Qual è la derivata di una funzione per i manichini. Derivata di una funzione

Nel piano delle coordinate xOy consideriamo il grafico della funzione y=f(x). Fissiamo il punto M(x0; f(x0)). Aggiungiamo un'ascissa x0 incremento Δх. Otterremo una nuova ascissa x0+Δx. Questa è l'ascissa del punto N e l'ordinata sarà uguale f(x0+Δx). Il cambiamento dell'ascissa ha comportato il cambiamento dell'ordinata. Questo cambiamento è chiamato incremento della funzione ed è indicato con Δy.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Attraverso punti M E N disegniamo una secante MN, che forma un angolo φ con direzione dell'asse positiva OH. Determiniamo la tangente dell'angolo φ da un triangolo rettangolo MPN.

Permettere Δх tende a zero. Quindi la secante MN tenderà ad assumere una posizione tangente MT e l'angolo φ diventerà un angolo α . Quindi, la tangente dell'angolo α è il valore limite della tangente dell'angolo φ :

Il limite del rapporto tra l'incremento di una funzione e l'incremento dell'argomento, quando quest'ultimo tende a zero, è chiamato derivata della funzione in un dato punto:

Significato geometrico della derivata sta nel fatto che la derivata numerica della funzione in un dato punto è uguale alla tangente dell'angolo formato dalla tangente tracciata attraverso questo punto alla curva data e dalla direzione positiva dell'asse OH:

Esempi.

1. Trova l'incremento dell'argomento e l'incremento della funzione y= x2, se il valore iniziale dell'argomento era uguale a 4 , e nuovo - 4,01 .

Soluzione.

Nuovo valore dell'argomento x=x0+Δx. Sostituiamo i dati: 4.01=4+Δx, da qui l'incremento dell'argomento Δх=4,01-4=0,01. L'incremento di una funzione, per definizione, è uguale alla differenza tra il valore nuovo e quello precedente della funzione, cioè Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Poiché abbiamo una funzione y=x2, Quello Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx)2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Risposta: incremento dell'argomento Δх=0,01; incremento della funzione Δу=0,0801.

L'incremento della funzione potrebbe essere trovato in modo diverso: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Trova l'angolo di inclinazione della tangente al grafico della funzione y=f(x) al punto x0, Se f"(x0) = 1.

Soluzione.

Il valore della derivata nel punto di tangenza x0 ed è il valore della tangente dell'angolo tangente (il significato geometrico della derivata). Abbiamo: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, Perché tg45°=1.

Risposta: la tangente al grafico di questa funzione forma un angolo con la direzione positiva dell'asse Ox uguale a 45°.

3. Derivare la formula per la derivata della funzione y=x n.

Differenziazioneè l'azione di trovare la derivata di una funzione.

Quando trovi i derivati, usa le formule derivate in base alla definizione di derivata, nello stesso modo in cui abbiamo derivato la formula per il grado di derivata: (x n)" = nx n-1.

Queste sono le formule.

Tavola dei derivati Sarà più facile memorizzare pronunciando formulazioni verbali:

1. La derivata di una quantità costante è zero.

2. X primo è uguale a uno.

3. Il fattore costante può essere tolto dal segno della derivata.

4. La derivata di un grado è uguale al prodotto dell'esponente di questo grado per un grado con la stessa base, ma l'esponente è uno in meno.

5. La derivata di una radice è uguale a uno diviso per due radici uguali.

6. La derivata di uno diviso per x è uguale a meno uno diviso per x al quadrato.

7. La derivata del seno è uguale al coseno.

8. La derivata del coseno è uguale a meno seno.

9. La derivata della tangente è uguale a uno diviso per il quadrato del coseno.

10. La derivata della cotangente è uguale a meno uno diviso per il quadrato del seno.

Insegniamo regole di differenziazione.

1. La derivata di una somma algebrica è uguale alla somma algebrica delle derivate dei termini.

2. La derivata di un prodotto è uguale al prodotto della derivata del primo fattore e del secondo più il prodotto del primo fattore e della derivata del secondo.

