cioè giovedì - 248 minuti e venerdì solo 15.

2 . La sequenza può essere specificata utilizzando la formula dell'ennesimo termine.

In questo caso, la dipendenza del valore di un elemento di sequenza dal suo numero è espressa direttamente sotto forma di formula.

Ad esempio, se , allora

Per trovare il valore di un elemento di sequenza con un dato numero, sostituiamo il numero dell'elemento nella formula dell'ennesimo termine.

Facciamo la stessa cosa se dobbiamo trovare il valore di una funzione conoscendo il valore dell'argomento. Sostituiamo il valore dell'argomento nell'equazione della funzione:

Se, ad esempio, , Quello

Vorrei notare ancora una volta che in una sequenza, a differenza di una funzione numerica arbitraria, l'argomento può essere solo un numero naturale.

3 . La sequenza può essere specificata utilizzando una formula che esprime la dipendenza del valore del membro della sequenza numero n dai valori dei membri precedenti. In questo caso non è sufficiente conoscere solo il numero del membro della sequenza per trovarne il valore. Dobbiamo specificare il primo membro o i primi membri della sequenza.

Consideriamo ad esempio la sequenza ,

Possiamo trovare i valori dei membri della sequenza in sequenza, a partire dal terzo:

Cioè ogni volta, per trovare il valore dell'n-esimo termine della successione, si torna ai due precedenti. Questo metodo per specificare una sequenza viene chiamato ricorrente, dalla parola latina ricorrere- ritorno.

Ora possiamo definire una progressione aritmetica. Una progressione aritmetica è un semplice caso speciale di una sequenza numerica.

Progressione aritmetica è una sequenza numerica, ciascun membro della quale, a partire dal secondo, è uguale al precedente sommato allo stesso numero.

Il numero viene chiamato differenza di progressione aritmetica. La differenza di una progressione aritmetica può essere positiva, negativa o uguale a zero.

Se titolo="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} crescente.

Ad esempio, 2; 5; 8; undici;...

Se , allora ogni termine di una progressione aritmetica è minore del precedente, e la progressione è decrescente.

Ad esempio, 2; -1; -4; -7;...

Se , allora tutti i termini della progressione sono uguali allo stesso numero e la progressione lo è stazionario.

Ad esempio, 2;2;2;2;...

La proprietà principale di una progressione aritmetica:

Diamo un'occhiata al disegno.

Lo vediamo

, e allo stesso tempo

Sommando queste due uguaglianze, otteniamo:

.

Dividiamo entrambi i membri dell'uguaglianza per 2:

Quindi ogni membro della progressione aritmetica, a partire dal secondo, è uguale alla media aritmetica dei due vicini:

Inoltre, da allora

, e allo stesso tempo

, Quello

, e quindi

Ogni termine di una progressione aritmetica, che inizia con title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formula dell'esimo termine.

Vediamo che i termini della progressione aritmetica soddisfano le seguenti relazioni:

e infine

Noi abbiamo formula dell'ennesimo termine.

IMPORTANTE! Qualsiasi membro di una progressione aritmetica può essere espresso tramite e. Conoscendo il primo termine e la differenza di una progressione aritmetica, puoi trovare qualsiasi suo termine.

La somma di n termini di una progressione aritmetica.

In una progressione aritmetica arbitraria, le somme dei termini equidistanti da quelli estremi sono uguali tra loro:

Consideriamo una progressione aritmetica con n termini. Sia la somma di n termini di questa progressione uguale a .

Disponiamo i termini della progressione prima in ordine crescente di numeri, e poi in ordine decrescente:

Aggiungiamo a coppie:

La somma in ciascuna parentesi è , il numero di coppie è n.

Noi abbiamo:

COSÌ, la somma di n termini di una progressione aritmetica può essere trovata utilizzando le formule:

Consideriamo Risoluzione di problemi di progressione aritmetica.

1 . La sequenza è data dalla formula dell'ennesimo termine: . Dimostrare che questa sequenza è una progressione aritmetica.

Dimostriamo che la differenza tra due termini adiacenti della successione è uguale allo stesso numero.

Abbiamo scoperto che la differenza tra due membri adiacenti della sequenza non dipende dal loro numero ed è una costante. Pertanto, per definizione, questa sequenza è una progressione aritmetica.

