Trovare l'errore assoluto e relativo. Errore relativo del numero approssimativo

Errore di misurazione- valutazione della deviazione del valore misurato di una quantità dal suo valore reale. L'errore di misurazione è una caratteristica (misura) della precisione della misurazione.

Poiché è impossibile determinare con assoluta precisione il valore reale di qualsiasi quantità, è impossibile indicare l'entità della deviazione del valore misurato da quello vero. (Questa deviazione è solitamente chiamata errore di misurazione. In numerose fonti, ad esempio nella Grande Enciclopedia Sovietica, i termini errore di misurazione E errore di misurazione sono usati come sinonimi, ma secondo RMG 29-99 il termine errore di misurazione Sconsigliato l'uso in quanto meno efficace). È possibile stimare l'entità di questa deviazione, ad esempio, solo utilizzando metodi statistici. In pratica, invece del valore reale, usano valore reale della quantità x d, cioè il valore di una grandezza fisica ottenuto sperimentalmente e così vicino al valore reale da poter essere utilizzato al suo posto nel compito di misurazione dato. Questo valore viene solitamente calcolato come valore medio ottenuto dall'elaborazione statistica dei risultati di una serie di misurazioni. Questo valore ottenuto non è esatto, ma solo il più probabile. Pertanto, è necessario indicare nelle misurazioni qual è la loro precisione. Per fare ciò, l'errore di misurazione viene indicato insieme al risultato ottenuto. Ad esempio, registra T=2,8±0,1 C. significa che il vero valore della quantità T si trova nell'intervallo da 2,7 secondi. Prima 2,9 secondi. con una certa probabilità specificata

Nel 2004 è stato adottato un nuovo documento a livello internazionale, che detta le condizioni per effettuare misurazioni e stabilisce nuove regole per il confronto degli standard statali. Il concetto di “errore” è diventato obsoleto, è stato invece introdotto il concetto di “incertezza di misura”, tuttavia GOST R 50.2.038-2004 consente l'uso del termine; errore per i documenti utilizzati in Russia.

Si distinguono i seguenti tipi di errori:

· errore assoluto;

· errore relativo;

· errore ridotto;

· errore fondamentale;

· errore aggiuntivo;

· errore sistematico;

· errore casuale;

· errore strumentale;

· errore metodico;

· errore personale;

· errore statico;

· errore dinamico.

Gli errori di misurazione sono classificati secondo i seguenti criteri.

· Secondo il metodo di espressione matematica, gli errori si dividono in errori assoluti ed errori relativi.

· In base all'interazione tra le variazioni del tempo e del valore di input, gli errori si dividono in errori statici ed errori dinamici.

· In base alla natura in cui si verificano, gli errori si dividono in errori sistematici ed errori casuali.

· Secondo la natura della dipendenza dell'errore dalle grandezze influenti, gli errori si dividono in fondamentali e aggiuntivi.

· In base alla natura della dipendenza dell'errore dal valore immesso, gli errori si dividono in additivi e moltiplicativi.

Errore assoluto– si tratta di un valore calcolato come differenza tra il valore di una grandezza ottenuto durante il processo di misurazione e il valore reale (effettivo) di tale grandezza. L'errore assoluto si calcola utilizzando la seguente formula:

AQ n =Q n /Q 0 , dove AQ n è l'errore assoluto; Domanda n– il valore di una certa grandezza ottenuta durante il processo di misurazione; Q0– il valore della stessa grandezza presa a base di confronto (valore reale).

Errore assoluto della misura– si tratta di un valore calcolato come differenza tra il numero, che è il valore nominale della misura, e il valore reale (reale) della grandezza riprodotta dalla misura.

Errore relativoè un numero che riflette il grado di precisione della misurazione. L'errore relativo si calcola utilizzando la seguente formula:

Dove ∆Q è l'errore assoluto; Q0– valore reale (reale) della grandezza misurata. L'errore relativo è espresso in percentuale.

Errore ridottoè un valore calcolato come rapporto tra il valore dell'errore assoluto e il valore di normalizzazione.

Il valore standard è determinato come segue:

· per gli strumenti di misura per i quali è approvato un valore nominale, tale valore nominale viene assunto come valore standard;

· per gli strumenti di misura in cui il valore zero si trova al bordo della scala di misura o fuori scala, il valore normalizzante viene preso uguale al valore finale del campo di misura. L'eccezione sono gli strumenti di misura con una scala di misurazione notevolmente irregolare;

· per gli strumenti di misura la cui tacca di zero si trova all'interno del campo di misura, il valore normalizzante è preso pari alla somma dei valori numerici finali del campo di misura;

· per gli strumenti di misura (strumenti di misura) in cui la scala non è uniforme, il valore normalizzante viene assunto pari a tutta la lunghezza della scala di misura o alla lunghezza di quella parte di essa che corrisponde al campo di misura. L'errore assoluto viene quindi espresso in unità di lunghezza.

L'errore di misurazione include errore strumentale, errore di metodo ed errore di conteggio. Inoltre, l'errore di conteggio deriva dall'imprecisione nel determinare le frazioni di divisione della scala di misurazione.

Errore strumentale– questo è un errore che deriva da errori commessi durante il processo di fabbricazione di parti funzionali di strumenti di misura.