3. La derivata di “y” divisa per “ve” è uguale a una frazione in cui il numeratore è “y primo moltiplicato per “ve” meno “y moltiplicato per ve primo”, e il denominatore è “ve al quadrato”.

4. Un caso speciale della formula 3.

Impariamo insieme!

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Cos'è un derivato?

Tabella dei derivati.

La derivata è uno dei concetti principali della matematica superiore. In questa lezione introdurremo questo concetto. Conosciamoci meglio, senza rigide formulazioni e dimostrazioni matematiche.

Questa conoscenza ti permetterà di:

Comprendere l'essenza di compiti semplici con derivati;

Risolvi con successo questi compiti più semplici;

Preparati per lezioni più serie sui derivati.

Innanzitutto: una piacevole sorpresa.)

La definizione rigorosa di derivata si basa sulla teoria dei limiti e la cosa è piuttosto complicata. Questo è sconvolgente. Ma l'applicazione pratica dei derivati, di regola, non richiede una conoscenza così ampia e profonda!

Per portare a termine con successo la maggior parte dei compiti a scuola e all’università, è sufficiente sapere solo pochi termini- comprendere il compito e solo poche regole-per risolverlo. È tutto. Questo mi rende felice.

Iniziamo a conoscerci?)

Termini e designazioni.

Ci sono molte operazioni matematiche diverse nella matematica elementare. Addizione, sottrazione, moltiplicazione, esponenziazione, logaritmo, ecc. Se aggiungi un'altra operazione a queste operazioni, la matematica elementare diventa più elevata. Questa nuova operazione si chiama differenziazione. La definizione e il significato di questa operazione verranno discussi in lezioni separate.

È importante capire qui che la differenziazione è semplicemente un'operazione matematica su una funzione. Prendiamo qualsiasi funzione e, secondo determinate regole, la trasformiamo. Il risultato sarà una nuova funzione. Questa nuova funzione si chiama: derivato.

Differenziazione- azione su una funzione.

Derivato- il risultato di questa azione.

Proprio come, ad esempio, somma- il risultato dell'addizione. O privato- il risultato della divisione.

Conoscendo i termini, puoi almeno comprendere i compiti.) Le formulazioni sono le seguenti: trovare la derivata di una funzione; prendi la derivata; differenziare la funzione; calcolare la derivata e così via. Questo è tutto Stesso. Naturalmente, ci sono anche compiti più complessi, in cui trovare la derivata (differenziazione) sarà solo uno dei passaggi per risolvere il problema.

La derivata è indicata da un trattino in alto a destra della funzione. Come questo: sì" O f"(x) O S"(t) e così via.

Lettura tratto igrek, tratto ef da x, tratto es da te, beh, hai capito...)

Un numero primo può anche indicare la derivata di una particolare funzione, ad esempio: (2x+3)", (X 3 )" , (Sinx)" eccetera. Spesso le derivate vengono denotate utilizzando i differenziali, ma in questa lezione non considereremo tale notazione.

Supponiamo di aver imparato a comprendere i compiti. Non resta che imparare a risolverli.) Lascia che te lo ricordi ancora una volta: trovare la derivata è trasformazione di una funzione secondo determinate regole. Sorprendentemente, ci sono pochissime di queste regole.

Per trovare la derivata di una funzione, devi sapere solo tre cose. Tre pilastri su cui poggia ogni differenziazione. Questi sono i tre pilastri:

1. Tabella dei derivati ​​(formule di differenziazione).

3. Derivato di una funzione complessa.

Cominciamo in ordine. In questa lezione esamineremo la tabella dei derivati.

Tabella dei derivati.

Ci sono un numero infinito di funzioni nel mondo. In questo set ci sono le funzioni più importanti per l'uso pratico. Queste funzioni si trovano in tutte le leggi della natura. Da queste funzioni, come dai mattoncini, si possono costruire tutte le altre. Questa classe di funzioni viene chiamata funzioni elementari. Sono queste le funzioni che vengono studiate a scuola: lineare, quadratica, iperbole, ecc.

