Come trovare la lunghezza focale di un'iperbole. Iperbole e sua equazione canonica
Definizione. Un'iperbole è il luogo dei punti del piano y; il valore assoluto della differenza delle distanze di ciascuno di essi da due punti dati di questo piano, detti fuochi di y, è un valore costante, a condizione che questo valore non lo sia; zero ed è minore della distanza tra i fuochi.
Indichiamo la distanza tra i fuochi con un valore costante pari al modulo della differenza delle distanze da ciascun punto dell'iperbole ai fuochi, con (per condizione ). Come nel caso di un'ellisse, tracciamo l'asse delle ascisse attraverso i fuochi e prendiamo il centro del segmento come origine delle coordinate (vedi Fig. 44). I fuochi in un tale sistema avranno coordinate. Deriviamo l'equazione dell'iperbole nel sistema di coordinate scelto. Per la definizione di iperbole, per ogni punto di essa abbiamo o
Ma . Pertanto otteniamo
Dopo semplificazioni simili a quelle fatte per derivare l'equazione dell'ellisse, otteniamo la seguente equazione:
che è una conseguenza dell'equazione (33).
È facile vedere che questa equazione coincide con l'equazione (27) ottenuta per un'ellisse. Tuttavia, nell'equazione (34) la differenza è , poiché per un'iperbole . Pertanto poniamo
Allora l’equazione (34) si riduce alla forma seguente:
Questa equazione è chiamata equazione dell'iperbole canonica. L'equazione (36), come conseguenza dell'equazione (33), è soddisfatta dalle coordinate di un punto qualsiasi dell'iperbole. Si può dimostrare che le coordinate dei punti che non giacciono sull'iperbole non soddisfano l'equazione (36).
Stabiliamo la forma dell'iperbole utilizzando la sua equazione canonica. Questa equazione contiene solo potenze pari delle coordinate attuali. Di conseguenza, un'iperbole ha due assi di simmetria, in questo caso coincidenti con gli assi delle coordinate. In seguito chiameremo gli assi di simmetria di un'iperbole assi dell'iperbole, e il punto della loro intersezione centro dell'iperbole. L'asse dell'iperbole su cui si trovano i fuochi è chiamato asse focale. Esaminiamo la forma dell'iperbole nel primo quarto, dove
Ecco perché altrimenti assumerebbero valori immaginari. All'aumentare di x da a, aumenta da 0 a. La parte dell'iperbole che giace nel primo quarto sarà l'arco mostrato in Fig. 47.
Poiché l'iperbole si trova simmetricamente rispetto agli assi delle coordinate, questa curva ha la forma mostrata in Fig. 47.
I punti di intersezione di un'iperbole con l'asse focale si chiamano vertici. Assumendo iperboli nell'equazione, troviamo le ascisse dei suoi vertici: . Pertanto, un'iperbole ha due vertici: . L'iperbole non interseca l'asse delle ordinate. Infatti, inserendo le iperboli nell'equazione otteniamo valori immaginari per y: . Pertanto, l'asse focale di un'iperbole è chiamato asse reale, e l'asse di simmetria perpendicolare all'asse focale è chiamato asse immaginario dell'iperbole.
L'asse reale è anche chiamato segmento che collega i vertici di un'iperbole e la sua lunghezza è 2a. Il segmento che collega i punti (vedi Fig. 47), così come la sua lunghezza, è chiamato asse immaginario dell'iperbole. I numeri aeb sono chiamati rispettivamente semiassi reale e immaginario dell'iperbole.
Consideriamo ora un'iperbole situata nel primo quarto e che è il grafico della funzione
Mostriamo che i punti di questo grafico, situati a una distanza sufficientemente grande dall'origine delle coordinate, sono arbitrariamente vicini alla retta
passante per l'origine ed avente una pendenza
A tale scopo si considerino due punti aventi la stessa ascissa e giacenti rispettivamente sulla curva (37) e sulla retta (38) (Fig. 48), e si faccia la differenza tra le ordinate di tali punti
Il numeratore di questa frazione è un valore costante e il denominatore aumenta indefinitamente con aumento illimitato. Pertanto la differenza tende a zero, cioè i punti M e N si avvicinano indefinitamente man mano che l'ascissa aumenta indefinitamente.
Dalla simmetria dell'iperbole rispetto agli assi delle coordinate segue che esiste un'altra linea retta alla quale i punti dell'iperbole sono arbitrariamente vicini ad una distanza illimitata dall'origine. Diretto
sono detti asintoti dell'iperbole.
Nella fig. 49 mostra la posizione relativa dell'iperbole e dei suoi asintoti. Questa figura mostra anche come costruire gli asintoti di un'iperbole.
