Come trovare la media di una serie di numeri. Determinazione della media, della varianza e della forma della distribuzione

Nel processo di vari calcoli e nel lavoro con i dati, è spesso necessario calcolare il loro valore medio. Si calcola sommando i numeri e dividendo il totale per il loro numero. Scopriamo come calcolare la media di un insieme di numeri utilizzando Microsoft Excel in vari modi.

Il modo più semplice e famoso per trovare la media aritmetica di un insieme di numeri è utilizzare un pulsante speciale sulla barra multifunzione di Microsoft Excel. Seleziona un intervallo di numeri situati in una colonna o riga di un documento. Nella scheda "Home", fare clic sul pulsante "Somma automatica", che si trova sulla barra multifunzione nel blocco degli strumenti "Modifica". Dall'elenco a discesa, seleziona "Media".

Successivamente, utilizzando la funzione “MEDIA”, viene effettuato il calcolo. La media aritmetica di un determinato insieme di numeri viene visualizzata nella cella sotto la colonna selezionata o a destra della riga selezionata.

Questo metodo è buono per la sua semplicità e praticità. Ma presenta anche notevoli inconvenienti. Utilizzando questo metodo, puoi calcolare il valore medio solo dei numeri disposti in fila in una colonna o in una riga. Ma non è possibile lavorare con una serie di celle o con celle sparse su un foglio utilizzando questo metodo.

Ad esempio, se selezioni due colonne e calcoli la media aritmetica utilizzando il metodo sopra descritto, la risposta verrà data per ciascuna colonna separatamente e non per l'intero array di celle.

Calcolo utilizzando la funzione guidata

Nei casi in cui è necessario calcolare la media aritmetica di una serie di celle o di celle sparse, è possibile utilizzare la Creazione guidata funzione. Utilizza la stessa funzione “MEDIA”, a noi nota dal primo metodo di calcolo, ma lo fa in un modo leggermente diverso.

Fare clic sulla cella in cui si desidera visualizzare il risultato del calcolo del valore medio. Fai clic sul pulsante “Inserisci funzione”, che si trova a sinistra della barra della formula. Oppure digita la combinazione Maiusc+F3 sulla tastiera.

Viene avviata la procedura guidata della funzione. Nell'elenco delle funzioni presentate, cercare "MEDIA". Selezionarlo e fare clic sul pulsante “OK”.

Si apre la finestra degli argomenti per questa funzione. Gli argomenti della funzione vengono inseriti nei campi “Numero”. Questi possono essere numeri normali o indirizzi delle celle in cui si trovano questi numeri. Se non ti senti a tuo agio nell'inserire manualmente gli indirizzi delle celle, devi fare clic sul pulsante situato a destra del campo di immissione dei dati.

Successivamente, la finestra degli argomenti della funzione verrà ridotta a icona e sarai in grado di selezionare il gruppo di celle sul foglio da prendere per il calcolo. Quindi, fare nuovamente clic sul pulsante a sinistra del campo di immissione dei dati per tornare alla finestra degli argomenti della funzione.

Se vuoi calcolare la media aritmetica tra i numeri situati in gruppi separati di celle, esegui le stesse azioni menzionate sopra nel campo "Numero 2". E così via fino a selezionare tutti i gruppi di celle necessari.

Successivamente, fare clic sul pulsante "OK".

Il risultato del calcolo della media aritmetica verrà evidenziato nella cella selezionata prima di avviare la Creazione guidata funzione.

Barra della formula

Esiste un terzo modo per avviare la funzione MEDIA. Per fare ciò, vai alla scheda "Formule". Seleziona la cella in cui verrà visualizzato il risultato. Successivamente, nel gruppo di strumenti "Libreria funzioni" sulla barra multifunzione, fare clic sul pulsante "Altre funzioni". Viene visualizzato un elenco in cui è necessario scorrere in sequenza le voci “Statistica” e “MEDIA”.

Quindi, viene avviata esattamente la stessa finestra di argomenti della funzione come quando si utilizza la Creazione guidata funzione, il cui lavoro abbiamo descritto in dettaglio sopra.

Ulteriori azioni sono esattamente le stesse.

