A cosa corrisponde n nella progressione aritmetica. Progressione aritmetica

I. V. Yakovlev | Materiali matematici | MathUs.ru

Progressione aritmetica

Una progressione aritmetica è un tipo speciale di sequenza. Pertanto, prima di definire la progressione aritmetica (e poi geometrica), occorre discutere brevemente l’importante concetto di sequenza numerica.

Sotto sequenza

Immagina un dispositivo sullo schermo in cui vengono visualizzati determinati numeri uno dopo l'altro. Diciamo 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Questo insieme di numeri è proprio un esempio di sequenza.

Definizione. Una sequenza numerica è un insieme di numeri in cui a ogni numero può essere assegnato un numero univoco (ovvero associato a un singolo numero naturale)1. Il numero n è chiamato l'ennesimo termine della sequenza.

Quindi, nell'esempio sopra, il primo numero è 2, questo è il primo membro della sequenza, che può essere indicato con a1; il numero cinque ha il numero 6 è il quinto termine della sequenza, che può essere indicato con a5. In generale, l'ennesimo termine di una sequenza è indicato con an (o bn, cn, ecc.).

Una situazione molto conveniente è quando l'n-esimo termine della sequenza può essere specificato da una formula. Ad esempio, la formula an = 2n 3 specifica la sequenza: 1; 1; 3; 5; 7; : : : La formula an = (1)n specifica la sequenza: 1; 1; 1; 1; : : :

Non tutti gli insiemi di numeri sono una sequenza. Pertanto, un segmento non è una sequenza; contiene “troppi” numeri da rinumerare. Anche l'insieme R di tutti i numeri reali non è una successione. Questi fatti sono dimostrati nel corso dell'analisi matematica.

Progressione aritmetica: definizioni fondamentali

Ora siamo pronti per definire una progressione aritmetica.

Definizione. Una progressione aritmetica è una sequenza in cui ciascun termine (a partire dal secondo) è uguale alla somma del termine precedente e di un numero fisso (chiamato differenza della progressione aritmetica).

Ad esempio, sequenza 2; 5; 8; undici; : : : è una progressione aritmetica con primo termine 2 e differenza 3. Sequenza 7; 2; 3; 8; : : : è una progressione aritmetica con primo termine 7 e differenza 5. Sequenza 3; 3; 3; : : : è una progressione aritmetica con differenza pari a zero.

Definizione equivalente: la successione an è detta progressione aritmetica se la differenza an+1 an è un valore costante (indipendente da n).

Una progressione aritmetica si dice crescente se la sua differenza è positiva, decrescente se la sua differenza è negativa.

1 Ma ecco una definizione più concisa: una successione è una funzione definita sull'insieme dei numeri naturali. Ad esempio, una sequenza di numeri reali è la funzione f: N ! R.

Per impostazione predefinita, le sequenze sono considerate infinite, ovvero contengono un numero infinito di numeri. Ma nessuno ci disturba a considerare successioni finite; infatti, qualsiasi insieme finito di numeri può essere chiamato una sequenza finita. Ad esempio, la sequenza finale è 1; 2; 3; 4; 5 è composto da cinque numeri.

Formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica

È facile comprendere che una progressione aritmetica è completamente determinata da due numeri: il primo termine e la differenza. Sorge quindi la domanda: come, conoscendo il primo termine e la differenza, trovare un termine arbitrario di una progressione aritmetica?

Non è difficile ottenere la formula richiesta per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica. Lascia che un

Problema 1. Nella progressione aritmetica 2; 5; 8; undici; : : : trova la formula per l'ennesimo termine e calcola il centesimo termine.

Soluzione. Secondo la formula (1) abbiamo:

an = 2 + 3(n1) = 3n1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Proprietà e segno della progressione aritmetica

Proprietà della progressione aritmetica. In progressione aritmetica e per qualsiasi

In altre parole, ciascun membro di una progressione aritmetica (a partire dal secondo) è la media aritmetica dei membri vicini.

che è ciò che era richiesto.

Più in generale, la progressione aritmetica soddisfa l'uguaglianza

un n = un n k+ un n+k

per ogni n > 2 e ogni k naturale< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Si scopre che la formula (2) serve non solo come condizione necessaria ma anche sufficiente affinché la sequenza sia una progressione aritmetica.

Segno di progressione aritmetica. Se l'uguaglianza (2) vale per tutti gli n > 2, allora la successione an è una progressione aritmetica.

Prova. Riscriviamo la formula (2) come segue:

a na n 1= a n+1a n:

Da ciò si vede che la differenza an+1 an non dipende da n, e questo significa appunto che la successione an è una progressione aritmetica.

