Her rakamın anlamı bir asal sayıdır. "Asal sayı" ne anlama geliyor?

asal sayı

birden büyük, kendisinden ve birden başka böleni olmayan doğal sayı: 2, 3, 5, 7, 11, 13... Asal sayıların sayısı sonsuzdur.

asal sayı

kendisinden ve birden başka böleni olmayan, birden büyük pozitif bir tam sayı: 2, 3, 5, 7, 11, 13,... Sayı kavramı, doğal (pozitif tam sayılar) bölünebilirliğinin incelenmesinde temeldir. ) sayılar; Yani, bölünebilirlik teorisinin ana teoremi, 1 dışındaki her pozitif tam sayının, bir dizi sayının çarpımında benzersiz bir şekilde ayrıştırıldığını (faktörlerin sırası dikkate alınmaz) ortaya koyar. Sonsuz sayıda asal sayı vardır (bu öneri eski Yunan matematikçileri tarafından biliniyordu; bunun kanıtı Öklid'in Elementler kitabının 9. kitabında mevcuttur). Doğal sayıların bölünebilirliğiyle ilgili sorular ve dolayısıyla asal sayılarla ilgili sorular, grupların incelenmesinde önemlidir; özellikle, sonlu sayıda element içeren bir grubun yapısı, bu sayıdaki elementlerin (grubun sırası) asal faktörlere ayrıştırılma şekliyle yakından ilgilidir. Cebirsel sayılar teorisi cebirsel tam sayıların bölünebilirliği konularıyla ilgilenir; Kısmi sayı kavramının, bölünebilirlik teorisi oluşturmak için yetersiz kaldığı ortaya çıktı; bu, bir ideal kavramının yaratılmasına yol açtı. P. G. L. Dirichlet 1837'de x = 1, 2,... için eş asal tamsayılar a ve b ile a + bx aritmetik dizisinin sonsuz sayıda asal sayı içerdiğini tespit etti. Doğal sayı dizilerindeki asal sayıların dağılımını belirlemek çok zordur. sayılar teorisinde problem Pozitif bir x sayısını aşmayan kısmi sayıların sayısını ifade eden p(x) fonksiyonunun asimptotik davranışının bir çalışması olarak formüle edilmiştir. Bu yöndeki ilk sonuçlar, 1850'de ═ olacak şekilde iki a ve A sabitinin olduğunu kanıtlayan P.L. Chebyshev'e aittir.< p(x) < ═при любых x ³ 2 [т. е., что p(х) растет, как функция ]. Хронологически следующим значительным результатом, уточняющим теорему Чебышева, является т. н. асимптотический закон распределения П. ч. (Ж. Адамар, 1896, Ш. Ла Валле Пуссен, 1896), заключающийся в том, что предел отношения p(х) к ═равен

Daha sonra matematikçilerin, sayıların sıklığının asimptotik dağılım yasasını açıklığa kavuşturmaya yönelik önemli çabaları, sayıların sıklığının dağılımına ilişkin sorular hem temel yöntemlerle hem de matematiksel analiz yöntemleriyle incelenmektedir. Kimliğin kullanımına dayalı yöntem özellikle verimlidir.

(çarpım tüm P. h. p = 2, 3,...'e uzanır), ilk olarak L. Euler ile gösterilir; bu özdeşlik, gerçel kısmı birlikten büyük olan tüm karmaşık s'ler için geçerlidir. Bu kimliğe dayanarak, P. sayılarının dağılımına ilişkin sorular, Res > 1 için seri tarafından belirlenen özel bir ≈ zeta fonksiyonu x(s) fonksiyonunun incelenmesine yol açar.

Bu fonksiyon Chebyshev tarafından reel sayılar için asal sayıların dağılımına ilişkin sorularda kullanılmıştır; B. Riemann, s'nin karmaşık değerleri için x(s)'yi çalışmanın önemine dikkat çekti. Riemann, x(s) = 0 denkleminin sağ yarı düzlemde yer alan tüm köklerinin 1/'ye eşit bir gerçek kısma sahip olduğunu varsaydı.