Inserimento manuale delle funzioni

Ma non dimenticare che puoi sempre accedere manualmente alla funzione “MEDIA”, se lo desideri. Avrà il seguente modello: “=MEDIA(indirizzo_intervallo_cella(numero); indirizzo_intervallo_cella(numero)).

Naturalmente questo metodo non è comodo come i precedenti e richiede all'utente di tenere a mente determinate formule, ma è più flessibile.

Calcolo del valore medio per condizione

Oltre al consueto calcolo del valore medio, è possibile calcolare il valore medio per condizione. In questo caso verranno presi in considerazione solo i numeri dell'intervallo selezionato che soddisfano una determinata condizione. Ad esempio, se questi numeri sono maggiori o minori di un valore specifico.

A tal fine viene utilizzata la funzione “MEDIA.SE”. Come la funzione MEDIA, puoi avviarla tramite la Creazione guidata funzione, dalla barra della formula o inserendola manualmente in una cella. Dopo che la finestra degli argomenti della funzione si è aperta, è necessario inserirne i parametri. Nel campo "Intervallo", inserisci l'intervallo di celle i cui valori parteciperanno alla determinazione della media aritmetica. Lo facciamo allo stesso modo della funzione “MEDIA”.

Ma nel campo “Condizione” dobbiamo indicare un valore specifico, numeri maggiori o minori che parteciperanno al calcolo. Questo può essere fatto utilizzando i segni di confronto. Ad esempio, abbiamo preso l'espressione “>=15000”. Cioè, per il calcolo verranno prese solo le celle nell'intervallo contenente numeri maggiori o uguali a 15000. Se necessario, invece di un numero specifico, è possibile specificare l'indirizzo della cella in cui si trova il numero corrispondente.

Il campo "Intervallo medio" è facoltativo. L'immissione dei dati è richiesta solo quando si utilizzano celle con contenuto di testo.

Una volta inseriti tutti i dati cliccare sul pulsante “OK”.

Successivamente, il risultato del calcolo della media aritmetica per l'intervallo selezionato viene visualizzato in una cella preselezionata, ad eccezione delle celle i cui dati non soddisfano le condizioni.

Come puoi vedere, in Microsoft Excel ci sono una serie di strumenti con cui puoi calcolare il valore medio di una serie selezionata di numeri. Inoltre, esiste una funzione che seleziona automaticamente i numeri dall'intervallo che non soddisfano un criterio definito dall'utente. Ciò rende i calcoli in Microsoft Excel ancora più facili da usare.

Metodo medio

3.1 L'essenza e il significato delle medie in statistica. Tipi di medie

Taglia media in statistica è una caratteristica generalizzata di fenomeni e processi qualitativamente omogenei secondo alcune caratteristiche variabili, che mostra il livello della caratteristica relativa a un'unità della popolazione. valore medio astratto, perché caratterizza il valore di una caratteristica in qualche unità impersonale della popolazione.Essenza il valore medio è che attraverso l'individuale e il casuale si rivela il generale e il necessario, cioè la tendenza e il modello nello sviluppo dei fenomeni di massa. Le caratteristiche generalizzate nei valori medi sono inerenti a tutte le unità della popolazione. Per questo motivo, il valore medio è di grande importanza per identificare modelli inerenti a fenomeni di massa e non evidenti nelle singole unità della popolazione

Principi generali per l'utilizzo delle medie:

è necessaria una scelta ragionevole dell'unità di popolazione per la quale viene calcolato il valore medio;

nel determinare il valore medio, è necessario procedere dal contenuto qualitativo della caratteristica mediata, tenere conto della relazione delle caratteristiche studiate, nonché dei dati disponibili per il calcolo;

i valori medi dovrebbero essere calcolati sulla base di popolazioni qualitativamente omogenee, ottenute con il metodo del raggruppamento, che prevede il calcolo di un sistema di indicatori generalizzati;

le medie complessive devono essere supportate dalle medie di gruppo.

A seconda della natura dei dati primari, dell'ambito di applicazione e del metodo di calcolo statistico, si distinguono: principali tipologie di mezzo:

1) medie di potenza(media aritmetica, armonica, geometrica, media quadrata e cubica);

2) mezzi strutturali (non parametrici).(modalità e mediana).