La proprietà e il segno di una progressione aritmetica possono essere formulati sotto forma di un'unica affermazione; Per comodità lo faremo per tre numeri (questa è la situazione che spesso si verifica nei problemi).

Caratterizzazione di una progressione aritmetica. Tre numeri a, b, c formano una progressione aritmetica se e solo se 2b = a + c.

Problema 2. (MSU, Facoltà di Economia, 2007) Tre numeri 8x, 3x2 e 4 nell'ordine indicato formano una progressione aritmetica decrescente. Trova x e indica la differenza di questa progressione.

Soluzione. Per la proprietà della progressione aritmetica abbiamo:

2(3x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Se x = 1, allora otteniamo una progressione decrescente di 8, 2, 4 con una differenza di 6. Se x = 5, allora otteniamo una progressione crescente di 40, 22, 4; questo caso non è adatto.

Risposta: x = 1, la differenza è 6.

Somma dei primi n termini di una progressione aritmetica

La leggenda narra che un giorno la maestra disse ai bambini di fare la somma dei numeri da 1 a 100 e si sedette tranquillamente a leggere il giornale. Tuttavia, non erano passati nemmeno pochi minuti prima che un ragazzo dicesse di aver risolto il problema. Si trattava di Carl Friedrich Gauss, 9 anni, in seguito uno dei più grandi matematici della storia.

L'idea del piccolo Gauss era la seguente. Permettere

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Scriviamo questo importo in ordine inverso:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

e aggiungi queste due formule:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Ogni termine tra parentesi è uguale a 101 e quindi ci sono 100 termini simili

2S = 101 100 = 10100;

Usiamo questa idea per derivare la formula della somma

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Un'utile modifica della formula (3) si ottiene sostituendo in essa la formula dell'n-esimo termine an = a1 + (n 1)d:

Problema 3. Trova la somma di tutti i numeri positivi a tre cifre divisibili per 13.

Soluzione. I numeri di tre cifre multipli di 13 formano una progressione aritmetica con il primo termine pari a 104 e la differenza pari a 13; L’ennesimo termine di questa progressione ha la forma:

an = 104 + 13(n1) = 91 + 13n:

Scopriamo quanti termini contiene la nostra progressione. Per fare ciò, risolviamo la disuguaglianza:

un 6 999; 91+13n 6 999;

n6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Quindi, ci sono 69 membri nella nostra progressione. Utilizzando la formula (4) troviamo l'importo richiesto:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Oppure l'aritmetica è un tipo di sequenza numerica ordinata, le cui proprietà vengono studiate in un corso di algebra scolastica. Questo articolo discute in dettaglio la questione di come trovare la somma di una progressione aritmetica.

Che tipo di progressione è questa?

Prima di passare alla questione (come trovare la somma di una progressione aritmetica), è bene capire di cosa stiamo parlando.

Qualsiasi sequenza di numeri reali ottenuta aggiungendo (sottraendo) un valore da ciascun numero precedente è chiamata progressione algebrica (aritmetica). Questa definizione, tradotta in linguaggio matematico, assume la forma:

Qui i è il numero seriale dell'elemento della riga a i. Pertanto, conoscendo un solo numero iniziale, puoi facilmente ripristinare l'intera serie. Il parametro d nella formula è chiamato differenza di progressione.

Si può facilmente dimostrare che per la serie di numeri in esame vale la seguente uguaglianza:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Cioè, per trovare il valore dell'ennesimo elemento in ordine, dovresti aggiungere la differenza d al primo elemento a 1 n-1 volte.

Qual è la somma di una progressione aritmetica: formula

Prima di fornire la formula per l'importo indicato, vale la pena considerare un semplice caso speciale. Data una progressione di numeri naturali da 1 a 10, devi calcolarne la somma. Dato che nella progressione (10) ci sono pochi termini, è possibile risolvere il problema frontalmente, cioè sommare tutti gli elementi in ordine.

S10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Vale la pena considerare una cosa interessante: poiché ogni termine differisce dal successivo dello stesso valore d = 1, la somma a coppie del primo con il decimo, del secondo con il nono e così via darà lo stesso risultato. Veramente:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Come puoi vedere, queste somme sono solo 5, cioè esattamente due volte inferiori al numero degli elementi della serie. Moltiplicando poi il numero di somme (5) per il risultato di ciascuna somma (11), si arriverà al risultato ottenuto nel primo esempio.

