Numeri complessi in breve. Numeri complessi: definizione e concetti base

SoggettoNumeri complessi e polinomi

Conferenza 22

§1. Numeri complessi: definizioni fondamentali

Simbolo è introdotto dal rapporto
ed è chiamata unità immaginaria. In altre parole,
.

Definizione. Espressione della forma
, Dove
, è chiamato numero complesso e il numero chiamata parte reale di un numero complesso e denotare
, numero – parte immaginaria e denotare
.

Da questa definizione segue che i numeri reali sono quei numeri complessi la cui parte immaginaria è uguale a zero.

È conveniente rappresentare i numeri complessi mediante punti di un piano su cui è dato un sistema di coordinate cartesiane rettangolari, vale a dire: un numero complesso
corrisponde ad un punto
e viceversa. In asse
sono raffigurati i numeri reali e viene chiamato asse reale. Numeri complessi della forma

sono chiamati puramente immaginari. Sono rappresentati da punti sull'asse
, che è chiamato asse immaginario. Questo piano, che serve a rappresentare i numeri complessi, è chiamato piano complesso. Un numero complesso che non è reale, ad es. tale che
, a volte chiamato immaginario.

Due numeri complessi si dicono uguali se e solo se la loro parte reale e quella immaginaria sono uguali.

L'addizione, la sottrazione e la moltiplicazione di numeri complessi viene eseguita secondo le consuete regole dell'algebra polinomiale, tenendo conto del fatto che

. L'operazione di divisione può essere definita come l'inverso dell'operazione di moltiplicazione e l'unicità del risultato può essere dimostrata (se il divisore è diverso da zero). Tuttavia, in pratica viene utilizzato un approccio diverso.

Numeri complessi
E
sono detti coniugati; sul piano complesso sono rappresentati da punti simmetrici rispetto all'asse reale. È ovvio che:

1)

;

2)
;

3)
.

Adesso dividi SU può essere fatto come segue:

Non è difficile dimostrarlo

dov'è il simbolo indica qualsiasi operazione aritmetica.

Permettere
qualche numero immaginario, e – variabile reale. Prodotto di due binomi

è un trinomio quadratico a coefficienti reali.

Ora, avendo a disposizione numeri complessi, possiamo risolvere qualsiasi equazione quadratica
.Se poi

e l'equazione ha due radici coniugate complesse

Se
, allora l'equazione ha due radici reali diverse. Se
, allora l'equazione ha due radici identiche.

§2. Forma trigonometrica di un numero complesso

Come accennato in precedenza, un numero complesso
conveniente da rappresentare come un punto
. Questo numero può anche essere identificato con il raggio vettore di questo punto
. Con questa interpretazione, l'addizione e la sottrazione di numeri complessi viene eseguita secondo le regole per l'addizione e la sottrazione dei vettori. Per moltiplicare e dividere numeri complessi è più conveniente un'altra forma.

Introduciamo sul piano complesso
sistema di coordinate polari. Poi dove
,
e numero complesso
può essere scritto come:

Questa forma di notazione è chiamata trigonometrica (in contrasto con la forma algebrica
). In questa forma il numero è chiamato modulo e – argomento di un numero complesso . Sono designati:
,

. Per il modulo abbiamo la formula

L'argomento di un numero non è definito in modo univoco, ma fino a un termine
,
. Il valore dell'argomento che soddisfa le disuguaglianze
, è chiamato principale ed è denotato
. Poi,
. Per il valore principale dell'argomento, puoi ottenere le seguenti espressioni:

argomento numerico
è considerato incerto.

La condizione per l'uguaglianza di due numeri complessi in forma trigonometrica ha la forma: i moduli dei numeri sono uguali e gli argomenti differiscono di un multiplo di
.

Troviamo il prodotto di due numeri complessi in forma trigonometrica:

Pertanto, quando i numeri vengono moltiplicati, i loro moduli vengono moltiplicati e i loro argomenti vengono aggiunti.

In modo simile possiamo stabilire che durante la divisione si dividono i moduli dei numeri e si sottraggono gli argomenti.

Comprendendo l'elevamento a potenza come una moltiplicazione ripetuta, possiamo ottenere una formula per elevare un numero complesso a una potenza:

Deriviamo una formula per
- radice -esima potenza di un numero complesso (da non confondere con la radice aritmetica di un numero reale!). L'operazione di estrazione della radice è l'inverso dell'operazione di esponenziazione. Ecco perché
è un numero complesso tale che
.

Permettere
è noto, ma
necessario per essere trovato. Poi

Dall'uguaglianza di due numeri complessi in forma trigonometrica segue questo

,
,
.

