Harmonik titreşimlerin tanımı. Salınımlar

Mekanik harmonik salınım- bu, salınan bir cismin (maddi nokta) koordinatlarının zamana bağlı olarak kosinüs veya sinüs yasasına göre değiştiği doğrusal olmayan düzensiz bir harekettir.

Bu tanıma göre koordinatların zamana bağlı değişimi kanunu şu şekildedir:

wt kosinüs veya sinüs işaretinin altındaki miktardır; w- fiziksel anlamı aşağıda açıklanacak olan katsayı; A, mekanik harmonik titreşimlerin genliğidir.

Denklemler (4.1) mekanik harmonik titreşimlerin temel kinematik denklemleridir.

Aşağıdaki örneği düşünün. Öküz eksenini ele alalım (Şek. 64). 0 noktasından yarıçapı R = A olan bir daire çiziyoruz. M noktasının 1. konumdan itibaren daire etrafında sabit hızla hareket etmesine izin verin. v(veya sabit açısal hızla w, v = wА). Bir süre sonra yarıçap bir açıyla dönecektir f: f=ağırlık.

M noktasının böyle bir dairesel hareketi ile, M x x eksenine izdüşümü x ekseni boyunca hareket edecek, koordinatı x x = A'ya eşit olacaktır çünkü f = = Birçünkü ağırlık. Dolayısıyla, eğer maddi bir nokta, merkezi koordinatların orijini ile çakışan A yarıçaplı bir daire boyunca hareket ederse, bu noktanın x ekseni (ve y ekseni) üzerindeki izdüşümü harmonik mekanik titreşimler gerçekleştirecektir.

Kosinüs işaretinin altındaki wt değeri ve A genliği biliniyorsa, denklem (4.1) ile x de belirlenebilir.

Belirli bir genlikte salınım noktasının koordinatını benzersiz bir şekilde belirleyen, kosinüs (veya sinüs) işaretinin altında duran wt miktarına denir. salınım aşaması. Bir daire içinde hareket eden bir M noktası için w değeri açısal hızı anlamına gelir. Mekanik harmonik salınım yapan bir Mx noktası için w değerinin fiziksel anlamı nedir? Salınım noktası M x'in koordinatları, t zamanındaki bir noktada ve (T +1) (T periyodunun tanımından), yani A cos'ta aynıdır. ağırlık = A cos w (t + T), bunun anlamı şudur: w(t + T) - ağırlık = 2 PI(kosinüs fonksiyonunun periyodiklik özelliğinden). Şunu takip ediyor

Sonuç olarak, harmonik mekanik salınımlar gerçekleştiren maddesel bir nokta için w'nin değeri, belirli bir aralıktaki salınımların sayısı olarak yorumlanabilir. döngü zaman eşit 2 litre. Bu nedenle değer w isminde döngüsel(veya dairesel) frekans.

M noktası hareketine 1. noktadan değil de 2. noktadan başlıyorsa denklem (4.1) şu şekli alacaktır:

Boyut f 0 isminde başlangıç aşaması.

Koordinatın zamana göre türevi olarak M x noktasının hızını buluyoruz:

Harmonik kanuna göre salınan bir noktanın ivmesini hızın türevi olarak tanımlarız:

Formül (4.4)'ten harmonik salınım yapan bir noktanın hızının da kosinüs yasasına göre değiştiği açıktır. Ancak faz hızı koordinatın önündedir. PI/2. Harmonik bir salınım sırasındaki ivme, kosinüs yasasına göre değişir, ancak faz olarak koordinatın ilerisindedir. P. Denklem (4.5) x koordinatı cinsinden yazılabilir:

Harmonik titreşimler sırasındaki ivme, ters işaretli yer değiştirmeyle orantılıdır. Denklemin (4.5) sağ ve sol taraflarını salınım yapan madde m noktasının kütlesi ile çarparsak, aşağıdaki ilişkileri elde ederiz:

Newton'un ikinci yasasına göre (4.6) ifadesinin sağ tarafının fiziksel anlamı, harmonik mekanik hareketi sağlayan Fx kuvvetinin izdüşümüdür:

F x'in değeri, x yer değiştirmesi ile orantılıdır ve ona zıt yöndedir. Böyle bir kuvvetin bir örneği, büyüklüğü deformasyonla orantılı olan ve ona zıt yönde yönlendirilen elastik kuvvettir (Hooke yasası).

Mekanik harmonik salınımlar için göz önünde bulundurduğumuz denklem (4.6)'dan çıkan ivmeye karşı yer değiştirme modeli genelleştirilebilir ve farklı fiziksel nitelikteki salınımlar (örneğin, bir salınım devresindeki akımdaki bir değişiklik, bir titreşim) dikkate alındığında uygulanabilir. yük değişimi, voltaj, manyetik alan indüksiyonu, vb.) d.). Bu nedenle denklem (4.8)'e ana denklem denir harmonik dinamikler.

Bir yayın hareketini ve matematiksel sarkacın hareketini ele alalım.

Yatay olarak yerleştirilmiş ve 0 noktasında sabitlenmiş bir yayın (Şekil 63), bir ucunda sürtünme olmadan x ekseni boyunca hareket edebilen m kütleli bir cisme tutturulmasına izin verin. Yay sertlik katsayısı k'ya eşit olsun. m cismini dışarıdan bir kuvvetle denge konumundan çıkarıp serbest bırakalım. Daha sonra x ekseni boyunca gövdeye yalnızca elastik bir kuvvet etki edecektir ve bu, Hooke yasasına göre şuna eşit olacaktır: F yпp = -kx.

Bu cismin hareket denklemi şu şekilde olacaktır:

(4.6) ve (4.9) denklemlerini karşılaştırarak iki sonuç çıkarıyoruz:

Formül (4.2) ve (4.10)'dan yay üzerindeki yükün salınım periyoduna ilişkin formülü türetiyoruz:

Matematiksel bir sarkaç, ihmal edilebilir kütleye sahip, uzatılamaz uzun bir iplik üzerinde asılı duran m kütleli bir cisimdir. Denge konumunda bu cisme yerçekimi kuvveti ve ipliğin elastik kuvveti etki edecektir. Bu kuvvetler birbirini dengeleyecektir.

İplik belli bir açıyla eğilirse A denge konumundan, aynı kuvvetler vücuda etki eder, ancak artık birbirlerini dengelemezler ve vücut, yaya teğet boyunca yönlendirilen ve mg sin'e eşit bir yerçekimi bileşeninin etkisi altında bir yay boyunca hareket etmeye başlar. A.

Sarkacın hareket denklemi şu şekli alır:

Sağ taraftaki eksi işareti, F x = mg sin a kuvvetinin yer değiştirmeye karşı yönlendirildiği anlamına gelir. Küçük sapma açılarında harmonik salınım meydana gelecektir; 2* günah A.

Günahı değiştirelim ve denklem (4.12) kullanılarak aşağıdaki denklem elde edilir.

Sinüzoidal bir yasaya göre zamanla değişir:

Nerede X- dalgalanan miktarın o andaki değeri T, A- genlik, ω - dairesel frekans, φ - salınımların başlangıç aşaması, ( φt + φ ) - salınımların tam aşaması. Aynı zamanda değerler A, ω Ve φ - kalıcı.

Değişken büyüklükteki mekanik titreşimler için X elektriksel titreşimler için özellikle yer değiştirme ve hız, yani gerilim ve akımdır.

Harmonik salınımlar, tüm salınım türleri arasında özel bir yere sahiptir, çünkü bu, herhangi bir homojen ortamdan geçerken şekli bozulmayan tek salınım türüdür, yani harmonik salınımların kaynağından yayılan dalgalar da harmonik olacaktır. Harmonik olmayan herhangi bir salınım, çeşitli harmonik salınımların (harmonik salınımlar spektrumu biçiminde) toplamı (integral) olarak temsil edilebilir.

Harmonik titreşimler sırasında enerji dönüşümleri.

Salınım işlemi sırasında potansiyel enerji transferi meydana gelir Wp kinetik için hafta ve tam tersi. Denge konumundan maksimum sapma konumunda potansiyel enerji maksimum, kinetik enerji sıfırdır. Denge konumuna geri döndüğünde salınım yapan cismin hızı artar ve bununla birlikte kinetik enerji de artar ve denge konumunda maksimuma ulaşır. Potansiyel enerji sıfıra düşer. Hızın azalmasıyla daha fazla hareket meydana gelir ve sapma ikinci maksimuma ulaştığında sıfıra düşer. Buradaki potansiyel enerji başlangıç (maksimum) değerine (sürtünme olmadığında) yükselir. Böylece, kinetik ve potansiyel enerjilerin salınımları iki kat frekansta (sarkaçın kendi salınımlarıyla karşılaştırıldığında) meydana gelir ve antifazdadır (yani aralarında eşit bir faz kayması vardır). π ). Toplam titreşim enerjisi K değişmeden kalır. Elastik bir kuvvetin etkisi altında salınan bir cisim için şuna eşittir:

Nerede v m— maksimum vücut hızı (denge konumunda), xm = A- genlik.

Ortamın sürtünmesi ve direnci nedeniyle serbest titreşimler zayıflar: enerjileri ve genlikleri zamanla azalır. Bu nedenle pratikte serbest salınımlar yerine zorlanmış salınımlar sıklıkla kullanılır.

§ 6. MEKANİK TİTREŞİMLERTemel formüller

Harmonik Denklem

Nerede X - salınım noktasının denge konumundan yer değiştirmesi; T- zaman; A,ω, φ - sırasıyla genlik, açısal frekans, salınımların başlangıç fazı; - şu anda salınımların aşaması T.

Açısal frekans

burada ν ve T salınımların frekansı ve periyodudur.

Harmonik salınım yapan bir noktanın hızı

Harmonik salınım sırasında hızlanma

Genlik A bir düz çizgi boyunca meydana gelen, aynı frekanslara sahip iki salınımın eklenmesiyle elde edilen salınım, formülle belirlenir.

Nerede A 1 Ve A 2 - titreşim bileşenlerinin genlikleri; φ 1 ve φ 2 bunların başlangıç aşamalarıdır.

Ortaya çıkan salınımın başlangıç fazı φ formülden bulunabilir.

Aynı düz çizgi boyunca farklı fakat benzer frekanslara sahip ν 1 ve ν 2 ile meydana gelen iki salınımın eklenmesiyle ortaya çıkan vuruşların frekansı,

A 1 ve A 2 genlikleri ve φ 1 ve φ 2 başlangıç fazları ile karşılıklı olarak dik iki salınımlara katılan bir noktanın yörüngesinin denklemi,

Salınım bileşenlerinin başlangıç fazları φ 1 ve φ 2 aynıysa, yörünge denklemi şu şekli alır:

yani nokta düz bir çizgide hareket eder.

Faz farkının olması durumunda denklem şu şekli alır:

yani nokta bir elips boyunca hareket eder.

Maddi bir noktanın harmonik salınımlarının diferansiyel denklemi

, veya m noktanın kütlesidir; k- yarı elastik kuvvet katsayısı ( k=Tω2).

Harmonik salınımlar gerçekleştiren maddi bir noktanın toplam enerjisi

Bir yay üzerinde asılı duran bir cismin salınım periyodu (yay sarkaç)

Nerede M- vücut kütlesi; k- yay sertliği. Formül, Hooke yasasının karşılandığı sınırlar dahilindeki elastik titreşimler için geçerlidir (cismin kütlesine kıyasla yayın küçük bir kütlesi ile).

Matematiksel bir sarkacın salınım periyodu

Nerede ben- sarkacın uzunluğu; G- yerçekimi ivmesi. Fiziksel bir sarkacın salınım periyodu

Nerede J- salınan cismin eksene göre atalet momenti

tereddüt; A- sarkacın kütle merkezinin salınım ekseninden uzaklığı;

Fiziksel sarkacın kısaltılmış uzunluğu.

Verilen formüller sonsuz küçük genlikler durumunda doğrudur. Sonlu genlikler için bu formüller yalnızca yaklaşık sonuçlar verir. Genliklerin daha büyük olmaması durumunda, dönem değerindeki hata %1'i aşmaz.

Elastik bir ip üzerinde asılı duran bir cismin burulma titreşimlerinin periyodu

Nerede J- elastik ipliğe denk gelen eksene göre gövdenin atalet momenti; k- elastik bir ipliğin sertliği, iplik büküldüğünde ortaya çıkan elastik momentin, ipliğin büküldüğü açıya oranına eşittir.

