Come trovare il numero medio. Valori medi e indicatori di variazione

Il valore medio è il più prezioso dal punto di vista analitico e una forma di espressione universale per gli indicatori statistici. La media più comune, la media aritmetica, ha una serie di proprietà matematiche che possono essere utilizzate nel suo calcolo. Allo stesso tempo, quando si calcola una media specifica, è sempre consigliabile fare affidamento sulla sua formula logica, che è il rapporto tra il volume dell'attributo e il volume della popolazione. Per ogni media esiste una sola vera relazione iniziale, la cui attuazione, a seconda dei dati disponibili, può richiedere diverse forme di medie. Tuttavia, in tutti i casi in cui la natura del valore mediato implica la presenza di pesi, è impossibile utilizzare le loro formule non ponderate invece delle formule di media ponderata.

Il valore medio è il valore più caratteristico dell'attributo per la popolazione e la dimensione dell'attributo della popolazione distribuita in parti uguali tra le unità della popolazione.

Viene chiamata la caratteristica per la quale viene calcolato il valore medio mediato .

Il valore medio è un indicatore calcolato confrontando valori assoluti o relativi. Si indica il valore medio

Il valore medio riflette l'influenza di tutti i fattori che influenzano il fenomeno in studio e ne è la risultante. In altre parole, estinguendo le deviazioni individuali ed eliminando l'influenza dei casi, il valore medio, riflettendo la misura generale dei risultati di questa azione, funge da modello generale del fenomeno studiato.

Condizioni per l'utilizzo dei valori medi:

Ø omogeneità della popolazione studiata. Se alcuni elementi di una popolazione soggetta all'influenza di un fattore casuale hanno valori della caratteristica studiata che sono significativamente diversi dal resto, questi elementi influenzeranno la dimensione della media di questa popolazione. In questo caso la media non esprimerà il valore più tipico dell'attributo per la popolazione. Se il fenomeno oggetto di studio è eterogeneo, richiede la sua suddivisione in gruppi contenenti elementi omogenei. In questo caso vengono calcolate le medie di gruppo: le medie di gruppo, che esprimono il valore più caratteristico del fenomeno in ciascun gruppo, e quindi viene calcolato il valore medio complessivo per tutti gli elementi, che caratterizzano il fenomeno nel suo insieme. È calcolato come media delle medie dei gruppi, ponderata per il numero di elementi della popolazione compresi in ciascun gruppo;

Ø un numero sufficiente di unità in totale;

Ø i valori massimi e minimi della caratteristica nella popolazione studiata.

Valore medio (indicatore)è una caratteristica quantitativa generalizzata di una caratteristica in un aggregato sistematico in condizioni specifiche di luogo e tempo.

Nelle statistiche vengono utilizzate le seguenti forme (tipi) di medie, chiamate potenza e strutturale:

Ø significato aritmetico(semplice e ponderato);

semplice

Le caratteristiche delle unità di aggregati statistici differiscono nel loro significato, ad esempio, i salari dei lavoratori nella stessa professione di un'impresa non sono gli stessi per lo stesso periodo di tempo, i prezzi di mercato per gli stessi prodotti, le rese dei raccolti nel distretto aziende agricole, ecc. Pertanto, al fine di determinare il valore di una caratteristica caratteristica dell'intera popolazione di unità studiate, vengono calcolati i valori medi.
valore medio – questa è una caratteristica generalizzante di un insieme di valori individuali di alcune caratteristiche quantitative.

La popolazione studiata su base quantitativa è costituita da valori individuali; sono influenzati sia da cause generali che da condizioni individuali. Nel valore medio, le deviazioni caratteristiche dei singoli valori vengono cancellate. La media, essendo funzione di un insieme di valori individuali, rappresenta l'intera popolazione con un valore e riflette ciò che è comune a tutte le sue unità.