2 . Data una progressione aritmetica -31; -27;...

a) Trova 31 termini della progressione.

b) Determina se il numero 41 è incluso in questa progressione.

UN) Lo vediamo ;

Scriviamo la formula per l'ennesimo termine della nostra progressione.

Generalmente

Nel nostro caso , Ecco perché

Noi abbiamo:

B) Supponiamo che il numero 41 sia un membro della sequenza. Troviamo il suo numero. Per fare ciò, risolviamo l'equazione:

Abbiamo ottenuto il valore naturale di n, quindi sì, il numero 41 è un membro della progressione. Se il valore trovato di n non fosse un numero naturale, allora risponderemmo che il numero 41 NON è un membro della progressione.

3 . a) Tra i numeri 2 e 8 inserire 4 numeri in modo che insieme a questi numeri formino una progressione aritmetica.

b) Trovare la somma dei termini della progressione risultante.

UN) Inseriamo quattro numeri tra i numeri 2 e 8:

Abbiamo ottenuto una progressione aritmetica con 6 membri.

Troviamo la differenza di questa progressione. Per fare ciò, usiamo la formula per l'ennesimo termine:

Ora è facile trovare il significato dei numeri:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

B)

Risposta: a) sì; b) 30

4. Il camion trasporta un carico di pietrisco del peso di 240 tonnellate, aumentando ogni giorno la velocità di trasporto della stessa quantità di tonnellate. È noto che il primo giorno sono state trasportate 2 tonnellate di pietrisco. Determina quante tonnellate di pietrisco sono state trasportate il dodicesimo giorno se tutto il lavoro è stato completato in 15 giorni.

A seconda della situazione del problema, la quantità di pietrisco trasportata dal camion aumenta ogni giorno della stessa quantità. Si tratta quindi di una progressione aritmetica.

Formuliamo questo problema in termini di progressione aritmetica.

Durante il primo giorno sono state trasportate 2 tonnellate di pietrisco: a_1=2.

Tutto il lavoro è stato completato in 15 giorni: .

Il camion trasporta un lotto di pietrisco del peso di 240 tonnellate:

Dobbiamo trovare.

Innanzitutto, troviamo la differenza di progressione. Usiamo la formula per la somma di n termini di una progressione.

Nel nostro caso:

Ad esempio, la sequenza \(2\); \(5\); \(8\); \(undici\); \(14\)... è una progressione aritmetica, perché ogni elemento successivo differisce dal precedente di tre (si ottiene dal precedente sommando tre):

In questa progressione, la differenza \(d\) è positiva (pari a \(3\)), e quindi ogni termine successivo è maggiore del precedente. Tali progressioni sono chiamate crescente.

Tuttavia, \(d\) può anche essere un numero negativo. Per esempio, in progressione aritmetica \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... la differenza di progressione \(d\) è pari a meno sei.

E in questo caso, ogni elemento successivo sarà più piccolo del precedente. Queste progressioni sono chiamate decrescente.

Notazione di progressione aritmetica

La progressione è indicata da una piccola lettera latina.

I numeri che formano una progressione vengono chiamati membri(o elementi).

Sono indicati con la stessa lettera di una progressione aritmetica, ma con un indice numerico pari al numero dell'elemento in ordine.

Ad esempio, la progressione aritmetica \(a_n = \sinistra\( 2; 5; 8; 11; 14…\destra\)\) è costituita dagli elementi \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) e così via.

In altre parole, per la progressione \(a_n = \sinistra\(2; 5; 8; 11; 14…\destra\)\)

Risoluzione di problemi di progressione aritmetica

In linea di principio, le informazioni presentate sopra sono già sufficienti per risolvere quasi tutti i problemi di progressione aritmetica (compresi quelli offerti all'OGE).

Esempio (OGE). La progressione aritmetica è specificata dalle condizioni \(b_1=7; d=4\). Trova \(b_5\).
Soluzione:

Risposta: \(b_5=23\)

Esempio (OGE). Sono dati i primi tre termini di una progressione aritmetica: \(62; 49; 36…\) Trova il valore del primo termine negativo di questa progressione..
Soluzione:

Risposta: \(-3\)

Esempio (OGE). Dati più elementi consecutivi di una progressione aritmetica: \(…5; x; 10; 12,5...\) Trovare il valore dell'elemento indicato dalla lettera \(x\).
Soluzione:

Risposta: \(7,5\).