Da qui
(questa è una radice aritmetica!),

,
.

È facile verificarlo non può che accettare valori essenzialmente diversi, ad esempio, quando
. Infine abbiamo la formula:

,
.

Quindi la radice ha la -esima potenza di un numero complesso significati diversi. Sul piano complesso questi valori si trovano correttamente ai vertici -un triangolo inscritto in una circonferenza di raggio
con centro nell'origine. La “prima” radice ha un argomento
, gli argomenti di due radici “vicine” differiscono per
.

Esempio. Prendiamo la radice cubica dell'unità immaginaria:
,
,
. Poi:

Ricordiamo le informazioni necessarie sui numeri complessi.

Numero complessoè un'espressione della forma UN + bi, Dove UN, B sono numeri reali e io- cosiddetto unità immaginaria, un simbolo il cui quadrato è uguale a –1, cioè io 2 = –1. Numero UN chiamato parte reale e il numero B - parte immaginaria numero complesso z = UN + bi. Se B= 0, allora invece UN + 0io semplicemente scrivono UN. Si può vedere che i numeri reali sono un caso speciale di numeri complessi.

Le operazioni aritmetiche sui numeri complessi sono le stesse che sui numeri reali: possono essere sommate, sottratte, moltiplicate e divise tra loro. L'addizione e la sottrazione avvengono secondo la regola ( UN + bi) ± ( C + di) = (UN ± C) + (B ± D)io, e la moltiplicazione segue la regola ( UN + bi) · ( C + di) = (AC – bd) + (anno Domini + avanti Cristo)io(qui si usa così io 2 = –1). Numero = UN – bi chiamato complesso coniugato A z = UN + bi. Uguaglianza z · = UN 2 + B 2 ti permette di capire come dividere un numero complesso per un altro numero complesso (diverso da zero):

(Per esempio, .)

I numeri complessi hanno una rappresentazione geometrica comoda e visiva: numero z = UN + bi può essere rappresentato da un vettore di coordinate ( UN; B) sul piano cartesiano (o, che è quasi la stessa cosa, un punto - l'estremità di un vettore con queste coordinate). In questo caso, la somma di due numeri complessi viene rappresentata come la somma dei vettori corrispondenti (che può essere trovata utilizzando la regola del parallelogramma). Secondo il teorema di Pitagora, la lunghezza del vettore con coordinate ( UN; B) è uguale a . Questa quantità si chiama modulo numero complesso z = UN + bi ed è indicato con | z|. Viene chiamato l'angolo che questo vettore forma con la direzione positiva dell'asse x (contato in senso antiorario). discussione numero complesso z ed è indicato con Arg z. L'argomento non è definito univocamente, ma solo fino all'addizione di un valore multiplo di 2 π radianti (o 360°, se contati in gradi) - è chiaro che ruotare di un tale angolo attorno all'origine non cambierà il vettore. Ma se il vettore di length R forma un angolo φ con la direzione positiva dell'asse x, allora le sue coordinate sono uguali a ( R cos φ ; R peccato φ ). Da qui si scopre notazione trigonometrica numero complesso: z = |z| · (cos(Arg z) + io peccato (Arg z)). Spesso è conveniente scrivere i numeri complessi in questa forma, perché semplifica notevolmente i calcoli. Moltiplicare numeri complessi in forma trigonometrica è molto semplice: z 1 · z 2 = |z 1| · | z 2| · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + io peccato (Arg z 1 + Arg z 2)) (quando si moltiplicano due numeri complessi, i loro moduli vengono moltiplicati e i loro argomenti vengono aggiunti). Da qui segui Le formule di Moivre: zn = |z|N· (cos( N· (Arg z)) + io peccato( N· (Arg z))). Usando queste formule, è facile imparare come estrarre radici di qualsiasi grado da numeri complessi. radice ennesima di z- questo è un numero complesso w, Che cosa w n = z. E' chiaro , E dove K può assumere qualsiasi valore dall'insieme (0, 1, ..., N- 1). Ciò significa che c'è sempre esattamente N radici N-esimo grado di un numero complesso (sul piano si trovano ai vertici del numero regolare N-gon).

L'argomento "Numeri complessi" spesso causa difficoltà agli studenti, ma in realtà non c'è nulla di spaventoso in loro, come potrebbe sembrare a prima vista.

Quindi, ora analizzeremo e considereremo, utilizzando semplici esempi, cos'è un numero complesso, come viene indicato e in cosa consiste. Espressione z = a + biè chiamato numero complesso. Questo è un numero singolo, non un'addizione.

Esempio 1 : z = 6 + 4i

In cosa consiste un numero complesso?

