Se le linee giacciono su piani perpendicolari. Perpendicolarità delle rette nello spazio

La costruzione di linee e piani reciprocamente perpendicolari è un'operazione grafica importante nella risoluzione dei problemi metrici.

La costruzione di una perpendicolare ad una linea o ad un piano si basa sulla proprietà dell'angolo retto, che è formulata come segue: se uno dei lati dell'angolo retto è parallelo al piano di proiezione e l'altro non è perpendicolare ad esso, quindi l'angolo viene proiettato a grandezza naturale su questo piano.

Figura 28

Il lato BC dell'angolo retto ABC, mostrato nella Figura 28, è parallelo al piano P 1. Di conseguenza, la proiezione dell'angolo ABC su questo piano rappresenterà un angolo retto A 1 B 1 C 1 =90.

Una retta è perpendicolare ad un piano se è perpendicolare a due rette che si intersecano giacenti su questo piano. Quando costruisci una perpendicolare da un insieme di linee rette appartenenti al piano, scegli linee rette livellate: orizzontali e frontali. In questo caso, la proiezione orizzontale della perpendicolare viene eseguita perpendicolare all'orizzontale e la proiezione frontale è perpendicolare alla parte anteriore. L'esempio mostrato nella Figura 29 mostra la costruzione di una perpendicolare al piano definito dal triangolo ABC a partire dal punto K. Per fare ciò, traccia prima le linee orizzontali e frontali nel piano. Quindi, dalla proiezione frontale del punto K disegniamo una perpendicolare alla proiezione frontale del frontale e dalla proiezione orizzontale del punto - una perpendicolare alla proiezione orizzontale dell'orizzontale. Quindi costruiamo il punto di intersezione di questa perpendicolare con il piano utilizzando il piano di taglio ausiliario Σ. Il punto richiesto è F. Pertanto, il segmento risultante KF è perpendicolare al piano ABC.

Figura 29

La Figura 29 mostra la costruzione di una KF perpendicolare al piano ABC.

Due piani sono perpendicolari se una retta giacente su un piano è perpendicolare a due rette che si intersecano sull'altro piano. La costruzione di un piano perpendicolare a questo piano ABC è mostrata nella Figura 30. Per il punto M, perpendicolare al piano ABC, si traccia una linea retta MN. La proiezione orizzontale di questa linea è perpendicolare ad AC, poiché AC è orizzontale, e la proiezione frontale è perpendicolare ad AB, poiché AB è frontale. Quindi si traccia una linea retta arbitraria EF attraverso il punto M. Pertanto, il piano è perpendicolare ad ABC ed è definito da due linee intersecanti EF e MN.

Figura 30

Questo metodo viene utilizzato per determinare i valori naturali dei segmenti nella posizione generale, nonché i loro angoli di inclinazione rispetto ai piani di proiezione. Per determinare la dimensione naturale di un segmento utilizzando questo metodo, è necessario completare un triangolo rettangolo su una delle proiezioni del segmento. L'altro cateto sarà la differenza di altezza o profondità dei punti finali del segmento, e l'ipotenusa sarà il valore naturale.

Consideriamo un esempio: la Figura 31 mostra un segmento AB in posizione generale. È necessario determinarne le dimensioni naturali e gli angoli della sua inclinazione rispetto ai piani frontali e orizzontali delle proiezioni.

Disegniamo una perpendicolare a una delle estremità del segmento su un piano orizzontale. Su di esso tracciamo la differenza di altezza (ZA-ZB) degli estremi del segmento e completiamo la costruzione di un triangolo rettangolo. La sua ipotenusa è il valore naturale del segmento e l'angolo tra il valore naturale e la proiezione del segmento è il valore naturale dell'angolo di inclinazione del segmento rispetto al piano P 1. L'ordine di costruzione sul piano frontale è lo stesso. Lungo la perpendicolare tracciamo la differenza di profondità delle estremità del segmento (YA-YB). L'angolo risultante tra la dimensione naturale del segmento e la sua proiezione frontale è l'angolo di inclinazione del segmento rispetto al piano P 2.

Figura 31

1. Enuncia un teorema sulla proprietà degli angoli retti.

2. In quale caso una linea retta è perpendicolare a un piano?

3. Quante rette e quanti piani perpendicolari ad un dato piano si possono condurre attraverso un punto dello spazio?

4. A cosa serve il metodo del triangolo rettangolo?

5. Come utilizzare questo metodo per determinare l'angolo di inclinazione di un segmento in posizione generale rispetto al piano orizzontale delle proiezioni?

In questa lezione ripeteremo la teoria e dimostreremo il teorema che indica la perpendicolarità di una retta e di un piano.
All'inizio della lezione ricordiamo la definizione di retta perpendicolare a un piano. Successivamente considereremo e dimostreremo il teorema che indica la perpendicolarità di una linea e di un piano. Per dimostrare questo teorema ricordiamo la proprietà dell'asse perpendicolare.
Successivamente risolveremo diversi problemi sulla perpendicolarità di una linea e di un piano.

Argomento: Perpendicolarità di una retta e di un piano

Lezione: Segno di perpendicolarità di una retta e di un piano

In questa lezione ripeteremo la teoria e la dimostreremo Teorema-verifica della perpendicolarità di una retta e di un piano.

Definizione. Dritto UN si dice perpendicolare al piano α se è perpendicolare a una qualsiasi retta giacente su tale piano.

Se una linea è perpendicolare a due linee che si intersecano giacenti su un piano, allora è perpendicolare a questo piano.

Prova.

Sia dato un piano α. Ci sono due linee che si intersecano in questo piano P E Q. Dritto UN perpendicolare ad una retta P e dritto Q. Dobbiamo dimostrare che la linea UNè perpendicolare al piano α, cioè che la linea a è perpendicolare a qualsiasi linea giacente nel piano α.

Promemoria.

Per dimostrarlo dobbiamo richiamare le proprietà della bisettrice perpendicolare ad un segmento. Bisettrice perpendicolare R al segmento AB- questo è il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento. Cioè, se è il punto CON giace sulla bisettrice perpendicolare p, quindi AC = AC.

Lasciamo il punto DI- punto di intersezione della linea UN e il piano α (Fig. 2). Senza perdita di generalità, assumeremo che le linee rette P E Q si intersecano in un punto DI. Dobbiamo dimostrare la perpendicolarità della retta UN ad una linea arbitraria M dal piano α.

Esaminiamo il punto DI diretto l, parallelo alla linea M. In linea retta UN mettere da parte gli spicchi OA E OB, E OA = OB, questo è il punto DI- la metà del segmento AB. Facciamo una diretta P.L., .

Dritto R perpendicolare ad una retta UN(dalla condizione), (per costruzione). Significa, R AB. Punto R giace su una linea retta R. Significa, RA = PB.

Dritto Q perpendicolare ad una retta UN(dalla condizione), (per costruzione). Significa, Q- bisettrice perpendicolare ad un segmento AB. Punto Q giace su una linea retta Q. Significa, QA =QB.

triangoli ARQ E realtà virtualeQ uguali su tre lati (RA = PB, QA =QB, PQ- lato comune). Quindi gli angoli ARQ E realtà virtualeQ sono uguali.

triangoli UNP.L. E BPL uguali in angolo e due lati adiacenti (∠ ARl= ∠realtà virtualeL, RA = PB, P.L.- lato comune). Dall'uguaglianza dei triangoli otteniamo questo AL =B.L..

Considera un triangolo ABL.È isoscele perché AL =BL. In un triangolo isoscele la mediana LОè anche l'altezza, cioè una linea retta LО perpendicolare AB.

Abbiamo capito bene UN perpendicolare ad una retta io, e quindi diretto M, Q.E.D.

Punti A, M, O giacciono su una retta perpendicolare al piano α, e i punti O, V, S E D giacciono nel piano α (Fig. 3). Quali dei seguenti angoli sono retti: ?

Soluzione

Consideriamo l'angolo. Dritto JSC perpendicolare al piano α, e quindi una retta JSC perpendicolare a qualsiasi linea giacente nel piano α, compresa la linea IN. Significa, .

Consideriamo l'angolo. Dritto JSC perpendicolare ad una retta sistema operativo, Significa, .

Consideriamo l'angolo. Dritto JSC perpendicolare ad una retta DID, Significa, . Considera un triangolo DAO. Un triangolo può avere un solo angolo retto. Quindi l'angolo DIGA- non è diretto.

Consideriamo l'angolo. Dritto JSC perpendicolare ad una retta DID, Significa, .

Consideriamo l'angolo. Questo è un angolo in un triangolo rettangolo BMO, non può essere dritto, poiché l'angolo MOU- Dritto.

Risposta: .

In un triangolo ABC dato: , AC= 6 centimetri, Sole= 8 centimetri, CM- mediana (Fig. 4). Attraverso l'alto CONè stata tracciata una linea diretta SK, perpendicolare al piano del triangolo ABC, E SK= 12 cm Trova KM.

Soluzione:

Troviamo la lunghezza AB secondo il teorema di Pitagora: (cm).

Secondo la proprietà di un triangolo rettangolo, il punto medio dell'ipotenusa è M equidistante dai vertici del triangolo. Questo è SM = AM = VM, (cm).

Considera un triangolo KSM. Dritto KS perpendicolare al piano ABC, che significa KS perpendicolare CM. Quindi è un triangolo KSM- rettangolare. Troviamo l'ipotenusa KM dal teorema di Pitagora: (cm).

1. Geometria. Classi 10-11: libro di testo per studenti di istituti di istruzione generale (livelli base e specialistici) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5a edizione corretta e ampliata - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 pp.: ill.

Compiti 1, 2, 5, 6 pag

2. Definire la perpendicolarità di una linea e di un piano.

3. Indica una coppia nel cubo: un bordo e una faccia perpendicolari.

4. Punto A giace fuori dal piano di un triangolo isoscele ABC ed equidistanti dai punti IN E CON. M- metà della base Sole. Dimostra che la linea Sole perpendicolare al piano AKM.

Perché una linea retta nello spazio sia un piano, è necessario e sufficiente che sul diagramma la proiezione orizzontale della linea sia una proiezione orizzontale dell'orizzontale, e la proiezione frontale sia rispetto alla proiezione frontale della parte anteriore di questa. aereo.

Determinazione della distanza da un punto a un piano(Fig.19)

1. Da un punto, abbassare una perpendicolare a un piano (per eseguire l'operazione nel piano

tieni premuto h,f);

2. Trovare il punto di intersezione della retta con il piano (vedi Fig. 18);

3. Trova n.v. segmento perpendicolare (vedi Fig. 7).

Seconda sezione Metodo di sostituzione dei piani di proiezione

(per i compiti 5, 6,7)

Questa figura geometrica viene lasciata immobile nel sistema dei piani di proiezione. Vengono installati nuovi piani di proiezione in modo che le proiezioni ottenute su di essi forniscano una soluzione razionale al problema in esame. In questo caso ogni nuovo sistema di piani di proiezione deve essere un sistema ortogonale. Dopo aver proiettato gli oggetti sui piani, vengono combinati in uno solo ruotandoli attorno alle linee rette comuni (assi di proiezione) di ciascuna coppia di piani reciprocamente perpendicolari.

Ad esempio, specifichiamo il punto A in un sistema di due piani P 1 e P 2. Integriamo il sistema con un altro piano P 4 (Fig. 20), P 1 P 4. Ha una linea comune X 14 con il piano P 1. Costruiamo una proiezione di A 4 su P 4.

AA 1 = LA 2 LA 12 = LA 4 LA 14.

Nella fig. 21, dove i piani P 1, P 2 e P 4 vengono allineati, questo fatto è determinato dal risultato A 1 A 4 X 14, e A 14 A 4 A 2 A 12.

La distanza della nuova proiezione del punto dal nuovo asse di proiezione (A 4 A 14) è uguale alla distanza dalla proiezione sostituita del punto all'asse sostituito (A 2 A 12).

Un gran numero di problemi metrici di geometria descrittiva vengono risolti sulla base dei seguenti quattro problemi:

1. Trasformazione di una retta di posizione generale in una retta di livello (Fig. 22):

a) P4 || AB (asse X 14 || A 1 B 1);

b) LA 1 LA 4 X 14; B1B4X14;

c) A4 A14 = A12 A2;

V4 V14 = V12 V2;

A 4 B 4 - n.v.

2. Conversione di una linea generale in una linea sporgente (Fig. 23):

a) P4 || AB (X 14 || LA 1 B 1);

LA 1 LA 4 X 14;

B1B4X14;

UN 14 UN 4 = UN 12 UN 2;

V14 V4 = V12 V2;

A 4 B 4 - presente;

b) P 5 AB (X 45 A 4 B 4);

A 4 A 5 X 45;

B4 B5 X 45;

A 45 A 5 = B 45 V 5 = A 14 A 1 = B 14 V 1;

3. Conversione del piano di posizione generale nella posizione proiettata (Fig. 24):

Il piano può essere portato in posizione sporgente se una linea retta del piano viene fatta sporgere. Nel piano ABC tracciamo una linea orizzontale (h 2 ,h 1), che può essere resa sporgente in una trasformazione. Disegniamo il piano P 4 perpendicolare all'orizzontale; su questo piano sarà proiettato come un punto, e il piano del triangolo come una linea retta.

4. Trasformazione del piano di posizione generale nel piano di livello (Fig. 25).

Rendi l'aereo un piano livellato utilizzando due trasformazioni. Per prima cosa bisogna far sporgere il piano (vedi Fig. 25), quindi disegnare P 5 || A 4 B 4 C 4, otteniamo A 5 B 5 C 5 - n.v.

Problema n.5

Determina la distanza dal punto C ad una linea retta in posizione generale (Fig. 26).

La soluzione si riduce al 2° problema principale. Quindi la distanza nel diagramma è definita come la distanza tra due punti

A 5 B 5 D 5 e C 5.

Proiezione C 4 D 4 || X45.

Problema n.6

Determina la distanza da ()D al piano specificato dai punti A, B, C (Fig. 27).

Il problema viene risolto utilizzando il 2° problema principale. La distanza (E 4 D 4), da ()D 4 alla retta A 4 C 4 B 4, nella quale era proiettato il piano ABC, è il valore naturale del segmento ED.

Proiezione D 1 E 1 || X14;

E2EX12 = E4EX14.

Costruiscilo tu stesso D 1 E 1.

Costruiscilo tu stesso D 2 E 2.

Problema n.7

Determina la dimensione effettiva del triangolo ABC (vedi soluzione al 4° problema principale) (Fig. 25)

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Definizione. Una linea si dice perpendicolare ad un piano se è perpendicolare a una qualsiasi linea di questo piano.

Presentiamo senza dimostrazione i teoremi conosciuti nel corso di stereometria scolastica, necessari per risolvere i successivi problemi metrici.

1. Segno di perpendicolarità di una linea e di un piano: se una linea è perpendicolare a due linee che si intersecano giacenti su un piano, allora è perpendicolare a questo piano.

2. Per ogni punto dello spazio passa un'unica linea retta perpendicolare a un piano dato.

3. Per ogni punto dello spazio passa un solo piano perpendicolare a una linea data.

Per costruire una retta t "E perpendicolare al piano Σ, è necessario, in base al segno di perpendicolarità, tracciare due rette h ed f che si intersecano nel piano, e quindi costruire una retta t secondo le condizioni: t^h, t^f (Fig. 7.3). Nel caso generale, le linee t e h, t e f sono coppie di linee oblique.

Compito. Dato un piano Σ(ΔАВС) e un punto E.

Costruisci una retta t secondo le condizioni: t " E, t ^ Σ (Fig. 7.4).

La soluzione al problema potrebbe essere la seguente:

1) le linee di livello h e f sono costruite nel piano Σ, dove h 2 // x, f 1 // x;

2) si costruiscono le proiezioni t 1 e t 2 della linea desiderata t, dove t 2 " E 2, t 2 ^ f 2; t 1 " E 1, t 1 ^ h 1. Di conseguenza, t 1, t 2 – la soluzione del problema. Diretto t incrocia con f e H.

Selezione delle linee di livello h e f come linee che si intersecano nel piano Σ è dettata dalle condizioni di cui sopra del teorema sulla proiezione di un angolo retto e dalla semplicità di costruzione sul CN. Se il punto E è nel piano Σ, la sequenza delle costruzioni rimane la stessa.

Compito. Data una retta t e il punto E. Costruisci un piano passante per il punto E e perpendicolare alla linea t (Fig. 7.5).

La soluzione del problema si basa sulla costruzione di due linee di livello h(h 1 ,h 2) ef(f 1 ,f 2), passando per il punto E: h 2 "E 2, h 2 // x, h 1 "E 1, h 1 ^ t 1; f 1 " mi 1 , fa 1 // x, fa 2 " mi 2 , fa 2 ^ t 2 . Il piano (h, f) è la soluzione del problema.