Differenziazione delle funzioni "da zero", cioè Basandosi sulla definizione di derivata e sulla teoria dei limiti, questa è una cosa piuttosto laboriosa. E anche i matematici sono persone, sì, sì!) Quindi hanno semplificato la loro (e noi) vita. Prima di noi hanno calcolato le derivate delle funzioni elementari. Il risultato è una tabella delle derivate, dove tutto è pronto.)

Eccola, questa placca per le funzioni più richieste. A sinistra c'è una funzione elementare, a destra c'è la sua derivata.

	Funzione sì	Derivato della funzione y sì"
1	C (valore costante)	C" = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n - qualsiasi numero)	(x n)" = nx n-1
	x2(n = 2)	(x2)" = 2x
4	peccato x	(peccato x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - peccato x
	tgx
	ctg x
5	arcoseno x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	UN X
	e X
5	tronco d'albero UN X
	ln x ( un = e)

Consiglio di prestare attenzione al terzo gruppo di funzioni in questa tabella delle derivate. La derivata di una funzione potenza è una delle formule più comuni, se non la più comune! Capisci il suggerimento?) Sì, è consigliabile conoscere a memoria la tabella dei derivati. A proposito, questo non è così difficile come potrebbe sembrare. Prova a risolvere più esempi, la tabella stessa verrà ricordata!)

Trovare il valore tabellare del derivato, come capisci, non è il compito più difficile. Pertanto, molto spesso in tali compiti sono presenti chip aggiuntivi. O nella formulazione del compito, o nella funzione originale, che non sembra essere nella tabella...

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi:

1. Trova la derivata della funzione y = x 3

Non esiste una funzione simile nella tabella. Ma esiste un derivato della funzione di potenza in forma generale (terzo gruppo). Nel nostro caso n=3. Quindi sostituiamo tre invece di n e annotiamo attentamente il risultato:

(X 3) " = 3x 3-1 = 3x 2

Questo è tutto.

Risposta: y" = 3x 2

2. Trova il valore della derivata della funzione y = sinx nel punto x = 0.

Questa attività significa che devi prima trovare la derivata del seno e poi sostituire il valore x = 0 in questo stesso derivato. Esattamente in quest'ordine! Altrimenti succede che sostituiscono immediatamente lo zero nella funzione originale... Ci viene chiesto di trovare non il valore della funzione originale, ma il valore il suo derivato. La derivata, lascia che te lo ricordi, è una nuova funzione.

Utilizzando la tavoletta troviamo il seno e la derivata corrispondente:

y" = (sin x)" = cosx

Sostituiamo lo zero nella derivata:

y"(0) = cos 0 = 1

Questa sarà la risposta.

3. Differenziare la funzione:

Cosa, ispira?) Non esiste una funzione del genere nella tabella dei derivati.

Lascia che ti ricordi che differenziare una funzione significa semplicemente trovare la derivata di questa funzione. Se dimentichi la trigonometria elementare, cercare la derivata della nostra funzione è piuttosto problematico. La tabella non aiuta...

Ma se vediamo che la nostra funzione è coseno del doppio angolo, allora tutto migliora subito!

Si si! Ricorda che trasformando la funzione originale prima della differenziazione abbastanza accettabile! E capita di rendere la vita molto più semplice. Utilizzando la formula del coseno del doppio angolo:

Quelli. la nostra complicata funzione non è altro che y = cosx. E questa è una funzione della tabella. Otteniamo immediatamente:

Risposta: y" = - peccato x.

Esempio per laureati e studenti avanzati:

4. Trova la derivata della funzione:

Naturalmente non esiste una funzione del genere nella tabella dei derivati. Ma se ricordi la matematica elementare, le operazioni con le potenze... Allora è del tutto possibile semplificare questa funzione. Come questo:

E x elevato a un decimo è già una funzione tabulare! Terzo gruppo, n=1/10. Scriviamo direttamente secondo la formula:

È tutto. Questa sarà la risposta.