Errore metodologicoè un errore che si verifica per i seguenti motivi:

· imprecisione nella costruzione di un modello del processo fisico su cui si basa lo strumento di misura;

· uso scorretto degli strumenti di misura.

Errore soggettivo– si tratta di un errore dovuto al basso grado di qualificazione dell’operatore dello strumento di misura, nonché all’errore degli organi visivi umani, vale a dire la causa dell’errore soggettivo è il fattore umano.

Gli errori nell'interazione tra i cambiamenti nel tempo e la quantità di input sono suddivisi in errori statici e dinamici.

Errore statico– questo è un errore che si verifica nel processo di misurazione di una quantità costante (che non cambia nel tempo).

Errore dinamicoè un errore, il cui valore numerico viene calcolato come differenza tra l'errore che si verifica quando si misura una quantità non costante (variabile nel tempo) e l'errore statico (l'errore nel valore della quantità misurata in un certo punto del tempo).

In base alla natura della dipendenza dell'errore dalle quantità influenti, gli errori sono suddivisi in base e aggiuntivi.

Errore di base– questo è l'errore ottenuto nelle normali condizioni operative dello strumento di misura (a valori normali delle grandezze influenti).

Errore aggiuntivo– questo è un errore che si verifica quando i valori delle grandezze d’influenza non corrispondono ai loro valori normali, o se la grandezza d’influenza supera i confini della regione dei valori normali.

Condizioni normali– queste sono condizioni in cui tutti i valori delle grandezze influenti sono normali o non vanno oltre i limiti dell’intervallo normale.

Condizioni di lavoro– si tratta di condizioni in cui la variazione delle grandezze influenti ha un intervallo più ampio (i valori influenti non vanno oltre i confini del range di valori di lavoro).

Campo di lavoro delle grandezze influenti– questo è l’intervallo di valori in cui si normalizzano i valori dell’errore aggiuntivo.

In base alla natura della dipendenza dell’errore dal valore di input, gli errori si dividono in additivi e moltiplicativi.

Errore additivo– questo è un errore che nasce dalla somma di valori numerici e non dipende dal valore della quantità misurata presa modulo (assoluto).

Distorsione moltiplicativaè un errore che cambia al variare dei valori della grandezza misurata.

Va notato che il valore dell'errore additivo assoluto non è correlato al valore della quantità misurata e alla sensibilità dello strumento di misura. Gli errori additivi assoluti sono costanti sull'intero intervallo di misurazione.

Il valore dell'errore additivo assoluto determina il valore minimo della grandezza misurabile dallo strumento di misura.

I valori degli errori moltiplicativi cambiano in proporzione alle variazioni dei valori della quantità misurata. I valori degli errori moltiplicativi sono anche proporzionali alla sensibilità dello strumento di misura. L'errore moltiplicativo deriva dall'influenza delle quantità influenti sulle caratteristiche parametriche degli elementi del dispositivo.

Gli errori che possono verificarsi durante il processo di misurazione sono classificati in base alla natura del loro verificarsi. Evidenziare:

· errori sistematici;

· errori casuali.

Errori ed errori grossolani possono verificarsi anche durante il processo di misurazione.

Errore sistematico- questa è una componente dell'intero errore del risultato della misurazione, che non cambia o cambia naturalmente con misurazioni ripetute della stessa quantità. Di solito, si tenta di eliminare un errore sistematico nei modi possibili (ad esempio, utilizzando metodi di misurazione che riducono la probabilità che si verifichi), ma se l'errore sistematico non può essere eliminato, viene calcolato prima dell'inizio delle misurazioni e appropriato vengono apportate correzioni al risultato della misurazione. Nel processo di normalizzazione dell'errore sistematico, vengono determinati i limiti dei suoi valori consentiti. L'errore sistematico determina l'accuratezza delle misurazioni degli strumenti di misura (proprietà metrologica). Gli errori sistematici in alcuni casi possono essere determinati sperimentalmente. Il risultato della misurazione può quindi essere chiarito introducendo una correzione.

I metodi per eliminare gli errori sistematici sono suddivisi in quattro tipi:

· eliminazione delle cause e delle fonti di errore prima dell'inizio delle misurazioni;

· eliminazione degli errori nel processo di misurazione già iniziato mediante sostituzione, compensazione degli errori per segno, opposizione, osservazioni simmetriche;

· correzione dei risultati delle misurazioni apportando correzioni (eliminazione degli errori mediante calcoli);

· determinazione dei limiti dell'errore sistematico nel caso in cui non sia eliminabile.

Eliminazione delle cause e delle fonti di errore prima di iniziare le misurazioni. Questo metodo è l'opzione migliore, poiché il suo utilizzo semplifica l'ulteriore corso delle misurazioni (non è necessario eliminare gli errori nel processo di misurazione già avviata o apportare correzioni al risultato ottenuto).

Per eliminare errori sistematici nel processo di misurazione già avviata, vengono utilizzati vari metodi

Modalità di introduzione degli emendamenti si basa sulla conoscenza dell’errore sistematico e dei modelli attuali del suo cambiamento. Quando si utilizza questo metodo, vengono apportate correzioni al risultato della misurazione ottenuto con errori sistematici, uguali in grandezza a questi errori, ma di segno opposto.