Bu hipotez bugüne kadar kanıtlanmamıştır (1975); onun kanıtı, asal sayıların dağılımı probleminin çözümünde çok işe yarayacaktır. Asal sayıların dağılımına ilişkin sorular, Goldbach problemi, hâlâ çözülmemiş olan "ikizler" problemi ve analitik sayılar teorisinin diğer problemleri ile yakından ilgilidir. "İkizlerin" sorunu, aralarında 2 fark bulunan P. sayılarının sayısının (örneğin 11 ve 13 gibi) sonlu mu yoksa sonsuz mu olduğunu bulmaktır. İlk 11 milyon doğal sayı içinde yer alan P. sayıları tabloları çok büyük “ikizlerin” (örneğin 10006427 ve 10006429) varlığını göstermektedir, ancak bu onların sayısının sonsuzluğunun kanıtı değildir. Derlenmiş tabloların dışında, basit bir aritmetik ifadeye izin veren bireysel P. numaraları bilinmektedir [örneğin, 211213 ≈1'in bir P. numarası olduğu tespit edilmiştir (1965); 3376 rakamı var].

Kaynak: Vinogradov I.M., Sayı Teorisinin Temelleri, 8. baskı, M., 1972; Hasse G., Sayılar teorisi üzerine dersler, çev. German, M., 1953'ten; Ingham A.E., Asal sayıların dağılımı, çev. İngilizce'den, M. ≈ L., 1936; Prahar K., Asal sayıların dağılımı, çev. German, M., 1967'den; Trost E., Asal sayılar, çev., Almancadan, M., 1959.

Vikipedi

asal sayı

asal sayı- tam olarak iki farklı doğal böleni ve kendisi olan bir doğal sayı. Başka bir deyişle, sayı X 1'den büyükse ve yalnızca 1'e kalansız bölünebiliyorsa asaldır ve X. Örneğin, 5 bir asal sayıdır ve 6 bir bileşik sayıdır; çünkü 1 ve 6'ya ek olarak 2 ve 3'e de bölünebilir.

Birden büyük olan ve asal sayı olmayan doğal sayılara bileşik sayılar denir. Böylece tüm doğal sayılar üç sınıfa ayrılır: Bir. Sayı teorisi asal sayıların özelliklerini inceler. Halka teorisinde asal sayılar indirgenemez elemanlara karşılık gelir.

Asal sayıların sırası şu şekilde başlar:

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 131 , 137 , 139 , 149 , 151 , 157 , 163 , 167 , 173 , 179 , 181 , 191 , 193 , 197 , 199 …

İlya'nın cevabı doğru ama çok ayrıntılı değil. Bu arada, 18. yüzyılda bir sayı hâlâ asal sayı olarak kabul ediliyordu. Örneğin Euler ve Goldbach gibi büyük matematikçiler. Goldbach, milenyumun yedi probleminden biri olan Goldbach hipotezinin yazarıdır. Orijinal formülasyon, her çift sayının iki asal sayının toplamı olarak temsil edilebileceğini belirtir. Üstelik başlangıçta asal sayı olarak 1 dikkate alınıyordu ve şunu görüyoruz: 2 = 1+1. Bu, hipotezin orijinal formülasyonunu karşılayan en küçük örnektir. Daha sonra düzeltildi ve formülasyon modern bir biçim kazandı: "4 ile başlayan her çift sayı, iki asal sayının toplamı olarak gösterilebilir."

Tanımını hatırlayalım. Asal sayı, yalnızca 2 farklı doğal böleni olan bir p doğal sayısıdır: p'nin kendisi ve 1. Tanımdan çıkan sonuç: p asal sayısının yalnızca bir asal böleni vardır - p'nin kendisi.

Şimdi 1'in asal sayı olduğunu varsayalım. Tanım gereği, bir asal sayının yalnızca bir asal böleni vardır; kendisi. Daha sonra, 1'den büyük herhangi bir asal sayının, kendisinden farklı bir asal sayıya (1'e) bölünebildiği ortaya çıktı. Ancak iki farklı asal sayı birbirine bölünemez çünkü aksi takdirde bunlar asal sayılar değil bileşik sayılardır ve bu da tanımla çelişir. Bu yaklaşımla, yalnızca 1 asal sayının olduğu ortaya çıkıyor - birimin kendisi. Ama bu çok saçma. Bu nedenle 1 asal sayı değildir.