Per fare ciò costruiamo un rettangolo con centro nell'origine e con i lati paralleli agli assi e corrispondentemente uguali a . Questo rettangolo è chiamato rettangolo principale. Ciascuna delle sue diagonali, estese indefinitamente in entrambe le direzioni, è asintoto di un'iperbole. Prima di costruire un'iperbole è consigliabile costruirne gli asintoti.
Il rapporto tra metà della distanza tra i fuochi e il semiasse reale dell'iperbole è chiamato eccentricità dell'iperbole ed è solitamente indicato con la lettera:
Poiché per un'iperbole l'eccentricità dell'iperbole è maggiore di uno: L'eccentricità caratterizza la forma dell'iperbole
Infatti dalla formula (35) segue che . Da ciò è chiaro che quanto minore è l'eccentricità dell'iperbole,
minore è il rapporto dei suoi semiassi. Ma la relazione determina la forma del rettangolo principale dell'iperbole, e quindi la forma dell'iperbole stessa. Minore è l'eccentricità dell'iperbole, più allungato è il suo rettangolo principale (nella direzione dell'asse focale).
Classe 10 . Curve del secondo ordine.
10.1. Ellisse. Equazione canonica. Semiassi, eccentricità, grafico.
10.2. Iperbole. Equazione canonica. Semiassi, eccentricità, asintoti, grafico.
10.3. Parabola. Equazione canonica. Parametro parabola, grafico.
Le curve del secondo ordine su un piano sono linee la cui definizione implicita ha la forma:
Dove 
- dati i numeri reali, 
- coordinate dei punti della curva. Le linee più importanti tra le curve del secondo ordine sono l'ellisse, l'iperbole e la parabola.
10.1. Ellisse. Equazione canonica. Semiassi, eccentricità, grafico.
Definizione di ellisse.Un'ellisse è una curva piana la cui somma delle distanze da due punti fissi 
aereo verso qualsiasi punto 
(quelli.). Punti 
sono detti fuochi dell'ellisse.
Equazione canonica dell'ellisse:
.
(2)
(o asse 
) subisce dei trucchi 
, e l'origine è il punto 
- si trova al centro del segmento 
(Fig. 1). L'ellisse (2) è simmetrica rispetto agli assi delle coordinate e all'origine (il centro dell'ellisse). Permanente 
,
sono chiamati semiassi dell'ellisse.
Se l'ellisse è data dall'equazione (2), allora i fuochi dell'ellisse si trovano così.
1) Innanzitutto determiniamo dove si trovano i fuochi: i fuochi giacciono sull'asse delle coordinate su cui si trovano i semiassi maggiori.
2) Quindi viene calcolata la lunghezza focale 
(distanza dai fuochi all'origine).
A 
i fuochi giacciono sull'asse 
;
;
.
A 
i fuochi giacciono sull'asse 
;
;
.
Eccentricità l'ellisse è chiamata quantità: 
(A 
);
(A 
).
L'ellisse sempre 
. L'eccentricità serve come caratteristica della compressione dell'ellisse.
Se l'ellisse (2) viene spostata in modo che il centro dell'ellisse tocchi il punto 
,
, allora l'equazione dell'ellisse risultante ha la forma
.
10.2. Iperbole. Equazione canonica. Semiassi, eccentricità, asintoti, grafico.
Definizione di iperbole.Un'iperbole è una curva piana in cui è il valore assoluto della differenza delle distanze da due punti fissi 
aereo verso qualsiasi punto 
questa curva ha un valore costante indipendente dal punto 
(quelli.). Punti 
sono detti fuochi di un'iperbole.
Equazione dell'iperbole canonica:
O 
.
(3)
Questa equazione si ottiene se l'asse delle coordinate 
(o asse 
) subisce dei trucchi 
, e l'origine è il punto 
- si trova al centro del segmento 
. Le iperboli (3) sono simmetriche rispetto agli assi delle coordinate e all'origine. Permanente 
,
sono chiamati semiassi dell'iperbole.
I fuochi di un'iperbole si trovano in questo modo.
All'iperbole 
i fuochi giacciono sull'asse 
:
(Fig. 2.a).
All'iperbole 
i fuochi giacciono sull'asse 
:
(Fig. 2.b)
Qui 
- lunghezza focale (distanza dai fuochi all'origine). Si calcola con la formula: 
.
Eccentricità l'iperbole è la quantità:
(Per 
);
(Per 
).
L'iperbole lo è sempre stata 
.
Asintoti di iperboli(3) sono due rette: 
. Entrambi i rami dell'iperbole si avvicinano agli asintoti senza limiti con aumento 
.
La costruzione del grafico di un'iperbole va effettuata come segue: prima lungo i semiassi 
costruiamo un rettangolo ausiliario con i lati paralleli agli assi coordinati; quindi traccia delle linee rette passanti per i vertici opposti di questo rettangolo, questi sono gli asintoti dell'iperbole; infine rappresentiamo i rami dell'iperbole, toccano i punti medi dei lati corrispondenti del rettangolo ausiliario e si avvicinano con la crescita 
agli asintoti (Fig. 2).