Metodo di sostituzione consiste nel fatto che la grandezza misurata viene sostituita da una misura posta nelle stesse condizioni in cui si trovava l'oggetto della misurazione. Il metodo di sostituzione viene utilizzato quando si misurano i seguenti parametri elettrici: resistenza, capacità e induttanza.

Metodo di compensazione dell'errore di segno consiste nel fatto che le misurazioni vengono eseguite due volte in modo tale che un errore di grandezza sconosciuta venga incluso nei risultati della misurazione con il segno opposto.

Metodo di opposizione simile al metodo di compensazione del segno. Questo metodo consiste nell'effettuare le misurazioni due volte in modo che la fonte dell'errore nella prima misurazione abbia un effetto opposto sul risultato della seconda misurazione.

Errore casuale- questo è un componente dell'errore del risultato della misurazione, che cambia in modo casuale, irregolare quando si eseguono misurazioni ripetute della stessa quantità. Il verificarsi di un errore casuale non può essere previsto o previsto. L’errore casuale non può essere completamente eliminato; distorce sempre in una certa misura i risultati finali della misurazione. Ma puoi rendere il risultato della misurazione più accurato effettuando misurazioni ripetute. La causa di un errore casuale può essere, ad esempio, un cambiamento casuale di fattori esterni che influenzano il processo di misurazione. Un errore casuale durante l'esecuzione di misurazioni ripetute con un grado di precisione sufficientemente elevato porta alla dispersione dei risultati.

Errori ed errori grossolani– si tratta di errori che superano di gran lunga gli errori sistematici e casuali attesi nelle condizioni di misurazione date. Errori ed errori grossolani possono verificarsi a causa di errori grossolani durante il processo di misurazione, malfunzionamento tecnico dello strumento di misura o cambiamenti imprevisti delle condizioni esterne.

Le grandezze fisiche sono caratterizzate dal concetto di “accuratezza dell’errore”. Si dice che prendendo le misure si arriva alla conoscenza. In questo modo puoi scoprire l'altezza della casa o la lunghezza della strada, come tanti altri.

introduzione

Cerchiamo di comprendere il significato del concetto di “misurare una quantità”. Il processo di misurazione consiste nel confrontarlo con quantità omogenee, che vengono prese come un'unità.

I litri vengono utilizzati per determinare il volume, i grammi vengono utilizzati per calcolare la massa. Per rendere i calcoli più convenienti, è stato introdotto il sistema SI di classificazione internazionale delle unità.

Per misurare la lunghezza del bastoncino in metri, massa - chilogrammi, volume - litri cubi, tempo - secondi, velocità - metri al secondo.

Quando si calcolano le grandezze fisiche non è sempre necessario utilizzare il metodo tradizionale; è sufficiente ricorrere al calcolo tramite una formula. Ad esempio, per calcolare indicatori come la velocità media, è necessario dividere la distanza percorsa per il tempo trascorso sulla strada. Ecco come viene calcolata la velocità media.

Quando si utilizzano unità di misura dieci, cento, mille volte superiori alle unità di misura accettate, si chiamano multipli.

Il nome di ciascun prefisso corrisponde al suo numero moltiplicatore:

Deca.
Etto.
Chilo.
Mega.
Giga.
Tera.

Nella scienza fisica, per scrivere tali fattori vengono utilizzate le potenze di 10. Ad esempio, un milione è indicato come 10 6 .

In un semplice righello, la lunghezza ha un'unità di misura: centimetri. È 100 volte meno di un metro. Un righello di 15 cm è lungo 0,15 m.

Un righello è il tipo più semplice di strumento di misura per misurare le lunghezze. I dispositivi più complessi sono rappresentati da un termometro - a un igrometro - per determinare l'umidità, un amperometro - per misurare il livello di forza con cui si propaga la corrente elettrica.

Quanto saranno accurate le misurazioni?

Prendi un righello e una matita semplice. Il nostro compito è misurare la lunghezza di questo articolo di cancelleria.

Per prima cosa è necessario determinare qual è il prezzo di divisione indicato sulla scala del dispositivo di misurazione. Sulle due divisioni, che sono i tratti più vicini della scala, vengono scritti i numeri, ad esempio “1” e “2”.

È necessario contare quante divisioni ci sono tra questi numeri. Se conteggiato correttamente sarà "10". Sottraiamo dal numero più grande il numero che sarà più piccolo e dividiamo per il numero che è la divisione tra le cifre:

(2-1)/10 = 0,1 (cm)

Quindi determiniamo che il prezzo che determina la divisione della cancelleria è il numero 0,1 cm o 1 mm. È chiaramente mostrato come viene determinato l'indicatore del prezzo per la divisione utilizzando qualsiasi dispositivo di misurazione.

Quando misuriamo una matita con una lunghezza leggermente inferiore a 10 cm, utilizzeremo le conoscenze acquisite. Se non ci fossero divisioni fini sul righello, si concluderebbe che l'oggetto ha una lunghezza di 10 cm. Questo valore approssimativo è chiamato errore di misurazione. Indica il livello di imprecisione che può essere tollerato durante le misurazioni.