1 ve 0, başka bir sayı sınıfını oluşturur; cebirsel alanın bazı alt kümelerindeki n'li işlemlere göre nötr elemanlar sınıfı. Ayrıca toplama işlemi açısından 1 aynı zamanda tamsayılar halkası için de üretici bir elemandır.

Bu düşünceyle asal sayıların diğer cebirsel yapılardaki benzerlerini keşfetmek zor değildir. 1: 2, 4, 8, 16 vb.'den başlayarak 2'nin kuvvetlerinden oluşan çarpımsal bir grubumuz olduğunu varsayalım. 2 burada biçimlendirici bir unsur görevi görüyor. Bu gruptaki asal sayı, en küçük elementten büyük olan ve yalnızca kendisine ve en küçük elemente bölünebilen sayıdır. Grubumuzda sadece 4 tanesinin bu özelliği var. Grubumuzda artık asal sayı yok.

Eğer 2 bizim grubumuzda da bir asal sayı olsaydı, o zaman ilk paragrafa bakın; yine sadece 2'nin asal sayı olduğu ortaya çıkar.

Diğer tüm doğal sayılara bileşik sayı denir. 1 doğal sayısı ne asal ne de bileşiktir.

Örnek

Egzersiz yapmak. Aşağıda yazılı doğal sayılardan hangileri asaldır?

Cevap.

Bir sayıyı çarpanlara ayırma

Bir doğal sayının doğal sayıların çarpımı olarak temsiline ne ad verilir? çarpanlara ayırma. Bir doğal sayının çarpanlara ayrılmasında tüm faktörler asal sayı ise bu tür çarpanlara ayırma denir. asal çarpanlara ayırma.

Teorem

(Aritmetiğin Temel Teoremi)

1 dışındaki her doğal sayı, benzersiz bir şekilde asal çarpanlara ayrılabilir (eğer çarpanlara ayırmayı tanımlarsak ve ve asal sayılardır).

Bir sayının ayrıştırılmasında aynı asal faktörleri birleştirerek, bir sayının kanonik ayrıştırılmasını elde ederiz:

burada , çeşitli asal sayılardır ve doğal sayılardır.

Örnek

Egzersiz yapmak. Sayıların kanonik açılımını bulun:

Çözüm. Sayıların kanonik ayrıştırmasını bulmak için, önce onları asal çarpanlara ayırmanız, ardından aynı çarpanları birleştirmeniz ve bunların çarpımını doğal bir üslü kuvvet olarak yazmanız gerekir:

Cevap.

Tarihsel referans

Hangi sayının asal olup hangisinin asal olmadığı nasıl belirlenir? Herhangi bir sayı aralığındaki tüm asal sayıları bulmanın en yaygın yöntemi 3. yüzyılda önerildi. M.Ö e. Eratosthenes (yönteme “Eratosthenes eleği” denir). Hangi sayıların asal olduğunu belirlememiz gerektiğini varsayalım. Bunları arka arkaya yazalım ve 2 sayısını takip eden her ikinci sayının üzerini çizelim - hepsi bileşiktir, çünkü bunlar 2 sayısının katlarıdır. Geriye kalan üzeri çizilmemiş sayılardan ilki - 3 - asaldır. 3 rakamından sonra gelen her üçüncü rakamın üzerini çizelim; Çaprazlanmamış sayıların bir sonraki - 5 - de asal olacaktır. Aynı prensibi kullanarak, 5 sayısını takip edenlerden her beşinci sayının ve genel olarak sayının ardından gelenlerin her birinin üzerini çizeceğiz. Geriye kalan çaprazlanmamış sayıların tümü asal sayı olacaktır.

Asal sayılar arttıkça giderek daha az yaygın hale gelirler. Ancak kadim insanlar bunlardan sonsuz sayıda olduğunun zaten farkındaydı. Onun kanıtı Öklid'in Elementleri'nde verilmiştir.