Se generalizziamo questi argomenti, possiamo scrivere la seguente espressione:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Questa espressione mostra che non è affatto necessario sommare tutti gli elementi di una riga, è sufficiente conoscere il valore del primo a 1 e dell'ultimo a n, nonché il numero totale dei termini n;

Si ritiene che Gauss abbia pensato per la prima volta a questa uguaglianza mentre cercava una soluzione a un problema posto dal suo insegnante di scuola: sommare i primi 100 numeri interi.

Somma degli elementi da m a n: formula

La formula riportata nel paragrafo precedente risponde alla domanda su come trovare la somma di una progressione aritmetica (i primi elementi), ma spesso nei problemi è necessario sommare una serie di numeri a metà della progressione. Come farlo?

Il modo più semplice per rispondere a questa domanda è considerare il seguente esempio: sia necessario trovare la somma dei termini dall'm-esimo all'n-esimo. Per risolvere il problema, dovresti presentare il segmento dato da m a n della progressione sotto forma di una nuova serie numerica. In questa rappresentazione, l'm-esimo termine a m sarà il primo e a n sarà numerato n-(m-1). In questo caso, applicando la formula standard per la somma, si otterrà la seguente espressione:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Esempio di utilizzo delle formule

Sapendo come trovare la somma di una progressione aritmetica, vale la pena considerare un semplice esempio di utilizzo delle formule di cui sopra.

Di seguito una sequenza numerica, dovresti trovare la somma dei suoi termini, partendo dal 5 e terminando con il 12:

I numeri indicati indicano che la differenza d è uguale a 3. Utilizzando l'espressione per l'ennesimo elemento, puoi trovare i valori del 5° e del 12° termine della progressione. Si scopre:

a5 = a1 + d*4 = -4+3*4 = 8;

a12 = a1 + d*11 = -4+3*11 = 29.

Conoscendo i valori dei numeri agli estremi della progressione algebrica in esame, e sapendo anche quali numeri della serie occupano, si può utilizzare la formula per la somma ottenuta nel paragrafo precedente. Risulterà:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Vale la pena notare che questo valore potrebbe essere ottenuto in modo diverso: prima trovare la somma dei primi 12 elementi utilizzando la formula standard, quindi calcolare la somma dei primi 4 elementi utilizzando la stessa formula, quindi sottrarre il secondo dalla prima somma.

Prima di iniziare a decidere problemi di progressione aritmetica, consideriamo cos'è una sequenza numerica, poiché una progressione aritmetica è un caso speciale di sequenza numerica.

Una sequenza numerica è un insieme di numeri, ciascun elemento del quale ha il proprio numero di serie. Gli elementi di questo insieme sono chiamati membri della sequenza. Il numero di serie di un elemento di sequenza è indicato da un indice:

Il primo elemento della sequenza;

Il quinto elemento della sequenza;

- l'elemento “n-esimo” della sequenza, ovvero elemento "in coda" al numero n.

Esiste una relazione tra il valore di un elemento di sequenza e il suo numero di sequenza. Pertanto, possiamo considerare una sequenza come una funzione il cui argomento è il numero ordinale dell'elemento della sequenza. In altre parole, possiamo dirlo la sequenza è una funzione dell'argomento naturale:

La sequenza può essere impostata in tre modi:

1 . La sequenza può essere specificata utilizzando una tabella. In questo caso, impostiamo semplicemente il valore di ciascun membro della sequenza.

Ad esempio, qualcuno ha deciso di dedicarsi alla gestione del tempo personale e, per cominciare, di contare quanto tempo trascorre su VKontakte durante la settimana. Registrando il tempo nella tabella riceverà una sequenza composta da sette elementi:

La prima riga della tabella indica il numero del giorno della settimana, la seconda l'ora in minuti. Vediamo che lunedì qualcuno ha trascorso 125 minuti su VKontakte, cioè giovedì - 248 minuti e venerdì solo 15.

2 . La sequenza può essere specificata utilizzando la formula dell'ennesimo termine.

In questo caso, la dipendenza del valore di un elemento di sequenza dal suo numero è espressa direttamente sotto forma di formula.

Ad esempio, se , allora

Per trovare il valore di un elemento di sequenza con un dato numero, sostituiamo il numero dell'elemento nella formula dell'ennesimo termine.

Facciamo la stessa cosa se dobbiamo trovare il valore di una funzione conoscendo il valore dell'argomento. Sostituiamo il valore dell'argomento nell'equazione della funzione:

Se, ad esempio, , Quello

Vorrei notare ancora una volta che in una sequenza, a differenza di una funzione numerica arbitraria, l'argomento può essere solo un numero naturale.

3 . La sequenza può essere specificata utilizzando una formula che esprime la dipendenza del valore del numero del membro della sequenza n dal valore dei membri precedenti. In questo caso non è sufficiente conoscere solo il numero del membro della sequenza per trovarne il valore. Dobbiamo specificare il primo membro o i primi membri della sequenza.

