Trova il valore più grande di una funzione senza usare la sua derivata. Utilizzo della derivata per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione continua su un intervallo

Come trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un segmento?

Per questo seguiamo un algoritmo ben noto:

1 . Troviamo le funzioni ODZ.

2 . Trovare la derivata della funzione

3 . Uguagliando la derivata a zero

4 . Troviamo gli intervalli su cui la derivata mantiene il segno e da essi determiniamo gli intervalli di aumento e diminuzione della funzione:

Se nell'intervallo I la derivata della funzione è 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} aumenta in questo intervallo.

Se sull'intervallo I la derivata della funzione , allora la funzione diminuisce in questo intervallo.

5 . Noi troviamo Punti di massimo e minimo della funzione.

IN nel punto massimo della funzione la derivata cambia segno da “+” a “-”.

IN punto minimo della funzionela derivata cambia segno da "-" a "+".

6 . Troviamo il valore della funzione alle estremità del segmento,

• quindi confrontiamo il valore della funzione alle estremità del segmento e nei punti massimi, e scegli il più grande se devi trovare il valore più grande della funzione
• oppure confrontare il valore della funzione alle estremità del segmento e nei punti minimi, e scegli il più piccolo se devi trovare il valore più piccolo della funzione

Tuttavia, a seconda di come si comporta la funzione sul segmento, questo algoritmo può essere notevolmente ridotto.

Considera la funzione . Il grafico di questa funzione è simile al seguente:

Diamo un'occhiata a diversi esempi di risoluzione dei problemi dalla Open Task Bank per

1 . Compito B15 (n. 26695)

Sul segmento.

1. La funzione è definita per tutti i valori reali di x

Ovviamente questa equazione non ha soluzioni e la derivata è positiva per tutti i valori di x. Di conseguenza la funzione aumenta e assume il valore massimo all'estremità destra dell'intervallo, cioè in x=0.

Risposta: 5.

2 . Compito B15 (n. 26702)

Trova il valore più grande della funzione sul segmento.

1. Funzioni ODZ titolo="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

La derivata è uguale a zero in , però in questi punti non cambia segno:

Pertanto, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} aumenta e assume il valore massimo all'estremità destra dell'intervallo, a .

Per rendere ovvio il motivo per cui la derivata non cambia segno, trasformiamo l'espressione della derivata come segue:

Titolo="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3peccato^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Risposta: 5.

3. Compito B15 (n. 26708)

Trova il valore più piccolo della funzione sul segmento.

1. Funzioni ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Posizioniamo le radici di questa equazione sul cerchio trigonometrico.

L'intervallo contiene due numeri: e

Mettiamo i cartelli. Per fare ciò determiniamo il segno della derivata nel punto x=0: . Passando per i punti e la derivata cambia segno.

Rappresentiamo il cambio di segno della derivata di una funzione sulla linea delle coordinate:

Ovviamente il punto è un punto di minimo (in cui la derivata cambia segno da “-” a “+”), e per trovare il valore più piccolo della funzione sul segmento è necessario confrontare i valori della funzione in il punto minimo e all'estremità sinistra del segmento, .

Lasciamo la funzione y =F(X)è continua nell'intervallo [ un, b]. Come è noto, tale funzione raggiunge i suoi valori massimo e minimo su questo segmento. La funzione può assumere questi valori sia nel punto interno del segmento [ un, b] o sul confine del segmento.

Per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione sul segmento [ un, b] necessario:

1) trovare i punti critici della funzione nell'intervallo ( un, b);

2) calcolare i valori della funzione nei punti critici trovati;

3) calcolare i valori della funzione agli estremi del segmento, cioè quando X=UN e x = B;

4) da tutti i valori calcolati della funzione, seleziona il più grande e il più piccolo.

Esempio. Trova i valori più grandi e più piccoli di una funzione

sul segmento.

Trovare i punti critici:

Questi punti giacciono all'interno del segmento; sì(1) = ‒ 3; sì(2) = ‒ 4; sì(0) = ‒ 8; sì(3) = 1;

al punto X= 3 e al punto X= 0.

Studio di una funzione per convessità e punto di flesso.

Funzione sì = F (X) chiamato convesso nel mezzo (UN, B) , se il suo grafico si trova sotto la tangente tracciata in qualsiasi punto di questo intervallo, e si chiama convesso verso il basso (concavo), se il suo grafico si trova sopra la tangente.

Si chiama il punto attraverso il quale la convessità viene sostituita dalla concavità o viceversa punto di flesso.

Algoritmo per l'esame della convessità e del punto di flesso:

1. Trova i punti critici del secondo tipo, cioè i punti in cui la derivata seconda è uguale a zero o non esiste.

2. Traccia i punti critici sulla linea numerica, dividendola in intervalli. Trova il segno della derivata seconda su ciascun intervallo; se , allora la funzione è convessa verso l'alto, se, allora la funzione è convessa verso il basso.

3. Se, passando per un punto critico del secondo tipo, cambia segno e in questo punto la derivata seconda è uguale a zero, allora questo punto è l'ascissa del punto di flesso. Trova la sua ordinata.

Asintoti del grafico di una funzione. Studio di una funzione per asintoti.

Definizione. Si chiama asintoto del grafico di una funzione Dritto, che ha la proprietà che la distanza da qualsiasi punto del grafico a questa linea tende a zero quando il punto sul grafico si sposta indefinitamente dall'origine.

Esistono tre tipi di asintoti: verticale, orizzontale e inclinato.

Definizione. Si chiama la retta asintoto verticale grafica delle funzioni y = f(x), se almeno uno dei limiti unilaterali della funzione in questo punto è uguale a infinito, cioè

dove è il punto di discontinuità della funzione, cioè non appartiene al dominio di definizione.

Esempio.

D ( sì) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 – punto di interruzione.

Definizione. Dritto y =UN chiamato asintoto orizzontale grafica delle funzioni y = f(x) a , se

Esempio.

Definizione. Dritto y =Kx+B (K≠ 0) viene chiamato asintoto obliquo grafica delle funzioni y = f(x) dove

Schema generale per lo studio delle funzioni e la costruzione di grafici.

Algoritmo di ricerca di funzioniy = f(x) :

1. Trova il dominio della funzione D (sì).

2. Trova (se possibile) i punti di intersezione del grafico con gli assi delle coordinate (se X= 0 e a sì = 0).

3. Esaminare la parità e la disparità della funzione ( sì (‒ X) = sì (X) ‒ parità; sì(‒ X) = ‒ sì (X) ‒ strano).

4. Trova gli asintoti del grafico della funzione.

5. Trova gli intervalli di monotonicità della funzione.

6. Trova gli estremi della funzione.

7. Trova gli intervalli di convessità (concavità) e i punti di flesso del grafico della funzione.

8. Sulla base della ricerca condotta, costruire un grafico della funzione.

Esempio. Esplora la funzione e costruisci il suo grafico.

1) D (sì) =

X= 4 – punto di interruzione.

2) Quando X = 0,

(0; ‒ 5) – punto di intersezione con OH.

A sì = 0,

3) sì(‒ X)= una funzione di forma generale (né pari né dispari).

4) Esaminiamo gli asintoti.

a) verticale

b) orizzontale

c) trovare gli asintoti obliqui dove

‒equazione dell'asintoto obliquo

5) In questa equazione non è necessario trovare intervalli di monotonicità della funzione.

6)

Questi punti critici dividono l'intero dominio di definizione della funzione negli intervalli (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) e (10; +∞). È conveniente presentare i risultati ottenuti sotto forma della seguente tabella.

In pratica, è abbastanza comune utilizzare la derivata per calcolare il valore massimo e minimo di una funzione. Eseguiamo questa azione quando capiamo come minimizzare i costi, aumentare i profitti, calcolare il carico ottimale sulla produzione, ecc., cioè nei casi in cui dobbiamo determinare il valore ottimale di un parametro. Per risolvere correttamente tali problemi, è necessario comprendere bene quali sono i valori più grandi e più piccoli di una funzione.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tipicamente definiamo questi valori entro un certo intervallo x, che a sua volta può corrispondere all'intero dominio della funzione o a parte di essa. Può essere come un segmento [a; b ] , e intervallo aperto (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), intervallo infinito (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) o intervallo infinito - ∞ ; un , (- ∞ ; un ] , [ un ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

In questo materiale ti spiegheremo come calcolare i valori più grandi e più piccoli di una funzione definita esplicitamente con una variabile y=f(x) y = f (x) .

Definizioni di base

Cominciamo, come sempre, con la formulazione delle definizioni di base.

Definizione 1

Il valore più grande della funzione y = f (x) su un certo intervallo x è il valore m a x y = f (x 0) x ∈ X, che per qualsiasi valore x x ∈ X, x ≠ x 0 rende la disuguaglianza f (x) ≤ f (x) valido 0) .

Definizione 2

Il valore più piccolo della funzione y = f (x) su un certo intervallo x è il valore m i n x ∈ X y = f (x 0) , che per qualsiasi valore x ∈ X, x ≠ x 0 rende la disuguaglianza f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Queste definizioni sono abbastanza ovvie. Ancora più semplice, possiamo dire questo: il valore più grande di una funzione è il suo valore più grande su un intervallo noto in x 0, e il più piccolo è il valore più piccolo accettato sullo stesso intervallo in x 0.

Definizione 3

I punti stazionari sono quei valori dell'argomento di una funzione in cui la sua derivata diventa 0.

Perché abbiamo bisogno di sapere cosa sono i punti stazionari? Per rispondere a questa domanda dobbiamo ricordare il teorema di Fermat. Ne consegue che un punto stazionario è il punto in cui si trova l'estremo della funzione differenziabile (cioè il suo minimo o massimo locale). Di conseguenza la funzione assumerà il valore più piccolo o più grande su un certo intervallo proprio in uno dei punti stazionari.

Una funzione può anche assumere il valore più grande o più piccolo nei punti in cui la funzione stessa è definita e la sua derivata prima non esiste.

La prima domanda che sorge quando si studia questo argomento: in tutti i casi possiamo determinare il valore più grande o più piccolo di una funzione su un dato intervallo? No, non possiamo farlo quando i confini di un dato intervallo coincidono con i confini dell'area di definizione, oppure se si tratta di un intervallo infinito. Accade anche che una funzione in un dato segmento o all'infinito assuma valori infinitamente piccoli o infinitamente grandi. In questi casi non è possibile determinare il valore più grande e/o più piccolo.

Questi punti diventeranno più chiari dopo essere stati rappresentati nei grafici:

La prima figura ci mostra una funzione che assume i valori più grande e più piccolo (m a x y e m i n y) nei punti stazionari situati sul segmento [ - 6 ; 6].

Esaminiamo in dettaglio il caso indicato nel secondo grafico. Cambiamo il valore del segmento in [ 1 ; 6] e troviamo che il valore massimo della funzione sarà raggiunto nel punto con l'ascissa al limite destro dell'intervallo, e il valore minimo nel punto stazionario.

Nella terza figura, le ascisse dei punti rappresentano i punti di confine del segmento [ - 3 ; 2]. Corrispondono al valore più grande e più piccolo di una data funzione.

Ora diamo un'occhiata alla quarta immagine. In esso, la funzione assume m a x y (il valore più grande) e m i n y (il valore più piccolo) nei punti stazionari dell'intervallo aperto (- 6; 6).

Se prendiamo l'intervallo [ 1 ; 6), allora possiamo dire che il valore più piccolo della funzione su di esso sarà raggiunto in un punto stazionario. Il valore più grande ci sarà sconosciuto. La funzione potrebbe assumere il suo valore massimo in x pari a 6 se x = 6 appartenesse all'intervallo. Questo è esattamente il caso mostrato nel grafico 5.

Nel grafico 6, questa funzione assume il suo valore più piccolo al limite destro dell'intervallo (- 3; 2 ], e non possiamo trarre conclusioni definitive sul valore più grande.

Nella Figura 7 vediamo che la funzione avrà m a x y in un punto stazionario avente ascissa pari a 1. La funzione raggiungerà il suo valore minimo al limite dell'intervallo sul lato destro. A meno infinito, i valori della funzione si avvicineranno asintoticamente a y = 3.

Se prendiamo l'intervallo x ∈ 2 ; + ∞ , allora vedremo che la funzione data non assumerà né il valore più piccolo né quello più grande. Se x tende a 2, allora i valori della funzione tenderanno a meno infinito, poiché la retta x = 2 è un asintoto verticale. Se l'ascissa tende a più infinito, i valori della funzione si avvicineranno asintoticamente a y = 3. Questo è esattamente il caso mostrato nella Figura 8.

In questo paragrafo presenteremo la sequenza di azioni che devono essere eseguite per trovare il valore più grande o più piccolo di una funzione su un determinato segmento.

1. Per prima cosa troviamo il dominio di definizione della funzione. Controlliamo se il segmento specificato nella condizione è incluso in essa.
2. Calcoliamo ora i punti contenuti in questo segmento in cui non esiste la derivata prima. Molto spesso si possono trovare in funzioni il cui argomento è scritto sotto il segno del modulo o in funzioni di potenza il cui esponente è un numero frazionario razionale.
3. Successivamente, scopriremo quali punti stazionari cadranno nel segmento dato. Per fare ciò, è necessario calcolare la derivata della funzione, quindi equipararla a 0 e risolvere l'equazione risultante, quindi selezionare le radici appropriate. Se non otteniamo un singolo punto stazionario o non rientrano nel segmento indicato, passiamo al passaggio successivo.
4. Determiniamo quali valori assumerà la funzione in determinati punti stazionari (se presenti), o in quei punti in cui la derivata prima non esiste (se ce ne sono), oppure calcoliamo i valori per x = a e x = b.
5. 5. Abbiamo una serie di valori di funzione, dai quali ora dobbiamo selezionare il più grande e il più piccolo. Questi saranno i valori più grande e più piccolo della funzione che dobbiamo trovare.

Vediamo come applicare correttamente questo algoritmo durante la risoluzione dei problemi.

Esempio 1

Condizione:è data la funzione y = x 3 + 4 x 2. Determinare i suoi valori più grandi e più piccoli sui segmenti [ 1 ; 4] e [-4; -1] .

Soluzione:

Cominciamo trovando il dominio di definizione di una determinata funzione. In questo caso sarà l'insieme di tutti i numeri reali tranne lo 0. In altre parole, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Entrambi i segmenti specificati nella condizione saranno all'interno dell'area di definizione.

Ora calcoliamo la derivata della funzione secondo la regola della differenziazione delle frazioni:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x3

Abbiamo imparato che la derivata di una funzione esiste in tutti i punti dei segmenti [ 1 ; 4] e [-4; -1] .

Ora dobbiamo determinare i punti stazionari della funzione. Facciamolo utilizzando l'equazione x 3 - 8 x 3 = 0. Ha una sola radice reale, che è 2. Sarà un punto stazionario della funzione e cadrà nel primo segmento [1; 4] .

Calcoliamo i valori della funzione agli estremi del primo segmento e a questo punto, cioè per x = 1, x = 2 e x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Abbiamo scoperto che il valore più grande della funzione m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 sarà raggiunto in x = 1, e il più piccolo m i n y x ∈ [ 1 ; 4] = y (2) = 3 – in x = 2.

Il secondo segmento non comprende un singolo punto stazionario, quindi dobbiamo calcolare i valori della funzione solo alle estremità del segmento dato:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Ciò significa m a x y x ∈ [-4; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m io n y X ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Risposta: Per il segmento [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4] = y (2) = 3 , m io n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , per il segmento [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m io n y X ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Guarda l'immagine:

Prima di studiare questo metodo, ti consigliamo di rivedere come calcolare correttamente il limite unilaterale e il limite all'infinito, nonché di apprendere i metodi di base per trovarli. Per trovare il valore più grande e/o più piccolo di una funzione su un intervallo aperto o infinito, eseguire i seguenti passaggi in sequenza.

1. Per prima cosa è necessario verificare se l'intervallo dato è un sottoinsieme del dominio di definizione di questa funzione.
2. Determiniamo tutti i punti contenuti nell'intervallo richiesto e in cui la derivata prima non esiste. Di solito si verificano per funzioni in cui l'argomento è racchiuso nel segno del modulo e per funzioni di potenza con esponente frazionario razionale. Se questi punti mancano, puoi procedere al passaggio successivo.
3. Ora determiniamo quali punti stazionari rientreranno nell'intervallo dato. Per prima cosa uguagliamo la derivata a 0, risolviamo l'equazione e selezioniamo le radici adatte. Se non abbiamo un solo punto stazionario o non rientrano nell'intervallo specificato, procediamo immediatamente ad ulteriori azioni. Sono determinati dal tipo di intervallo.

• Se l'intervallo è della forma [ a ; b) , allora dobbiamo calcolare il valore della funzione nel punto x = a e il limite unilaterale lim x → b - 0 f (x) .
• Se l'intervallo ha la forma (a ; b ] , allora dobbiamo calcolare il valore della funzione nel punto x = b e il limite unilaterale lim x → a + 0 f (x) .
• Se l'intervallo ha la forma (a; b), allora dobbiamo calcolare i limiti unilaterali lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Se l'intervallo è della forma [ a ; + ∞), allora dobbiamo calcolare il valore nel punto x = a e il limite a più infinito lim x → + ∞ f (x) .
• Se l'intervallo è simile a (- ∞ ; b ] , calcoliamo il valore nel punto x = b e il limite in meno infinito lim x → - ∞ f (x) .
• Se - ∞ ; b , allora consideriamo il limite unilaterale lim x → b - 0 f (x) e il limite a meno infinito lim x → - ∞ f (x)
• Se - ∞; + ∞ , allora consideriamo i limiti su meno e più infinito lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Alla fine, è necessario trarre una conclusione in base ai valori e ai limiti della funzione ottenuti. Ci sono molte opzioni disponibili qui. Quindi, se il limite unilaterale è uguale a meno infinito o più infinito, allora è immediatamente chiaro che non si può dire nulla sui valori più piccoli e più grandi della funzione. Di seguito vedremo un esempio tipico. Descrizioni dettagliate ti aiuteranno a capire cosa è cosa. Se necessario, puoi tornare alle Figure 4 - 8 nella prima parte del materiale.

Condizione: data la funzione y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Calcola il suo valore massimo e minimo negli intervalli - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞, [4; + ∞) .

Soluzione

Innanzitutto troviamo il dominio di definizione della funzione. Il denominatore della frazione contiene un trinomio quadratico, che non dovrebbe andare a 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Abbiamo ottenuto il dominio di definizione della funzione a cui appartengono tutti gli intervalli specificati nella condizione.

Ora differenziamo la funzione e otteniamo:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​x + 1) · e 1 x2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Di conseguenza, le derivate di una funzione esistono in tutto il suo dominio di definizione.

Passiamo alla ricerca dei punti stazionari. La derivata della funzione diventa 0 in x = - 1 2 . Questo è un punto stazionario che si trova negli intervalli (- 3 ; 1 ] e (- 3 ; 2) .

Calcoliamo il valore della funzione in x = - 4 per l'intervallo (- ∞ ; - 4 ], nonché il limite a meno infinito:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Poiché 3 e 1 6 - 4 > - 1, significa che m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Ciò non permette di determinare univocamente il valore più piccolo della funzione. Possiamo solo concludere che esiste un vincolo inferiore a - 1, poiché è a questo valore che la funzione si avvicina asintoticamente a meno infinito.

La particolarità del secondo intervallo è che in esso non esiste un singolo punto stazionario e nemmeno un unico confine rigido. Di conseguenza, non saremo in grado di calcolare né il valore più grande né quello più piccolo della funzione. Avendo definito il limite a meno infinito e poiché l'argomento tende a - 3 a sinistra, otteniamo solo un intervallo di valori:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Ciò significa che i valori della funzione si troveranno nell'intervallo - 1; +∞

Per trovare il valore più grande della funzione nel terzo intervallo, determiniamo il suo valore nel punto stazionario x = - 1 2 se x = 1. Dovremo anche conoscere il limite unilaterale per il caso in cui l'argomento tende a - 3 a destra:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Si è scoperto che la funzione assumerà il valore massimo in un punto stazionario m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Quanto al valore più piccolo, non possiamo determinarlo. Tutto ciò che sappiamo , è la presenza di un limite inferiore a -4 .

Per l'intervallo (- 3 ; 2), prendiamo i risultati del calcolo precedente e calcoliamo ancora una volta a quanto equivale il limite unilaterale quando tende a 2 sul lato sinistro:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Ciò significa che m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, e il valore più piccolo non può essere determinato, e i valori della funzione sono limitati dal basso dal numero - 4 .

In base a quanto ottenuto nei due calcoli precedenti, possiamo dire che sull'intervallo [ 1 ; 2) la funzione assumerà il valore più grande in x = 1, ma è impossibile trovare il più piccolo.

Nell'intervallo (2 ; + ∞) la funzione non raggiungerà né il valore più grande né quello più piccolo, cioè prenderà valori dall'intervallo - 1; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Avendo calcolato quale sarà il valore della funzione in x = 4, scopriamo che m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , e la funzione data a più infinito si avvicinerà asintoticamente alla retta y = - 1 .

Confrontiamo ciò che abbiamo ottenuto in ciascun calcolo con il grafico della funzione data. Nella figura gli asintoti sono rappresentati da linee tratteggiate.

Questo è tutto ciò che volevamo dirti sulla ricerca dei valori più grandi e più piccoli di una funzione. Le sequenze di azioni che abbiamo fornito ti aiuteranno a eseguire i calcoli necessari nel modo più rapido e semplice possibile. Ma ricorda che spesso è utile scoprire prima con quali intervalli la funzione diminuirà e con quali aumenterà, dopodiché potrai trarre ulteriori conclusioni. In questo modo puoi determinare con maggiore precisione i valori più grandi e più piccoli della funzione e giustificare i risultati ottenuti.

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Da un punto di vista pratico, l'interesse maggiore è utilizzare la derivata per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione. A cosa è collegato questo? Massimizzare i profitti, minimizzare i costi, determinare il carico ottimale delle attrezzature... In altre parole, in molti ambiti della vita dobbiamo risolvere problemi di ottimizzazione di alcuni parametri. E questi sono i compiti di trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione.

Va notato che i valori più grandi e più piccoli di una funzione vengono solitamente ricercati su un certo intervallo X, che è l'intero dominio della funzione o parte del dominio di definizione. L'intervallo X stesso può essere un segmento, un intervallo aperto , un intervallo infinito.

In questo articolo parleremo di come trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione definita esplicitamente di una variabile y=f(x) .

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Il valore più grande e più piccolo di una funzione: definizioni, illustrazioni.

Vediamo brevemente le principali definizioni.

Il valore più grande della funzione quello per chiunque la disuguaglianza è vera.

Il valore più piccolo della funzione y=f(x) sull'intervallo X è chiamato tale valore quello per chiunque la disuguaglianza è vera.

Queste definizioni sono intuitive: il valore più grande (più piccolo) di una funzione è il valore più grande (più piccolo) accettato sull'intervallo considerato nell'ascissa.

Punti stazionari– questi sono i valori dell’argomento ai quali la derivata della funzione diventa zero.

Perché abbiamo bisogno di punti stazionari quando troviamo i valori più grandi e più piccoli? La risposta a questa domanda è data dal teorema di Fermat. Da questo teorema segue che se una funzione differenziabile ha un estremo (minimo locale o massimo locale) in un punto, allora questo punto è stazionario. Pertanto, la funzione spesso assume il suo valore più grande (più piccolo) sull'intervallo X in uno dei punti stazionari di questo intervallo.

Inoltre, una funzione può spesso assumere i suoi valori massimo e minimo nei punti in cui la derivata prima di questa funzione non esiste e la funzione stessa è definita.

Rispondiamo subito a una delle domande più comuni su questo argomento: “È sempre possibile determinare il valore più grande (più piccolo) di una funzione”? No, non sempre. A volte i confini dell'intervallo X coincidono con i confini del dominio di definizione della funzione, oppure l'intervallo X è infinito. E alcune funzioni all'infinito e ai confini del dominio di definizione possono assumere valori sia infinitamente grandi che infinitamente piccoli. In questi casi non si può dire nulla sul valore più grande e su quello più piccolo della funzione.

Per chiarezza forniremo un'illustrazione grafica. Guardate le immagini e molto vi sarà più chiaro.

Sul segmento

Nella prima figura, la funzione assume i valori più grande (max y) e più piccolo (min y) nei punti stazionari situati all'interno del segmento [-6;6].

Consideriamo il caso mostrato nella seconda figura. Cambiamo il segmento in . In questo esempio, il valore più piccolo della funzione si ottiene in un punto stazionario e il più grande nel punto in cui l'ascissa corrisponde al limite destro dell'intervallo.

Nella Figura 3, i punti di confine del segmento [-3;2] sono le ascisse dei punti corrispondenti ai valori più grande e più piccolo della funzione.

Su un intervallo aperto

Nella quarta figura, la funzione assume i valori più grande (max y) e più piccolo (min y) nei punti stazionari situati all'interno dell'intervallo aperto (-6;6).

Nell'intervallo non è possibile trarre conclusioni sul valore più grande.

All'infinito

Nell'esempio presentato nella settima figura, la funzione assume il valore più grande (max y) in un punto stazionario con ascissa x=1, e il valore più piccolo (min y) viene raggiunto sul limite destro dell'intervallo. A meno infinito, i valori della funzione si avvicinano asintoticamente a y=3.

Nell'intervallo la funzione non raggiunge né il valore più piccolo né quello più grande. Quando x=2 si avvicina da destra, i valori della funzione tendono a meno infinito (la linea x=2 è un asintoto verticale), e quando l'ascissa tende a più infinito, i valori della funzione si avvicinano asintoticamente a y=3. Un'illustrazione grafica di questo esempio è mostrata nella Figura 8.

Algoritmo per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione continua su un segmento.

Scriviamo un algoritmo che ci permetta di trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un segmento.

1. Troviamo il dominio di definizione della funzione e controlliamo se contiene l'intero segmento.
2. Troviamo tutti i punti in cui non esiste la derivata prima e che sono contenuti nel segmento (solitamente tali punti si trovano nelle funzioni con argomento sotto il segno modulo e nelle funzioni potenza con esponente frazionario-razionale). Se non ci sono tali punti, passa al punto successivo.
3. Determiniamo tutti i punti stazionari che rientrano nel segmento. Per fare ciò, lo equiparamo a zero, risolviamo l'equazione risultante e selezioniamo le radici adatte. Se non ci sono punti stazionari o nessuno di essi rientra nel segmento, passa al punto successivo.
4. Calcoliamo i valori della funzione nei punti stazionari selezionati (se presenti), nei punti in cui la derivata prima non esiste (se presente), nonché in x=a e x=b.
5. Dai valori ottenuti della funzione, selezioniamo il più grande e il più piccolo: saranno rispettivamente i valori più grande e più piccolo richiesti della funzione.

Analizziamo l'algoritmo per risolvere un esempio per trovare i valori più grandi e più piccoli di una funzione su un segmento.

Esempio.

Trovare il valore più grande e più piccolo di una funzione

• sul segmento;
• sul segmento [-4;-1] .

Soluzione.

Il dominio di definizione di una funzione è l'intero insieme dei numeri reali, ad eccezione dello zero. Entrambi i segmenti rientrano nel dominio di definizione.

Trovare la derivata della funzione rispetto a:

Ovviamente la derivata della funzione esiste in tutti i punti dei segmenti e [-4;-1].

Determiniamo i punti stazionari dall'equazione. L'unica radice reale è x=2. Questo punto stazionario rientra nel primo segmento.

Per il primo caso calcoliamo i valori della funzione agli estremi del segmento e nel punto stazionario, cioè per x=1, x=2 e x=4:

Pertanto, il valore massimo della funzione si ottiene con x=1 e il valore più piccolo – in x=2.

Per il secondo caso calcoliamo i valori della funzione solo agli estremi del segmento [-4;-1] (poiché non contiene un solo punto stazionario):

Cos'è l'estremo di una funzione e qual è la condizione necessaria per un estremo?

L'estremo di una funzione è il massimo e il minimo della funzione.

La condizione necessaria per il massimo e il minimo (estremo) di una funzione è la seguente: se la funzione f(x) ha un estremo nel punto x = a, allora in questo punto la derivata è zero, oppure infinita, oppure non non esiste.

Questa condizione è necessaria, ma non sufficiente. La derivata nel punto x = a può andare a zero, all'infinito o non esistere senza che la funzione abbia un estremo in questo punto.

Qual è la condizione sufficiente per l'estremo di una funzione (massimo o minimo)?

Prima condizione:

Se, in sufficiente prossimità del punto x = a, la derivata f?(x) è positiva a sinistra di a e negativa a destra di a, allora nel punto x = a la funzione f(x) ha massimo

Se, in sufficiente prossimità del punto x = a, la derivata f?(x) è negativa a sinistra di a e positiva a destra di a, allora nel punto x = a la funzione f(x) ha minimo a condizione che la funzione f(x) qui sia continua.

Invece, puoi utilizzare la seconda condizione sufficiente per l'estremo di una funzione:

Sia nel punto x = a nulla la derivata prima f?(x); se la derivata seconda f??(a) è negativa, allora la funzione f(x) ha massimo nel punto x = a, se è positiva, allora ha minimo.

Qual è il punto critico di una funzione e come trovarlo?

Questo è il valore dell'argomento della funzione in corrispondenza del quale la funzione ha un estremo (cioè massimo o minimo). Per trovarlo è necessario trova la derivata funzione f?(x) e, uguagliandola a zero, risolvere l'equazione f?(x) = 0. Le radici di questa equazione, così come i punti in cui la derivata di questa funzione non esiste, sono punti critici, cioè valori dell'argomento in cui può esserci un estremo. Possono essere facilmente identificati guardando grafico derivato: ci interessano quei valori dell'argomento in cui il grafico della funzione interseca l'asse delle ascisse (asse Ox) e quelli in cui il grafico subisce delle discontinuità.

Ad esempio, troviamo estremo di una parabola.

Funzione y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivata della funzione: y?(x) = 6x + 2

Risolvi l'equazione: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

In questo caso il punto critico è x0=-1/3. È con questo valore di argomento che ha la funzione estremo. A lui Trovare, sostituire il numero trovato nell'espressione per la funzione invece di “x”:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Come determinare il massimo e il minimo di una funzione, ad es. i suoi valori più grandi e più piccoli?

Se il segno della derivata passando per il punto critico x0 cambia da “più” a “meno”, allora x0 è punto massimo; se il segno della derivata cambia da meno a più, allora x0 lo è punto minimo; se il segno non cambia, allora nel punto x0 non c'è né massimo né minimo.

Per l'esempio considerato:

Prendiamo un valore arbitrario dell'argomento a sinistra del punto critico: x = -1

A x = -1, il valore della derivata sarà y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (ovvero il segno è “meno”).

Ora prendiamo un valore arbitrario dell'argomento a destra del punto critico: x = 1

A x = 1, il valore della derivata sarà y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (cioè il segno è “più”).

Come puoi vedere, la derivata cambia segno da meno a più quando passa per il punto critico. Ciò significa che al valore critico x0 abbiamo un punto di minimo.

Valore massimo e minimo di una funzione sull'intervallo(su un segmento) vengono trovati utilizzando la stessa procedura, tenendo solo conto del fatto che, forse, non tutti i punti critici si troveranno all'interno dell'intervallo specificato. Quei punti critici che sono al di fuori dell'intervallo devono essere esclusi dalla considerazione. Se c'è un solo punto critico all'interno dell'intervallo, avrà un massimo o un minimo. In questo caso, per determinare i valori più grandi e più piccoli della funzione, prendiamo in considerazione anche i valori della funzione agli estremi dell'intervallo.

Ad esempio, troviamo i valori più grandi e più piccoli della funzione

y(x) = 3sen(x) - 0,5x

ad intervalli:

Quindi, la derivata della funzione è

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Risolviamo l'equazione 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arcos(0,16667) + 2πk.

Troviamo punti critici sull'intervallo [-9; 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (non incluso nell'intervallo)

x = -arccos(0,16667) - 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arcocos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arcocos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (non incluso nell'intervallo)

Troviamo i valori della funzione ai valori critici dell'argomento:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Si può vedere che nell'intervallo [-9; 9] la funzione ha il valore massimo in x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

e il più piccolo - in x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Nell'intervallo [-6; -3] abbiamo un solo punto critico: x = -4,88. Il valore della funzione in x = -4,88 è uguale a y = 5,398.

Trova il valore della funzione alle estremità dell'intervallo:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Nell'intervallo [-6; -3] abbiamo il valore massimo della funzione

y = 5,398 a x = -4,88

valore più piccolo -

y = 1.077 in x = -3

Come trovare i punti di flesso di un grafico di funzione e determinare i lati convessi e concavi?

Per trovare tutti i punti di flesso della retta y = f(x), è necessario trovare la derivata seconda, eguagliarla a zero (risolvere l'equazione) e testare tutti quei valori di x per i quali la derivata seconda è zero, infinito o non esiste. Se, passando per uno di questi valori, la derivata seconda cambia segno, allora il grafico della funzione in questo punto presenta un'inflessione. Se non cambia, allora non c’è alcuna curvatura.

Le radici dell'equazione f? (x) = 0, così come eventuali punti di discontinuità della funzione e della derivata seconda, dividono il dominio di definizione della funzione in più intervalli. La convessità su ciascuno dei loro intervalli è determinata dal segno della derivata seconda. Se la derivata seconda in un punto dell'intervallo studiato è positiva, allora la linea y = f(x) è concava verso l'alto e, se negativa, verso il basso.

Come trovare gli estremi di una funzione di due variabili?

Per trovare gli estremi della funzione f(x,y), differenziabili nel dominio della sua specificazione, occorre:

1) trova i punti critici e, per questo, risolvi il sistema di equazioni

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) per ogni punto critico P0(a;b) verificare se il segno della differenza rimane invariato

per tutti i punti (x;y) sufficientemente vicini a P0. Se la differenza rimane positiva, allora nel punto P0 avremo un minimo, se negativa avremo un massimo. Se la differenza non mantiene il segno, nel punto P0 non vi è alcun estremo.

Gli estremi di una funzione sono determinati in modo simile per un numero maggiore di argomenti.