In statistica, la corretta caratterizzazione della popolazione studiata secondo una caratteristica diversa da caso a caso è fornita solo da un tipo di media molto specifico. La questione su quale tipo di media debba essere applicata in un caso particolare viene risolta attraverso un'analisi specifica della popolazione studiata, nonché sulla base del principio di significatività dei risultati durante la somma o la pesatura. Questi e altri principi sono espressi nelle statistiche teoria delle medie.

Ad esempio, la media aritmetica e la media armonica vengono utilizzate per caratterizzare il valore medio di una caratteristica variabile nella popolazione studiata. La media geometrica viene utilizzata solo quando si calcolano i tassi medi di dinamica e la media quadratica viene utilizzata solo quando si calcolano gli indici di variazione.

Le formule per il calcolo dei valori medi sono presentate nella Tabella 3.1.

Tabella 3.1 – Formule per il calcolo dei valori medi

Designazioni:- quantità per le quali viene calcolata la media; - media, dove la barra sovrastante indica che avviene la media dei singoli valori; - frequenza (ripetibilità dei singoli valori di una caratteristica).

Ovviamente da qui si ricavano le varie medie formula generale per la potenza media (3.1) :

, (3.1)

quando k = + 1 - media aritmetica; k = -1 - media armonica; k = 0 - media geometrica; k = +2 - radice quadrata media.

I valori medi possono essere semplici o ponderati. Medie ponderate vengono chiamati valori che tengono conto del fatto che alcune varianti dei valori degli attributi possono avere numeri diversi; a questo proposito, ciascuna opzione deve essere moltiplicata per questo numero. Le “scale” in questo caso sono i numeri di unità aggregate in diversi gruppi, vale a dire Ciascuna opzione è “ponderata” in base alla sua frequenza. Si chiama la frequenza f peso statistico O peso medio.

Infine scelta corretta della media presuppone la seguente sequenza:

a) stabilire un indicatore generale della popolazione;

b) determinazione di una relazione matematica di quantità per un dato indicatore generale;

c) sostituire i valori individuali con valori medi;

d) calcolo della media utilizzando l'apposita equazione.

3.2 Media aritmetica e sue proprietà e tecniche di calcolo. Media armonica

Significato aritmetico– la tipologia più comune di taglia media; viene calcolato nei casi in cui il volume della caratteristica media è formato come la somma dei suoi valori per le singole unità della popolazione statistica studiata.

Le proprietà più importanti della media aritmetica:

1. Il prodotto della media per la somma delle frequenze è sempre uguale alla somma dei prodotti delle varianti (valori individuali) per le frequenze.

2. Se sottrai (aggiungi) qualsiasi numero arbitrario da ciascuna opzione, la nuova media diminuirà (aumenterà) dello stesso numero.

3. Se ciascuna opzione viene moltiplicata (divisa) per un numero arbitrario, la nuova media aumenterà (diminuirà) dello stesso importo

4. Se tutte le frequenze (pesi) vengono divise o moltiplicate per un numero qualsiasi, la media aritmetica non cambierà.

5. La somma delle deviazioni delle singole opzioni dalla media aritmetica è sempre zero.

È possibile sottrarre un valore costante arbitrario da tutti i valori dell'attributo (preferibilmente il valore dell'opzione centrale o delle opzioni con la frequenza più alta), ridurre le differenze risultanti di un fattore comune (preferibilmente il valore dell'intervallo), ed esprimere le frequenze nei particolari (in percentuali) e moltiplicare la media calcolata per il fattore comune e aggiungere un valore costante arbitrario. Questo metodo di calcolo della media aritmetica si chiama metodo di calcolo dallo zero condizionale .

Media geometrica trova la sua applicazione nel determinare i tassi di crescita medi (coefficienti di crescita medi), quando i valori individuali di una caratteristica sono presentati sotto forma di valori relativi. Viene utilizzato anche se è necessario trovare la media tra i valori minimo e massimo di una caratteristica (ad esempio tra 100 e 1000000).

Quadrato medio utilizzato per misurare la variazione di una caratteristica nell'aggregato (calcolo della deviazione standard).

Valido in statistica regola della maggioranza delle medie:

X danno.< Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.

3.3 Medie strutturali (modalità e mediana)

Per determinare la struttura di una popolazione si utilizzano appositi indicatori medi, che comprendono la mediana e la moda, o le cosiddette medie strutturali. Se la media aritmetica viene calcolata in base all'uso di tutte le varianti dei valori degli attributi, allora la mediana e la moda caratterizzano il valore della variante che occupa una determinata posizione media nella serie di variazioni classificate

Moda- il valore più tipico e più frequente dell'attributo. Per serie discrete La moda sarà l'opzione con la più alta frequenza. Per determinare la moda serie di intervalli Innanzitutto viene determinato l'intervallo modale (l'intervallo con la frequenza più alta). Quindi, all'interno di questo intervallo, viene trovato il valore della caratteristica, che può essere una modalità.

Per trovare un valore specifico della moda di una serie di intervalli, è necessario utilizzare la formula (3.2)

(3.2)

dove XMo è il limite inferiore dell'intervallo modale; i Mo: il valore dell'intervallo modale; f Mo - frequenza dell'intervallo modale; f Mo-1 - frequenza dell'intervallo precedente quello modale; f Mo+1 è la frequenza dell'intervallo successivo a quello modale.

La moda è diffusa nelle attività di marketing quando si studia la domanda dei consumatori, soprattutto quando si determinano le taglie più popolari di abbigliamento e scarpe e quando si regolano le politiche dei prezzi.

Mediano - il valore di una caratteristica variabile che rientra nel mezzo della popolazione classificata. Per serie classificate con un numero dispari singoli valori (ad esempio 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10) la mediana sarà il valore che si trova al centro della serie, cioè il quarto valore è 6. For serie classificate con un numero pari valori individuali (ad esempio 1, 5, 7, 10, 11, 14) la mediana sarà il valore medio aritmetico, che viene calcolato da due valori adiacenti. Nel nostro caso, la mediana è (7+10)/2= 8,5.

Pertanto, per trovare la mediana, è necessario prima determinare il suo numero di serie (la sua posizione nella serie classificata) utilizzando le formule (3.3):

(se non ci sono frequenze)

N Io =
(se ci sono frequenze) (3.3)

dove n è il numero di unità nell'aggregato.

Valore numerico della mediana serie di intervalli determinato dalle frequenze accumulate in una serie di variazioni discrete. Per fare ciò è necessario innanzitutto indicare l'intervallo in cui si trova la mediana nella serie di intervalli della distribuzione. La mediana è il primo intervallo in cui la somma delle frequenze accumulate supera la metà delle osservazioni dal numero totale di tutte le osservazioni.

Il valore numerico della mediana è solitamente determinato dalla formula (3.4)

(3.4)

dove x Ме è il limite inferiore dell'intervallo mediano; iMe - valore dell'intervallo; SМе -1 è la frequenza cumulativa dell'intervallo che precede la mediana; fMe - frequenza dell'intervallo mediano.

All'interno dell'intervallo trovato, anche la mediana viene calcolata utilizzando la formula Me = XL e, dove il secondo fattore a destra dell'uguaglianza mostra la posizione della mediana all'interno dell'intervallo mediano, e x è la lunghezza di questo intervallo. La mediana divide la serie di variazioni a metà in base alla frequenza. Ancora in fase di definizione quartili , che dividono la serie di variazioni in 4 parti di uguale dimensione in probabilità, e decili , dividendo la riga in 10 parti uguali.

Argomento 5. Valori medi come indicatori statistici

Il concetto di valore medio. Ambito delle medie nella ricerca statistica

I valori medi vengono utilizzati nella fase di elaborazione e riepilogo dei dati statistici primari ottenuti. La necessità di determinare i valori medi è dovuta al fatto che, di regola, i valori individuali della stessa caratteristica per diverse unità delle popolazioni studiate non sono gli stessi.

Taglia media chiamato indicatore che caratterizza il valore generalizzato di una caratteristica o di un gruppo di caratteristiche nella popolazione oggetto di studio.

Se viene studiata una popolazione con caratteristiche qualitativamente omogenee, il valore medio agisce qui come media tipica. Ad esempio, per gruppi di lavoratori in un determinato settore con un livello di reddito fisso, viene determinata la spesa media tipica per i beni di prima necessità, ovvero la media tipica generalizza valori qualitativamente omogenei dell'attributo in una data popolazione, ovvero la quota di spesa tra i lavoratori di questo gruppo per beni essenziali.