Si chiama la media calcolata per popolazioni costituite da unità qualitativamente omogenee media tipica. Ad esempio, puoi calcolare lo stipendio mensile medio di un dipendente di un particolare gruppo professionale (minatore, medico, bibliotecario). Naturalmente, i livelli dei salari mensili dei minatori, a causa delle differenze nelle loro qualifiche, anzianità di servizio, tempo lavorato al mese e molti altri fattori, differiscono tra loro e dal livello dei salari medi. Tuttavia, il livello medio riflette i principali fattori che influenzano il livello dei salari e annulla le differenze che derivano dalle caratteristiche individuali del dipendente. Il salario medio riflette il livello tipico di remunerazione per una determinata tipologia di lavoratore. L'ottenimento di una media tipica dovrebbe essere preceduto da un'analisi di quanto sia qualitativamente omogenea la popolazione data. Se la totalità è composta da singole parti, dovrebbe essere divisa in gruppi tipici (temperatura media in ospedale).

Vengono chiamati valori medi utilizzati come caratteristiche per popolazioni eterogenee medie del sistema. Ad esempio, il valore medio del prodotto interno lordo (PIL) pro capite, il valore medio del consumo di vari gruppi di beni per persona e altri valori simili che rappresentano le caratteristiche generali dello Stato come sistema economico unificato.

La media deve essere calcolata per popolazioni costituite da un numero sufficientemente elevato di unità. Il rispetto di questa condizione è necessario affinché entri in vigore la legge dei grandi numeri, per cui le deviazioni casuali dei valori individuali dalla tendenza generale si annullano a vicenda.

Tipi di medie e metodi per calcolarle

La scelta del tipo di media è determinata dal contenuto economico di un determinato indicatore e dai dati di origine. Tuttavia, qualsiasi valore medio deve essere calcolato in modo tale che, quando sostituisce ciascuna variante della caratteristica media, il risultato finale, generalizzante o, come viene comunemente chiamato, non cambi. indicatore di definizione, che è associato all'indicatore medio. Ad esempio, quando si sostituiscono le velocità effettive sui singoli tratti del percorso con la velocità media, la distanza totale percorsa dal veicolo nello stesso tempo non dovrebbe cambiare; quando si sostituiscono i salari effettivi dei singoli dipendenti di un'impresa con il salario medio, il fondo salari non dovrebbe cambiare. Di conseguenza, in ciascun caso specifico, a seconda della natura dei dati disponibili, esiste un solo vero valore medio dell'indicatore adeguato alle proprietà e all'essenza del fenomeno socioeconomico studiato.
Le più comunemente usate sono la media aritmetica, la media armonica, la media geometrica, la media quadratica e la media cubica.
Le medie elencate appartengono alla classe tranquillo medie e sono combinati dalla formula generale:
,
dov'è il valore medio della caratteristica studiata;
m – indice medio dei titoli di studio;
– valore attuale (variante) della caratteristica mediata;
n – numero di funzionalità.
A seconda del valore dell'esponente m si distinguono i seguenti tipi di medie di potenza:
quando m = -1 – media armonica;
a m = 0 – media geometrica;
per m = 1 – media aritmetica;
per m = 2 – radice quadrata media;
a m = 3 – cubo medio.
Quando si utilizzano gli stessi dati iniziali, maggiore è l'esponente m nella formula precedente, maggiore è il valore medio:
.
Viene chiamata questa proprietà delle medie di potenza di aumentare all'aumentare dell'esponente della funzione che definisce la regola della maggioranza delle medie.
Ciascuna delle medie marcate può assumere due forme: semplice E ponderato.
Forma media semplice utilizzato quando la media viene calcolata dai dati primari (non raggruppati). Forma ponderata– quando si calcola la media sulla base di dati secondari (raggruppati).

Significato aritmetico

La media aritmetica viene utilizzata quando il volume della popolazione è la somma di tutti i valori individuali di una caratteristica variabile. Si precisa che se non viene specificata la tipologia di media si assume la media aritmetica. La sua formula logica è simile a:

Media aritmetica semplice calcolato sulla base di dati non raggruppati secondo la formula:
O ,
dove sono i valori individuali della caratteristica;
j è il numero di serie dell'unità di osservazione, caratterizzata dal valore ;
N – numero di unità di osservazione (volume della popolazione).
Esempio. La conferenza “Riepilogo e raggruppamento dei dati statistici” ha esaminato i risultati dell'osservazione dell'esperienza lavorativa di un team di 10 persone. Calcoliamo l'esperienza lavorativa media dei lavoratori del team. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Utilizzando la semplice formula della media aritmetica, possiamo anche calcolare medie in serie cronologiche, se gli intervalli temporali per i quali vengono presentati i valori caratteristici sono uguali.
Esempio. Il volume dei prodotti venduti nel primo trimestre è stato pari a 47 den. unità, per la seconda 54, per la terza 65 e per la quarta 58 den. unità Il fatturato medio trimestrale è (47+54+65+58)/4 = 56 den. unità
Se gli indicatori momentanei vengono forniti in una serie cronologica, nel calcolo della media vengono sostituiti dalle mezze somme dei valori all'inizio e alla fine del periodo.
Se ci sono più di due momenti e gli intervalli tra loro sono uguali, la media viene calcolata utilizzando la formula della media cronologica

,
dove n è il numero di punti temporali
Nel caso in cui i dati siano raggruppati per valori caratteristici (vale a dire, è stata costruita una serie di distribuzione variazionale discreta) con media aritmetica ponderata calcolato utilizzando frequenze o frequenze di osservazioni di valori specifici della caratteristica, il cui numero (k) è significativamente inferiore al numero di osservazioni (N).
,
,
dove k è il numero di gruppi della serie di variazioni,
i – numero del gruppo della serie di variazioni.
Poiché , a , si ottengono le formule utilizzate per i calcoli pratici:
E
Esempio. Calcoliamo l'anzianità media di servizio dei gruppi di lavoro in una riga raggruppata.
a) utilizzando le frequenze:

b) utilizzando frequenze:

Nel caso in cui i dati siano raggruppati per intervalli , cioè. sono presentati sotto forma di serie di distribuzione a intervalli; nel calcolo della media aritmetica, come valore dell'attributo viene assunto il centro dell'intervallo, sulla base del presupposto di una distribuzione uniforme delle unità di popolazione su un dato intervallo. Il calcolo viene effettuato utilizzando le formule:
E
dove è il centro dell'intervallo: ,
dove e sono i limiti inferiore e superiore degli intervalli (a condizione che il limite superiore di un dato intervallo coincida con il limite inferiore dell'intervallo successivo).

Esempio. Calcoliamo la media aritmetica della serie di variazioni di intervallo costruita sulla base dei risultati di uno studio sulle retribuzioni annuali di 30 lavoratori (vedi lezione “Riepilogo e raggruppamento dei dati statistici”).
Tabella 1 – Distribuzione delle serie di variazioni di intervallo.

UAH O UAH
Le medie aritmetiche calcolate sulla base dei dati di origine e delle serie di variazioni di intervalli potrebbero non coincidere a causa della distribuzione non uniforme dei valori degli attributi all'interno degli intervalli. In questo caso, per un calcolo più accurato della media aritmetica ponderata, non si dovrebbero utilizzare le medie degli intervalli, ma le medie aritmetiche semplici calcolate per ciascun gruppo ( medie di gruppo). Viene chiamata la media calcolata dalle medie del gruppo utilizzando una formula di calcolo ponderata media generale.
La media aritmetica ha una serie di proprietà.
1. La somma delle deviazioni dall'opzione media è zero:
.
2. Se tutti i valori dell'opzione aumentano o diminuiscono dell'importo A, il valore medio aumenta o diminuisce dello stesso importo A:

3. Se ciascuna opzione viene aumentata o diminuita di B volte, anche il valore medio aumenterà o diminuirà dello stesso numero di volte:
O
4. La somma dei prodotti dell'opzione per le frequenze è uguale al prodotto del valore medio per la somma delle frequenze:

5. Se tutte le frequenze vengono divise o moltiplicate per un numero qualsiasi, la media aritmetica non cambierà:

6) se in tutti gli intervalli le frequenze sono uguali tra loro, allora la media aritmetica ponderata è uguale alla media aritmetica semplice:
,
dove k è il numero di gruppi della serie di variazioni.

L'utilizzo delle proprietà della media consente di semplificarne il calcolo.
Supponiamo che tutte le opzioni (x) vengano prima ridotte dello stesso numero A e poi ridotte di un fattore B. La massima semplificazione si ottiene quando il valore della metà dell'intervallo con la frequenza più alta viene scelto come A, e il valore dell'intervallo (per serie con intervalli identici) viene selezionato come B. La quantità A è chiamata origine, quindi viene chiamato questo metodo di calcolo della media modo B riferimento ohm dallo zero condizionale O via dei momenti.
Dopo tale trasformazione, otteniamo una nuova serie di distribuzione variazionale, le cui varianti sono uguali a . La loro media aritmetica, chiamata momento del primo ordine,è espresso dalla formula e, secondo la seconda e la terza proprietà, la media aritmetica è pari alla media della versione originale, ridotta prima di A e poi di B volte, cioè
Per ottenere media reale(media della serie originale) bisogna moltiplicare il momento del primo ordine per B e aggiungere A:

Il calcolo della media aritmetica con il metodo dei momenti è illustrato dai dati in Tabella. 2.
Tabella 2 – Distribuzione degli addetti agli stabilimenti per anzianità di servizio

Trovare il momento del primo ordine . Poi, sapendo che A = 17,5 e B = 5, calcoliamo l’anzianità media di servizio degli operai dell’officina:
anni

Media armonica
Come mostrato sopra, la media aritmetica viene utilizzata per calcolare il valore medio di una caratteristica nei casi in cui sono note le sue varianti x e le loro frequenze f.
Se le informazioni statistiche non contengono frequenze f per le singole opzioni x della popolazione, ma sono presentate come il loro prodotto, viene applicata la formula media armonica ponderata. Per calcolare la media, indichiamo dove . Sostituendo queste espressioni nella formula della media aritmetica ponderata, otteniamo la formula della media armonica ponderata:
,
dove è il volume (peso) dei valori degli attributi dell'indicatore nell'intervallo numerato i (i=1,2, …, k).

Pertanto, la media armonica viene utilizzata nei casi in cui non sono le opzioni stesse ad essere soggette a somma, ma i loro reciproci: .
Nei casi in cui il peso di ciascuna opzione è pari a uno, ad es. i valori individuali della caratteristica inversa si verificano una volta, applicati significa armonico semplice:
,
dove sono le varianti individuali della caratteristica inversa, che si verificano una volta;
N – opzione numero.
Se esistono medie armoniche per due parti di una popolazione, la media complessiva dell'intera popolazione viene calcolata utilizzando la formula:

e viene chiamato media armonica ponderata delle medie di gruppo.

Esempio. Durante le negoziazioni sul cambio, nella prima ora di attività sono state concluse tre transazioni. I dati sull'importo delle vendite di grivna e sul tasso di cambio della grivna rispetto al dollaro statunitense sono riportati nella tabella. 3 (colonne 2 e 3). Determina il tasso di cambio medio della grivna rispetto al dollaro USA per la prima ora di negoziazione.
Tabella 3 – Dati sull'andamento delle negoziazioni sul mercato dei cambi

Il tasso di cambio medio del dollaro è determinato dal rapporto tra la quantità di grivna venduta durante tutte le transazioni e la quantità di dollari acquisiti a seguito delle stesse transazioni. L'importo finale della vendita della grivna è noto dalla colonna 2 della tabella, e il numero di dollari acquistati in ciascuna transazione è determinato dividendo l'importo della vendita della grivna per il suo tasso di cambio (colonna 4). Nel corso di tre transazioni è stato acquistato un totale di 22 milioni di dollari. Ciò significa che il tasso di cambio medio della grivna per un dollaro era
.
Il valore risultante è reale, perché sostituirlo con i tassi di cambio effettivi della grivna nelle transazioni non modificherà l'importo finale delle vendite di grivna, che funge da indicatore di definizione: milioni di UAH
Se per il calcolo venisse utilizzata la media aritmetica, ad es. grivna, quindi al cambio per l'acquisto di 22 milioni di dollari. bisognerebbe spendere 110,66 milioni di UAH, il che non è vero.