Se le iperboli (3) vengono spostate in modo che il loro centro tocchi il punto 
, e i semiassi rimarranno paralleli agli assi 
,
, quindi l'equazione delle iperboli risultanti verrà scritta nella forma
,
.
10.3. Parabola. Equazione canonica. Parametro parabola, grafico.
Definizione di parabola.Una parabola è una curva piana per la quale, per qualsiasi punto 
questa curva è la distanza da 
ad un punto fisso 
il piano (chiamato fuoco della parabola) è uguale alla distanza da 
ad una retta fissa sul piano(detta direttrice della parabola) .
Equazione della parabola canonica:
,
(4)
Dove 
- una costante chiamata parametro parabole.
Punto 
la parabola (4) è detta vertice della parabola. Asse 
è l'asse di simmetria. Il fuoco della parabola (4) è nel punto 
, equazione della direttrice 
. Grafici parabola (4) con significati 
E 
sono mostrati in Fig. 3.a e 3.b rispettivamente.
L'equazione 
definisce anche una parabola sul piano 
, i cui assi, rispetto alla parabola (4), 
,
scambiati di posto.
Se la parabola (4) viene spostata in modo che il suo vertice tocchi il punto 
e l'asse di simmetria rimarrà parallelo all'asse 
, allora l'equazione della parabola risultante ha la forma
.
Passiamo agli esempi.
Esempio 1. La curva del secondo ordine è data dall'equazione 
. Dai un nome a questa curva. Trova i suoi punti focali e la sua eccentricità. Disegna una curva e i suoi fuochi su un piano 
.
Soluzione. Questa curva è un'ellisse centrata nel punto 
e semiassi 
. Ciò può essere facilmente verificato sostituendo 
. Questa trasformazione significa una transizione da un dato sistema di coordinate cartesiane 
ad un nuovo sistema di coordinate cartesiane 
, il cui asse 
paralleli agli assi 
,
. Questa trasformazione delle coordinate è chiamata spostamento del sistema 
esattamente 
. Nel nuovo sistema di coordinate 
l'equazione della curva si trasforma nell'equazione canonica dell'ellisse 
, il suo grafico è mostrato in Fig. 4.
Troviamo trucchi. 
, quindi i trucchi 
ellisse situata sull'asse 
.. Nel sistema di coordinate 
:
. Perché 
, nel vecchio sistema di coordinate 
i fuochi hanno coordinate.
Esempio 2. Dai il nome della curva del secondo ordine e fornisci il suo grafico.
Soluzione. Selezioniamo i quadrati perfetti in base a termini contenenti variabili 
E 
.
Ora l’equazione della curva può essere riscritta come segue:
Pertanto, la curva data è un'ellisse centrata nel punto 
e semiassi 
. Le informazioni ottenute ci permettono di tracciarne il grafico.
Esempio 3. Dai un nome e un grafico alla retta 
.
Soluzione. . Questa è l'equazione canonica di un'ellisse centrata nel punto 
e semiassi 
.
Perché il, 
, concludiamo: l'equazione data determina sul piano 
la metà inferiore dell'ellisse (Fig. 5).
Esempio 4. Dai il nome della curva del secondo ordine 
. Trova i suoi focus, l'eccentricità. Disegna un grafico di questa curva.
- equazione canonica dell'iperbole con semiassi 
.
Lunghezza focale.
Il segno meno precede il termine con 
, quindi i trucchi 
le iperboli giacciono sull'asse 
:. I rami dell'iperbole si trovano sopra e sotto l'asse 
.
- eccentricità dell'iperbole.
Asintoti di un'iperbole: .
La costruzione di un grafico di questa iperbole si effettua secondo la procedura sopra descritta: costruiamo un rettangolo ausiliario, disegniamo gli asintoti dell'iperbole, disegniamo i rami dell'iperbole (vedi Fig. 2.b).
Esempio 5. Scopri il tipo di curva data dall'equazione 
e tracciarlo.
- iperbole con centro in un punto 
e semiassi.
Perché , concludiamo: l'equazione data determina quella parte dell'iperbole che si trova a destra della retta 
. È meglio disegnare un'iperbole in un sistema di coordinate ausiliario 
, ottenuto dal sistema di coordinate 
spostare 
, quindi evidenzia la parte desiderata dell'iperbole con una linea in grassetto
Esempio 6. Scopri il tipo di curva e disegna il suo grafico.
Soluzione. Selezioniamo un quadrato completo in base ai termini con la variabile 
:
Riscriviamo l'equazione della curva.
Questa è l'equazione di una parabola con il vertice nel punto 
. Utilizzando una trasformazione di spostamento, l'equazione della parabola viene portata alla forma canonica 
, da cui risulta chiaro che è un parametro della parabola. Messa a fuoco 
parabole del sistema 
ha delle coordinate 
,, e nel sistema 
(secondo la trasformazione del turno). Il grafico della parabola è mostrato in Fig. 7.
Compiti a casa.
1. Disegna le ellissi date dalle equazioni: 
Trova i loro semiassi, la lunghezza focale, l'eccentricità e indica sui grafici delle ellissi la posizione dei loro fuochi.
2. Disegna le iperboli date dalle equazioni: 
Trova i loro semiassi, la lunghezza focale, l'eccentricità e indica sui grafici dell'iperbole la posizione dei loro fuochi. Scrivi le equazioni per gli asintoti delle iperboli date.
3. Disegna le parabole date dalle equazioni: 
. Trova il loro parametro, la lunghezza focale e indica sui grafici della parabola la posizione del fuoco.
4. Equazione 
definisce la parte di 2° ordine della curva. Trova l'equazione canonica di questa curva, scrivi il suo nome, traccia il suo grafico ed evidenzia su di esso quella parte della curva che corrisponde all'equazione originale.
Un'iperbole è il luogo dei punti su un piano, il modulo della differenza delle distanze da ciascuno di essi a due punti dati F_1 e F_2 è un valore costante (2a), inferiore alla distanza (2c) tra questi punti dati (Fig 3,40, a). Questa definizione geometrica esprime Proprietà focale dell'iperbole.
Proprietà focale di un'iperbole
I punti F_1 e F_2 sono chiamati fuochi dell'iperbole, la distanza tra loro 2c=F_1F_2 è la lunghezza focale, la O centrale del segmento F_1F_2 è il centro dell'iperbole, il numero 2a è la lunghezza dell'asse reale dell'iperbole. iperbole (a è quindi il semiasse reale dell'iperbole). I segmenti F_1M e F_2M che collegano un punto arbitrario M dell'iperbole con i suoi fuochi sono chiamati raggi focali del punto M. Il segmento che collega due punti di un'iperbole si chiama corda dell'iperbole.
La relazione e=\frac(c)(a) , dove c=\sqrt(a^2+b^2) , si chiama eccentricità dell'iperbole. Dalla definizione (2a<2c) следует, что e>1 .
Definizione geometrica di iperbole, esprimendo la sua proprietà focale, equivale alla sua definizione analitica - la linea data dall'equazione canonica dell'iperbole:
\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1.
Introduciamo infatti un sistema di coordinate rettangolare (Fig. 3.40, b). Prendiamo il centro O dell'iperbole come origine del sistema di coordinate; Prenderemo come asse delle ascisse la retta passante per i fuochi (la direzione positiva su di essa va dal punto F_1 al punto F_2); Prendiamo una retta perpendicolare all'asse delle ascisse e passante per il centro dell'iperbole come asse delle ordinate (la direzione sull'asse delle ordinate viene scelta in modo che il sistema di coordinate rettangolari Oxy sia giusto).
Creiamo un'equazione per un'iperbole utilizzando una definizione geometrica che esprime la proprietà focale. Nel sistema di coordinate selezionato, determiniamo le coordinate dei fuochi F_1(-c,0) e F_2(c,0) . Per un punto arbitrario M(x,y) appartenente ad un'iperbole, abbiamo:
\left||\overrightarrow(F_1M)|-|\overrightarrow(F_2M)|\right|=2a.
Scrivendo questa equazione in forma di coordinate, otteniamo:
\sqrt((x+c)^2+y^2)-\sqrt((x-c)^2+y^2)=\pm2a.
Eseguendo trasformazioni simili a quelle utilizzate per derivare l'equazione dell'ellisse (cioè eliminando l'irrazionalità), arriviamo all'equazione canonica dell'iperbole:
\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1\,
dove b=\sqrt(c^2-a^2) , cioè il sistema di coordinate scelto è canonico.
Effettuando il ragionamento in ordine inverso, si può dimostrare che tutti i punti le cui coordinate soddisfano l'equazione (3.50), e solo essi, appartengono al luogo dei punti detto iperbole. Pertanto, la definizione analitica di iperbole è equivalente alla sua definizione geometrica.
Proprietà direzionale di un'iperbole
Le direttrici di un'iperbole sono due rette passanti parallele all'asse delle ordinate del sistema di coordinate canoniche alla stessa distanza a^2\!\!\not(\phantom(|))\,c da esso (Fig. 3.41, a). Quando a=0, quando l'iperbole degenera in una coppia di rette che si intersecano, le direttrici coincidono.
Un'iperbole con eccentricità e=1 può essere definita come il luogo dei punti del piano, per ciascuno dei quali il rapporto tra la distanza da un dato punto F (fuoco) e la distanza da una data retta d (direttrice) non passante attraverso un dato punto è costante e uguale all'eccentricità e ( Proprietà direzionale di un'iperbole). Qui F e d sono uno dei fuochi dell'iperbole e una delle sue direttrici, situata su un lato dell'asse delle ordinate del sistema di coordinate canoniche.