Spero che tutto sia chiaro riguardo al primo pilastro della differenziazione: la tabella dei derivati. Resta da occuparsi delle due balene rimanenti. Nella prossima lezione impareremo le regole della differenziazione.

Risolvere problemi fisici o esempi in matematica è completamente impossibile senza la conoscenza della derivata e dei metodi per calcolarla. La derivata è uno dei concetti più importanti nell'analisi matematica. Abbiamo deciso di dedicare l’articolo di oggi a questo argomento fondamentale. Cos'è una derivata, qual è il suo significato fisico e geometrico, come si calcola la derivata di una funzione? Tutte queste domande possono essere combinate in una sola: come comprendere la derivata?

Significato geometrico e fisico della derivata

Lascia che ci sia una funzione f(x) , specificato in un certo intervallo (a, b) . I punti x e x0 appartengono a questo intervallo. Quando x cambia, cambia la funzione stessa. Cambiare l'argomento: la differenza nei suoi valori x-x0 . Questa differenza è scritta come delta x ed è chiamato incremento dell'argomento. Una modifica o incremento di una funzione è la differenza tra i valori di una funzione in due punti. Definizione di derivato:

La derivata di una funzione in un punto è il limite del rapporto tra l'incremento della funzione in un dato punto e l'incremento dell'argomento quando quest'ultimo tende a zero.

Altrimenti si può scrivere così:

Che senso ha trovare un limite del genere? Ed ecco di cosa si tratta:

la derivata di una funzione in un punto è uguale alla tangente dell'angolo compreso tra l'asse OX e la tangente al grafico della funzione in un dato punto.

Significato fisico del derivato: la derivata del percorso rispetto al tempo è pari alla velocità del moto rettilineo.

Infatti, fin dai tempi della scuola tutti sanno che la velocità è un percorso particolare x=f(t) E tempo T . Velocità media in un certo periodo di tempo:

Per scoprire la velocità del movimento in un momento nel tempo t0 devi calcolare il limite:

Regola uno: imposta una costante

La costante può essere tolta dal segno della derivata. Inoltre, questo deve essere fatto. Quando risolvi esempi in matematica, prendilo come regola: Se puoi semplificare un'espressione, assicurati di semplificarla .

Esempio. Calcoliamo la derivata:

Seconda regola: derivata della somma di funzioni

La derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate di queste funzioni. Lo stesso vale per la derivata della differenza di funzioni.

Non daremo una dimostrazione di questo teorema, ma considereremo piuttosto un esempio pratico.

Trova la derivata della funzione:

Regola tre: derivata del prodotto di funzioni

La derivata del prodotto di due funzioni differenziabili si calcola con la formula:

Esempio: trova la derivata di una funzione:

Soluzione:

È importante parlare qui del calcolo delle derivate di funzioni complesse. La derivata di una funzione complessa è uguale al prodotto della derivata di questa funzione rispetto all'argomento intermedio e della derivata dell'argomento intermedio rispetto alla variabile indipendente.

Nell'esempio sopra ci imbattiamo nell'espressione:

In questo caso, l'argomento intermedio è 8x alla quinta potenza. Per calcolare la derivata di tale espressione, calcoliamo prima la derivata della funzione esterna rispetto all'argomento intermedio, quindi moltiplichiamo per la derivata dell'argomento intermedio stesso rispetto alla variabile indipendente.

Regola quattro: derivata del quoziente di due funzioni

Formula per determinare la derivata del quoziente di due funzioni:

Abbiamo provato a parlare di derivati ​​for dummies partendo da zero. Questo argomento non è così semplice come sembra, quindi attenzione: negli esempi ci sono spesso delle insidie, quindi fai attenzione quando calcoli le derivate.

Per qualsiasi domanda su questo e altri argomenti è possibile contattare il servizio studenti. In breve tempo ti aiuteremo a risolvere i test più difficili e a comprendere i compiti, anche se non hai mai fatto calcoli derivativi prima.