Un numero complesso ha una parte reale e una immaginaria.

Il numero a è chiamato parte reale di un numero complesso e si denota a = Re(z). Ed ecco cosa c'entra la lettera io- cioè. numero B si chiama coefficiente della parte immaginaria di un numero complesso e si denota b = Im(z). Insieme bi costituiscono la parte immaginaria di un numero complesso.

Non è difficile indovinare ed è facile ricordare che si tratta dell'abbreviazione "Rif" deriva dalla parola "Vero"- parte reale e valida. Rispettivamente, "Io sono"è un'abbreviazione della parola "Immaginario"- parte immaginaria, immaginaria.

Esempio 2 : z = 0,5 + 9i. Ecco la parte reale a = Re (z) = 0,5 e la parte immaginaria b = Im(z) = 9i

Esempio 3 : z = -5 + 19i. Ecco la parte reale a = Re (z) = -5 e la parte immaginaria b = Im(z) = 19.

Numero complesso puramente immaginario

Un numero complesso che non ha parte reale, cioè Re(z) = 0, si chiama puramente immaginario.

Esempio 4 : z = 2i. Manca la parte vera a = Re (z) = 0 e la parte immaginaria b = Im(z) = 2.

Esempio 5 . z = -8i. Ecco la parte immaginaria b = Im(z) = -8, parte reale a = Re (z) = 0.

Coniugare i numeri complessi

Il numero coniugato complesso è indicato "zet" con una barra e viene utilizzato, ad esempio, per trovare il quoziente di due numeri complessi, in altre parole per attuare la divisione dei numeri. Coloro che ci stanno pensando adesso, questo è il posto dove leggere sulla divisione dei numeri complessi.

I numeri si dicono complessi coniugati; hanno le stesse parti reali e differiscono solo per il segno delle parti immaginarie. Diamo un'occhiata ad un esempio:

Esempio 6 . Complesso coniugato a un numero z = 7 + 13iè il numero.

Unità immaginaria di un numero complesso

E infine, parliamo della lettera io. La stessa lettera che forma una componente immaginaria in un numero complesso. Anche se abbiamo l'espressione z = 5, ciò significa semplicemente che la parte immaginaria di un dato numero è uguale a zero e la parte reale è uguale a cinque.

Grandezza io chiamato unità immaginaria.

L'unità immaginaria è utile per risolvere equazioni quadratiche quando il discriminante è inferiore a zero. Siamo abituati a pensare che se è negativo non c’è soluzione, non ci sono radici. Ciò non è del tutto corretto. Le radici esistono, sono semplicemente complesse. Ma ne parleremo più avanti. Adesso passiamo al prossimo articolo sullo studio dei numeri complessi, scopriamo come fare i calcoli

§1. Numeri complessi

1°. Definizione. Notazione algebrica.

Definizione 1. Numeri complessi vengono chiamate coppie ordinate di numeri reali E , se per essi vengono definiti il concetto di operazioni di uguaglianza, addizione e moltiplicazione, soddisfacenti i seguenti assiomi:

1) Due numeri
E
uguale se e solo se
,
, cioè.


,
.

2) La somma di numeri complessi
E

e pari
, cioè.

+
=
.

3) Prodotto di numeri complessi
E
è il numero indicato da
e uguale, cioè

∙=.

L'insieme dei numeri complessi è indicato C.

Formule (2), (3) per i numeri della forma
prendere la forma

donde ne consegue che le operazioni di addizione e moltiplicazione per i numeri della forma
coincide con l'addizione e la moltiplicazione per i numeri reali numero complesso della forma
identificato con un numero reale .

Numero complesso
chiamato unità immaginaria ed è designato , cioè.
Quindi da (3)

Da (2), (3)  che significa

Viene chiamata l'espressione (4). notazione algebrica numero complesso.

Nella notazione algebrica, le operazioni di addizione e moltiplicazione assumono la forma:

Un numero complesso è indicato con
,– parte reale, – parte immaginaria, è un numero puramente immaginario. Designazione:
,
.

Definizione 2. Numero complesso
chiamato coniugare con un numero complesso
.

Proprietà della coniugazione complessa.

2)
.

3) Se
, Quello
.

4)
.

5)
- numero reale.

La dimostrazione si effettua mediante calcolo diretto.

Definizione 3. Numero
chiamato modulo numero complesso
ed è designato
.

E' ovvio
, E

. Anche le formule sono ovvie:
E
.

2°. Proprietà delle operazioni di addizione e moltiplicazione.

1) Commutatività:
,
.

2) Associatività:,
.

3) Distributività: .