Esempio (OGE). La progressione aritmetica è definita dalle seguenti condizioni: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Trova la somma dei primi sei termini di questa progressione.
Soluzione:

Risposta: \(S_6=9\).

Esempio (OGE). Nella progressione aritmetica \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Trova la differenza di questa progressione.
Soluzione:

Risposta: \(d=7\).

Formule importanti per la progressione aritmetica

Come puoi vedere, molti problemi sulla progressione aritmetica possono essere risolti semplicemente comprendendo la cosa principale: che una progressione aritmetica è una catena di numeri, e ogni elemento successivo di questa catena si ottiene aggiungendo lo stesso numero a quello precedente (il differenza della progressione).

Tuttavia, a volte ci sono situazioni in cui decidere “frontalmente” è molto scomodo. Ad esempio, immagina che nel primo esempio non dobbiamo trovare il quinto elemento \(b_5\), ma il trecentottantaseiesimo \(b_(386)\). Dovremmo aggiungere quattro \(385\) volte? Oppure immagina che nel penultimo esempio devi trovare la somma dei primi settantatré elementi. Sarai stanco di contare...

Pertanto in questi casi non risolvono le cose “di petto”, ma utilizzano formule speciali derivate dalla progressione aritmetica. E le principali sono la formula per l'n-esimo termine della progressione e la formula per la somma dei \(n\) primi termini.

Formula del \(n\)esimo termine: \(a_n=a_1+(n-1)d\), dove \(a_1\) è il primo termine della progressione;
\(n\) – numero dell'elemento richiesto;
\(a_n\) – termine della progressione con il numero \(n\).

Questa formula ci permette di trovare velocemente anche il trecentesimo o il milionesimo elemento, conoscendo solo il primo e la differenza della progressione.

Esempio. La progressione aritmetica è specificata dalle condizioni: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Trova \(b_(246)\).
Soluzione:

Risposta: \(b_(246)=1850\).

Formula per la somma dei primi n termini: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), dove

\(a_n\) – l'ultimo termine sommato;

Esempio (OGE). La progressione aritmetica è specificata dalle condizioni \(a_n=3.4n-0.6\). Trova la somma dei primi \(25\) termini di questa progressione.
Soluzione:

Risposta: \(S_(25)=1090\).

Per la somma \(n\) dei primi termini, puoi ottenere un'altra formula: devi solo \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) invece di \(a_n\) sostituisci la formula \(a_n=a_1+(n-1)d\). Noi abbiamo:

Formula per la somma dei primi n termini: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), dove

\(S_n\) – la somma richiesta dei primi elementi \(n\);
\(a_1\) – il primo termine sommato;
\(d\) – differenza di progressione;
\(n\) – numero di elementi in totale.

Esempio. Trovare la somma dei primi \(33\)-ex termini della progressione aritmetica: \(17\); \(15,5\); \(14\)...
Soluzione:

Risposta: \(S_(33)=-231\).

Problemi di progressione aritmetica più complessi

Ora hai tutte le informazioni necessarie per risolvere quasi tutti i problemi di progressione aritmetica. Terminiamo l'argomento considerando i problemi in cui non solo è necessario applicare formule, ma anche pensare un po' (in matematica può essere utile ☺)

Esempio (OGE). Trova la somma di tutti i termini negativi della progressione: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Soluzione:

Risposta: \(S_(65)=-630,5\).

Esempio (OGE). La progressione aritmetica è specificata dalle condizioni: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Trova la somma dal \(26\)esimo all'elemento \(42\) compreso.
Soluzione:

Risposta: \(S=1683\).

Per quanto riguarda la progressione aritmetica, ci sono molte altre formule che non abbiamo considerato in questo articolo a causa della loro scarsa utilità pratica. Tuttavia, puoi trovarli facilmente.