Cos'è un derivato?
Definizione e significato di una funzione derivativa

Molti rimarranno sorpresi dall’inaspettata collocazione di questo articolo nel corso del mio autore sulla derivata di una funzione di una variabile e sulle sue applicazioni. Dopotutto, come è stato fin dai tempi della scuola: il libro di testo standard dà prima di tutto la definizione di derivato, il suo significato geometrico, meccanico. Successivamente, gli studenti trovano le derivate delle funzioni per definizione e, infatti, solo allora perfezionano la tecnica di differenziazione utilizzando tabelle derivate.

Ma dal mio punto di vista l’approccio seguente è più pragmatico: innanzitutto è opportuno CAPIRE BENE limite di una funzione, e, in particolare, quantità infinitesimali. Il fatto è che la definizione di derivata si basa sul concetto di limite, che è poco considerato nel percorso scolastico. Ecco perché una parte significativa dei giovani consumatori del granito della conoscenza non comprende l'essenza stessa del derivato. Pertanto, se avete poca conoscenza del calcolo differenziale o se un cervello saggio si è sbarazzato con successo di questo bagaglio nel corso di molti anni, iniziate con limiti di funzione. Allo stesso tempo, padroneggia/ricorda la loro soluzione.

Lo stesso senso pratico impone che sia innanzitutto vantaggioso imparare a trovare le derivate, Compreso derivate di funzioni complesse. La teoria è teoria, ma, come si suol dire, vuoi sempre differenziare. A questo proposito, è meglio elaborare le lezioni di base elencate, e forse maestro della differenziazione senza nemmeno rendersi conto dell'essenza delle loro azioni.

Consiglio di iniziare con i materiali presenti in questa pagina dopo aver letto l'articolo. I problemi più semplici con le derivate, dove, in particolare, si considera il problema della tangente al grafico di una funzione. Ma puoi aspettare. Il fatto è che molte applicazioni della derivata non richiedono la sua comprensione, e non sorprende che la lezione teorica sia apparsa piuttosto tardi, quando avevo bisogno di spiegare trovare intervalli ed estremi crescenti/decrescenti funzioni. Inoltre, è stato sull'argomento per molto tempo. Funzioni e grafici”, finché alla fine non ho deciso di dirlo prima.

Pertanto, care teiere, non affrettatevi ad assorbire l'essenza del derivato come animali affamati, perché la saturazione risulterà insapore e incompleta.

Il concetto di crescente, decrescente, massimo, minimo di una funzione

Molti libri di testo introducono il concetto di derivata con l'aiuto di alcuni problemi pratici e io ho fornito anche un esempio interessante. Immaginiamo che stiamo per recarci in una città che può essere raggiunta in diversi modi. Scartiamo subito i percorsi tortuosi e curvilinei e consideriamo solo le autostrade diritte. Tuttavia, anche le direzioni in linea retta sono diverse: puoi raggiungere la città lungo un'autostrada pianeggiante. O lungo un'autostrada collinare: su e giù, su e giù. Un'altra strada va solo in salita, mentre un'altra va sempre in discesa. Gli appassionati estremi sceglieranno un percorso attraverso una gola con una ripida scogliera e una ripida salita.

Ma qualunque siano le vostre preferenze, è consigliabile conoscere la zona o almeno possederne una carta topografica. Cosa succede se tali informazioni mancano? Dopotutto, puoi scegliere, ad esempio, un percorso liscio, ma di conseguenza inciampare su una pista da sci con allegri finlandesi. Non è un dato di fatto che un navigatore o anche un'immagine satellitare forniscano dati affidabili. Sarebbe quindi bello formalizzare il rilievo del percorso utilizzando la matematica.

Diamo un'occhiata ad alcune strade (vista laterale):

Per ogni evenienza, ti ricordo un fatto elementare: il viaggio accade da sinistra a destra. Per semplicità assumiamo che la funzione continuo nella zona in esame.

Quali sono le caratteristiche di questo grafico?