Quando si studia una popolazione con caratteristiche qualitativamente eterogenee, può emergere l'atipicità degli indicatori medi. Questi, ad esempio, sono gli indicatori medi del reddito nazionale prodotto pro capite (diversi gruppi di età), gli indicatori medi delle rese di grano in tutta la Russia (regioni di diverse zone climatiche e diversi raccolti di grano), gli indicatori medi del tasso di natalità della popolazione per tutte le regioni del paese, temperature medie per un certo periodo, ecc. Qui i valori medi generalizzano valori qualitativamente eterogenei di caratteristiche o aggregati spaziali sistemici (comunità internazionale, continente, stato, regione, ecc.) o aggregati dinamici estesi nel tempo (secolo, decennio, anno, stagione, ecc. ). Tali valori medi sono chiamati medie del sistema.

Pertanto, l’importanza dei valori medi risiede nella loro funzione generalizzante. Il valore medio sostituisce un gran numero di valori individuali dell'attributo, rivelando proprietà comuni inerenti a tutte le unità della popolazione. Ciò, a sua volta, ci consente di evitare cause casuali e identificare modelli generali dovuti a cause comuni.

Tipi di valori medi e metodi del loro calcolo

Nella fase di elaborazione statistica è possibile impostare una serie di problemi di ricerca, per la cui soluzione è necessario selezionare la media appropriata. In questo caso è necessario lasciarsi guidare dalla seguente regola: le quantità che rappresentano il numeratore e il denominatore della media devono essere logicamente correlate tra loro.

medie di potenza;

medie strutturali.

Introduciamo le seguenti convenzioni:

Le quantità per le quali viene calcolata la media;

Media, dove la barra in alto indica che avviene la media dei singoli valori;

Frequenza (ripetibilità dei valori caratteristici individuali).

Le varie medie derivano dalla formula generale della media della potenza:

(5.1)

quando k = 1 - media aritmetica; k = -1 - media armonica; k = 0 - media geometrica; k = -2 - radice quadrata media.

I valori medi possono essere semplici o ponderati. Medie ponderate Si tratta di valori che tengono conto del fatto che alcune varianti dei valori degli attributi possono avere numeri diversi, e quindi ogni opzione deve essere moltiplicata per questo numero. In altre parole, le “scale” sono i numeri di unità aggregate in diversi gruppi, vale a dire Ciascuna opzione è “ponderata” in base alla sua frequenza. Si chiama la frequenza f peso statistico o peso medio.

Significato aritmetico- il tipo più comune di media. Viene utilizzato quando il calcolo viene effettuato su dati statistici non raggruppati, dove è necessario ottenere il termine medio. La media aritmetica è il valore medio di una caratteristica, al raggiungimento del quale il volume totale della caratteristica nell'aggregato rimane invariato.

La formula per la media aritmetica (semplice) ha la forma

dove n è la dimensione della popolazione.

Ad esempio, lo stipendio medio dei dipendenti di un’impresa viene calcolato come media aritmetica:

Gli indicatori determinanti qui sono lo stipendio di ciascun dipendente e il numero di dipendenti dell'impresa. Nel calcolare la media, l’importo totale dei salari è rimasto lo stesso, ma distribuito equamente tra tutti i dipendenti. Ad esempio, è necessario calcolare lo stipendio medio dei lavoratori in una piccola azienda che impiega 8 persone:

Quando si calcolano i valori medi, i singoli valori della caratteristica di cui viene calcolata la media possono essere ripetuti, quindi il valore medio viene calcolato utilizzando dati raggruppati. In questo caso parliamo di utilizzo media aritmetica ponderata, che ha la forma

(5.3)

Quindi, dobbiamo calcolare il prezzo medio delle azioni di una società per azioni durante le negoziazioni in borsa. È noto che le transazioni sono state effettuate entro 5 giorni (5 transazioni), il numero di azioni vendute al tasso di vendita è stato distribuito come segue:

1 - 800 aC. - 1010 rubli.

2-650 aC. - 990 rubli.

3-700 a.C. - 1015 rubli.

4-550 aC. - 900 rubli.

5 - 850 aC. - 1150 rubli.