Infatti, ad esempio, per il fuoco F_2 e la direttrice d_2 (Fig. 3.41, a) la condizione \frac(r_2)(\rho_2)=e può essere scritto in forma coordinata:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\sinistra(x-\frac(a^2)(c)\destra)
Sbarazzarsi dell'irrazionalità e sostituire e=\frac(c)(a),~c^2-a^2=b^2, arriviamo all'equazione canonica dell'iperbole (3.50). Un ragionamento simile può essere effettuato per il fuoco F_1 e la direttrice d_1:
\frac(r_1)(\rho_1)=e \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt((x+c)^2+y^2)= e\left(x+\frac(a^2)(c) \right ).
Equazione di un'iperbole in un sistema di coordinate polari
L'equazione del ramo destro dell'iperbole nel sistema di coordinate polari F_2r\varphi (Fig. 3.41,b) ha la forma
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), dove p=\frac(p^2)(a) - parametro focale dell'iperbole.
Scegliamo infatti come polo del sistema di coordinate polari il fuoco giusto F_2 dell'iperbole, e il raggio con inizio nel punto F_2, che appartiene alla retta F_1F_2, ma non contiene il punto F_1 (Fig 3.41,b), come asse polare. Allora per un punto arbitrario M(r,\varphi) appartenente al ramo destro dell'iperbole, secondo la definizione geometrica (proprietà focale) dell'iperbole, abbiamo F_1M-r=2a. Esprimiamo la distanza tra i punti M(r,\varphi) e F_1(2c,\pi) (vedi paragrafo 2 della nota 2.8):
F_1M=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)^2\cdot r\cdot\cos(\varphi-\pi))=\sqrt(r^2+4\cdot c \cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).
Pertanto, in forma di coordinate, l'equazione dell'iperbole ha la forma
\sqrt(r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)-r=2a.
Isoliamo il radicale, eleviamo entrambi i lati dell'equazione, dividiamo per 4 e presentiamo termini simili:
r^2+4cr\cdot\cos\varphi+4c^2=4a^2+4ar+r^2 \quad \Leftrightarrow \quad a\left(1-\frac(c)(a)\cos\varphi\ destra)r=c^2-a^2.
Esprimi il raggio polare r ed effettua le sostituzioni e=\frac(c)(a),~b^2=c^2-a^2,~p=\frac(b^2)(a):
r=\frac(c^2-a^2)(a(1-e\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a(1-e\cos\varphi ) )) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cos\varphi),
Q.E.D. Si noti che in coordinate polari le equazioni di un'iperbole e di un'ellisse coincidono, ma descrivono rette diverse, poiché differiscono per eccentricità (e>1 per un'iperbole, 0\leqslant e<1 для эллипса).
Significato geometrico dei coefficienti nell'equazione dell'iperbole
Troviamo i punti di intersezione dell'iperbole (Fig. 3.42, a) con l'asse delle ascisse (vertici dell'iperbole). Sostituendo y=0 nell'equazione, troviamo l'ascissa dei punti di intersezione: x=\pm a. Pertanto, i vertici hanno coordinate (-a,0),\,(a,0) . La lunghezza del segmento che collega i vertici è 2a. Questo segmento è chiamato asse reale dell'iperbole e il numero a è il semiasse reale dell'iperbole. Sostituendo x=0 otteniamo y=\pm ib. La lunghezza del segmento dell'asse y che collega i punti (0,-b),\,(0,b) è uguale a 2b. Questo segmento è chiamato asse immaginario dell'iperbole e il numero b è il semiasse immaginario dell'iperbole. Un'iperbole interseca la retta contenente l'asse reale, ma non interseca la retta contenente l'asse immaginario.
Note 3.10.
1. Le rette x=\pm a,~y=\pm b delimitano il rettangolo principale sul piano delle coordinate, all'esterno del quale si trova l'iperbole (Fig. 3.42, a).
2. Le linee rette contenenti le diagonali del rettangolo principale sono chiamate asintoti dell'iperbole (Fig. 3.42, a).
Per iperbole equilatera descritto dall'equazione (cioè per a=b), il rettangolo principale è un quadrato le cui diagonali sono perpendicolari. Pertanto, anche gli asintoti di un'iperbole equilatera sono perpendicolari e possono essere presi come assi coordinati del sistema di coordinate rettangolari Ox"y" (Fig. 3.42, b). In questo sistema di coordinate, l'equazione dell'iperbole ha la forma y"=\frac(a^2)(2x")(l'iperbole coincide con il grafico di una funzione elementare che esprime una relazione inversamente proporzionale).