Ad intervalli funzione aumenta, cioè ogni suo valore successivo Di più precedente. In parole povere, il programma è rispettato giù su(saliamo la collina). E sull'intervallo la funzione diminuisce– ogni valore successivo meno precedente e il nostro programma è attivo dall'alto al basso(scendiamo dal pendio).

Prestiamo attenzione anche ai punti speciali. Al punto in cui arriviamo massimo, questo è esiste tale sezione del percorso in cui il valore sarà il più grande (il più alto). Allo stesso punto è raggiunto minimo, E esiste il suo quartiere in cui il valore è il più piccolo (il più basso).

Esamineremo la terminologia e le definizioni più rigorose in classe. sugli estremi della funzione, ma per ora studiamo un’altra caratteristica importante: sugli intervalli la funzione aumenta, ma aumenta a velocità diverse. E la prima cosa che attira la tua attenzione è che il grafico aumenta durante l'intervallo molto più bello, che sull'intervallo . È possibile misurare la pendenza di una strada utilizzando strumenti matematici?

Tasso di cambiamento di funzione

L'idea è questa: prendiamo un po' di valore (leggi "delta x"), che chiameremo incremento dell'argomento, e cominciamo a “provarlo” in vari punti del nostro percorso:

1) Guardiamo il punto più a sinistra: superando la distanza, saliamo il pendio fino a quota (linea verde). La quantità si chiama incremento della funzione, e in questo caso questo incremento è positivo (la differenza dei valori lungo l'asse è maggiore di zero). Creiamo un rapporto che sarà una misura della pendenza della nostra strada. Ovviamente, questo è un numero molto specifico e poiché entrambi gli incrementi sono positivi, allora .

Attenzione! Le designazioni sono UNO simbolo, cioè non puoi "strappare" il "delta" dalla "X" e considerare queste lettere separatamente. Naturalmente il commento riguarda anche il simbolo di incremento della funzione.

Esploriamo la natura della frazione risultante in modo più significativo. Mettiamoci inizialmente ad un'altezza di 20 metri (nel punto nero a sinistra). Percorsa la distanza di metri (linea rossa a sinistra), ci troveremo a quota 60 metri. Quindi l'incremento della funzione sarà metri (linea verde) e: . Così, su ogni metro questo tratto di strada l'altezza aumenta media per 4 metri...hai dimenticato l'attrezzatura per l'arrampicata? =) In altre parole, la relazione costruita caratterizza il TASSO MEDIO DI CAMBIAMENTO (in questo caso, di crescita) della funzione.

Nota : I valori numerici dell'esempio in questione corrispondono solo approssimativamente alle proporzioni del disegno.

2) Ora andiamo alla stessa distanza dal punto nero più a destra. Qui l'aumento è più graduale, quindi l'incremento (linea cremisi) è relativamente piccolo, e il rapporto rispetto al caso precedente sarà molto modesto. Relativamente parlando, metri e tasso di crescita della funzioneÈ . Cioè qui per ogni metro di percorso ce ne sono media aumento di mezzo metro.

3) Una piccola avventura in montagna. Osserviamo il punto nero in alto situato sull'asse delle ordinate. Supponiamo che questo sia il segno dei 50 metri. Superiamo nuovamente la distanza, per cui ci troviamo più in basso, al livello di 30 metri. Dal momento che il movimento viene eseguito dall'alto al basso(nella direzione “contro” dell'asse), quindi la finale l'incremento della funzione (altezza) sarà negativo: metri (segmento marrone nel disegno). E in questo caso ne stiamo già parlando tasso di diminuzione Caratteristiche: , cioè per ogni metro di percorso di questo tratto, l'altezza diminuisce media per 2 metri. Prenditi cura dei tuoi vestiti al quinto punto.

Ora poniamoci la domanda: quale valore dello “standard di misura” è meglio utilizzare? È completamente comprensibile, 10 metri sono molto difficili. Su di essi possono facilmente adattarsi una buona dozzina di collinette. Nonostante i dossi, sotto potrebbe esserci una profonda gola, e dopo pochi metri c'è l'altro lato con un'ulteriore ripida salita. Pertanto, con un dieci metri non otterremo una descrizione comprensibile di tali sezioni del percorso attraverso il rapporto .