Bölenlerin numaralandırılması. Tanım gereği sayı N yalnızca 2'ye ve 1 ve kendisi dışındaki diğer tam sayılara eşit olarak bölünemediğinde asaldır. Yukarıdaki formül, gereksiz adımları ortadan kaldırır ve zaman tasarrufu sağlar: Örneğin, bir sayının 3'e bölünüp bölünemediğini kontrol ettikten sonra, 9'a bölünebilir olup olmadığını kontrol etmeye gerek yoktur.

• Floor(x) işlevi, x'i x'ten küçük veya ona eşit olan en yakın tam sayıya yuvarlar.

Modüler aritmetik hakkında bilgi edinin."X mod y" işlemi (mod, Latince "modulo" yani "modül" kelimesinin kısaltmasıdır) "x'i y'ye böl ve kalanı bul" anlamına gelir. Başka bir deyişle, modüler aritmetikte belirli bir değere ulaşıldığında buna denir. modül, sayılar tekrar sıfıra "döner". Örneğin bir saat, zamanı 12 modülüyle tutar: saat 10, 11 ve 12'yi gösterir ve sonra 1'e döner.

• Çoğu hesap makinesinde mod tuşu bulunur. Bu bölümün sonunda bu fonksiyonun büyük sayılar için manuel olarak nasıl değerlendirileceği gösterilmektedir.

asal sayı kalansız olarak yalnızca iki doğal sayıya bölünebilen doğal (pozitif tam sayı) bir sayıdır: kendine ve kendine. Başka bir deyişle, bir asal sayının tam olarak iki doğal böleni vardır: ve sayının kendisi.

Tanım gereği, bir asal sayının tüm bölenlerinden oluşan küme iki öğelidir, yani. bir kümeyi temsil eder.

Tüm asal sayıların kümesi sembolü ile gösterilir. Böylece asal sayılar kümesinin tanımı nedeniyle şunu yazabiliriz: .

Asal sayıların sırası şuna benzer:

Aritmetiğin Temel Teoremi

Aritmetiğin Temel Teoremi birden büyük her doğal sayının asal sayıların çarpımı olarak ve çarpanların sırasına göre benzersiz bir şekilde temsil edilebileceğini belirtir. Dolayısıyla asal sayılar, doğal sayılar kümesinin temel "yapı taşlarıdır".

Doğal sayı genişletmesi title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} kanonik:

asal sayı nerede ve . Örneğin, bir doğal sayının kanonik açılımı şuna benzer: .

Bir doğal sayının asal sayıların çarpımı olarak temsiline de denir. bir sayının çarpanlarına ayrılması.

Asal Sayıların Özellikleri

Eratostenes Eleği

Asal sayıları aramak ve tanımak için en ünlü algoritmalardan biri Eratostenes eleği. Yani bu algoritmaya, algoritmanın yazarı sayılan Yunan matematikçi Cyrene'li Eratosthenes'in adı verilmiştir.

Belirli bir sayıdan küçük tüm asal sayıları Eratosthenes'in yöntemini kullanarak bulmak için şu adımları izleyin:

Aşama 1.İkiden 'ye kadar olan tüm doğal sayıları yazın, yani. .
Adım 2. Değişkene değeri, yani en küçük asal sayıya eşit değeri atayın.
Aşama 3. Listede 'den 'ye kadar olan ve katı olan tüm sayıların üzerini çizin, yani: .
Adım 4. Listede 'den büyük olan ilk çaprazlanmamış sayıyı bulun ve bu sayının değerini bir değişkene atayın.
Adım 5. Sayıya ulaşılana kadar 3. ve 4. adımları tekrarlayın.

Algoritmayı uygulama süreci şöyle görünecektir:

Algoritmanın uygulanması işlemi sonunda listede kalan çaprazlanmamış sayıların tümü, 'den 'ye kadar olan asal sayılar kümesi olacaktır.

