Teoria delle diseguaglianze logaritmiche. Risoluzione di semplici disuguaglianze logaritmiche

DISUGUAGLIANZE LOGARITMICHE NELL'USO

Sechin Michail Aleksandrovich

Piccola Accademia delle Scienze per Studenti della Repubblica del Kazakistan “Iskatel”

MBOU "Sovetskaya Secondary School No. 1", 11a elementare, città. Distretto Sovetsky Sovetsky

Gunko Lyudmila Dmitrievna, insegnante dell'istituto scolastico municipale di bilancio “Scuola secondaria Sovetskaya n. 1”

Distretto sovietico

Obiettivo del lavoro: studio del meccanismo per risolvere le disuguaglianze logaritmiche C3 utilizzando metodi non standard, identificando fatti interessanti sul logaritmo.

Materia di studio:

3) Imparare a risolvere specifiche disuguaglianze logaritmiche C3 utilizzando metodi non standard.

Risultati:

Contenuto

Introduzione……………………………….4

Capitolo 1. Storia del problema……………………………...5

Capitolo 2. Raccolta di disuguaglianze logaritmiche …………… 7

2.1. Transizioni equivalenti e metodo generalizzato degli intervalli…………… 7

2.2. Metodo di razionalizzazione................................................................ 15

2.3. Sostituzione non standard………………................................. ..... .....22

2.4. Compiti con trappole................................................27

Conclusione…………………..……………..………….. 30

Letteratura……………………………………………………………………. 31

introduzione

Frequento la terza media e ho intenzione di entrare in un'università dove la materia principale è la matematica. Ecco perché lavoro molto con i problemi della parte C. Nel compito C3, devo risolvere una disuguaglianza o un sistema di diseguaglianze non standard, solitamente correlato ai logaritmi. Durante la preparazione per l'esame, mi sono trovato di fronte al problema della carenza di metodi e tecniche per risolvere le disuguaglianze logaritmiche dell'esame offerte in C3. I metodi studiati nel curriculum scolastico su questo argomento non forniscono una base per risolvere i compiti C3. L'insegnante di matematica mi ha suggerito di lavorare sui compiti C3 in modo indipendente sotto la sua guida. Inoltre, mi interessava la domanda: incontriamo i logaritmi nelle nostre vite?

In quest’ottica è stato scelto l’argomento:

“Le disuguaglianze logaritmiche nell’Esame di Stato Unificato”

Obiettivo del lavoro: studio del meccanismo per risolvere i problemi C3 utilizzando metodi non standard, identificando fatti interessanti sul logaritmo.

Materia di studio:

1) Trovare le informazioni necessarie sui metodi non standard per risolvere le disuguaglianze logaritmiche.

2) Trova ulteriori informazioni sui logaritmi.

3) Impara a risolvere problemi C3 specifici utilizzando metodi non standard.

Risultati:

Il significato pratico risiede nell'espansione dell'apparato per risolvere i problemi C3. Questo materiale può essere utilizzato in alcune lezioni, per i club e per le lezioni facoltative di matematica.

Il prodotto del progetto sarà la raccolta “C3 Logarithmic Inequalities with Solutions”.

Capitolo 1. Contesto

Nel corso del XVI secolo il numero dei calcoli approssimativi aumentò rapidamente, soprattutto in astronomia. Il miglioramento degli strumenti, lo studio dei movimenti planetari e altri lavori hanno richiesto calcoli colossali, a volte pluriennali. L'astronomia correva il rischio reale di annegare in calcoli inadempiuti. In altri settori sono sorte difficoltà, ad esempio nel settore assicurativo erano necessarie tabelle di interessi composti per diversi tassi di interesse. La difficoltà principale era la moltiplicazione e la divisione di numeri a più cifre, in particolare di quantità trigonometriche.

La scoperta dei logaritmi si basò sulle proprietà delle progressioni ben note alla fine del XVI secolo. Archimede ha parlato della connessione tra i termini della progressione geometrica q, q2, q3,... e la progressione aritmetica dei loro esponenti 1, 2, 3,... nel Salmo. Un altro prerequisito era l'estensione del concetto di grado agli esponenti negativi e frazionari. Molti autori hanno sottolineato che moltiplicazione, divisione, esponenziazione ed estrazione della radice in progressione geometrica corrispondono in aritmetica - nello stesso ordine - addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.

Qui sta l’idea del logaritmo come esponente.

Nella storia dello sviluppo della dottrina dei logaritmi sono passate diverse fasi.

Fase 1

I logaritmi furono inventati non più tardi del 1594 indipendentemente dal barone scozzese Napier (1550-1617) e dieci anni dopo dal meccanico svizzero Bürgi (1552-1632). Entrambi volevano fornire un nuovo e conveniente mezzo per i calcoli aritmetici, sebbene affrontassero questo problema in modi diversi. Napier espresse cinematicamente la funzione logaritmica ed entrò così in un nuovo campo della teoria delle funzioni. Bürgi si è mantenuto sulla base della considerazione delle progressioni discrete. Tuttavia, la definizione del logaritmo per entrambi non è simile a quella moderna. Il termine "logaritmo" (logarithmus) appartiene a Napier. Nasce da una combinazione di parole greche: logos - "relazione" e ariqmo - "numero", che significava "numero di relazioni". Inizialmente, Napier usò un termine diverso: numeri artificiales - "numeri artificiali", in contrapposizione a numeri naturalts - "numeri naturali".

Nel 1615, in una conversazione con Henry Briggs (1561-1631), professore di matematica al Gresh College di Londra, Napier suggerì di prendere zero come logaritmo di uno e 100 come logaritmo di dieci, o, il che equivale allo stesso cosa, solo 1. Ecco come furono stampati i logaritmi decimali e le prime tavole logaritmiche. Successivamente, le tavole di Briggs furono integrate dal libraio olandese e appassionato di matematica Adrian Flaccus (1600-1667). Napier e Briggs, sebbene arrivassero ai logaritmi prima di tutti gli altri, pubblicarono le loro tavole più tardi degli altri, nel 1620. I segni log e Log furono introdotti nel 1624 da I. Keplero. Il termine “logaritmo naturale” fu introdotto da Mengoli nel 1659 e seguito da N. Mercator nel 1668, e l'insegnante londinese John Speidel pubblicò tavole di logaritmi naturali dei numeri da 1 a 1000 sotto il nome di “Nuovi Logaritmi”.

Le prime tavole logaritmiche furono pubblicate in russo nel 1703. Ma in tutte le tavole logaritmiche c'erano errori di calcolo. Le prime tabelle prive di errori furono pubblicate nel 1857 a Berlino, elaborate dal matematico tedesco K. Bremiker (1804-1877).

Fase 2

L'ulteriore sviluppo della teoria dei logaritmi è associato ad una più ampia applicazione della geometria analitica e del calcolo infinitesimale. A quel punto era stata stabilita la connessione tra la quadratura di un'iperbole equilatera e il logaritmo naturale. La teoria dei logaritmi di questo periodo è associata ai nomi di numerosi matematici.

Il matematico, astronomo e ingegnere tedesco Nikolaus Mercator in un saggio

"Logarithmotechnics" (1668) fornisce una serie che fornisce lo sviluppo di ln(x+1) in

potenze di x:

Questa espressione corrisponde esattamente al suo pensiero, anche se, ovviamente, non ha usato i segni d, ..., ma un simbolismo più ingombrante. Con la scoperta delle serie logaritmiche cambiò la tecnica per calcolare i logaritmi: si cominciò a determinarli utilizzando serie infinite. Nelle sue lezioni "Matematica elementare da un punto di vista più elevato", tenute nel 1907-1908, F. Klein propose di utilizzare la formula come punto di partenza per costruire la teoria dei logaritmi.

Fase 3

Definizione di una funzione logaritmica come funzione inversa

esponenziale, logaritmo come esponente di una data base

non è stato formulato immediatamente. Saggio di Leonhard Euler (1707-1783)

"Un'introduzione all'analisi degli infinitesimi" (1748) servì ulteriormente

sviluppo della teoria delle funzioni logaritmiche. Così,

Sono passati 134 anni da quando furono introdotti per la prima volta i logaritmi

(contando dal 1614), prima che i matematici arrivassero alla definizione

il concetto di logaritmo, che oggi è alla base del percorso scolastico.

Capitolo 2. Raccolta di disuguaglianze logaritmiche

2.1. Transizioni equivalenti e metodo generalizzato degli intervalli.

Transizioni equivalenti

, se a > 1

, se 0 < а < 1

Metodo degli intervalli generalizzati

Questo metodo è il più universale per risolvere disuguaglianze di quasi ogni tipo. Il diagramma della soluzione è simile al seguente:

1. Porta la disuguaglianza nella forma in cui si trova la funzione sul lato sinistro
e a destra 0.

2. Trova il dominio della funzione
.

3. Trova gli zeri della funzione
, cioè risolvere l'equazione
(e risolvere un'equazione è solitamente più facile che risolvere una disuguaglianza).