La dimostrazione 1) – 3) viene effettuata mediante calcoli diretti basati su proprietà simili per i numeri reali.

4)
,
.

5) , C ! , soddisfacendo l'equazione
. Questo

6) ,C, 0, ! :
. Questo si trova moltiplicando l'equazione per

.

Esempio. Immaginiamo un numero complesso
in forma algebrica. Per fare ciò, moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione per il numero coniugato del denominatore. Abbiamo:

3°. Interpretazione geometrica dei numeri complessi. Forma trigonometrica ed esponenziale di scrittura di un numero complesso.

Sia specificato un sistema di coordinate rettangolari sul piano. Poi
C puoi abbinare un punto su un piano con le coordinate
.(vedi Fig. 1). Ovviamente, tale corrispondenza è uno a uno. In questo caso i numeri reali si trovano sull'asse delle ascisse, mentre i numeri puramente immaginari si trovano sull'asse delle ordinate. Pertanto, viene chiamato l'asse delle ascisse asse reale e l'asse delle ordinate − asse immaginario. Il piano su cui giacciono i numeri complessi si chiama piano complesso.

Notare che E
sono simmetrici rispetto all'origine e E simmetrico rispetto al Bue.

Ad ogni numero complesso (cioè ad ogni punto del piano) può essere associato un vettore che abbia inizio nel punto O e fine nel punto
. La corrispondenza tra vettori e numeri complessi è biunivoca. Pertanto, il vettore corrispondente ad un numero complesso , indicato con la stessa lettera

D linea vettoriale
corrispondente ad un numero complesso
, è uguale
, E
,
.

Usando l'interpretazione dei vettori, possiamo vedere che il vettore
− somma di vettori E , UN
− somma di vettori E
.(vedi Fig. 2). Valgono quindi le seguenti disuguaglianze: ,

Insieme alla lunghezza vettore introduciamo l'angolo tra vettore e l'asse del Bue, contato dalla direzione positiva dell'asse del Bue: se il conteggio è antiorario, allora il segno dell'angolo è considerato positivo, se il conteggio è orario, allora è negativo. Questo angolo si chiama argomento sui numeri complessi ed è designato
. Angolo non è determinato in modo univoco, ma con precisione
…. Per
l'argomento non è definito.

Le formule (6) definiscono il cosiddetto notazione trigonometrica numero complesso.

Dalla (5) segue che se
E
Quello

,
.

Da (5)
che dire E un numero complesso è determinato in modo univoco. Non è vero il contrario: cioè su un numero complesso il suo modulo si trova in modo univoco e l'argomento , in virtù della (7), − con esattezza
. Ne consegue anche dalla (7) che l'argomentazione può essere trovato come soluzione dell’equazione

Tuttavia, non tutte le soluzioni di questa equazione sono soluzioni della (7).

Tra tutti i valori dell'argomento di un numero complesso, ne viene selezionato uno, chiamato valore principale dell'argomento e indicato
. Di solito il valore principale dell'argomento viene scelto nell'intervallo
o nell'intervallo

È conveniente eseguire le operazioni di moltiplicazione e divisione in forma trigonometrica.

Teorema 1. Modulo di prodotto di numeri complessi E è uguale al prodotto dei moduli e l'argomento è la somma degli argomenti, ovvero

, UN .

Allo stesso modo

Prova. Permettere ,. Quindi per moltiplicazione diretta otteniamo:

Allo stesso modo

.■

Conseguenza(Formula di Moivre). Per
Vale la formula di Moivre

P esempio. Troviamo la posizione geometrica del punto
. Dal Teorema 1 segue che .

Pertanto, per costruirlo, devi prima costruire un punto , che è l'inversione rispetto alla circonferenza unitaria, quindi trovare un punto ad esso simmetrico rispetto all'asse del bue.

Permettere
,quelli.
Numero complesso
denotato da
, cioè. R La formula di Eulero è valida

Perché
, Quello
,
. Dal Teorema 1
cosa c'entra la funzione
puoi lavorare come con una normale funzione esponenziale, cioè valgono le uguaglianze

,
,
.

Da (8)
notazione dimostrativa numero complesso

, Dove
,

Esempio. .

4°. Radici -esima potenza di un numero complesso.

Considera l'equazione

,
CON ,
N .

Permettere
, e si cerca la soluzione dell'equazione (9) nella forma
. Allora (9) assume la forma
, da dove lo troviamo
,
, cioè.

,
,
.

Pertanto, l'equazione (9) ha radici

,
.

Mostriamo che tra (10) c'è esattamente radici diverse. Veramente,

sono diversi, perché i loro argomenti sono diversi e differiscono meno di
. Ulteriore,
, Perché
. Allo stesso modo
.