Il rapporto iniziale per determinare il prezzo medio delle azioni è il rapporto tra l'importo totale delle transazioni (TVA) e il numero di azioni vendute (KPA):

OSS = 1010·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3.634.500;

KPA = 800+650+700+550+850=3550.

In questo caso, il prezzo medio delle azioni era pari a

È necessario conoscere le proprietà della media aritmetica, che è molto importante sia per il suo utilizzo che per il suo calcolo. Possiamo distinguere tre proprietà principali che hanno maggiormente determinato la diffusione dell'uso della media aritmetica nei calcoli statistici ed economici.

Proprietà uno (zero): la somma delle deviazioni positive dei singoli valori di una caratteristica dal suo valore medio è uguale alla somma delle deviazioni negative. Questa è una proprietà molto importante, poiché mostra che eventuali deviazioni (sia + che -) causate da ragioni casuali verranno reciprocamente annullate.

Prova:

Proprietà due (minimo): la somma dei quadrati delle deviazioni dei singoli valori di una caratteristica dalla media aritmetica è inferiore a quella di qualsiasi altro numero (a), ad es. c'è un numero minimo

Prova.

Compiliamo la somma dei quadrati delle deviazioni dalla variabile a:

(5.4)

Per trovare l'estremo di questa funzione è necessario uguagliare a zero la sua derivata rispetto ad a:

Da qui otteniamo:

(5.5)

Di conseguenza, l'estremo della somma delle deviazioni quadrate viene raggiunto a . Questo estremo è un minimo, poiché una funzione non può avere un massimo.

Proprietà tre: la media aritmetica di un valore costante è uguale a questa costante: per a = const.

Oltre a queste tre proprietà più importanti della media aritmetica, ci sono i cosiddetti proprietà di progettazione, che stanno gradualmente perdendo significato a causa dell'uso della tecnologia informatica elettronica:

se il valore individuale dell'attributo di ciascuna unità viene moltiplicato o diviso per un numero costante, la media aritmetica aumenterà o diminuirà della stessa quantità;

la media aritmetica non cambierà se il peso (frequenza) del valore di ciascun attributo viene diviso per un numero costante;

se i singoli valori dell'attributo di ciascuna unità vengono ridotti o aumentati della stessa quantità, allora la media aritmetica diminuirà o aumenterà della stessa quantità.

Media armonica. Questa media è chiamata media aritmetica inversa perché questo valore viene utilizzato quando k = -1.

Media armonica semplice viene utilizzato quando i pesi dei valori degli attributi sono gli stessi. La sua formula può essere derivata dalla formula base sostituendo k = -1:

Dobbiamo, ad esempio, calcolare la velocità media di due automobili che hanno percorso lo stesso percorso, ma a velocità diverse: la prima a 100 km/h, la seconda a 90 km/h. Utilizzando il metodo della media armonica, calcoliamo la velocità media:

Nella pratica statistica viene più spesso utilizzato quello ponderato armonico, la cui formula ha la forma

Questa formula viene utilizzata nei casi in cui i pesi (o volumi dei fenomeni) per ciascun attributo non sono uguali. Nella relazione iniziale per il calcolo della media, il numeratore è noto, ma il denominatore è sconosciuto.

L'argomento della media aritmetica e della media geometrica è incluso nel programma di matematica per le classi 6-7. Poiché il paragrafo è abbastanza facile da capire, viene subito ignorato e alla fine dell'anno scolastico gli studenti lo dimenticano. Ma la conoscenza delle statistiche di base è necessaria per superare l'Esame di Stato Unificato, nonché per gli esami SAT internazionali. E per la vita di tutti i giorni, il pensiero analitico sviluppato non fa mai male.

Come calcolare la media aritmetica e la media geometrica dei numeri

Diciamo che esiste una serie di numeri: 11, 4 e 3. La media aritmetica è la somma di tutti i numeri divisa per il numero di numeri dati. Cioè, nel caso dei numeri 11, 4, 3, la risposta sarà 6. Come si ottiene 6?

Soluzione: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Il denominatore deve contenere un numero uguale al numero di numeri di cui si vuole trovare la media. La somma è divisibile per 3, poiché i termini sono tre.

Ora dobbiamo calcolare la media geometrica. Diciamo che c'è una serie di numeri: 4, 2 e 8.