Media geometrica
La media geometrica viene utilizzata per analizzare la dinamica dei fenomeni e consente di determinare il coefficiente di crescita medio. Nel calcolo della media geometrica, i valori individuali di una caratteristica sono indicatori relativi di dinamica, costruiti sotto forma di valori a catena, come rapporto tra ciascun livello e quello precedente.
La media geometrica semplice si calcola con la formula:
,
dov'è il segno del prodotto,
N – numero di valori medi.
Esempio. Il numero di reati registrati in 4 anni è aumentato di 1,57 volte, di cui per il 1° – 1,08 volte, per il 2° – 1,1 volte, per il 3° – 1,18 e per il 4° – 1,12 volte. Allora il tasso di crescita medio annuo del numero di reati è: , cioè il numero dei reati registrati è cresciuto ogni anno in media del 12%.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

Per calcolare la media quadratica ponderata, determiniamo e inseriamo nella tabella e . Quindi la deviazione media della lunghezza dei prodotti dalla norma data è pari a:

La media aritmetica non sarebbe adatta in questo caso, perché di conseguenza otterremmo una deviazione pari a zero.
L'uso del quadrato medio sarà discusso ulteriormente in termini di variazione.

Come calcolare la media dei numeri in Excel

Puoi trovare la media aritmetica dei numeri in Excel utilizzando la funzione.

Sintassi MEDIA

=MEDIA(numero1,[numero2],…) - Versione russa

Argomenti MEDIA

• numero 1– il primo numero o intervallo di numeri per il calcolo della media aritmetica;
• numero 2(Facoltativo) – il secondo numero o intervallo di numeri per il calcolo della media aritmetica. Il numero massimo di argomenti della funzione è 255.

Per calcolare, attenersi alla seguente procedura:

• Seleziona qualsiasi cella;
• Scrivi la formula al suo interno =MEDIA(
• Seleziona l'intervallo di celle per il quale vuoi effettuare un calcolo;
• Premi il tasto "Invio" sulla tastiera

La funzione calcolerà il valore medio nell'intervallo specificato tra le celle che contengono numeri.

Come trovare il testo medio dato

Se nell'intervallo dati sono presenti righe o testo vuoti, la funzione li tratta come "zero". Se tra i dati ci sono espressioni logiche FALSO o VERO, la funzione percepisce FALSO come "zero" e VERO come "1".

Come trovare la media aritmetica per condizione

Per calcolare la media per condizione o criterio, utilizzare la funzione. Ad esempio, immagina di avere dati sulle vendite dei prodotti:

Il nostro compito è calcolare il valore medio delle vendite di penne. Per fare ciò, eseguiremo i seguenti passaggi:

• In una cella A13 scrivere il nome del prodotto “Penne”;
• In una cella B13 introduciamo la formula:

=MEDIA.SE(A2:A10;A13;B2:B10)

Intervallo di celle “ A2:A10” indica un elenco di prodotti in cui cercheremo la parola “Penne”. Discussione A13 questo è un collegamento a una cella con testo che cercheremo nell'intero elenco di prodotti. Intervallo di celle “ B2:B10" è una gamma con i dati di vendita dei prodotti, tra i quali la funzione troverà "Maniglie" e calcolerà il valore medio.

Supponiamo che tu debba trovare il numero medio di giorni per completare le attività di diversi dipendenti. Oppure vuoi calcolare un intervallo di tempo di 10 anni La temperatura media in un determinato giorno. Calcolo della media di una serie di numeri in diversi modi.

La media è una funzione della misura della tendenza centrale in cui si trova il centro di una serie di numeri in una distribuzione statistica. Tre sono i criteri più comuni di tendenza centrale.

Media La media aritmetica viene calcolata sommando una serie di numeri e quindi dividendo il numero di tali numeri. Ad esempio, la media di 2, 3, 3, 5, 7 e 10 è 30 diviso per 6,5;

Mediano Il numero medio di una serie di numeri. Metà dei numeri hanno valori maggiori della Mediana e metà numeri hanno valori minori della Mediana. Ad esempio, la mediana di 2, 3, 3, 5, 7 e 10 è 4.

Modalità Il numero più comune in un gruppo di numeri. Ad esempio, modalità 2, 3, 3, 5, 7 e 10 - 3.

Queste tre misure di tendenza centrale, la distribuzione simmetrica di una serie di numeri, sono le stesse. In una distribuzione asimmetrica di un numero di numeri, possono essere diversi.

Calcola la media delle celle contigue nella stessa riga o colonna

Segui questi passi:

Calcolo della media di celle casuali

Per eseguire questa attività, utilizzare la funzione MEDIA. Copia la tabella seguente su un foglio di carta bianco.

Calcolo della media ponderata

SUMPRODOTTO E importi. vQuesto esempio calcola il prezzo unitario medio pagato in tre acquisti, dove ciascun acquisto riguarda un numero diverso di unità a prezzi unitari diversi.

Copia la tabella seguente su un foglio di carta bianco.

Calcolo della media dei numeri, esclusi i valori zero

Per eseguire questa attività, utilizzare le funzioni MEDIA E Se. Copia la tabella sottostante e tieni presente che in questo esempio, per facilitarne la comprensione, copiala su un foglio di carta bianco.

Il valore medio è un indicatore generale che caratterizza il livello tipico di un fenomeno. Esprime il valore di una caratteristica per unità di popolazione.

Il valore medio è:

1) il valore più tipico dell'attributo per la popolazione;

2) il volume dell'attributo popolazione, distribuito equamente tra le unità della popolazione.

La caratteristica per la quale viene calcolato il valore medio è chiamata “media” nelle statistiche.

La media generalizza sempre la variazione quantitativa di un tratto, cioè nei valori medi vengono eliminate le differenze individuali tra unità della popolazione dovute a circostanze casuali. A differenza della media, il valore assoluto che caratterizza il livello di una caratteristica di una singola unità di una popolazione non consente di confrontare i valori di una caratteristica tra unità appartenenti a popolazioni diverse. Pertanto, se è necessario confrontare i livelli di retribuzione dei lavoratori di due imprese, non è possibile confrontare su questa base due dipendenti di diverse imprese. La retribuzione dei lavoratori selezionati per il confronto potrebbe non essere tipica di queste imprese. Se confrontiamo l'entità dei fondi salariali nelle imprese considerate, il numero dei dipendenti non viene preso in considerazione e quindi è impossibile determinare dove il livello dei salari è più alto. In definitiva, è possibile confrontare solo gli indicatori medi, vale a dire Quanto guadagna in media un dipendente in ciascuna impresa? Pertanto, è necessario calcolare il valore medio come caratteristica generalizzante della popolazione.

È importante notare che durante il processo di media, il valore totale dei livelli degli attributi o il suo valore finale (nel caso del calcolo dei livelli medi in una serie dinamica) deve rimanere invariato. In altre parole, quando si calcola il valore medio, il volume della caratteristica in esame non deve essere distorto e le espressioni compilate durante il calcolo della media devono necessariamente avere un senso.

Il calcolo della media è una delle tecniche di generalizzazione comuni; l'indicatore medio nega ciò che è comune (tipico) a tutte le unità della popolazione studiata, mentre allo stesso tempo ignora le differenze delle singole unità. In ogni fenomeno e nel suo sviluppo c'è una combinazione di caso e necessità. Nel calcolo delle medie, a causa dell'azione della legge dei grandi numeri, la casualità si annulla e si bilancia, quindi è possibile astrarre dalle caratteristiche non importanti del fenomeno, dai valori quantitativi della caratteristica in ogni caso specifico . La capacità di astrarre dalla casualità dei valori e delle fluttuazioni individuali risiede nel valore scientifico delle medie come caratteristiche generalizzanti degli aggregati.

Affinché la media sia veramente rappresentativa, deve essere calcolata tenendo conto di alcuni principi.

Soffermiamoci su alcuni principi generali per l'uso delle medie.

1. La media deve essere determinata per popolazioni costituite da unità qualitativamente omogenee.

2. La media deve essere calcolata per una popolazione costituita da un numero sufficientemente elevato di unità.

3. La media deve essere calcolata per una popolazione le cui unità si trovano in uno stato naturale normale.

4. La media dovrebbe essere calcolata tenendo conto del contenuto economico dell'indicatore in esame.

5.2. Tipi di medie e metodi per calcolarle

Consideriamo ora i tipi di valori medi, le caratteristiche del loro calcolo e le aree di applicazione. I valori medi si dividono in due grandi classi: medie di potenza, medie strutturali.