Determinando i parametri della lunghezza di una matita con un livello di precisione più elevato, a un costo di divisione più elevato, si ottiene una maggiore precisione di misurazione, che garantisce un errore minore.

In questo caso non è possibile effettuare misurazioni assolutamente precise. E gli indicatori non dovrebbero superare la dimensione del prezzo di divisione.

È stato stabilito che l'errore di misurazione è pari a ½ del prezzo, indicato sulle graduazioni del dispositivo utilizzato per determinare le dimensioni.

Dopo aver misurato una matita di 9,7 cm, determineremo i suoi indicatori di errore. Questo è l'intervallo 9,65 - 9,85 cm.

La formula che misura questo errore è il calcolo:

A = a±D(a)

A - sotto forma di quantità per misurare i processi;

a è il valore del risultato della misurazione;

D - designazione dell'errore assoluto.

Quando si sottraggono o si aggiungono valori con errore, il risultato sarà uguale alla somma degli indicatori di errore, ovvero ogni singolo valore.

Introduzione al concetto

Se consideriamo in base al metodo della sua espressione, possiamo distinguere le seguenti varietà:

Assoluto.
Parente.
Dato.

L'errore assoluto di misurazione è indicato dalla lettera “Delta” in maiuscolo. Questo concetto è definito come la differenza tra i valori misurati e quelli effettivi della quantità fisica che viene misurata.

L'espressione dell'errore di misurazione assoluto è l'unità della quantità che deve essere misurata.

Quando si misura la massa, questa verrà espressa, ad esempio, in chilogrammi. Questo non è uno standard di precisione della misurazione.

Come calcolare l'errore delle misurazioni dirette?

Esistono modi per rappresentare gli errori di misurazione e calcolarli. Per fare questo è importante poter determinare una grandezza fisica con la precisione richiesta, sapere qual è l'errore assoluto di misura, che nessuno sarà mai in grado di trovarlo. È possibile calcolare solo il suo valore limite.

Anche se questo termine viene utilizzato convenzionalmente, esso indica proprio il dato di confine. Gli errori di misurazione assoluti e relativi sono indicati dalle stesse lettere, la differenza sta nella loro ortografia.

Quando si misura la lunghezza, l'errore assoluto verrà misurato nelle unità in cui viene calcolata la lunghezza. E l'errore relativo viene calcolato senza dimensioni, poiché è il rapporto tra l'errore assoluto e il risultato della misurazione. Questo valore è spesso espresso come percentuale o frazione.

Gli errori di misurazione assoluti e relativi hanno diversi metodi di calcolo, a seconda della grandezza fisica.

Concetto di misura diretta

Gli errori assoluti e relativi delle misurazioni dirette dipendono dalla classe di precisione del dispositivo e dalla capacità di determinare l'errore di pesatura.

Prima di parlare di come viene calcolato l'errore, è necessario chiarire le definizioni. La misurazione diretta è una misurazione in cui il risultato viene letto direttamente sulla scala dello strumento.

Quando utilizziamo un termometro, un righello, un voltmetro o un amperometro, effettuiamo sempre misurazioni dirette, poiché utilizziamo direttamente un dispositivo dotato di scala.

Ci sono due fattori che influenzano l’efficacia delle letture:

Errore dello strumento.
L'errore del sistema di riferimento.

Il limite di errore assoluto per le misurazioni dirette sarà uguale alla somma dell'errore visualizzato dal dispositivo e dell'errore che si verifica durante il processo di conteggio.

D = D (piatto) + D (zero)

Esempio con un termometro medico

Gli indicatori di errore sono indicati sul dispositivo stesso. Un termometro medico ha un errore di 0,1 gradi Celsius. L'errore di conteggio è la metà del valore della divisione.

Punti. =C/2

Se il valore della divisione è 0,1 gradi, per un termometro medico puoi effettuare i seguenti calcoli:

D = 0,1°C + 0,1°C / 2 = 0,15°C

Sul retro della scala di un altro termometro c'è una specifica ed è indicato che per misurazioni corrette è necessario immergere tutto il retro del termometro. non specificato. Tutto ciò che resta è l'errore di conteggio.

Se il valore di divisione della scala di questo termometro è 2 o C, allora è possibile misurare la temperatura con una precisione di 1 o C. Questi sono i limiti dell'errore di misurazione assoluto consentito e il calcolo dell'errore di misurazione assoluto.

Negli strumenti di misura elettrici viene utilizzato un sistema speciale per il calcolo della precisione.

Precisione degli strumenti di misura elettrici

Per specificare la precisione di tali dispositivi, viene utilizzato un valore chiamato classe di precisione. Per designarlo si usa la lettera “Gamma”. Per determinare con precisione l'errore di misurazione assoluto e relativo, è necessario conoscere la classe di precisione del dispositivo, indicata sulla scala.

Prendiamo ad esempio un amperometro. La sua scala indica la classe di precisione, che mostra il numero 0,5. È adatto per misurazioni su corrente continua e alternata e appartiene ai dispositivi del sistema elettromagnetico.

Questo è un dispositivo abbastanza preciso. Se lo confronti con un voltmetro scolastico, puoi vedere che ha una classe di precisione 4. Devi conoscere questo valore per ulteriori calcoli.