Sequenza numerica

Quindi sediamoci e iniziamo a scrivere alcuni numeri. Per esempio:
Puoi scrivere qualsiasi numero e possono essercene quanti vuoi (nel nostro caso ce ne sono). Non importa quanti numeri scriviamo, possiamo sempre dire quale è il primo, quale è il secondo e così via fino all'ultimo, cioè possiamo numerarli. Questo è un esempio di sequenza numerica:

Sequenza numerica
Ad esempio, per la nostra sequenza:

Il numero assegnato è specifico per un solo numero nella sequenza. In altre parole, non ci sono numeri di tre secondi nella sequenza. Il secondo numero (come il numero 10) è sempre lo stesso.
Il numero con numero è chiamato l'esimo termine della sequenza.

Di solito chiamiamo l'intera sequenza con una lettera (ad esempio) e ogni membro di questa sequenza è la stessa lettera con un indice uguale al numero di questo membro: .

Nel nostro caso:

Diciamo di avere una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è la stessa e uguale.
Per esempio:

eccetera.
Questa sequenza numerica è chiamata progressione aritmetica.
Il termine "progressione" fu introdotto dall'autore romano Boezio già nel VI secolo e fu inteso in un senso più ampio come una sequenza numerica infinita. Il nome "aritmetica" è stato trasferito dalla teoria delle proporzioni continue, studiata dagli antichi greci.

Questa è una sequenza numerica, ciascun membro della quale è uguale al precedente sommato allo stesso numero. Questo numero è chiamato differenza di una progressione aritmetica ed è designato.

Prova a determinare quali sequenze numeriche sono una progressione aritmetica e quali no:

UN)
B)
C)
D)

Fatto? Confrontiamo le nostre risposte:
È progressione aritmetica - b, c.
Non è progressione aritmetica - a, d.

Torniamo alla progressione data () e proviamo a trovare il valore del suo-esimo termine. Esiste due modo per trovarlo.

1. Metodo

Possiamo aggiungere il numero di progressione al valore precedente fino a raggiungere il trentesimo termine della progressione. È positivo che non abbiamo molto da riassumere: solo tre valori:

Quindi, l'esimo termine della progressione aritmetica descritta è uguale a.

2. Metodo

E se volessimo trovare il valore dell'esimo termine della progressione? La somma richiederebbe più di un'ora e non è un dato di fatto che non commetteremo errori nell'addizione dei numeri.
Naturalmente i matematici hanno escogitato un modo in cui non è necessario aggiungere la differenza di una progressione aritmetica al valore precedente. Dai un'occhiata più da vicino all'immagine disegnata... Sicuramente hai già notato un certo schema, vale a dire:

Vediamo ad esempio in cosa consiste il valore dell’esimo termine di questa progressione aritmetica:


In altre parole:

Prova a trovare tu stesso il valore di un membro di una determinata progressione aritmetica in questo modo.

Hai calcolato? Confronta i tuoi appunti con la risposta:

Tieni presente che hai ottenuto esattamente lo stesso numero del metodo precedente, quando abbiamo aggiunto in sequenza i termini della progressione aritmetica al valore precedente.
Proviamo a “spersonalizzare” questa formula: mettiamola in forma generale e otteniamo:

Le progressioni aritmetiche possono essere crescenti o decrescenti.

Crescente- progressioni in cui ogni valore successivo dei termini è maggiore del precedente.
Per esempio:

Discendente- progressioni in cui ogni valore successivo dei termini è inferiore al precedente.
Per esempio:

La formula derivata viene utilizzata nel calcolo dei termini sia in termini crescenti che decrescenti di una progressione aritmetica.
Controlliamolo in pratica.
Ci viene data una progressione aritmetica composta dai seguenti numeri: Controlliamo quale sarà l'esimo numero di questa progressione aritmetica se utilizziamo la nostra formula per calcolarla:

Da allora:

Pertanto, siamo convinti che la formula operi sia in progressione aritmetica decrescente che crescente.
Prova a trovare tu stesso l'esimo e l'esimo termine di questa progressione aritmetica.

Confrontiamo i risultati:

Proprietà di progressione aritmetica

Complichiamo il problema: ricaveremo la proprietà della progressione aritmetica.
Diciamo che ci viene data la seguente condizione:
- progressione aritmetica, trova il valore.
Facile, dici e inizi a contare secondo la formula che già conosci:

Lasciamo, ah, allora:

Assolutamente giusto. Si scopre che prima troviamo, quindi lo aggiungiamo al primo numero e otteniamo ciò che stiamo cercando. Se la progressione è rappresentata da piccoli valori, non c'è nulla di complicato in questo, ma cosa succede se nella condizione ci vengono forniti dei numeri? D'accordo, c'è la possibilità di commettere un errore nei calcoli.
Ora pensa se è possibile risolvere questo problema in un solo passaggio utilizzando qualsiasi formula? Naturalmente sì, ed è quello che cercheremo di far emergere adesso.