La media geometrica dei numeri è il prodotto di tutti i numeri dati, situati sotto la radice con una potenza pari al numero dei numeri dati. Cioè, nel caso dei numeri 4, 2 e 8, la risposta sarà 4. Ecco come risultò:

Soluzione: ∛(4 × 2 × 8) = 4

In entrambe le opzioni abbiamo ottenuto risposte complete, poiché come esempio sono stati presi numeri speciali. Ciò non accade sempre. Nella maggior parte dei casi, la risposta deve essere arrotondata o lasciata alla radice. Ad esempio, per i numeri 11, 7 e 20, la media aritmetica è ≈ 12,67 e la media geometrica è ∛1540. E per i numeri 6 e 5 le risposte saranno rispettivamente 5,5 e √30.

Potrebbe accadere che la media aritmetica diventi uguale alla media geometrica?

Certo che può. Ma solo in due casi. Se esiste una serie di numeri composta solo da uno o da zeri. È anche interessante notare che la risposta non dipende dal loro numero.

Dimostrazione con unità: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (media aritmetica).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(media geometrica).

Dimostrazione con zeri: (0 + 0) / 2=0 (media aritmetica).

√(0 × 0) = 0 (media geometrica).

Non esiste altra opzione e non può esserlo.

Ogni persona nel mondo moderno, progettando di chiedere un prestito o di fare scorta di verdure per l'inverno, incontra periodicamente il concetto di "medio". Scopriamo: cos'è, quali tipologie e classi esistono e perché viene utilizzato in statistica e in altre discipline.

Valore medio: che cos'è?

Un nome simile (SV) è una caratteristica generalizzata di un insieme di fenomeni omogenei, determinati da una qualsiasi caratteristica variabile quantitativa.

Tuttavia, le persone lontane da definizioni così astruse comprendono questo concetto come la quantità media di qualcosa. Ad esempio, prima di richiedere un prestito, un impiegato di banca chiederà sicuramente a un potenziale cliente di fornire dati sul reddito medio per un anno, ovvero l'importo totale di denaro guadagnato da una persona. Si calcola sommando i guadagni dell'intero anno e dividendoli per il numero di mesi. In questo modo la banca potrà determinare se il suo cliente sarà in grado di ripagare il debito in tempo.

Perché viene utilizzato?

Di norma, i valori medi sono ampiamente utilizzati per fornire una descrizione sintetica di alcuni fenomeni sociali di massa. Possono essere utilizzati anche per calcoli su piccola scala, come nel caso di un prestito nell’esempio sopra.

Tuttavia, molto spesso i valori medi vengono ancora utilizzati per scopi globali. Un esempio di questi è il calcolo della quantità di elettricità consumata dai cittadini durante un mese di calendario. Sulla base dei dati ottenuti vengono successivamente stabiliti standard massimi per le categorie di popolazione che beneficiano di benefici statali.

Inoltre, utilizzando i valori medi, viene sviluppata la durata della garanzia di alcuni elettrodomestici, automobili, edifici, ecc. Sulla base dei dati raccolti in questo modo, un tempo venivano sviluppati standard moderni di lavoro e riposo.

In effetti, qualsiasi fenomeno della vita moderna che sia di massa è in un modo o nell'altro necessariamente connesso al concetto in esame.

Aree di applicazione

Questo fenomeno è ampiamente utilizzato in quasi tutte le scienze esatte, soprattutto in quelle di carattere sperimentale.

Trovare la media è di grande importanza in medicina, ingegneria, cucina, economia, politica, ecc.

Sulla base dei dati ottenuti da tali generalizzazioni, sviluppano farmaci, programmi educativi, stabiliscono salari e stipendi minimi, creano programmi educativi, producono mobili, abbigliamento e calzature, articoli per l’igiene e molto altro.

In matematica, questo termine è chiamato “valore medio” e viene utilizzato per risolvere vari esempi e problemi. Le più semplici sono l'addizione e la sottrazione con le frazioni ordinarie. Dopotutto, come sai, per risolvere tali esempi è necessario portare entrambe le frazioni a un denominatore comune.

Anche nella regina delle scienze esatte viene spesso utilizzato il termine “valore medio di una variabile casuale”, che ha un significato simile. È più familiare ai più come “aspettativa matematica”, più spesso considerata nella teoria della probabilità. Vale la pena notare che un fenomeno simile si verifica anche quando si eseguono calcoli statistici.