Dalla discussione precedente segue la seguente conclusione: più basso è il valore, tanto più accuratamente descriviamo la topografia stradale. Inoltre, sono veri i seguenti fatti:

– Per chiunque punti di sollevamento è possibile selezionare un valore (anche se molto piccolo) che rientri nei confini di un particolare rialzo. Ciò significa che l'incremento di altezza corrispondente sarà sicuramente positivo e la disuguaglianza indicherà correttamente la crescita della funzione in ciascun punto di questi intervalli.

- Allo stesso modo, per ogni punto della pendenza, esiste un valore che si adatterà completamente a questa pendenza. Di conseguenza, il corrispondente aumento di altezza è chiaramente negativo e la disuguaglianza mostrerà correttamente la diminuzione della funzione in ciascun punto dell'intervallo dato.

– Un caso particolarmente interessante è quando il tasso di variazione della funzione è zero: . Innanzitutto, l'incremento di altezza pari a zero () è un segno di un percorso regolare. E in secondo luogo, ci sono altre situazioni interessanti, esempi delle quali vedi nella figura. Immagina che il destino ci abbia portato in cima a una collina dove svettano le aquile o sul fondo di un burrone dove gracidano le rane. Se fai un piccolo passo in qualsiasi direzione, la variazione di altezza sarà trascurabile e possiamo dire che il tasso di variazione della funzione è in realtà pari a zero. Questa è esattamente l'immagine osservata nei punti.

Pertanto, siamo giunti a un'incredibile opportunità di caratterizzare perfettamente e accuratamente la velocità di variazione di una funzione. Dopotutto, l'analisi matematica permette di dirigere l'incremento dell'argomento verso zero: cioè di farcela infinitesimale.

Di conseguenza, sorge un'altra domanda logica: è possibile trovare la strada e il suo programma un'altra funzione, Quale ci farebbe sapere su tutti i tratti pianeggianti, salite, discese, picchi, valli, nonché il tasso di crescita/diminuzione in ogni punto lungo il percorso?

Cos'è un derivato? Definizione di derivato.
Significato geometrico di derivata e differenziale

Si prega di leggere attentamente e non troppo velocemente: il materiale è semplice e accessibile a tutti! Non è un problema se in alcuni punti qualcosa non ti sembra molto chiaro, puoi sempre tornare all'articolo più tardi. Dirò di più, è utile studiare più volte la teoria per comprenderne a fondo tutti i punti (il consiglio è particolarmente rilevante per gli studenti “tecnici”, per i quali la matematica superiore gioca un ruolo significativo nel processo educativo).

Naturalmente nella definizione stessa della derivata ad un certo punto la sostituiamo con:

A cosa siamo arrivati? E siamo giunti alla conclusione che per la funzione secondo la legge è messo in accordo altra funzione, che è chiamato funzione derivativa(o semplicemente derivato).

Il derivato caratterizza tasso di cambio funzioni Come? L'idea corre come un filo rosso fin dall'inizio dell'articolo. Consideriamo un punto dominio di definizione funzioni Sia la funzione differenziabile in un dato punto. Poi:

1) Se , allora la funzione aumenta nel punto . E ovviamente c'è intervallo(anche molto piccolo), contenente un punto in cui la funzione cresce, e il suo grafico va “dal basso verso l’alto”.

2) Se , allora la funzione diminuisce nel punto . E c'è un intervallo contenente un punto in cui la funzione diminuisce (il grafico va “dall'alto verso il basso”).

3) Se , allora infinitamente vicino in prossimità di un punto la funzione mantiene la sua velocità costante. Ciò avviene, come notato, con una funzione costante e nei punti critici della funzione, in particolare ai punti minimo e massimo.