Le medie di potenza includono i tipi più conosciuti e utilizzati frequentemente, come la media geometrica, la media aritmetica e la media quadrata.

La moda e la mediana sono considerate medie strutturali.

Concentriamoci sulle medie di potenza. Le medie di potenza, a seconda della presentazione dei dati di origine, possono essere semplici o ponderate. Media semplice Viene calcolato sulla base di dati non raggruppati e ha la seguente forma generale:

,

dove X i è la variante (valore) della caratteristica mediata;

n – opzione numero.

Media ponderata viene calcolato in base a dati raggruppati e ha un aspetto generale

,

dove X i è la variante (valore) della caratteristica mediata o il valore medio dell'intervallo in cui viene misurata la variante;

m – indice medio dei titoli di studio;

f i – frequenza che mostra quante volte si verifica il valore i-e della caratteristica media.

Se calcoli tutti i tipi di medie per gli stessi dati iniziali, i loro valori risulteranno diversi. Qui vale la regola della maggioranza delle medie: all’aumentare dell’esponente m aumenta anche il corrispondente valore medio:

Nella pratica statistica, le medie aritmetiche e le medie ponderate armoniche vengono utilizzate più spesso rispetto ad altri tipi di medie ponderate.

Tipi di mezzi di potere

La media armonica ha una struttura più complessa della media aritmetica. La media armonica viene utilizzata per i calcoli quando come pesi non vengono utilizzate le unità della popolazione - i portatori della caratteristica, ma il prodotto di queste unità per i valori della caratteristica (cioè m = Xf). Si dovrebbe ricorrere alla media armonica semplice nei casi di determinazione, ad esempio, del costo medio della manodopera, del tempo, dei materiali per unità di produzione, per una parte per due (tre, quattro, ecc.) Imprese, lavoratori impegnati nella produzione dello stesso tipo di prodotto, della stessa parte, di prodotto.

Il requisito principale per la formula per il calcolo del valore medio è che tutte le fasi del calcolo abbiano una giustificazione realmente significativa; il valore medio risultante dovrebbe sostituire i singoli valori dell'attributo per ciascun oggetto senza interrompere la connessione tra gli indicatori individuali e quelli sintetici. In altre parole, il valore medio deve essere calcolato in modo tale che quando ogni singolo valore dell'indicatore medio viene sostituito dal suo valore medio, qualche indicatore riassuntivo finale, collegato in un modo o nell'altro con l'indicatore medio, rimanga invariato. Questo totale è chiamato definendo poiché la natura del suo rapporto con i valori individuali determina la formula specifica per il calcolo del valore medio. Dimostriamo questa regola usando l'esempio della media geometrica.

Formula della media geometrica

utilizzato più spesso quando si calcola il valore medio in base alla dinamica relativa individuale.

La media geometrica viene utilizzata se viene fornita una sequenza di dinamiche relative a catena, che indica, ad esempio, un aumento del volume di produzione rispetto al livello dell'anno precedente: i 1, i 2, i 3,…, i n. Ovviamente il volume della produzione nell'ultimo anno è determinato dal suo livello iniziale (q 0) e dal successivo aumento nel corso degli anni:

q n =q 0 × io 1 × io 2 ×…×io n .

Prendendo q n come indicatore determinante e sostituendo i singoli valori degli indicatori dinamici con quelli medi, arriviamo alla relazione

Da qui

Un tipo speciale di valori medi - medie strutturali - viene utilizzato per studiare la struttura interna delle serie di distribuzione dei valori degli attributi, nonché per stimare il valore medio (tipo di potenza), se, secondo i dati statistici disponibili, il suo il calcolo non può essere eseguito (ad esempio, se nell'esempio considerato non ci fossero dati sia sul volume di produzione che sull'importo dei costi per gruppo di imprese).

Gli indicatori vengono spesso utilizzati come medie strutturali moda - il valore ripetuto più frequentemente dell'attributo – e mediane – il valore di una caratteristica che divide la sequenza ordinata dei suoi valori in due parti uguali. Di conseguenza, per la metà delle unità della popolazione il valore dell'attributo non supera il livello mediano e per l'altra metà non è inferiore ad esso.

Se la caratteristica oggetto di studio ha valori discreti, non ci sono particolari difficoltà nel calcolo della moda e della mediana. Se i dati sui valori dell'attributo X sono presentati sotto forma di intervalli ordinati della sua variazione (serie di intervalli), il calcolo della moda e della mediana diventa un po' più complicato. Poiché il valore mediano divide l'intera popolazione in due parti uguali, finisce in uno degli intervalli della caratteristica X. Utilizzando l'interpolazione, il valore della mediana si trova in questo intervallo mediano:

,

dove X Me è il limite inferiore dell'intervallo mediano;

h Me – il suo valore;

(Somma m)/2 – metà del numero totale di osservazioni o metà del volume dell'indicatore utilizzato come ponderazione nelle formule per il calcolo del valore medio (in termini assoluti o relativi);

S Me-1 – la somma delle osservazioni (o il volume dell'attributo di ponderazione) accumulate prima dell'inizio dell'intervallo mediano;

m Me – il numero di osservazioni o il volume della caratteristica di ponderazione nell'intervallo mediano (anche in termini assoluti o relativi).

Quando si calcola il valore modale di una caratteristica sulla base dei dati di una serie di intervalli, è necessario prestare attenzione al fatto che gli intervalli sono identici, poiché da questo dipende l'indicatore di ripetibilità dei valori della caratteristica X una serie di intervalli con intervalli uguali, la grandezza della moda è determinata come

,

dove X Mo è il valore inferiore dell'intervallo modale;

m Mo – numero di osservazioni o volume della caratteristica di ponderazione nell'intervallo modale (in termini assoluti o relativi);

m Mo-1 – lo stesso per l'intervallo precedente quello modale;

m Mo+1 – idem per l'intervallo successivo a quello modale;

h – il valore dell'intervallo di cambiamento della caratteristica nei gruppi.

COMPITO 1

I seguenti dati sono disponibili per il gruppo di imprese industriali per l'anno di riferimento

È necessario raggruppare le imprese per lo scambio di prodotti, rispettando i seguenti intervalli:

fino a 200 milioni di rubli.


da 200 a 400 milioni di rubli.


1. da 400 a 600 milioni di rubli.
   

   Per ciascun gruppo e per l'insieme, determinare il numero di imprese, il volume della produzione, il numero medio di dipendenti, la produzione media per dipendente. Presentare i risultati del raggruppamento sotto forma di tabella statistica. Formulare una conclusione.
   

   SOLUZIONE
   

   Raggrupperemo le imprese per scambio di prodotti, calcoleremo il numero di imprese, il volume di produzione e il numero medio di dipendenti utilizzando la formula della media semplice. I risultati del raggruppamento e dei calcoli sono riepilogati in una tabella.
   

   Gruppi per volume di prodotto	№ imprese	Volume del prodotto, milioni di rubli.	Costo medio annuo delle immobilizzazioni, milioni di rubli.	Sonno medio numero succoso di dipendenti, persone.	Profitto, migliaia di rubli	Produzione media per dipendente
   1 gruppo fino a 200 milioni di rubli.	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   Livello medio		198,3			24,9
   2° gruppo da 200 a 400 milioni di rubli.	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   Livello medio		282,3	37,6	1530	64,0
   3 gruppo da 400 a 600 milioni	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   Livello medio		512,9	34,4	1421	120,9
   Totale in aggregato		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   In media		379,6	59,9	1223,6	79,5

   Conclusione. Pertanto, nella popolazione considerata, il maggior numero di imprese in termini di volume di produzione rientra nel terzo gruppo: sette, ovvero la metà delle imprese. In questo gruppo rientrano anche il costo medio annuo delle immobilizzazioni, così come l'elevato numero medio di dipendenti: 9974 persone del primo gruppo sono le meno redditizie;
   

   COMPITO 2
   

   Sono disponibili i seguenti dati sulle imprese dell'azienda
   

   Numero dell'impresa inclusa nella società	Quarto		II trimestre
   	Produzione del prodotto, migliaia di rubli.		Giorni-uomo lavorati dai lavoratori	Produzione media per lavoratore al giorno, strofinare.
   	59390,13