Applicazione della conoscenza

Pertanto, D c = c (max) X γ /100

Utilizzeremo questa formula per esempi specifici. Usiamo un voltmetro e troviamo l'errore nella misurazione della tensione fornita dalla batteria.

Colleghiamo la batteria direttamente al voltmetro, controllando prima se la lancetta è a zero. Quando si collega il dispositivo, l'ago ha deviato di 4,2 divisioni. Questo stato può essere caratterizzato come segue:

Si può vedere che il valore U massimo per questo articolo è 6.
Classe di precisione -(γ) = 4.
U(o) = 4,2 V.
C=0,2 V

Utilizzando questi dati della formula, l'errore di misurazione assoluto e relativo viene calcolato come segue:

D U = DU (es.) + C/2

D U (es.) = U (max) X γ /100

D U (es.) = 6 V X 4/100 = 0,24 V

Questo è l'errore del dispositivo.

Il calcolo dell'errore di misura assoluto in questo caso verrà eseguito come segue:

D U = 0,24 V + 0,1 V = 0,34 V

Utilizzando la formula discussa sopra, puoi facilmente scoprire come calcolare l'errore di misurazione assoluto.

Esiste una regola per gli errori di arrotondamento. Permette di trovare la media tra i limiti di errore assoluto e relativo.

Imparare a determinare l'errore di pesatura

Questo è un esempio di misurazioni dirette. La pesatura occupa un posto speciale. Dopotutto, le bilance a leva non hanno una scala. Impariamo come determinare l'errore di tale processo. L'accuratezza della misurazione della massa è influenzata dall'accuratezza dei pesi e dalla perfezione delle bilance stesse.

Utilizziamo bilance a leva con una serie di pesi che devono essere posizionati sul piatto destro della bilancia. Per pesare, prendi un righello.

Prima di iniziare l'esperimento, devi bilanciare la bilancia. Posiziona il righello sulla ciotola di sinistra.

La massa sarà pari alla somma dei pesi installati. Determiniamo l'errore nella misurazione di questa quantità.

D m = D m (bilancia) + D m (pesi)

L'errore nella misurazione della massa è costituito da due termini associati a bilance e pesi. Per conoscere ciascuno di questi valori, le fabbriche che producono bilance e pesi forniscono ai prodotti documenti speciali che consentono di calcolarne la precisione.

Utilizzo delle tabelle

Usiamo una tabella standard. L'errore della bilancia dipende dalla massa posta sulla bilancia. Più è grande, più grande è l'errore.

Anche se metti un corpo molto leggero, si verificherà un errore. Ciò è dovuto al processo di attrito che si verifica negli assi.

La seconda tabella riguarda una serie di pesi. Ciò indica che ciascuno di essi ha il proprio errore di massa. Il 10 grammi ha un errore di 1 mg, lo stesso del 20 grammi. Calcoliamo la somma degli errori di ciascuno di questi pesi presi dalla tabella.

È conveniente scrivere la massa e l'errore di massa su due righe, che si trovano una sotto l'altra. Più piccoli sono i pesi, più accurata sarà la misurazione.

Risultati

Nel corso del materiale esaminato è stato stabilito che è impossibile determinare l'errore assoluto. È possibile impostare solo i relativi indicatori di confine. Per fare ciò, utilizzare le formule sopra descritte nei calcoli. Questo materiale è proposto per lo studio a scuola per gli studenti delle classi 8-9. Sulla base delle conoscenze acquisite, è possibile risolvere problemi per determinare gli errori assoluti e relativi.

Errore assoluto e relativo dei numeri.

Come caratteristiche dell'accuratezza delle quantità approssimative di qualsiasi origine, vengono introdotti i concetti di errori assoluti e relativi di queste quantità.

Indichiamo con a l'approssimazione al numero esatto A.

Definire. Il valore è chiamato errore del numero approssimativoa.

Definizione. Errore assoluto il numero approssimativo a è chiamato quantità
.

Il numero A praticamente esatto è solitamente sconosciuto, ma possiamo sempre indicare i limiti entro i quali varia l'errore assoluto.

Definizione. Errore assoluto massimo il numero approssimativo a è chiamato il più piccolo dei limiti superiori della quantità , che può essere trovato utilizzando questo metodo per ottenere il numeroa.

In pratica, come scegli uno dei limiti superiori per , abbastanza vicino al più piccolo.

Perché il
, Quello
. A volte scrivono:
.

Errore assolutoè la differenza tra il risultato della misurazione

e il vero (reale) valore quantità misurata.

L'errore assoluto e l'errore assoluto massimo non sono sufficienti per caratterizzare l'accuratezza della misurazione o del calcolo. Qualitativamente, l’entità dell’errore relativo è più significativa.

Definizione. Errore relativo Chiamiamo il numero approssimativo una quantità:

Definizione. Errore relativo massimo numero approssimativo a chiamiamo la quantità

Perché
.

Pertanto, l'errore relativo determina effettivamente l'entità dell'errore assoluto per unità di numero approssimativo misurato o calcolato a.