Pertanto, l'equazione (9) a
ha esattamente radici
, situato ai vertici del regolare -un triangolo inscritto in una circonferenza di raggio con centro a t.O.

Così è dimostrato

Teorema 2. Estrazione della radice -esima potenza di un numero complesso
È sempre possibile. Tutti i significati delle radici ° grado di situato ai vertici del corretto -gon inscritto in una circonferenza con centro nullo e raggio
. In cui,

Conseguenza. Radici -esima potenza di 1 sono espresse dalla formula

Il prodotto di due radici di 1 è una radice, 1 è una radice -esimo potere dell'unità, radice
:
.

Durante lo studio delle proprietà di un'equazione quadratica, è stata imposta una restrizione: per un discriminante inferiore a zero, non esiste una soluzione. Si è subito affermato che si trattava di un insieme di numeri reali. La mente curiosa del matematico sarà interessata a quale segreto è contenuto nella clausola sui valori reali?

Nel corso del tempo, i matematici hanno introdotto il concetto di numeri complessi, dove il valore condizionale della seconda radice di meno uno viene preso come uno.

Riferimento storico

La teoria matematica si sviluppa in sequenza, dal semplice al complesso. Scopriamo come è nato il concetto chiamato "numero complesso" e perché è necessario.

Da tempo immemorabile, la base della matematica è il conteggio ordinario. I ricercatori conoscevano solo l'insieme naturale dei valori. Addizione e sottrazione erano semplici. Man mano che le relazioni economiche diventavano più complesse, si cominciò a usare la moltiplicazione invece di aggiungere valori identici. Apparve l'operazione inversa alla moltiplicazione: la divisione.

Il concetto di numero naturale limitava l'uso delle operazioni aritmetiche. È impossibile risolvere tutti i problemi di divisione su un insieme di valori interi. condusse prima al concetto di valori razionali e poi a quelli irrazionali. Se per razionale è possibile indicare la posizione esatta di un punto su una linea, allora per irrazionale è impossibile indicare tale punto. È possibile indicare solo approssimativamente l'intervallo di localizzazione. La combinazione di numeri razionali e irrazionali forma un vero e proprio insieme, che può essere rappresentato come una certa linea con una determinata scala. Ogni passo lungo la linea è un numero naturale e tra loro ci sono valori razionali e irrazionali.

Inizia l’era della matematica teorica. Lo sviluppo dell'astronomia, della meccanica e della fisica richiese la soluzione di equazioni sempre più complesse. In forma generale, sono state trovate le radici dell'equazione quadratica. Nel risolvere un polinomio cubico più complesso, gli scienziati hanno riscontrato una contraddizione. Il concetto di radice cubica negativa ha senso, ma per una radice quadrata risulta incerto. Inoltre, l'equazione quadratica è solo un caso speciale di quella cubica.

Nel 1545 l'italiano G. Cardano propose di introdurre il concetto di numero immaginario.

Questo numero divenne la seconda radice di meno uno. Il termine numero complesso venne finalmente coniato solo trecento anni dopo, nelle opere del famoso matematico Gauss. Propose di estendere formalmente tutte le leggi dell'algebra a un numero immaginario. La linea reale si è espansa fino a diventare un piano. Il mondo è diventato più grande.

Concetti basilari

Ricordiamo una serie di funzioni che hanno restrizioni sull'insieme reale:

y = arcsin(x), definito nell'intervallo di valori compreso tra unità negativa e positiva.
y = ln(x), ha senso per argomenti positivi.
radice quadrata y = √x, calcolata solo per x ≥ 0.

Denotando i = √(-1), introduciamo un concetto come un numero immaginario, questo ci consentirà di rimuovere tutte le restrizioni dal dominio di definizione delle funzioni di cui sopra. Espressioni come y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) assumono significato in un certo spazio di numeri complessi.

La forma algebrica può essere scritta come z = x + i×y sull'insieme dei valori reali xey, e i 2 = -1.

Il nuovo concetto rimuove tutte le restrizioni sull'uso di qualsiasi funzione algebrica e il suo aspetto ricorda un grafico di una linea retta nelle coordinate dei valori reali e immaginari.

Piano complesso

La forma geometrica dei numeri complessi rende possibile visualizzare molte delle loro proprietà. Lungo l'asse Re(z) segniamo i valori reali di x, lungo l'Im(z) - valori immaginari di y, quindi il punto z sul piano visualizzerà il valore complesso richiesto.