Infatti, ruotiamo il sistema di coordinate canoniche dell'angolo \varphi=-\frac(\pi)(4)(Fig. 3.42, b). In questo caso, le coordinate del punto nel vecchio e nel nuovo sistema di coordinate sono legate dalle uguaglianze
\left\(\!\begin(aligned)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y",\\ y& =-\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y"\end(aligned)\right \quad \Leftrightarrow \quad \ left \(\!\begin(aligned)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot(x"+y"),\\ y&=\frac(\sqrt(2))(2) \ cdot(y"-x")\end(allineato)\right.
Sostituendo queste espressioni nell'Eq. \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(a^2)=1 iperbole equilatera e portando termini simili, otteniamo
\frac(\frac(1)(2)(x"+y")^2)(a^2)-\frac(\frac(1)(2)(y"-x")^2)(a ^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad 2\cdot x"\cdot y"=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad y"=\frac(a^2)(2\cdot x").
3. Gli assi delle coordinate (del sistema di coordinate canonico) sono gli assi di simmetria dell'iperbole (chiamati assi principali dell'iperbole), e il suo centro è il centro di simmetria.
Infatti, se il punto M(x,y) appartiene all'iperbole . allora appartengono alla stessa iperbole anche i punti M"(x,y) e M""(-x,y), simmetrici al punto M rispetto agli assi coordinati.
L'asse di simmetria su cui si trovano i fuochi dell'iperbole è l'asse focale.
4. Dall'equazione dell'iperbole in coordinate polari r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(vedi Fig. 3.41, b) viene chiarito il significato geometrico del parametro focale: questa è la metà della lunghezza della corda dell'iperbole che passa attraverso il suo fuoco perpendicolare all'asse focale (r=p a \varphi=\frac(\pi)(2)).
5. L'eccentricità e caratterizza la forma dell'iperbole. Quanto più grande è, tanto più ampi sono i rami dell'iperbole, e quanto più e è vicino a uno, tanto più stretti sono i rami dell'iperbole (Fig. 3.43, a).
Infatti, il valore \gamma dell'angolo compreso tra gli asintoti dell'iperbole contenente il suo ramo è determinato dal rapporto tra i lati del rettangolo principale: \nomeoperatore(tg)\frac(\gamma)(2)=\frac(b)(2). Considerando che e=\frac(c)(a) e c^2=a^2+b^2 , otteniamo
e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2+b^2)(a^2)=1+(\sinistra(\frac(b)(a)\destra )\^2=1+\operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2}. !}
Maggiore è e, maggiore è l'angolo \gamma. Per un'iperbole equilatera (a=b) abbiamo e=\sqrt(2) e \gamma=\frac(\pi)(2). Per e>\sqrt(2) l'angolo \gamma è ottuso, e per 1 6. Due iperboli definite nello stesso sistema di coordinate dalle equazioni \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1 e vengono chiamati legati tra loro. Le iperboli coniugate hanno gli stessi asintoti (Fig. 3.43b). Equazione dell'iperbole coniugata -\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 ridotto a canonico rinominando gli assi coordinati (3.38). 7. Equazione \frac((x-x_0)^2)(a^2)-\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1 definisce un'iperbole con centro nel punto O"(x_0,y_0), i cui assi sono paralleli agli assi delle coordinate (Fig. 3.43, c). Questa equazione viene ridotta a quella canonica utilizzando la traslazione parallela (3.36). Equazione -\frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1 definisce l'iperbole coniugata con centro nel punto O"(x_0,y_0) . L'equazione parametrica di un'iperbole nel sistema di coordinate canoniche ha la forma \begin(cases)x=a\cdot\operatorname(ch)t,\\y=b\cdot\operatorname(sh)t,\end(cases)t\in\mathbb(R), Dove \nomeoperatore(ch)t=\frac(e^t+e^(-t))(2)- coseno iperbolico, a \operatorname(sh)t=\frac(e^t-e^(-t))(2) seno iperbolico. Infatti, sostituendo le espressioni delle coordinate nell'equazione (3.50), arriviamo all'identità iperbolica principale \nomeoperatore(ch)^2t-\nomeoperatore(sh)^2t=1. Esempio 3.21. Disegna un'iperbole \frac(x^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1 nel sistema di coordinate canoniche Oxy. Trova i semiassi, la lunghezza focale, l'eccentricità, il parametro focale, le equazioni degli asintoti e delle direttrici. Soluzione. Confrontando l'equazione data con quella canonica, determiniamo i semiassi: a=2 - semiasse reale, b=3 - semiasse immaginario dell'iperbole. Costruiamo il rettangolo principale con i lati 2a=4,~2b=6 con il centro nell'origine (Fig. 3.44). Disegniamo gli asintoti estendendo le diagonali del rettangolo principale. Costruiamo un'iperbole, tenendo conto della sua simmetria rispetto agli assi delle coordinate. Se necessario, determinare le coordinate di alcuni punti dell'iperbole. Ad esempio, sostituendo x=4 nell'equazione dell'iperbole, otteniamo \frac(4^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=27 \quad \Leftrightarrow \quad y=\pm3\sqrt (3). Pertanto i punti con coordinate (4;3\sqrt(3)) e (4;-3\sqrt(3)) appartengono all'iperbole. Calcolo della lunghezza focale 2\cdot c=2\cdot\sqrt(a^2+b^2)=2\cdot\sqrt(2^2+3^2)=2\sqrt(13) eccentricità e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(13))(2); parametro focale p=\frac(b^2)(a)=\frac(3^2)(2)=4,\!5. Componiamo le equazioni degli asintoti y=\pm\frac(b)(a)\,x, questo è y=\pm\frac(3)(2)\,x e le equazioni delle direttrici: x=\pm\frac(a^2)(c)=\frac(4)(\sqrt(13)). Un'iperbole è un insieme di punti su un piano, la differenza delle distanze da due punti dati, fuochi, è un valore costante e pari a . Analogamente all'ellisse, posizioniamo i fuochi nei punti , (vedi Fig. 1). Riso. 1 Dalla figura si può vedere che potrebbero esserci casi e title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> title="Resi da QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> , тогда согласно определению !