Indichiamo il termine richiesto della progressione aritmetica come, la formula per trovarlo ci è nota - questa è la stessa formula che abbiamo derivato all'inizio:
, Poi:

• il termine precedente della progressione è:
• il termine successivo della progressione è:

Riassumiamo i termini precedenti e successivi della progressione:

Risulta che la somma dei termini precedente e successivo della progressione è il doppio valore del termine di progressione situato tra di loro. In altre parole, per trovare il valore del termine di progressione con i valori precedenti e successivi noti, è necessario sommarli e dividere per.

Esatto, abbiamo lo stesso numero. Mettiamo al sicuro il materiale. Calcola tu stesso il valore della progressione, non è affatto difficile.

Ben fatto! Sai quasi tutto sulla progressione! Resta da scoprire solo una formula che, secondo la leggenda, fu facilmente dedotta da uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, il "re dei matematici" - Karl Gauss...

Quando Carl Gauss aveva 9 anni, un insegnante, impegnato a controllare il lavoro degli studenti di altre classi, assegnò in classe il seguente compito: "Calcola la somma di tutti i numeri naturali da a (secondo altre fonti a) compreso". Immaginate la sorpresa dell'insegnante quando uno dei suoi studenti (era Karl Gauss) un minuto dopo diede la risposta corretta al compito, mentre la maggior parte dei compagni di classe del temerario, dopo lunghi calcoli, ricevettero il risultato sbagliato...

Il giovane Carl Gauss notò un certo schema che puoi facilmente notare anche tu.
Diciamo di avere una progressione aritmetica composta da -esimi termini: dobbiamo trovare la somma di questi termini della progressione aritmetica. Naturalmente possiamo sommare manualmente tutti i valori, ma cosa succede se il compito richiede di trovare la somma dei suoi termini, come cercava Gauss?

Descriviamo la progressione che ci è stata data. Dai un'occhiata più da vicino ai numeri evidenziati e prova a eseguire varie operazioni matematiche con essi.


L'hai provato? Cosa hai notato? Giusto! Le loro somme sono uguali

Ora dimmi, quante coppie di questo tipo ci sono in totale nella progressione che ci è stata data? Naturalmente, esattamente la metà di tutti i numeri.
Basandosi sul fatto che la somma di due termini di una progressione aritmetica è uguale, e le coppie simili sono uguali, otteniamo che la somma totale è pari a:
.
Pertanto, la formula per la somma dei primi termini di qualsiasi progressione aritmetica sarà:

In alcuni problemi non conosciamo l'esimo termine, ma conosciamo la differenza della progressione. Prova a sostituire la formula dell'esimo termine nella formula della somma.
Cosa hai preso?

Ben fatto! Ora torniamo al problema posto a Carl Gauss: calcola tu stesso a cosa è uguale la somma dei numeri che iniziano da -esimo e la somma dei numeri che iniziano da -esimo.

Quanto hai ottenuto?
Gauss scoprì che la somma dei termini è uguale e la somma dei termini. È questo che hai deciso?

In effetti, la formula per la somma dei termini di una progressione aritmetica fu dimostrata dall'antico scienziato greco Diofanto nel III secolo e durante tutto questo tempo le persone spiritose sfruttarono appieno le proprietà della progressione aritmetica.
Ad esempio, immagina l'Antico Egitto e il più grande progetto di costruzione di quel tempo: la costruzione di una piramide... L'immagine ne mostra un lato.

Dov'è la progressione qui, dici? Osserva attentamente e trova uno schema nel numero di blocchi di sabbia in ciascuna fila del muro della piramide.


Perché non una progressione aritmetica? Calcola quanti blocchi sono necessari per costruire un muro se i mattoni sono posizionati alla base. Spero che non conterai muovendo il dito sul monitor, ricordi l'ultima formula e tutto quello che abbiamo detto sulla progressione aritmetica?