Definizioni:

Re(z) - asse reale.
Im(z) - indica l'asse immaginario.
z è il punto condizionale di un numero complesso.
Il valore numerico della lunghezza del vettore dal punto zero a z è chiamato modulo.
Gli assi reale e immaginario dividono il piano in quarti. Con un valore di coordinata positivo - I quarto. Quando l'argomento dell'asse reale è inferiore a 0 e l'asse immaginario è maggiore di 0, il secondo quarto. Quando le coordinate sono negative - III trimestre. L'ultimo quarto quarto contiene molti valori reali positivi e valori immaginari negativi.

Pertanto, su un piano con coordinate xey, puoi sempre rappresentare visivamente un punto di un numero complesso. Il simbolo i viene introdotto per separare la parte reale dalla parte immaginaria.

Proprietà

Con un valore zero dell'argomento immaginario, otteniamo semplicemente un numero (z = x), che si trova sull'asse reale e appartiene all'insieme reale.
Un caso speciale in cui il valore dell'argomento reale diventa zero, l'espressione z = i×y corrisponde alla posizione del punto sull'asse immaginario.
La forma generale z = x + i×y sarà per valori diversi da zero degli argomenti. Indica la posizione del punto caratterizzante un numero complesso in uno dei quarti.

Notazione trigonometrica

Ricordiamo il sistema di coordinate polari e la definizione di seno e cos. Ovviamente, utilizzando queste funzioni è possibile descrivere la posizione di qualsiasi punto sul piano. Per fare ciò è sufficiente conoscere la lunghezza del raggio polare e l'angolo di inclinazione rispetto all'asse reale.

Definizione. Una notazione della forma ∣z ∣ moltiplicata per la somma delle funzioni trigonometriche cos(ϴ) e della parte immaginaria i ×sin(ϴ) è chiamata numero complesso trigonometrico. Qui usiamo la notazione angolo di inclinazione rispetto all'asse reale

ϴ = arg(z), e r = ∣z∣, la lunghezza della trave.

Dalla definizione e dalle proprietà delle funzioni trigonometriche segue una formula di Moivre molto importante:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Utilizzando questa formula, è conveniente risolvere molti sistemi di equazioni contenenti funzioni trigonometriche. Soprattutto quando si pone il problema dell'esponenziazione.

Modulo e fase

Per completare la descrizione di un insieme complesso proponiamo due importanti definizioni.

Conoscendo il teorema di Pitagora, è facile calcolare la lunghezza del raggio nel sistema di coordinate polari.

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), tale notazione nello spazio complesso si chiama “modulo” e caratterizza la distanza da 0 a un punto sul piano.

L'angolo di inclinazione del raggio complesso rispetto alla linea reale ϴ è solitamente chiamato fase.

Dalla definizione è chiaro che la parte reale e quella immaginaria vengono descritte utilizzando funzioni cicliche. Vale a dire:

x = r × cos(ϴ);
y = r × sin(ϴ);

La fase ha invece una connessione con i valori algebrici attraverso la formula:

ϴ = arctan(x / y) + µ, la correzione µ viene introdotta per tenere conto della periodicità delle funzioni geometriche.

La formula di Eulero

I matematici usano spesso la forma esponenziale. I numeri del piano complesso si scrivono come espressione

z = r × e i × ϴ, che segue dalla formula di Eulero.

Questa notazione è diventata molto diffusa per il calcolo pratico delle quantità fisiche. La forma di rappresentazione sotto forma di numeri complessi esponenziali è particolarmente conveniente per i calcoli ingegneristici, dove è necessario calcolare circuiti con correnti sinusoidali ed è necessario conoscere il valore degli integrali delle funzioni con un dato periodo. I calcoli stessi servono come strumento nella progettazione di varie macchine e meccanismi.

Definizione delle operazioni

Come già notato, tutte le leggi algebriche relative all'utilizzo delle funzioni matematiche di base si applicano ai numeri complessi.

Operazione di somma

Quando si sommano valori complessi, si sommano anche le loro parti reali e immaginarie.

z = z 1 + z 2, dove z 1 e z 2 sono numeri complessi di forma generale. Trasformando l'espressione, dopo aver aperto le parentesi e semplificato la notazione, otteniamo l'argomento reale x = (x 1 + x 2), argomento immaginario y = (y 1 + y 2).

Sul grafico appare come la somma di due vettori, secondo la nota regola del parallelogramma.

Operazione di sottrazione

È considerato un caso speciale di addizione, quando un numero è positivo, l'altro è negativo, cioè si trova nel quartiere dello specchio. La notazione algebrica assomiglia alla differenza tra la parte reale e quella immaginaria.

z = z 1 - z 2 , oppure, tenendo conto dei valori degli argomenti, analogamente all'operazione di addizione, otteniamo per valori reali x = (x 1 - x 2) e valori immaginari y = (y 1 - y 2).