Un po' di semantica. Cosa significa il verbo “differenziare” in senso lato? Differenziare significa evidenziare una caratteristica. Differenziando una funzione, “isoliamo” il tasso della sua variazione sotto forma di derivata della funzione. A proposito, cosa si intende con la parola “derivato”? Funzione accaduto dalla funzione.

I termini sono interpretati con molto successo dal significato meccanico del derivato :
Consideriamo la legge del cambiamento delle coordinate di un corpo, in funzione del tempo, e la funzione della velocità di movimento di un dato corpo. La funzione caratterizza la velocità di variazione delle coordinate del corpo, quindi è la derivata prima della funzione rispetto al tempo: . Se il concetto di “movimento del corpo” non esistesse in natura, allora non esisterebbe derivato concetto di “velocità corporea”.

L'accelerazione di un corpo è la velocità con cui varia la velocità, quindi: . Se i concetti iniziali di “movimento del corpo” e “velocità del corpo” non esistessero in natura, allora non esisterebbero derivato concetto di “accelerazione del corpo”.

In questo articolo forniremo i concetti di base su cui si baserà tutta la teoria successiva sul tema della derivata di una funzione di una variabile.

Il percorso x è l'argomento della funzione f(x) ed è un piccolo numero diverso da zero.

(leggi “delta x”) viene chiamato incrementando un argomento di funzione. Nella figura, la linea rossa mostra il cambiamento dell'argomento dal valore x al valore (da qui l'essenza del nome “incremento” dell'argomento).

Quando si passa dal valore dell'argomento ai valori della funzione cambiano di conseguenza da a, a condizione che la funzione sia monotona sull'intervallo. La differenza si chiama incremento della funzione f(x), corrispondente a questo argomento incremento. Nella figura l'incremento della funzione è indicato con una linea blu.

Esaminiamo questi concetti utilizzando un esempio specifico.

Prendiamo ad esempio la funzione . Fissiamo il punto e l'incremento dell'argomento. In questo caso, l'incremento della funzione quando si passa da a sarà uguale a

Un incremento negativo indica una diminuzione della funzione sul segmento.

Illustrazione grafica

Determinazione della derivata di una funzione in un punto.

Sia definita la funzione f(x) sull'intervallo (a; b) e siano e i punti di questo intervallo. Derivata della funzione f(x) nel puntoè chiamato limite del rapporto tra l'incremento di una funzione e l'incremento dell'argomento in . Designato .

Quando l'ultimo limite assume uno specifico valore finale, si parla di esistenza derivata finita nel punto. Se il limite è infinito, allora dicono così la derivata è infinita in un dato punto. Se il limite non esiste, allora la derivata della funzione a questo punto non esiste.

Viene chiamata la funzione f(x). differenziabile nel punto, quando contiene una derivata finita.

Se una funzione f(x) è differenziabile in ogni punto di un certo intervallo (a; b), allora la funzione si dice differenziabile su questo intervallo. Pertanto, a questo punto qualsiasi punto x dell'intervallo (a; b) può essere associato al valore della derivata della funzione, ovvero abbiamo l'opportunità di definire una nuova funzione, che si chiama derivata della funzione f(x) sull'intervallo (a; b).

L'operazione di trovare la derivata si chiama differenziazione.

Differenziamo nella natura dei concetti di derivata di una funzione in un punto e su un intervallo: la derivata di una funzione in un punto è un numero e la derivata di una funzione su un intervallo è una funzione.

Vediamolo con degli esempi per rendere il quadro più chiaro. Nel differenziare utilizzeremo la definizione di derivata, ovvero procederemo alla ricerca dei limiti. Se sorgono difficoltà, ti consigliamo di fare riferimento alla sezione teorica.

Esempio.

Trova la derivata della funzione nel punto utilizzando la definizione.

Soluzione.

Poiché stiamo cercando la derivata di una funzione in un punto, la risposta deve contenere un numero. Scriviamo il limite del rapporto tra l'incremento di una funzione e l'incremento dell'argomento e utilizziamo le formule della trigonometria: