Somma di seni di angoli diversi. Formule di addizione: dimostrazione, esempi

Non cercherò di convincerti a non scrivere dei foglietti illustrativi. Scrivere! Compresi i foglietti illustrativi sulla trigonometria. Più tardi ho intenzione di spiegare perché sono necessari i cheat sheet e perché sono utili. Ed ecco le informazioni su come non imparare, ma ricordare alcune formule trigonometriche. Quindi: trigonometria senza cheat sheet Usiamo le associazioni per la memorizzazione.

1. Formule di addizione:

I coseni “vengono sempre in coppia”: coseno-coseno, seno-seno. E ancora una cosa: i coseni sono “inadeguati”. Per loro "non va tutto bene", quindi cambiano i segni: "-" in "+" e viceversa.

Seni - “mix”: seno-coseno, coseno-seno.

2. Formule di somma e differenza:

i coseni “vengono sempre in coppia”. Aggiungendo due coseni - "kolobok", otteniamo una coppia di coseni - "kolobok". E sottraendo, sicuramente non otterremo alcun kolobok. Otteniamo un paio di seni. Anche con un meno in vantaggio.

Seni - “mix” :

3. Formule per convertire un prodotto in una somma e una differenza.

Quando otteniamo una coppia coseno? Quando aggiungiamo i coseni. Ecco perché

Quando otteniamo un paio di seni? Quando si sottraggono i coseni. Da qui:

La “miscelazione” si ottiene sia aggiungendo che sottraendo i seni. Cosa c'è di più divertente: aggiungere o sottrarre? Esatto, piega. E per la formula prendono l'addizione:

Nella prima e nella terza formula la somma è tra parentesi. Riorganizzare i luoghi dei termini non cambia la somma. L'ordine è importante solo per la seconda formula. Ma, per non confondersi, per comodità di ricordo, in tutte e tre le formule tra le prime parentesi prendiamo la differenza

e in secondo luogo: l'importo

I foglietti in tasca ti danno tranquillità: se dimentichi la formula, puoi copiarla. E ti danno sicurezza: se non usi il cheat sheet, puoi ricordare facilmente le formule.

Continuiamo la nostra conversazione sulle formule più utilizzate in trigonometria. Le più importanti sono le formule di addizione.

Definizione 1

Le formule di addizione consentono di esprimere le funzioni della differenza o della somma di due angoli utilizzando le funzioni trigonometriche di tali angoli.

Per cominciare, forniremo un elenco completo delle formule di addizione, quindi le dimostreremo e analizzeremo diversi esempi illustrativi.

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Formule di addizione di base in trigonometria

Esistono otto formule fondamentali: seno della somma e seno della differenza di due angoli, coseno della somma e della differenza, rispettivamente tangenti e cotangenti della somma e della differenza. Di seguito sono riportate le loro formulazioni e calcoli standard.

1. Il seno della somma di due angoli può essere ottenuto come segue:

Calcoliamo il prodotto del seno del primo angolo e del coseno del secondo;

Moltiplica il coseno del primo angolo per il seno del primo;

Somma i valori risultanti.

La scrittura grafica della formula è questa: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

2. Il seno della differenza viene calcolato quasi allo stesso modo, solo i prodotti risultanti non devono essere aggiunti, ma sottratti l'uno dall'altro. Pertanto, calcoliamo i prodotti del seno del primo angolo per il coseno del secondo e del coseno del primo angolo per il seno del secondo e troviamo la loro differenza. La formula si scrive così: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β

3. Coseno della somma. Per questo, troviamo i prodotti del coseno del primo angolo per il coseno del secondo e del seno del primo angolo per il seno del secondo, rispettivamente, e troviamo la loro differenza: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

4. Coseno della differenza: calcola i prodotti dei seni e dei coseni di questi angoli, come prima, e sommali. Formula: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. Tangente della somma. Questa formula è espressa come una frazione, il cui numeratore è la somma delle tangenti degli angoli richiesti e il denominatore è un'unità da cui viene sottratto il prodotto delle tangenti degli angoli desiderati. Tutto è chiaro già dalla sua notazione grafica: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. Tangente della differenza. Calcoliamo i valori della differenza e del prodotto delle tangenti di questi angoli e procediamo in modo simile. Al denominatore aggiungiamo a uno, e non viceversa: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. Cotangente dell'importo. Per calcolare utilizzando questa formula, avremo bisogno del prodotto e della somma delle cotangenti di questi angoli, che procediamo come segue: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

8. Cotangente della differenza . La formula è simile alla precedente, ma il numeratore e il denominatore sono meno, non più c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.

Probabilmente hai notato che queste formule sono simili in coppia. Utilizzando i segni ± (più-meno) e ∓ (meno-più), possiamo raggrupparli per facilitare la registrazione:

sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

Di conseguenza, abbiamo una formula di registrazione per la somma e la differenza di ciascun valore, solo in un caso prestiamo attenzione al segno superiore, nell'altro a quello inferiore.

Definizione 2

Possiamo prendere qualsiasi angolo α e β e le formule di addizione per coseno e seno funzioneranno per loro. Se riusciamo a determinare correttamente i valori delle tangenti e delle cotangenti di questi angoli, allora anche per loro saranno valide le formule di addizione per tangente e cotangente.

Come la maggior parte dei concetti di algebra, le formule di addizione possono essere dimostrate. La prima formula che dimostreremo è la formula del coseno differenza. Da esso si può poi facilmente dedurre il resto delle prove.

Chiariamo i concetti base. Avremo bisogno di un cerchio unitario. Funzionerà se prendiamo un certo punto A e ruotiamo gli angoli α e β attorno al centro (punto O). Allora l'angolo tra i vettori O A 1 → e O A → 2 sarà uguale a (α - β) + 2 π · z oppure 2 π - (α - β) + 2 π · z (z è un numero intero qualsiasi). I vettori risultanti formano un angolo uguale a α - β o 2 π - (α - β), oppure può differire da questi valori per un numero intero di giri completi. Dai un'occhiata all'immagine:

Abbiamo utilizzato le formule di riduzione e abbiamo ottenuto i seguenti risultati:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

Risultato: il coseno dell'angolo compreso tra i vettori O A 1 → e O A 2 → è uguale al coseno dell'angolo α - β, quindi cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).

Ricordiamo le definizioni di seno e coseno: il seno è una funzione dell'angolo, uguale al rapporto tra la gamba dell'angolo opposto e l'ipotenusa, il coseno è il seno dell'angolo complementare. Pertanto, i punti UN 1 E Un 2 hanno coordinate (cos α, sin α) e (cos β, sin β).

Otteniamo quanto segue:

O A 1 → = (cos α, sin α) e O A 2 → = (cos β, sin β)

Se non è chiaro, guarda le coordinate dei punti situati all'inizio e alla fine dei vettori.

Le lunghezze dei vettori sono uguali a 1, perché Abbiamo un cerchio unitario.

Analizziamo ora il prodotto scalare dei vettori O A 1 → e O A 2 → . In coordinate appare così:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β

Da ciò possiamo ricavare l’uguaglianza:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Pertanto, la formula della differenza del coseno è dimostrata.

Ora dimostreremo la seguente formula: il coseno della somma. Questo è più semplice perché possiamo usare i calcoli precedenti. Prendiamo la rappresentazione α + β = α - (- β) . Abbiamo:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

Questa è la dimostrazione della formula della somma del coseno. L'ultima riga sfrutta la proprietà del seno e del coseno degli angoli opposti.

La formula del seno di una somma può essere derivata dalla formula del coseno di una differenza. Prendiamo la formula di riduzione per questo:

della forma sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). COSÌ
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

Ed ecco la dimostrazione della formula della differenza seno:

sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Nota l'uso delle proprietà seno e coseno degli angoli opposti nell'ultimo calcolo.

Successivamente abbiamo bisogno delle dimostrazioni delle formule di addizione per tangente e cotangente. Ricordiamo le definizioni di base (la tangente è il rapporto tra seno e coseno e la cotangente è viceversa) e prendiamo le formule già derivate in anticipo. Ce l'abbiamo fatta:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

Abbiamo una frazione complessa. Successivamente, dobbiamo dividere il suo numeratore e denominatore per cos α · cos β, dato che cos α ≠ 0 e cos β ≠ 0, otteniamo:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β

Ora riduciamo le frazioni e otteniamo la seguente formula: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Abbiamo t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Questa è la dimostrazione della formula di addizione tangente.

La prossima formula che dimostreremo è la tangente della formula della differenza. Tutto è chiaramente mostrato nei calcoli:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

Le formule per la cotangente si dimostrano in modo simile:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · peccato β peccato α · peccato β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Ulteriore:
c t g (α - β) = c t g  (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β