In questo caso, la progressione è la seguente: .
Differenza di progressione aritmetica.
Il numero di termini di una progressione aritmetica.
Sostituiamo i nostri dati nelle ultime formule (calcola il numero di blocchi in 2 modi).

Metodo 1.

Metodo 2.

E ora puoi calcolare sul monitor: confronta i valori ottenuti con il numero di blocchi presenti nella nostra piramide. Fatto? Ben fatto, hai padroneggiato la somma degli n-esimi termini di una progressione aritmetica.
Ovviamente non puoi costruire una piramide con i blocchi alla base, ma da? Prova a calcolare quanti mattoni di sabbia sono necessari per costruire un muro con questa condizione.
Sei riuscito?
La risposta corretta è blocchi:

Formazione

Compiti:

1. Masha si sta rimettendo in forma per l'estate. Ogni giorno aumenta il numero di squat di. Quante volte Masha farà gli squat in una settimana se li ha fatti al primo allenamento?
2. Qual è la somma di tutti i numeri dispari contenuti in.
3. Quando archiviano i log, i logger li impilano in modo tale che ogni strato superiore contenga un log in meno rispetto al precedente. Quanti tronchi ci sono in una muratura, se la fondazione della muratura è costituita da tronchi?

Risposte:

1. Definiamo i parametri della progressione aritmetica. In questo caso
   (settimane = giorni).

   Risposta: Tra due settimane, Masha dovrebbe fare squat una volta al giorno.

2. Primo numero dispari, ultimo numero.
   Differenza di progressione aritmetica.
   Il numero di numeri dispari è la metà, tuttavia controlliamo questo fatto utilizzando la formula per trovare l'esimo termine di una progressione aritmetica:

   I numeri contengono numeri dispari.
   Sostituiamo i dati disponibili nella formula:

   Risposta: La somma di tutti i numeri dispari contenuti è uguale.

3. Ricordiamo il problema delle piramidi. Nel nostro caso, a , poiché ogni strato superiore viene ridotto di un log, quindi in totale ci sono un mucchio di strati.
   Sostituiamo i dati nella formula:

   Risposta: Ci sono tronchi nella muratura.

Riassumiamo

1. - una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è la stessa e uguale. Può essere in aumento o in diminuzione.
2. Trovare la formula L'esimo termine di una progressione aritmetica è scritto dalla formula - , dove è il numero di numeri nella progressione.
3. Proprietà dei membri di una progressione aritmetica- - dove è il numero di numeri in progressione.
4. La somma dei termini di una progressione aritmetica può essere trovato in due modi:
   
   , dove è il numero di valori.

PROGRESSIONE ARITMETICA. LIVELLO MEDIO

Sequenza numerica

Sediamoci e iniziamo a scrivere alcuni numeri. Per esempio:

Puoi scrivere qualsiasi numero e possono essercene quanti vuoi. Ma possiamo sempre dire quale è il primo, quale il secondo e così via, cioè possiamo numerarli. Questo è un esempio di sequenza numerica.

Sequenza numericaè un insieme di numeri, a ciascuno dei quali può essere assegnato un numero univoco.

In altre parole, ogni numero può essere associato a un certo numero naturale e unico. E non assegneremo questo numero a nessun altro numero di questo set.

Il numero con numero è chiamato l'esimo membro della sequenza.

Di solito chiamiamo l'intera sequenza con una lettera (ad esempio) e ogni membro di questa sequenza è la stessa lettera con un indice uguale al numero di questo membro: .

È molto conveniente se l'esimo termine della successione può essere specificato da qualche formula. Ad esempio, la formula

imposta la sequenza:

E la formula è la seguente sequenza:

Ad esempio, una progressione aritmetica è una sequenza (il primo termine qui è uguale e la differenza lo è). Oppure (, differenza).

formula dell'ennesimo termine

Chiamiamo ricorrente una formula in cui, per scoprire l'esimo termine, è necessario conoscere il precedente o più precedenti:

Per trovare, ad esempio, l'esimo termine della progressione utilizzando questa formula, dovremo calcolare i nove precedenti. Ad esempio, lascialo. Poi:

Bene, ora è chiaro qual è la formula?