Esempio. Arrotondando i numeri esatti A a tre cifre significative, determinare

errori D assoluti e relativi δ dell'approssimazione ottenuta

Dato:

Trovare:

∆-errore assoluto

δ – errore relativo

Soluzione:

=|-13.327-(-13.3)|=0.027

,UN 0

*100%=0.203%

Risposta:=0,027; δ=0,203%

2. Notazione decimale di un numero approssimativo. Figura significativa. Cifre corrette dei numeri (definizione di cifre corrette e significative, esempi; teoria del rapporto tra errore relativo e numero di cifre corrette).

Segni numerici corretti.

Definizione. La cifra significativa di un numero approssimativo a è qualsiasi cifra diversa da zero e zero se si trova tra cifre significative o è rappresentativa di una cifra decimale memorizzata.

Ad esempio, nel numero 0.00507 =
abbiamo 3 cifre significative, e nel numero 0.005070=
cifre significative, ad es. lo zero a destra, preservando la cifra decimale, è significativo.

D'ora in poi concordiamo di scrivere gli zeri a destra solo se sono significativi. Allora, in altre parole,

Tutte le cifre di a sono significative, tranne gli zeri a sinistra.

Nel sistema numerico decimale, qualsiasi numero a può essere rappresentato come una somma finita o infinita (frazione decimale):

Dove
,
- la prima cifra significativa, m - un numero intero chiamato cifra decimale iniziale del numero a.

Ad esempio, 518,3 =, m=2.

Utilizzando la notazione, introduciamo il concetto di cifre decimali corrette (in cifre significative) approssimativamente -

il 1° giorno.

Definizione. Si dice che in un numero approssimativo a della forma n sono le prime cifre significative ,

dove i= m, m-1,..., m-n+1 sono corretti se l'errore assoluto di questo numero non supera la mezza unità di cifra espressa dall'n-esima cifra significativa:

Altrimenti l'ultima cifra
chiamato dubbio.

Quando si scrive un numero approssimativo senza indicarne l'errore, è necessario che tutti i numeri scritti

erano fedeli. Questo requisito è soddisfatto in tutte le tabelle matematiche.

Il termine “n cifre corrette” caratterizza solo il grado di precisione del numero approssimativo e non deve essere inteso nel senso che le prime n cifre significative del numero approssimato a coincidono con le cifre corrispondenti del numero esatto A. Ad esempio, per i numeri A = 10, a = 9.997, tutte le cifre significative sono diverse, ma il numero a ha 3 cifre significative valide. Infatti qui m=0 en=3 (lo troviamo per selezione).

Istruzioni

Innanzitutto effettuare più misurazioni con uno strumento dello stesso valore per poter ottenere il valore reale. Più misurazioni verranno effettuate, più accurato sarà il risultato. Ad esempio, pesa su una bilancia elettronica. Diciamo che hai ottenuto risultati di 0,106, 0,111, 0,098 kg.

Ora calcola il valore reale della quantità (reale, poiché il valore vero non può essere trovato). Per fare ciò, somma i risultati ottenuti e dividili per il numero di misurazioni, ovvero trova la media aritmetica. Nell'esempio, il valore effettivo sarebbe (0,106+0,111+0,098)/3=0,105.

Fonti:

come trovare l'errore di misurazione

Una parte integrante di qualsiasi misurazione è alcuni errore. Rappresenta una caratteristica qualitativa dell'accuratezza della ricerca. Secondo la forma di presentazione, può essere assoluto e relativo.

Avrai bisogno

- calcolatrice.

Istruzioni

I secondi nascono dall'influenza di cause e sono di natura casuale. Questi includono arrotondamenti errati nel calcolo delle letture e dell'influenza. Se tali errori sono significativamente inferiori alle divisioni della scala di questo dispositivo di misurazione, è consigliabile considerare la metà della divisione come errore assoluto.

Perdere o grezzo errore rappresenta un risultato osservativo che differisce nettamente da tutti gli altri.

Assoluto errore il valore numerico approssimativo è la differenza tra il risultato durante la misurazione e il valore reale del valore misurato. Il valore vero o effettivo riflette la quantità fisica studiata. Questo erroreè la misura quantitativa più semplice dell’errore. Può essere calcolato utilizzando la seguente formula: ∆Х = Hisl - Hist. Può assumere significati positivi e negativi. Per una migliore comprensione, diamo un'occhiata a . La scuola conta 1205 studenti, arrotondati a 1200 in assoluto errore equivale a: ∆ = 1200 - 1205 = 5.

Esistono alcuni calcoli dei valori di errore. Innanzitutto assoluto errore la somma di due quantità indipendenti è uguale alla somma dei loro errori assoluti: ∆(X+Y) = ∆X+∆Y. Un approccio simile è applicabile per la differenza tra due errori. Puoi utilizzare la formula: ∆(X-Y) = ∆X+∆Y.

Fonti:

come determinare l'errore assoluto

Misure le quantità fisiche sono sempre accompagnate dall'uno o dall'altro errore. Rappresenta la deviazione dei risultati della misurazione dal valore reale del valore misurato.

Avrai bisogno

-dispositivo di misurazione:
-calcolatrice.

Istruzioni

Gli errori possono derivare dall'influenza di diversi fattori. Tra questi vi sono l'imperfezione degli strumenti o dei metodi di misurazione, le imprecisioni nella loro fabbricazione e il mancato rispetto di condizioni speciali durante la conduzione della ricerca.

Esistono diverse classificazioni. A seconda della forma di presentazione possono essere assoluti, relativi e ridotti. I primi rappresentano la differenza tra il valore calcolato e quello reale di una quantità. Sono espressi in unità del fenomeno misurato e si trovano con la formula: ∆x = hisl-hist. I secondi sono determinati dal rapporto tra gli errori assoluti e il valore vero dell'indicatore. La formula di calcolo è: δ = ∆x/hist. Si misura in percentuali o azioni.

L'errore ridotto dello strumento di misura risulta dal rapporto ∆x rispetto al valore normalizzante xn. A seconda del tipo di dispositivo, viene considerato uguale al limite di misurazione o assegnato a un determinato intervallo.

In base alle condizioni di occorrenza, distinguono tra base e aggiuntivi. Se le misurazioni sono state eseguite in condizioni normali, verrà visualizzato il primo tipo. Ulteriori deviazioni causate da valori che vanno oltre i limiti normali. Per valutarlo, la documentazione solitamente stabilisce degli standard entro i quali il valore può cambiare se le condizioni di misurazione vengono violate.

Inoltre, gli errori nelle misurazioni fisiche sono suddivisi in sistematici, casuali e grossolani. I primi sono causati da fattori che agiscono quando le misurazioni vengono ripetute più volte. I secondi nascono dall'influenza delle ragioni e del carattere. Una mancata è un'osservazione che differisce nettamente da tutte le altre.

A seconda della natura del valore misurato, possono essere utilizzati diversi metodi di misurazione dell'errore. Il primo di questi è il metodo Kornfeld. Si basa sul calcolo di un intervallo di confidenza che va dal risultato minimo a quello massimo. L'errore in questo caso sarà pari alla metà della differenza tra questi risultati: ∆x = (xmax-xmin)/2. Un altro metodo consiste nel calcolare l'errore quadratico medio.

Le misurazioni possono essere effettuate con diversi gradi di precisione. Allo stesso tempo, anche gli strumenti di precisione non sono assolutamente accurati. Gli errori assoluti e relativi possono essere piccoli, ma in realtà sono quasi sempre presenti. La differenza tra i valori approssimativi ed esatti di una certa quantità è chiamata assoluta errore. In questo caso, la deviazione può essere sia maggiore che minore.

Avrai bisogno

- dati di misurazione;
- calcolatrice.

Istruzioni

Prima di calcolare l'errore assoluto, prendi diversi postulati come dati iniziali. Elimina gli errori grossolani. Supponiamo che le correzioni necessarie siano già state calcolate e applicate al risultato. Tale modifica può essere un trasferimento del punto di misurazione originale.

Prendiamo come punto di partenza il fatto che vengano presi in considerazione gli errori casuali. Ciò implica che essi sono meno che sistematici, cioè assoluti e relativi, caratteristici di questo particolare dispositivo.

Gli errori casuali influenzano i risultati anche di misurazioni altamente accurate. Pertanto, qualsiasi risultato sarà più o meno vicino all'assoluto, ma ci saranno sempre delle discrepanze. Determina questo intervallo. Può essere espresso dalla formula (Xizm- ΔХ)≤Xism ≤ (Xism+ΔХ).

Determinare il valore più vicino al valore. Nelle misurazioni viene presa l'aritmetica, che può essere ottenuta dalla formula in figura. Accetta il risultato come valore reale. In molti casi, la lettura dello strumento di riferimento è accettata come accurata.

Conoscendo il valore reale, puoi trovare l'errore assoluto, che deve essere preso in considerazione in tutte le misurazioni successive. Trova il valore di X1: i dati di una misurazione specifica. Determina la differenza ΔХ sottraendo il più piccolo dal più grande. Nel determinare l'errore, viene preso in considerazione solo il modulo di questa differenza.

Nota

Di norma, in pratica non è possibile effettuare misurazioni assolutamente precise. Pertanto, l'errore massimo viene preso come valore di riferimento. Rappresenta il valore massimo del modulo errore assoluto.

Consigli utili

Nelle misurazioni pratiche, la metà del valore di divisione più piccolo viene solitamente considerata come errore assoluto. Quando si lavora con i numeri, l'errore assoluto viene considerato pari alla metà del valore della cifra, che si trova nella cifra accanto alle cifre esatte.

Per determinare la classe di precisione di uno strumento è più importante il rapporto tra l'errore assoluto e il risultato della misurazione o la lunghezza della scala.

Gli errori di misurazione sono associati all’imperfezione di strumenti, utensili e tecniche. La precisione dipende anche dall'attenzione e dallo stato dello sperimentatore. Gli errori si dividono in assoluti, relativi e ridotti.

Istruzioni

Supponiamo che una singola misurazione di una quantità dia il risultato x. Il valore vero è indicato con x0. Quindi assoluto erroreΔx=|x-x0|. Valuta assoluto. Assoluto erroreè costituito da tre componenti: errori casuali, errori sistematici e mancanze. Di solito, quando si misura con uno strumento, la metà del valore della divisione viene considerata un errore. Per un righello millimetrico questo sarebbe 0,5 mm.