Goldbach varsayımı

“Petros Amca ve Goldbach Hipotezi” kitabının kapağı

Asal sayılar uzun zamandır matematikçiler tarafından inceleniyor olmasına rağmen, asal sayılar ile ilgili pek çok problem günümüzde çözülememiştir. En ünlü çözülmemiş problemlerden biri Goldbach'ın hipotezi aşağıdaki gibi formüle edilmiştir:

• İkiden büyük her çift sayının iki asal sayının toplamı olarak temsil edilebileceği doğru mudur (Goldbach'ın ikili hipotezi)?
• 5'ten büyük her tek sayının üç asal sayının toplamı olarak gösterilebileceği doğru mudur (Goldbach'ın üçlü hipotezi)?

Üçlü Goldbach hipotezinin ikili Goldbach hipotezinin özel bir durumu olduğu veya matematikçilerin dediği gibi üçlü Goldbach hipotezinin ikili Goldbach hipotezinden daha zayıf olduğu söylenmelidir.

Goldbach'ın varsayımı, 2000 yılında Bloomsbury USA (ABD) ve Faber ve Faber (İngiltere) yayın şirketlerinin tanıtım amaçlı pazarlama çalışmaları sayesinde matematik camiası dışında da geniş çapta tanındı. “Petros Amca ve Goldbach’ın Varsayımları” kitabını yayınlayan bu yayıncılar, kitabın yayınlandığı tarihten itibaren 2 yıl içinde Goldbach’ın hipotezini kanıtlayan herkese 1 milyon ABD doları ödül verme sözü verdiler. Bazen yayıncıların verdiği söz konusu ödül, Milenyum Ödülü Sorunlarını çözmeye yönelik ödüllerle karıştırılıyor. Yanlış anlaşılmasın, Goldbach'ın hipotezi Clay Enstitüsü tarafından "milenyum mücadelesi" olarak sınıflandırılmamıştır, ancak her ne kadar Riemann hipotezi- “milenyumun zorluklarından” biri.

“Asal sayılar” kitabı. Sonsuzluğa giden uzun yol"

“Matematik Dünyası” kitabının kapağı. Asal sayılar. Sonsuzluğa giden uzun yol"

Ek olarak, ek açıklamasında şöyle yazan büyüleyici bir popüler bilim kitabını okumanızı tavsiye ederim: “Asal sayıların araştırılması matematikteki en paradoksal problemlerden biridir. Bilim adamları birkaç bin yıldır bunu çözmeye çalışıyorlar, ancak yeni versiyonlar ve hipotezlerle birlikte büyüyen bu gizem hala çözülmemiş durumda. Asal sayıların ortaya çıkışı herhangi bir sisteme tabi değildir: doğal sayılar dizisinde kendiliğinden ortaya çıkarlar, matematikçilerin sıralarındaki kalıpları belirlemeye yönelik tüm girişimlerini göz ardı ederler. Bu kitap, okuyucunun bilimsel fikirlerin antik çağlardan günümüze kadar olan evriminin izini sürmesine ve asal sayıların araştırılmasına ilişkin en ilginç teorileri tanıtmasına olanak tanıyacak."

Ayrıca bu kitabın ikinci bölümünün başından alıntı yapacağım: “Asal sayılar bizi matematiğin kökenlerine götüren ve giderek karmaşıklaşan bir yolda bizi ön sıralara taşıyan önemli konulardan biridir. modern bilimin. Dolayısıyla asal sayı teorisinin büyüleyici ve karmaşık tarihinin izini sürmek çok faydalı olacaktır: tam olarak nasıl geliştiğini, şu anda genel olarak kabul edilen gerçeklerin ve gerçeklerin tam olarak nasıl toplandığını. Bu bölümde, nesiller boyu matematikçilerin, asal sayıların ortaya çıkışını öngören bir kuralı (araştırma ilerledikçe giderek anlaşılması zor hale gelen bir kuralı) bulmak için doğal sayıları nasıl dikkatle incelediğini göreceğiz. Ayrıca tarihsel bağlama da ayrıntılı olarak bakacağız: matematikçilerin hangi koşullar altında çalıştığını ve çalışmalarının, günümüzde kullanılan bilimsel yöntemlerden oldukça farklı olan mistik ve yarı dini uygulamaları ne ölçüde içerdiğini. Ancak yavaş yavaş ve zorlukla, 17. ve 18. yüzyıllarda Fermat ve Euler'e ilham veren yeni görüşlerin zemini hazırlandı.”