Consideriamo ad esempio la sequenza ,

Possiamo trovare i valori dei membri della sequenza in sequenza, a partire dal terzo:

Cioè ogni volta, per trovare il valore dell'n-esimo termine della successione, si torna ai due precedenti. Questo metodo per specificare una sequenza viene chiamato ricorrente, dalla parola latina ricorrere- ritorno.

Ora possiamo definire una progressione aritmetica. Una progressione aritmetica è un semplice caso speciale di una sequenza numerica.

Progressione aritmetica è una sequenza numerica, ciascun membro della quale, a partire dal secondo, è uguale al precedente sommato allo stesso numero.

Il numero viene chiamato differenza di progressione aritmetica. La differenza di una progressione aritmetica può essere positiva, negativa o uguale a zero.

Se titolo="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} crescente.

Ad esempio, 2; 5; 8; undici;...

Se , allora ogni termine di una progressione aritmetica è minore del precedente, e la progressione è decrescente.

Ad esempio, 2; -1; -4; -7;...

Se , allora tutti i termini della progressione sono uguali allo stesso numero e la progressione lo è stazionario.

Ad esempio, 2;2;2;2;...

La proprietà principale di una progressione aritmetica:

Diamo un'occhiata alla foto.

Lo vediamo

, e allo stesso tempo

Sommando queste due uguaglianze, otteniamo:

.

Dividi entrambi i membri dell'uguaglianza per 2:

Quindi ogni membro della progressione aritmetica, a partire dal secondo, è uguale alla media aritmetica dei due vicini:

Inoltre, da allora

, e allo stesso tempo

, Quello

, e quindi

Ogni termine di una progressione aritmetica, che inizia con title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formula dell'esimo termine.

Vediamo che i termini della progressione aritmetica soddisfano le seguenti relazioni:

e infine

Noi abbiamo formula dell'ennesimo termine.

IMPORTANTE! Qualsiasi membro di una progressione aritmetica può essere espresso tramite e. Conoscendo il primo termine e la differenza di una progressione aritmetica, puoi trovare qualsiasi suo termine.

La somma di n termini di una progressione aritmetica.

In una progressione aritmetica arbitraria, le somme dei termini equidistanti da quelli estremi sono uguali tra loro:

Consideriamo una progressione aritmetica con n termini. Sia la somma di n termini di questa progressione uguale a .

Disponiamo i termini della progressione prima in ordine crescente di numeri, e poi in ordine decrescente:

Aggiungiamo a coppie:

La somma in ciascuna parentesi è , il numero di coppie è n.

Noi abbiamo:

COSÌ, la somma di n termini di una progressione aritmetica può essere trovata utilizzando le formule:

Consideriamo Risoluzione di problemi di progressione aritmetica.

1 . La sequenza è data dalla formula dell'ennesimo termine: . Dimostrare che questa sequenza è una progressione aritmetica.

Dimostriamo che la differenza tra due termini adiacenti della successione è uguale allo stesso numero.

Abbiamo scoperto che la differenza tra due membri adiacenti della sequenza non dipende dal loro numero ed è una costante. Pertanto, per definizione, questa sequenza è una progressione aritmetica.

2 . Data una progressione aritmetica -31; -27;...

a) Trova 31 termini della progressione.

b) Determina se il numero 41 è incluso in questa progressione.

UN) Lo vediamo ;

Scriviamo la formula per l'ennesimo termine della nostra progressione.

Generalmente

Nel nostro caso , Ecco perché

Progressione aritmetica nominare una sequenza di numeri (termini di una progressione)

In cui ogni termine successivo differisce dal precedente per un nuovo termine, chiamato anche differenza di passo o progressione.

Pertanto, specificando il passo di progressione e il suo primo termine, puoi trovare qualsiasi dei suoi elementi utilizzando la formula

Proprietà di una progressione aritmetica

1) Ogni membro di una progressione aritmetica, a partire dal secondo numero, è la media aritmetica del membro precedente e successivo della progressione

È vero anche il contrario. Se la media aritmetica dei termini pari (dispari) adiacenti di una progressione è uguale al termine che si trova tra di loro, allora questa sequenza di numeri è una progressione aritmetica. Utilizzando questa istruzione, è molto semplice controllare qualsiasi sequenza.

Inoltre, per la proprietà della progressione aritmetica, la formula di cui sopra può essere generalizzata come segue

Questo è facile da verificare se scrivi i termini a destra del segno uguale

Viene spesso utilizzato nella pratica per semplificare i calcoli nei problemi.

2) La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica si calcola utilizzando la formula

Ricorda bene la formula per la somma di una progressione aritmetica: è indispensabile nei calcoli e la si trova molto spesso in situazioni semplici della vita;

3) Se hai bisogno di trovare non l'intera somma, ma parte della sequenza a partire dal suo k-esimo termine, allora ti sarà utile la seguente formula di somma

4) Di interesse pratico è trovare la somma di n termini di una progressione aritmetica a partire dal k-esimo numero. Per fare ciò, usa la formula

Questo conclude il materiale teorico e passa alla risoluzione pratica dei problemi comuni.

Esempio 1. Trovare il quarantesimo termine della progressione aritmetica 4;7;...

Soluzione:

Secondo la condizione che abbiamo

Determiniamo il passo di progressione

Utilizzando una formula ben nota troviamo il quarantesimo termine della progressione

Esempio 2. Una progressione aritmetica è data dal terzo e dal settimo termine. Trova il primo termine della progressione e la somma di dieci.

Soluzione:

Scriviamo gli elementi dati della progressione utilizzando le formule

Sottraiamo la prima dalla seconda equazione, di conseguenza troviamo il passaggio di progressione

Sostituiamo il valore trovato in una qualsiasi delle equazioni per trovare il primo termine della progressione aritmetica

Calcoliamo la somma dei primi dieci termini della progressione

Senza utilizzare calcoli complessi, abbiamo trovato tutte le quantità richieste.

Esempio 3. Una progressione aritmetica è data dal denominatore e da uno dei suoi termini. Trova il primo termine della progressione, la somma dei suoi 50 termini partendo da 50 e la somma dei primi 100.

Soluzione:

Scriviamo la formula per il centesimo elemento della progressione

e trova il primo

In base al primo troviamo il cinquantesimo termine della progressione

Trovare la somma delle parti della progressione

e la somma dei primi 100

L'importo della progressione è 250.

Esempio 4.

Trovare il numero di termini di una progressione aritmetica se:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Soluzione:

Scriviamo le equazioni in termini del primo termine e del passo di progressione e determiniamole

Sostituiamo i valori ottenuti nella formula della somma per determinare il numero di termini nella somma

Effettuiamo semplificazioni

e risolvere l'equazione quadratica

Dei due valori trovati, solo il numero 8 rientra nelle condizioni problematiche. Pertanto la somma dei primi otto termini della progressione è 111.

Esempio 5.

Risolvi l'equazione

1+3+5+...+x=307.

Soluzione: questa equazione è la somma di una progressione aritmetica. Scriviamo il suo primo termine e troviamo la differenza nella progressione

Qual è l'essenza principale della formula?

Questa formula ti consente di trovare Qualunque CON IL SUO NUMERO" N" .

Naturalmente è necessario conoscere anche il primo termine un 1 e differenza di progressione D beh, senza questi parametri non è possibile scrivere una progressione specifica.

Memorizzare (o cribizzare) questa formula non è sufficiente. È necessario comprenderne l'essenza e applicare la formula a vari problemi. E anche per non dimenticare al momento giusto, sì...) Come non dimenticare- Non lo so. E qui come ricordare Se necessario, ti consiglierò sicuramente. Per coloro che completano la lezione fino alla fine.)

Quindi, diamo un'occhiata alla formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica.

Cos'è una formula in generale? A proposito, dai un'occhiata se non l'hai letto. Tutto è semplice lì. Resta da capire di cosa si tratta ennesimo termine.

La progressione in generale può essere scritta come una serie di numeri:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....

un 1- denota il primo termine di una progressione aritmetica, un 3- terzo membro, un 4- il quarto e così via. Se siamo interessati al quinto termine, diciamo che stiamo lavorando con un 5, se centoventesimo - s un 120.

Come possiamo definirlo in termini generali? Qualunque termine di una progressione aritmetica, con Qualunque numero? Molto semplice! Come questo:

UN

Questo è quello che è ennesimo termine di una progressione aritmetica. La lettera n nasconde tutti i numeri dei membri contemporaneamente: 1, 2, 3, 4 e così via.

E cosa ci regala un record del genere? Pensa che invece di un numero hanno scritto una lettera...

Questa notazione ci fornisce un potente strumento per lavorare con la progressione aritmetica. Utilizzando la notazione UN, possiamo trovare rapidamente Qualunque membro Qualunque progressione aritmetica. E risolvi un sacco di altri problemi di progressione. Lo vedrai tu stesso ulteriormente.

Nella formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica:

un 1- il primo termine di una progressione aritmetica;

N- Numero membro.

La formula collega i parametri chiave di qualsiasi progressione: UN ; un 1; D E N. Tutti i problemi di progressione ruotano attorno a questi parametri.

La formula dell'ennesimo termine può essere utilizzata anche per scrivere una progressione specifica. Ad esempio, il problema potrebbe dire che la progressione è specificata dalla condizione:

un n = 5 + (n-1) 2.

Un problema del genere può portare a un vicolo cieco... Non esiste né una serie né una differenza... Ma, confrontando la condizione con la formula, è facile capire che in questa progressione a 1 = 5 e d = 2.

E può essere anche peggio!) Se prendiamo la stessa condizione: un n = 5 + (n-1) 2, Sì, apri le parentesi e inseriscine di simili? Otteniamo una nuova formula:

un n = 3 + 2 n.

Questo Solo non generale, ma per una progressione specifica. È qui che si nasconde la trappola. Alcune persone pensano che il primo termine sia un tre. Anche se in realtà il primo termine è cinque... Un po' più in basso lavoreremo con una formula così modificata.

Nei problemi di progressione c'è un'altra notazione: un n+1. Questo è, come hai intuito, il termine “n più primo” della progressione. Il suo significato è semplice e innocuo.) Questo è un membro della progressione il cui numero è maggiore del numero n di uno. Ad esempio, se in qualche problema prendiamo UN quinto mandato quindi un n+1 sarà il sesto membro. Eccetera.

Molto spesso la designazione un n+1 si trova nelle formule di ricorrenza. Non aver paura di questa parola spaventosa!) Questo è solo un modo per esprimere un membro di una progressione aritmetica attraverso il precedente. Diciamo che ci viene data una progressione aritmetica in questa forma, utilizzando una formula ricorrente:

un n+1 = un n +3

un 2 = un 1 + 3 = 5+3 = 8

un 3 = un 2 + 3 = 8+3 = 11

Dal quarto al terzo, dal quinto al quarto e così via. Come possiamo contare immediatamente, ad esempio, il ventesimo termine? un 20? Ma non c’è modo!) Finché non troviamo il 19esimo termine, non possiamo contare il 20esimo. Questa è la differenza fondamentale tra la formula ricorrente e la formula dell'ennesimo termine. Il ricorrente funziona solo attraverso precedente termine e la formula dell'ennesimo termine è passante Primo e permette subito trova qualsiasi membro in base al suo numero. Senza calcolare l'intera serie di numeri in ordine.

In una progressione aritmetica è facile trasformare una formula ricorrente in una formula regolare. Conta una coppia di termini consecutivi, calcola la differenza D, trovare, se necessario, il primo termine un 1, scrivi la formula nella sua forma abituale e lavora con essa. Nell'Accademia statale delle scienze, tali compiti si incontrano spesso.

Applicazione della formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica.

Innanzitutto, diamo un'occhiata all'applicazione diretta della formula. Alla fine della lezione precedente si è verificato un problema:

Viene data una progressione aritmetica (a n). Trova a 121 se a 1 = 3 e d = 1/6.

Questo problema può essere risolto senza formule, basandosi semplicemente sul significato di una progressione aritmetica. Aggiungi e aggiungi... Un'ora o due.)

E secondo la formula, la soluzione richiederà meno di un minuto. Puoi cronometrarlo.) Decidiamo.

Le condizioni forniscono tutti i dati per l'utilizzo della formula: a1 =3, d=1/6. Resta da capire cosa è uguale N. Nessun problema! Dobbiamo trovare un 121. Quindi scriviamo:

Per favore presta attenzione! Invece di un indice Nè apparso un numero specifico: 121. Il che è abbastanza logico.) A noi interessa il membro della progressione aritmetica numero centoventuno. Questo sarà nostro N. Questo è il significato N= 121 lo sostituiremo più avanti nella formula, tra parentesi. Sostituiamo tutti i numeri nella formula e calcoliamo:

a121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Questo è tutto. Altrettanto velocemente si potrebbe trovare il termine cinquecentodieci e il milletreesimo qualunque. Mettiamo invece N il numero desiderato nell'indice accanto alla lettera " UN" e tra parentesi, e contiamo.

Lascia che ti ricordi il punto: questa formula ti permette di trovare Qualunque termine di progressione aritmetica CON IL SUO NUMERO" N" .

Risolviamo il problema in un modo più astuto. Ci imbattiamo nel seguente problema:

Trovare il primo termine della progressione aritmetica (a n), se a 17 =-2; d=-0,5.

In caso di difficoltà, ti dirò il primo passo. Scrivi la formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica! Si si. Scrivi con le mani, direttamente sul tuo quaderno:

E ora, guardando le lettere della formula, capiamo quali dati abbiamo e cosa manca? Disponibile d=-0,5, c'è un diciassettesimo membro... è così? Se pensi che sia tutto, allora non risolverai il problema, sì...

Abbiamo ancora un numero N! In condizione un 17 =-2 nascosto due parametri. Questo è sia il valore del diciassettesimo termine (-2) che il suo numero (17). Quelli. n=17. Questa “sciocchezza” spesso sfugge alla testa, e senza di essa (senza la “sciocchezza”, non la testa!) il problema non si risolve. Anche se... e anche senza testa.)

Ora possiamo semplicemente sostituire stupidamente i nostri dati nella formula:

un 17 = un 1 + (17-1)·(-0,5)

Oh si, un 17 sappiamo che è -2. Ok, sostituiamo:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Questo è praticamente tutto. Resta da esprimere il primo termine della progressione aritmetica dalla formula e calcolarlo. La risposta sarà: un 1 = 6.

Questa tecnica, ovvero scrivere una formula e sostituire semplicemente i dati noti, è di grande aiuto in compiti semplici. Beh, ovviamente devi essere in grado di esprimere una variabile da una formula, ma cosa fare!? Senza questa abilità, la matematica potrebbe non essere studiata affatto...

Un altro puzzle popolare:

Trovare la differenza della progressione aritmetica (a n), se a 1 =2; un 15 = 12.

Che cosa stiamo facendo? Rimarrai sorpreso, stiamo scrivendo la formula!)

Consideriamo ciò che sappiamo: a1 =2; un 15 =12; e (lo sottolineerò in particolare!) n=15. Sentiti libero di sostituirlo nella formula:

12=2 + (15-1)d

Facciamo i conti.)

12=2 + 14d

D=10/14 = 5/7

Questa è la risposta corretta.

Quindi, i compiti per un n, un 1 E D deciso. Non resta che imparare come trovare il numero:

Il numero 99 è un membro della progressione aritmetica (a n), dove a 1 =12; d=3. Trova il numero di questo membro.

Sostituiamo le quantità a noi note nella formula dell'ennesimo termine:

un n = 12 + (n-1) 3

A prima vista, ci sono due quantità sconosciute qui: una n e una n. Ma UN- questo è un membro della progressione con un numero N...E conosciamo questo membro della progressione! È 99. Non ne conosciamo il numero. N, Quindi questo numero è quello che devi trovare. Sostituiamo il termine della progressione 99 nella formula:

99 = 12 + (n-1) 3

Esprimiamo dalla formula N, pensiamo. Otteniamo la risposta: n=30.

E ora un problema sullo stesso argomento, ma più creativo):

Determina se il numero 117 è un membro della progressione aritmetica (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Scriviamo di nuovo la formula. Cosa, non ci sono parametri? Hm... Perché ci vengono dati gli occhi?) Vediamo il primo termine della progressione? Vediamo. Questo è -3,6. Puoi tranquillamente scrivere: a1 = -3,6. Differenza D puoi determinarlo da una serie? È facile se sai qual è la differenza di una progressione aritmetica:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Quindi, abbiamo fatto la cosa più semplice. Non resta che occuparsi del numero sconosciuto N e l'incomprensibile numero 117. Nel problema precedente almeno si sapeva che era il termine della progressione ad essere dato. Ma qui non sappiamo nemmeno... Cosa fare!? Bene, come essere, come essere... Accendi le tue capacità creative!)

Noi supponiamo quel 117 è, dopo tutto, un membro della nostra progressione. Con un numero sconosciuto N. E, proprio come nel problema precedente, proviamo a trovare questo numero. Quelli. scriviamo la formula (sì, sì!)) e sostituiamo i nostri numeri:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Ancora una volta esprimiamo dalla formulaN, contiamo e otteniamo:

Ops! Il numero è venuto fuori frazionario! Centouno e mezzo. E numeri frazionari in progressioni non può essere. Quale conclusione possiamo trarre? SÌ! Numero 117 non è membro della nostra progressione. È da qualche parte tra il centouno e il centoduesimo termine. Se il numero risultasse naturale, ad es. è un numero intero positivo, il numero sarebbe un membro della progressione con il numero trovato. E nel nostro caso, la risposta al problema sarà: NO.

Un compito basato su una versione reale del GIA:

La progressione aritmetica è data dalla condizione:

a n = -4 + 6,8 n

Trova il primo e il decimo termine della progressione.

Qui la progressione è impostata in modo insolito. Una specie di formula... Succede.) Tuttavia, questa formula (come ho scritto sopra) - anche la formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica! Permette anche trova qualsiasi membro della progressione in base al suo numero.

Stiamo cercando il primo membro. Quello che pensa. che il primo termine sia meno quattro è fatalmente sbagliato!) Perché la formula nel problema viene modificata. Il primo termine della progressione aritmetica in esso contenuta nascosto. Va bene, lo troveremo ora.)

Proprio come nei problemi precedenti, sostituiamo n=1 in questa formula:

a1 = -4 + 6,81 = 2,8

Qui! Il primo termine è 2,8, non -4!

Cerchiamo il decimo termine allo stesso modo:

un 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Questo è tutto.

Ed ora, per chi ha letto queste righe, il bonus promesso.)

Supponiamo che, in una difficile situazione di combattimento all'Esame di Stato o all'Esame di Stato Unificato, tu abbia dimenticato la formula utile per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica. Ricordo qualcosa, ma in modo incerto... Oppure N lì, o n+1, o n-1... Come essere!?

Calma! Questa formula è facile da ricavare. Non è molto severo, ma è sicuramente sufficiente per avere fiducia e prendere la decisione giusta!) Per concludere, è sufficiente ricordare il significato elementare di una progressione aritmetica e avere un paio di minuti di tempo. Hai solo bisogno di fare un disegno. Per chiarezza.

Disegna una linea numerica e segna la prima su di essa. secondo, terzo, ecc. membri. E notiamo la differenza D tra i membri. Come questo:

Guardiamo l'immagine e pensiamo: a cosa equivale il secondo termine? Secondo uno D:

UN 2 =a1+ 1 D

Qual è il terzo termine? Terzo termine è uguale al primo termine più due D.

UN 3 =a1+ 2 D

Lo capisci? Non per niente evidenzio alcune parole in grassetto. Ok, ancora un passo).

Qual è il quarto termine? Il quarto termine è uguale al primo termine più tre D.

UN 4 =a1+ 3 D

È tempo di rendersi conto che il numero di lacune, ad es. D, Sempre uno in meno rispetto al numero del membro che stai cercando N. Cioè, al numero n, numero di spazi Volere n-1. Pertanto la formula sarà (senza variazioni!):

In generale, le immagini visive sono molto utili per risolvere molti problemi di matematica. Non trascurare le immagini. Ma se è difficile tracciare un'immagine, allora... solo una formula!) Inoltre, la formula dell'ennesimo termine ti consente di collegare l'intero potente arsenale della matematica alla soluzione: equazioni, disuguaglianze, sistemi, ecc. Non è possibile inserire un'immagine nell'equazione...

Compiti per una soluzione indipendente.

Riscaldarsi:

1. Nella progressione aritmetica (a n) a 2 =3; un 5 =5,1. Trovane 3.

Suggerimento: secondo l'immagine il problema si risolve in 20 secondi... Secondo la formula risulta più difficile. Ma per padroneggiare la formula, è più utile.) Nella Sezione 555, questo problema viene risolto utilizzando sia l'immagine che la formula. Senti la differenza!)

E questo non è più un riscaldamento.)

2. Nella progressione aritmetica (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Trova a 3 .

Cosa, non vuoi fare un disegno?) Certo! Meglio secondo la formula, sì...

3. La progressione aritmetica è data dalla condizione:a1 = -5,5; un n+1 = un n +0,5. Trova il centoventicinquesimo termine di questa progressione.

In questa attività, la progressione è specificata in modo ricorrente. Ma contando fino al centoventicinquesimo termine... Non tutti possono fare un'impresa del genere.) Ma la formula per l'ennesimo termine è alla portata di tutti!

4. Data una progressione aritmetica (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Trova il numero del più piccolo termine positivo della progressione.

5. Secondo le condizioni del compito 4, trova la somma dei termini positivi più piccoli e dei termini negativi più grandi della progressione.

6. Il prodotto del quinto e del dodicesimo termine di una progressione aritmetica crescente è pari a -2,5, e la somma del terzo e dell'undicesimo termine è pari a zero. Trova un 14.

Non è il compito più semplice, sì...) Il metodo “fingertip” non funzionerà qui. Dovrai scrivere formule e risolvere equazioni.

Risposte (in disordine):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Accaduto? È carino!)

Non tutto funziona? Accade. A proposito, c'è un punto sottile nell'ultimo compito. Sarà richiesta attenzione durante la lettura del problema. E logica.

La soluzione a tutti questi problemi è discussa in dettaglio nella Sezione 555. E l'elemento di fantasia per il quarto, e il punto sottile per il sesto, e gli approcci generali per risolvere qualsiasi problema che coinvolga la formula dell'ennesimo termine: tutto è descritto. Raccomando.

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