Il valore reale della quantità misurata nell'intervallo (x-Δx ; x+Δx). In breve, questo si scrive come x0=x±Δx. È importante misurare x e Δx nelle stesse unità e scrivere nello stesso formato, ad esempio parte intera e tre virgole. Quindi, assoluto errore fornisce i confini dell'intervallo in cui si trova il valore vero con una certa probabilità.

Misure dirette e indirette. Nelle misurazioni dirette, il valore desiderato viene immediatamente misurato con l'apposito dispositivo. Ad esempio, corpi con un righello, tensione con un voltmetro. Nelle misurazioni indirette, un valore viene trovato utilizzando la formula per il rapporto tra esso e i valori misurati.

Se il risultato è una dipendenza da tre quantità misurate direttamente aventi errori Δx1, Δx2, Δx3, allora errore misura indiretta ΔF=√[(Δx1 ∂F/∂x1)²+(Δx2 ∂F/∂x2)²+(Δx3 ∂F/∂x3)²]. Qui ∂F/∂x(i) sono le derivate parziali della funzione per ciascuna delle quantità misurate direttamente.

Consigli utili

Gli errori sono grossolane imprecisioni nelle misurazioni che si verificano a causa del malfunzionamento degli strumenti, della disattenzione dello sperimentatore o della violazione della metodologia sperimentale. Per ridurre la probabilità di tali errori, prestare attenzione quando si effettuano le misurazioni e descrivere in dettaglio i risultati ottenuti.

Fonti:

Linee guida per il lavoro di laboratorio in fisica
come trovare l'errore relativo

Il risultato di qualsiasi misurazione è inevitabilmente accompagnato da una deviazione dal valore reale. L'errore di misurazione può essere calcolato in diversi modi a seconda del suo tipo, ad esempio mediante metodi statistici per determinare l'intervallo di confidenza, la deviazione standard, ecc.

Soggetto " "Si studia fluentemente in terza media. E gli studenti, di regola, non sviluppano completamente le capacità per calcolarlo.

Ma con applicazione pratica errore relativo del numero , così come con l'errore assoluto, incontriamo ad ogni passaggio.

Durante i lavori di riparazione abbiamo misurato (in centimetri) lo spessore M moquette e larghezza N soglia. Abbiamo ottenuto i seguenti risultati:

m≈0,8 (con una precisione di 0,1);

n≈100.0 (precisione fino a 0,1).

Si noti che l'errore assoluto di ciascun dato di misurazione non è superiore a 0,1.

Tuttavia, 0,1 è una parte significativa del numero 0,8. Quanto ail numero 100 rappresenta l'h insignificanteÈ. Ciò dimostra che la qualità della seconda dimensione è molto superiore alla prima.

Per valutare la qualità della misurazione viene utilizzato errore relativo del numero approssimativo.

Definizione.

Errore relativo del numero approssimativo (valori) è il rapporto tra l'errore assoluto e il valore assoluto del valore approssimativo.

Hanno convenuto di esprimere l'errore relativo in percentuale.

Esempio 1.

Considera la frazione 14,7 e arrotondala ai numeri interi. Troveremo anche errore relativo del numero approssimativo:

14,7≈15.

Per calcolare l'errore relativo, oltre al valore approssimativo, di norma è necessario conoscere anche l'errore assoluto. L'errore assoluto non è sempre noto. Quindi calcola impossibile. E in questo caso è sufficiente indicare una stima del relativo errore.

Ricordiamo l'esempio fornito all'inizio dell'articolo. Lì erano indicate le misure dello spessore. M moquette e larghezza N soglia.

In base ai risultati delle misurazioni M≈0,8 con una precisione di 0,1. Possiamo dire che l'errore di misurazione assoluto non è superiore a 0,1. Ciò significa che il risultato della divisione dell'errore assoluto per il valore approssimativo (e questo è l'errore relativo) è inferiore o uguale a 0,1/0,8 = 0,125 = 12,5%.

Pertanto, l'errore di approssimazione relativo è ≤ 12,5%.

In modo analogo calcoliamo l'errore relativo nell'approssimare la larghezza del davanzale; non è superiore a 0,1/100 = 0,001 = 0,1%.

Dicono che nel primo caso la misurazione è stata effettuata con una precisione relativa fino al 12,5% e nel secondo con una precisione relativa fino allo 0,1%.

Riassumere.

Errore assoluto numero approssimativo - questa è la differenzatra il numero esatto X e il suo valore approssimativo UN.

Se il modulo differenziale | X – UN| meno di alcuni D UN, quindi il valore D UN chiamato errore assoluto numero approssimativo UN.

Errore relativo del numero approssimativo è il rapporto dell'errore assoluto D UN al modulo di un numero UN, questo èD UN / |UN| = d UN .

Esempio 2.

Consideriamo il valore approssimato noto del numero π≈3.14.

Considerando il suo valore con una precisione di centomillesimi, puoi indicare il suo errore come 0,00159... (aiuterà a ricordare le cifre del numero π )

L'errore assoluto del numero π è pari a: | 3,14 – 3,14159 | = 0,00159 ≈0,0016.

L'errore relativo del numero π è pari a: 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.

Esempio 3.

Prova a calcolarlo da solo errore relativo del numero approssimativo √2. Esistono diversi modi per ricordare le cifre del numero “radice quadrata di 2”.