In ogni riga aggiungiamo, moltiplicato per un numero. Quale? Molto semplice: questo è il numero del membro attuale meno:

Molto più conveniente adesso, vero? Controlliamo:

Decidi tu stesso:

In una progressione aritmetica, trova la formula per l'ennesimo termine e trova il centesimo termine.

Soluzione:

Il primo termine è uguale. Qual è la differenza? Ecco cosa:

(Per questo si chiama differenza perché è uguale alla differenza di termini successivi della progressione).

Quindi, la formula:

Allora il centesimo termine è uguale a:

Qual è la somma di tutti i numeri naturali da a?

Secondo la leggenda, il grande matematico Carl Gauss, da bambino di 9 anni, calcolò questo importo in pochi minuti. Notò che la somma del primo e dell'ultimo numero è uguale, la somma del secondo e del penultimo è uguale, la somma del terzo e del terzo dalla fine è uguale, e così via. Quante coppie di questo tipo ci sono in totale? Esatto, esattamente la metà di tutti i numeri, cioè. COSÌ,

La formula generale per la somma dei primi termini di qualsiasi progressione aritmetica sarà:

Esempio:
Trova la somma di tutti i multipli a due cifre.

Soluzione:

Il primo di questi numeri è questo. Ogni numero successivo si ottiene aggiungendo al numero precedente. Pertanto, i numeri che ci interessano formano una progressione aritmetica con il primo termine e la differenza.

Formula dell'esimo termine per questa progressione:

Quanti termini ci sono nella progressione se devono essere tutti a due cifre?

Molto facile: .

L'ultimo termine della progressione sarà uguale. Quindi la somma:

Risposta: .

Ora decidi tu stesso:

1. Ogni giorno l'atleta percorre più metri rispetto al giorno precedente. Quanti chilometri totali correrà in una settimana se ha corso km m il primo giorno?
2. Ogni giorno un ciclista percorre più chilometri del giorno precedente. Il primo giorno ha percorso km. Quanti giorni ha bisogno di viaggiare per percorrere un chilometro? Quanti chilometri percorrerà durante l'ultimo giorno del suo viaggio?
3. Il prezzo di un frigorifero in un negozio diminuisce della stessa quantità ogni anno. Determina quanto è diminuito il prezzo di un frigorifero ogni anno se, messo in vendita per rubli, sei anni dopo è stato venduto per rubli.

Risposte:

1. La cosa più importante qui è riconoscere la progressione aritmetica e determinarne i parametri. In questo caso, (settimane = giorni). È necessario determinare la somma dei primi termini di questa progressione:
   .
   Risposta:
2. Qui è dato: , deve essere trovato.
   Ovviamente, è necessario utilizzare la stessa formula di somma del problema precedente:
   .
   Sostituisci i valori:

   La radice ovviamente non va bene, quindi la risposta è.
   Calcoliamo il percorso percorso nell'ultimo giorno utilizzando la formula dell'esimo termine:
   (km).
   Risposta:

3. Dato: . Trovare: .
   Non potrebbe essere più semplice:
   (strofinare).
   Risposta:

PROGRESSIONE ARITMETICA. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI

Questa è una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è la stessa e uguale.

La progressione aritmetica può essere crescente () e decrescente ().

Per esempio:

Formula per trovare l'ennesimo termine di una progressione aritmetica

è scritto dalla formula, dove è il numero di numeri in progressione.

Proprietà dei membri di una progressione aritmetica

Ti consente di trovare facilmente un termine di una progressione se sono noti i termini vicini: dov'è il numero di numeri nella progressione.

Somma dei termini di una progressione aritmetica

Esistono due modi per trovare l'importo:

Dov'è il numero di valori.

Dov'è il numero di valori.

Bene, l'argomento è finito. Se stai leggendo queste righe significa che sei molto figo.

Perché solo il 5% delle persone è in grado di padroneggiare qualcosa da solo. E se leggi fino alla fine, allora sei in questo 5%!

Ora la cosa più importante.

Hai capito la teoria su questo argomento. E, ripeto, questo... è semplicemente fantastico! Sei già migliore della stragrande maggioranza dei tuoi coetanei.

Il problema è che questo potrebbe non bastare...

Per quello?

Per aver superato con successo l'Esame di Stato Unificato, per entrare all'università con un budget limitato e, SOPRATTUTTO, per la vita.

Non ti convincerò di nulla, dirò solo una cosa...