} È noto che in un triangolo la differenza tra due lati è minore del terzo lato, quindi, ad esempio, con otteniamo: Portiamo entrambi i lati al quadrato e dopo ulteriori trasformazioni troviamo: Dove . L'equazione dell'iperbole (1) è Equazione dell'iperbole canonica. L'iperbole è simmetrica rispetto agli assi coordinati, quindi, come per l'ellisse, basta tracciarne il grafico nel primo quarto, dove: Intervallo di valori per il primo trimestre. Quando abbiamo uno dei vertici dell'iperbole. Secondo picco. Se , allora non ci sono radici reali da (1). Lo dicono e sono i vertici immaginari di un'iperbole. Dalla relazione risulta che per valori sufficientemente grandi c'è posto per l'uguaglianza più vicina title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> title="Resi da QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> . Поэтому прямая есть линией, расстояние между которой и соответствующей точкой гиперболы направляется к нулю при .!} Esaminiamo l'equazione (1) la forma e la posizione dell'iperbole. Ci sono due asintoti di un'iperbole. Troviamo l'asintoto del ramo dell'iperbole nel primo quarto e poi usiamo la simmetria. Consideriamo il punto nel primo trimestre, cioè. In questo caso, , allora l'asintoto ha la forma: , dove Ciò significa che la retta è l'asintoto della funzione. Pertanto, a causa della simmetria, gli asintoti di un'iperbole sono linee rette. Utilizzando le caratteristiche stabilite, costruiremo un ramo dell'iperbole, che si trova nel primo quarto, e utilizzeremo la simmetria: Riso. 2 Nel caso in cui , cioè, l'iperbole è descritta dall'equazione. Questa iperbole contiene asintoti, che sono le bisettrici degli angoli coordinati. Esempio 1 Compito Trova gli assi, i vertici, i fuochi, l'eccentricità e le equazioni degli asintoti dell'iperbole. Costruire un'iperbole e i suoi asintoti. Soluzione Riduciamo l'equazione dell'iperbole alla forma canonica: Confrontando questa equazione con la canonica (1) troviamo , , . Picchi, focus e . Eccentricità; asptoti; Stiamo costruendo una parabola. (vedi Fig. 3) Scrivi l'equazione dell'iperbole: Soluzione Scrivendo l'equazione asintotica nella forma troviamo il rapporto dei semiassi dell'iperbole. A seconda delle condizioni del problema, ne consegue che . Pertanto il problema si è ridotto alla soluzione di un sistema di equazioni: Sostituendo nella seconda equazione del sistema si ottiene: Dove . Ora lo troviamo. Pertanto l’iperbole ha la seguente equazione: Risposta Iperbole e sua equazione canonica aggiornato: 17 giugno 2017 da: Articoli scientifici.Ru Definizione
. Un'iperbole è il luogo dei punti, la differenza tra ciascuno dei quali e due punti dati, detti fuochi, è un valore costante Prendiamo un sistema di coordinate in modo che i fuochi si trovino sull'asse delle ascisse e l'origine delle coordinate divida il segmento F 1 F 2 a metà (Fig. 30). Indichiamo F 1 F 2 = 2c. Quindi F 1 (c; 0); FA 2 (-c; 0) MF 2 = r 2 , MF 1 = r 1 – raggi focali dell'iperbole. Secondo la definizione di iperbole, r 1 – r 2 = cost. Indichiamolo con 2a Allora r 2 - r 1 = ±2a quindi: Poiché l'equazione dell'iperbole xey è a potenze pari, se il punto M 0 (x 0; y 0) si trova sull'iperbole, allora i punti M 1 (x 0; -y 0) M 2 (-x 0) si trovano anche su di esso -y 0) M 3 (-x 0; -y 0). Pertanto, l'iperbole è simmetrica rispetto a entrambi gli assi delle coordinate. Quando y = 0 x 2 = a 2 x = ± a. I vertici dell'iperbole saranno i punti A 1 (a; 0); A 2 (-a; 0). 1) quando 2) per x = a; y = 0 A 1 (a; 0) appartiene all'iperbole 3) per x > a; y > 0. Inoltre, con un aumento illimitato di x, il ramo dell'iperbole tende all'infinito. Ne consegue che un'iperbole è una curva composta da due rami infiniti. Consideriamo insieme l'equazione A Lo troveremo Quindi, se il punto M, muovendosi lungo un'iperbole nel primo quarto, si allontana all'infinito, allora la sua distanza dalla retta A causa della simmetria, la linea retta ha la stessa proprietà Definizione. Diretto a quale
E Gli asintoti dell'iperbole si trovano lungo le diagonali di un rettangolo, un lato del quale è parallelo all'asse x ed è uguale a 2a, e l'altro è parallelo all'asse oy ed è uguale a 2b, e il centro si trova in l'origine delle coordinate (Fig. 32). r 2 – r 1 = ± 2a il segno + si riferisce al ramo destro dell'iperbole segno – si riferisce al ramo sinistro dell’iperbole Definizione.
L'eccentricità di un'iperbole è il rapporto tra la distanza tra i fuochi di questa iperbole e la distanza tra i suoi vertici. Esprimiamo i raggi focali dell'iperbole in termini di eccentricità: Definizione
. Chiamiamo le linee rette
T DI Per comporre l'equazione di una parabola, prendiamo come asse x una retta passante per il fuoco F 1 perpendicolare alla direttrice e assumiamo che l'asse x sia diretto dalla direttrice al fuoco. Per l'origine delle coordinate prendiamo la O centrale del segmento dal punto F a questa linea, la cui lunghezza indichiamo con p (Fig. 34). Chiameremo il valore p il parametro della parabola. Punto delle coordinate del fuoco Sia M (x, y) un punto arbitrario della parabola. Secondo definizione A 2
= 2рх – equazione canonica della parabola Per determinare il tipo di parabola, trasformiamo la sua equazione U X Una parabola ha un asse di simmetria. Se x è elevato alla prima potenza e y è elevato alla seconda, allora l'asse di simmetria è x. Se x è elevato alla seconda potenza e y è elevato alla prima potenza, l'asse di simmetria è l'asse y. Nota 1.
L'equazione della direttrice di una parabola ha la forma
Nota 2.
Poiché per una parabola
Equazione dell'iperbole parametrica
Forma e caratteristiche di un'iperbole
Asintoti di un'iperbole
Esempi di problemi sulla costruzione di un'iperbole
=>
Equazione dell'iperbole canonica
. A causa della simmetria, conduciamo ricerche nel primo trimestre 
y ha valore immaginario, quindi, i punti dell'iperbole con ascisse 
non esisteP 6. Asintoti di un'iperbole
equazione di una retta 
la curva si troverà al di sotto della linea retta (Fig. 31). Consideriamo i punti N (x, Y) e M (x, y) le cui ascisse sono le stesse, e Y - y = MN. Consideriamo la lunghezza del segmento MN
diminuisce e tende a zero.
.
La curva si avvicina indefinitamente e viene chiamata asintoti.
quindi, l'equazione degli asintoti dell'iperbole 
.P 7. Eccentricità e direttrici di un'iperbole
. Poiché c > a, ε > 1
, perpendicolare all'asse focale dell'iperbole e situato a distanzadal suo centro dalle direttrici delle iperboli corrispondenti ai fuochi destro e sinistro.
per quanto riguarda l'iperbole 
pertanto, le direttrici dell'iperbole si trovano tra i suoi vertici (Fig. 33). Mostriamo che il rapporto tra le distanze di qualsiasi punto dell'iperbole dal fuoco e la corrispondente direttrice è un valore costante e pari a ε.
P. 8 Parabola e sua equazione
determinazione.
Una parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto dato, detto fuoco, e da una retta data, detta direttrice.
.
ciò implica . Pertanto il vertice della parabola è nell'origine e l'asse di simmetria della parabola è oh. L'equazione y 2 = -2px con p positivo si riduce all'equazione y 2 = 2px sostituendo x con –x e il suo grafico appare come (Fig. 35).
L'equazione x2 = 2py è l'equazione di una parabola con vertice nel punto O (0; 0) i cui rami sono diretti verso l'alto.
2 = -2ру – equazione di una parabola con centro nell'origine, simmetrica rispetto all'asse y, i cui rami sono diretti verso il basso (Fig. 36).
.
, Quelloε
la parabola è uguale a 1.ε
= 1
.