Moltiplicazione nel piano complesso

Utilizzando le regole per lavorare con i polinomi, ricaveremo una formula per risolvere numeri complessi.

Seguendo le regole algebriche generali z=z 1 ×z 2, descriviamo ogni argomento e ne presentiamo di simili. La parte reale e quella immaginaria possono essere scritte come segue:

x = x 1 × x 2 - y 1 × y 2,
y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

Sembra più bello se usiamo numeri complessi esponenziali.

L'espressione è simile a questa: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

Divisione

Considerando l'operazione di divisione come l'inverso dell'operazione di moltiplicazione, in notazione esponenziale otteniamo un'espressione semplice. La divisione del valore di z 1 per z 2 è il risultato della divisione dei loro moduli e della differenza di fase. Formalmente, quando si utilizza la forma esponenziale dei numeri complessi, appare così:

z = z 1 / z 2 = r 1 × e io ϴ 1 / r 2 × e io ϴ 2 = r 1 / r 2 × e i(ϴ 1- ϴ 2) .

Sotto forma di notazione algebrica, l'operazione di divisione dei numeri nel piano complesso è scritta in modo un po' più complicato:

Descrivendo gli argomenti ed effettuando trasformazioni di polinomi, è facile ottenere i valori x = x 1 × x 2 + y 1 × y 2 , rispettivamente y = x 2 × y 1 - x 1 × y 2 , tuttavia , nell'ambito dello spazio descritto questa espressione ha senso se z 2 ≠ 0.

Estrazione della radice

Tutto quanto sopra può essere utilizzato per definire funzioni algebriche più complesse - elevando a qualsiasi potenza e al suo inverso - estraendo la radice.

Utilizzando il concetto generale di elevazione alla potenza n, otteniamo la definizione:

z n = (r × e io ϴ) n .

Usando le proprietà generali, lo riscriviamo nella forma:

z n = r n × e io ϴ n .

Abbiamo ottenuto una formula semplice per elevare a potenza un numero complesso.

Dalla definizione di laurea otteniamo un corollario molto importante. Una potenza pari dell'unità immaginaria è sempre pari a 1. Qualsiasi potenza dispari dell'unità immaginaria è sempre pari a -1.

Ora studiamo la funzione inversa: estraiamo la radice.

Per semplicità di notazione, prendiamo n = 2. La radice quadrata w del valore complesso z sul piano complesso C è solitamente considerata l'espressione z = ±, valida per qualsiasi argomento reale maggiore o uguale a zero. Per w ≤ 0 non esiste soluzione.

Consideriamo l'equazione quadratica più semplice z 2 = 1. Utilizzando le formule per i numeri complessi, riscriviamo r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0. Dalla cronaca risulta chiaro che r 2 = 1 e ϴ = 0, quindi, abbiamo un'unica soluzione pari a 1. Ma questo contraddice il concetto che z = -1, corrisponde anche alla definizione di radice quadrata.

Scopriamo cosa non prendiamo in considerazione. Se ricordiamo la notazione trigonometrica, ripristineremo l'affermazione: con un cambiamento periodico nella fase ϴ, il numero complesso non cambia. Indichiamo il valore del periodo con il simbolo p, quindi abbiamo la seguente voce: r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p), da cui 2ϴ = 0 + p, ovvero ϴ = p / 2. Pertanto, e io 0 = 1 ed e io p /2 = -1 . Abbiamo ottenuto la seconda soluzione, che corrisponde alla comprensione generale della radice quadrata.

Quindi, per trovare una radice arbitraria di un numero complesso, seguiremo la procedura.

Scriviamo la forma esponenziale w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk), k è un numero intero arbitrario.
Possiamo anche rappresentare il numero richiesto utilizzando la forma di Eulero z = r × e i ϴ .
Usiamo la definizione generale della funzione di estrazione della radice r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
Dalle proprietà generali di uguaglianza di moduli e argomenti, scriviamo r n = ∣w∣ e nϴ = arg (w) + p×k.
La notazione finale per la radice di un numero complesso è descritta dalla formula z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n.
Commento. Il valore ∣w∣, per definizione, è un numero reale positivo, il che significa che la radice di qualsiasi potenza ha senso.

Campo e compagno

In conclusione, diamo due definizioni importanti che sono di scarsa importanza per risolvere problemi applicati con numeri complessi, ma sono essenziali per l'ulteriore sviluppo della teoria matematica.

Si dice che le espressioni di addizione e moltiplicazione formano un campo se soddisfano gli assiomi per qualsiasi elemento del piano complesso z:

Cambiare la posizione dei termini complessi non cambia la somma complessa.
L'affermazione è vera: in un'espressione complessa, qualsiasi somma di due numeri può essere sostituita dal loro valore.
Esiste un valore neutro 0 per il quale z + 0 = 0 + z = z è vero.
Per ogni z esiste un opposto - z, la cui somma dà zero.
Quando si cambiano i luoghi di fattori complessi, il prodotto complesso non cambia.
La moltiplicazione di due numeri qualsiasi può essere sostituita dal loro valore.
Esiste un valore neutro 1, moltiplicando per il quale non cambia il numero complesso.
Per ogni z ≠ 0, esiste un valore inverso z -1, moltiplicando per il quale si ottiene 1.
Moltiplicare la somma di due numeri per un terzo equivale all'operazione di moltiplicare ciascuno di essi per questo numero e sommare i risultati.
0 ≠ 1.

I numeri z 1 = x + i×y e z 2 = x - i×y si dicono coniugati.

Teorema. Per l'accoppiamento è vera la seguente affermazione:

Il coniugato di una somma è uguale alla somma degli elementi coniugati.
Il coniugato di un prodotto è uguale al prodotto dei coniugati.
uguale al numero stesso.

Nell'algebra generale, tali proprietà sono solitamente chiamate automorfismi di campo.

Esempi

Seguendo le regole e le formule fornite per i numeri complessi, puoi facilmente operare con essi.

Diamo un'occhiata agli esempi più semplici.

Compito 1. Utilizzando l'equazione 3y +5 x i= 15 - 7i, determina x e y.

Soluzione. Ricordiamo la definizione di uguaglianze complesse, quindi 3y = 15, 5x = -7. Pertanto x = -7/5, y = 5.

Compito 2. Calcola i valori di 2 + i 28 e 1 + i 135.

Soluzione. Ovviamente 28 è un numero pari, dal corollario della definizione di numero complesso alla potenza abbiamo i 28 = 1, il che significa che l'espressione è 2 + i 28 = 3. Il secondo valore, i 135 = -1, allora 1 + i 135 = 0.

Compito 3. Calcola il prodotto dei valori 2+5i e 4+3i.

Soluzione. Dalle proprietà generali della moltiplicazione dei numeri complessi otteniamo (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20). Il nuovo valore sarà -7 + 26i.

Compito 4. Calcola le radici dell'equazione z 3 = -i.

Soluzione. Potrebbero esserci diverse opzioni per trovare un numero complesso. Consideriamo uno dei possibili. Per definizione, ∣ - i∣ = 1, la fase per -i è -p / 4. L'equazione originale può essere riscritta come r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk, da dove z = e - p / 12 + pk /3 , per qualsiasi intero k.

L'insieme delle soluzioni ha la forma (e - ip/12, e ip /4, e i 2 p/3).

Perché sono necessari i numeri complessi?

La storia conosce molti esempi in cui gli scienziati, lavorando su una teoria, non pensano nemmeno all'applicazione pratica dei loro risultati. La matematica è, prima di tutto, un gioco della mente, una stretta aderenza alle relazioni di causa ed effetto. Quasi tutte le costruzioni matematiche si riducono alla risoluzione di equazioni integrali e differenziali e quelle, a loro volta, con una certa approssimazione, vengono risolte trovando le radici dei polinomi. Qui incontriamo per la prima volta il paradosso dei numeri immaginari.

Gli scienziati naturali scientifici, risolvendo problemi completamente pratici, ricorrendo a soluzioni di varie equazioni, scoprono paradossi matematici. L'interpretazione di questi paradossi porta a scoperte del tutto sorprendenti. La duplice natura delle onde elettromagnetiche ne è un esempio. I numeri complessi svolgono un ruolo decisivo nella comprensione delle loro proprietà.

Questo, a sua volta, ha trovato applicazione pratica nell'ottica, nella radioelettronica, nell'energia e in molti altri campi tecnologici. Un altro esempio, molto più difficile da comprendere dei fenomeni fisici. L'antimateria era stata prevista sulla punta della penna. E solo molti anni dopo iniziano i tentativi di sintetizzarlo fisicamente.

Non si deve pensare che tali situazioni esistano solo in fisica. Scoperte non meno interessanti vengono fatte nella natura vivente, durante la sintesi delle macromolecole e durante lo studio dell'intelligenza artificiale. E tutto questo grazie all'espansione della nostra coscienza, allontanandosi dalla semplice addizione e sottrazione di quantità naturali.