4. Disegna il dominio della definizione e gli zeri della funzione sulla linea numerica.

5. Determinare i segni della funzione
sugli intervalli ottenuti.

6. Seleziona gli intervalli in cui la funzione assume i valori richiesti e annota la risposta.

Esempio 1.

Soluzione:

Applichiamo il metodo dell'intervallo

Dove

Per questi valori tutte le espressioni sotto i segni logaritmici sono positive.

Risposta:

Esempio 2.

Soluzione:

1° modo . L’ADL è determinata dalla disuguaglianza X> 3. Prendendo i logaritmi per tali X in base 10, otteniamo

L’ultima disuguaglianza potrebbe essere risolta applicando regole di espansione, cioè confrontando i fattori con lo zero. Tuttavia in questo caso è facile determinare gli intervalli di segno costante della funzione

pertanto è possibile applicare il metodo dell'intervallo.

Funzione F(X) = 2X(X- 3.5)lgĀ X- 3ǀ è continuo a X> 3 e svanisce nei punti X 1 = 0, X 2 = 3,5, X 3 = 2, X 4 = 4. Pertanto, determiniamo gli intervalli di segno costante della funzione F(X):

Risposta:

2° metodo . Applichiamo direttamente le idee del metodo degli intervalli alla disuguaglianza originale.

Per fare ciò, ricorda che le espressioni UN B- UN c e ( UN - 1)(B- 1) avere un segno. Allora la nostra disuguaglianza è pari a X> 3 equivale a disuguaglianza

O

L'ultima disuguaglianza viene risolta utilizzando il metodo dell'intervallo

Risposta:

Esempio 3.

Soluzione:

Applichiamo il metodo dell'intervallo

Risposta:

Esempio 4.

Soluzione:

Dal 2 X 2 - 3X+ 3 > 0 per tutto reale X, Quello

Per risolvere la seconda disuguaglianza utilizziamo il metodo degli intervalli

Nella prima disuguaglianza effettuiamo la sostituzione

poi arriviamo alla disuguaglianza 2y 2 - sì - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те sì, che soddisfano la disuguaglianza -0,5< sì < 1.

Da dove, da allora

otteniamo la disuguaglianza

che viene eseguito quando X, per cui 2 X 2 - 3X - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Ora, tenendo conto della soluzione della seconda disuguaglianza del sistema, otteniamo finalmente

Risposta:

Esempio 5.

Soluzione:

La disuguaglianza equivale a un insieme di sistemi

O

Usiamo il metodo dell'intervallo o

Risposta:

Esempio 6.

Soluzione:

La disuguaglianza è uguale al sistema

Permettere

Poi sì > 0,

e la prima disuguaglianza

il sistema prende forma

o, svolgersi

trinomio quadratico scomposto,

Applicando il metodo dell'intervallo all'ultima disuguaglianza,

vediamo che le sue soluzioni soddisfano la condizione sì> 0 sarà tutto sì > 4.

Pertanto, la disuguaglianza originaria è equivalente al sistema:

Quindi, le soluzioni alla disuguaglianza ci sono tutte

2.2. Metodo di razionalizzazione.

In precedenza, la disuguaglianza non veniva risolta utilizzando il metodo della razionalizzazione; Questo è "un nuovo metodo moderno ed efficace per risolvere disuguaglianze esponenziali e logaritmiche" (citazione dal libro di S.I. Kolesnikova)
E anche se l'insegnante lo conosceva, c'era il timore: l'esperto dell'Esame di Stato Unificato lo conosce e perché non lo danno a scuola? Ci sono state situazioni in cui l'insegnante ha detto allo studente: "Dove l'hai preso - 2."
Ora il metodo viene promosso ovunque. E per gli esperti ci sono linee guida associate a questo metodo e nelle "Edizioni più complete di opzioni standard..." nella Soluzione C3 viene utilizzato questo metodo.
METODO MERAVIGLIOSO!

"Tavolo Magico"

In altre fonti

Se a >1 e b >1, quindi log a b >0 e (a -1)(b -1)>0;

Se a >1 e 0

se 0<UN<1 и b >1, quindi registrare un b<0 и (a -1)(b -1)<0;