Le persone che hanno ricevuto una buona istruzione guadagnano molto di più di quelle che non l’hanno ricevuta. Questa è statistica.

Ma questa non è la cosa principale.

La cosa principale è che sono PIÙ FELICI (esistono studi del genere). Forse perché davanti a loro si aprono molte più opportunità e la vita diventa più luminosa? Non lo so...

Ma pensa tu stesso...

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Problemi sulla progressione aritmetica esistevano già nell'antichità. Sono comparsi e hanno chiesto una soluzione perché avevano un bisogno pratico.

Così, uno dei papiri dell'Antico Egitto a contenuto matematico, il papiro Rhind (XIX secolo a.C.), contiene il seguente compito: dividere dieci misure di pane tra dieci persone, a condizione che la differenza tra ciascuna di esse sia un ottavo della misurare."

E nelle opere matematiche degli antichi greci si trovano eleganti teoremi legati alla progressione aritmetica. Così, Ipsicle di Alessandria (II secolo, che compilò molti problemi interessanti e aggiunse il quattordicesimo libro agli Elementi di Euclide), formulò l'idea: “In una progressione aritmetica che ha un numero pari di termini, la somma dei termini della 2a metà è maggiore della somma dei termini del 1° sul quadrato 1/2 numeri di membri."

La sequenza è indicata con un. I numeri di una sequenza sono chiamati i suoi membri e sono solitamente designati da lettere con indici che indicano il numero di serie di questo membro (a1, a2, a3... leggi: “un 1°”, “un 2°”, “un 3°” e così via ).

La sequenza può essere infinita o finita.

Cos'è una progressione aritmetica? Con esso si intende quello ottenuto sommando il termine precedente (n) con lo stesso numero d, che è la differenza della progressione.

Se d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, allora tale progressione è considerata crescente.

Una progressione aritmetica si dice finita se si prendono in considerazione solo i suoi primi termini. Con un numero molto elevato di membri, questa è già una progressione infinita.

Qualsiasi progressione aritmetica è definita dalla seguente formula:

an =kn+b, mentre b e k sono alcuni numeri.

È assolutamente vera l'affermazione opposta: se una sequenza è data da una formula simile, allora è esattamente una progressione aritmetica che ha le proprietà:

1. Ogni termine della progressione è la media aritmetica del termine precedente e di quello successivo.
2. Inversa: se, a partire dal 2°, ogni termine è la media aritmetica del termine precedente e di quello successivo, cioè se la condizione è soddisfatta, questa sequenza è una progressione aritmetica. Questa uguaglianza è anche un segno di progressione, motivo per cui viene solitamente chiamata una proprietà caratteristica della progressione.
   Allo stesso modo è vero il teorema che riflette questa proprietà: una successione è una progressione aritmetica solo se questa uguaglianza è vera per uno qualsiasi dei termini della successione, a cominciare dal 2°.

La proprietà caratteristica di quattro numeri qualsiasi di una progressione aritmetica può essere espressa dalla formula an + am = ak + al, se n + m = k + l (m, n, k sono numeri di progressione).

In una progressione aritmetica, qualsiasi termine necessario (N-esimo) può essere trovato utilizzando la seguente formula:

Ad esempio: il primo termine (a1) in una progressione aritmetica è dato e pari a tre, e la differenza (d) è pari a quattro. Devi trovare il quarantacinquesimo termine di questa progressione. a45 = 1+4(45-1)=177

La formula an = ak + d(n - k) permette di determinare l'n-esimo termine di una progressione aritmetica attraverso uno qualsiasi dei suoi k-esimi termini, purché noto.

La somma dei termini di una progressione aritmetica (ovvero i primi n termini di una progressione finita) si calcola come segue:

Sn = (a1+an) n/2.

Se è noto anche il primo termine, per il calcolo è conveniente un'altra formula:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

La somma di una progressione aritmetica che contiene n termini si calcola come segue:

La scelta delle formule per i calcoli dipende dalle condizioni dei problemi e dai dati iniziali.

La serie naturale di qualsiasi numero, come 1,2,3,...,n,..., è l'esempio più semplice di progressione aritmetica.

Oltre alla progressione aritmetica esiste anche una progressione geometrica, che ha le sue proprietà e caratteristiche.