Valore medio nelle statistiche

Tuttavia, il concetto studiato viene spesso utilizzato nelle statistiche. Come è noto, questa stessa scienza è specializzata nel calcolo e nell'analisi delle caratteristiche quantitative dei fenomeni sociali di massa. Pertanto, il valore medio nelle statistiche viene utilizzato come metodo specializzato per raggiungere i suoi obiettivi principali: raccogliere e analizzare informazioni.

L'essenza di questo metodo statistico è sostituire i singoli valori unici della caratteristica in esame con un certo valore medio equilibrato.

Un esempio è la famosa battuta sul cibo. Quindi, in una certa fabbrica il martedì a pranzo, i suoi capi di solito mangiano carne in casseruola e i lavoratori comuni mangiano cavoli in umido. Sulla base di questi dati possiamo concludere che, in media, il martedì il personale dello stabilimento mangia involtini di cavolo.

Sebbene questo esempio sia leggermente esagerato, illustra lo svantaggio principale del metodo di ricerca del valore medio: livellare le caratteristiche individuali di oggetti o personalità.

Nei valori medi vengono utilizzati non solo per analizzare le informazioni raccolte, ma anche per pianificare e prevedere ulteriori azioni.

Viene utilizzato anche per valutare i risultati raggiunti (ad esempio, l'attuazione del piano di coltivazione e raccolta del grano per la stagione primaverile-estiva).

Come calcolare correttamente

Sebbene a seconda del tipo di SV esistano diverse formule per calcolarlo, nella teoria generale della statistica, di norma, viene utilizzato solo un metodo per calcolare il valore medio di una caratteristica. Per fare ciò, devi prima sommare i valori di tutti i fenomeni, quindi dividere la somma risultante per il loro numero.

Quando si effettuano tali calcoli, vale la pena ricordare che il valore medio ha sempre la stessa dimensione (o unità) dell'unità individuale della popolazione.

Condizioni per un calcolo corretto

La formula discussa sopra è molto semplice e universale, quindi è quasi impossibile commettere errori. Vale però sempre la pena considerare due aspetti, altrimenti i dati ottenuti non rispecchieranno la situazione reale.

Classi SV

Avendo trovato le risposte alle domande fondamentali: "Qual è il valore medio?", "Dove viene utilizzato?" e “Come puoi calcolarlo?”, vale la pena scoprire quali classi e tipi di SV esistono.

Innanzitutto, questo fenomeno è diviso in 2 classi. Queste sono medie strutturali e di potenza.

Tipi di SV di potenza

Ciascuna delle classi di cui sopra, a sua volta, è divisa in tipologie. La classe tranquilla ne ha quattro.

• La media aritmetica è il tipo più comune di SV. È il termine medio, nel determinare quale volume totale della caratteristica in considerazione in un insieme di dati è equamente distribuito tra tutte le unità di questo insieme.

  Questo tipo è diviso in sottotipi: SV aritmetico semplice e ponderato.

• La media armonica è un indicatore che è l'inverso della media aritmetica semplice, calcolato dai valori reciproci della caratteristica in esame.

  Viene utilizzato nei casi in cui i singoli valori dell'attributo e del prodotto sono noti, ma i dati sulla frequenza non lo sono.

• La media geometrica viene spesso utilizzata quando si analizzano i tassi di crescita dei fenomeni economici. Permette di conservare inalterato il prodotto dei singoli valori di una data quantità, e non la somma.

  Può anche essere semplice ed equilibrato.

• Il valore quadratico medio viene utilizzato nel calcolo dei singoli indicatori, come il coefficiente di variazione, che caratterizza il ritmo della produzione del prodotto, ecc.

  Viene utilizzato anche per calcolare i diametri medi di tubi, ruote, lati medi di un quadrato e figure simili.

  Come tutti gli altri tipi di media, la radice quadrata può essere semplice e ponderata.

Tipi di quantità strutturali

Oltre ai SV medi, nelle statistiche vengono spesso utilizzati i tipi strutturali. Sono più adatti per calcolare le caratteristiche relative dei valori di una caratteristica variabile e la struttura interna delle serie di distribuzione.

Esistono due tipi di questo tipo.