Sönümlü salınımların diferansiyel denklemi , veya ,

Nerede R- direnç katsayısı; δ - sönümleme katsayısı: ;ω 0 - salınımların doğal açısal frekansı *

Sönümlü Salınım Denklemi

Nerede A(t)- şu anda sönümlü salınımların genliği T;ω onların açısal frekansıdır.

Sönümlü salınımların açısal frekansı

О Sönümlü salınımların genliğinin zamana bağlılığı

BEN

Nerede A 0 - şu andaki salınımların genliği T=0.

Logaritmik salınım azalması

Nerede A(t) Ve A(t+T)- zaman içinde bir periyotla ayrılmış iki ardışık salınımın genliği.

Zorlanmış salınımların diferansiyel denklemi

salınan bir malzeme noktasına etki eden ve zorlanmış salınımlara neden olan harici bir periyodik kuvvet nerede; F 0 - genlik değeri;

Zorunlu salınımların genliği

Rezonans frekansı ve rezonans genliği Ve

Problem çözme örnekleri

Örnek 1. Nokta yasaya göre salınıyor x(t)=, Nerede A=2 bkz. Başlangıç fazını φ belirleyin:

X(0)=cm ve X , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо- мента T=0.

Çözüm. Hareket denklemini kullanalım ve o andaki yer değiştirmeyi ifade edelim. T=0 başlangıç aşamasına kadar:

Buradan başlangıç aşamasını buluyoruz:

* Harmonik titreşimler için daha önce verilen formüllerde, aynı miktar basitçe ω (0 endeksi olmadan) olarak gösterildi.

Verilen değerleri bu ifadede yerine koyalım X(0) ve A:φ= = . Argümanın değeri iki açı değeriyle karşılanır:

φ açısının bu değerlerinden hangisinin aynı zamanda koşulu da karşıladığına karar vermek için önce şunu buluruz:

Değeri bu ifadeye koymak T=0 ve dönüşümlü olarak başlangıç aşamalarının değerleri ve buluruz

T her zaman ki gibi A>0 ve ω>0 ise, bu durumda başlangıç fazının yalnızca ilk değeri koşulu karşılar. Böylece istenilen başlangıç aşaması

Bulunan φ değerini kullanarak bir vektör diyagramı oluşturuyoruz (Şekil 6.1). Örnek 2. Kütleli malzeme noktası T=5 g frekansla harmonik salınımlar gerçekleştirir ν =0,5 Hz. Salınım genliği A=3 cm Şunu belirleyin: 1) hız υ. yer değiştirmenin gerçekleştiği andaki noktalar x== 1,5 cm; 2) noktaya etkiyen maksimum kuvvet Fmax; 3) Şek. 6.1 toplam enerji e salınım noktası.

ve yer değiştirmenin birinci zamana göre türevini alarak hız formülünü elde ederiz:

Hızı yer değiştirme yoluyla ifade etmek için, zamanı formül (1) ve (2)'den hariç tutmak gerekir. Bunu yapmak için her iki denklemin karesini alırız ve ilkini şuna böleriz: A 2 , ikincisini A 2 ω 2 üzerine ekleyin ve şunu ekleyin:

, veya

υ için son denklemi çözdükten sonra , bulacağız

Bu formülü kullanarak hesaplamalar yaptıktan sonra şunu elde ederiz:

Artı işareti, hızın yönünün eksenin pozitif yönüyle çakıştığı duruma karşılık gelir X, eksi işareti - hızın yönü eksenin negatif yönüyle çakıştığında X.

Harmonik salınım sırasındaki yer değiştirme, denklem (1)'e ek olarak denklemle de belirlenebilir.

Aynı çözümü bu denklemle tekrarladığımızda aynı cevabı elde ederiz.

2. Bir noktaya etki eden kuvveti Newton'un ikinci yasasını kullanarak buluyoruz:

Nerede A - Hızın zamana göre türevini alarak elde ettiğimiz noktanın ivmesi:

İvme ifadesini formül (3)'te değiştirerek şunu elde ederiz:

Dolayısıyla kuvvetin maksimum değeri

π, ν değerlerini bu denklemde yerine koyarsak, T Ve A, bulacağız

3. Salınım noktasının toplam enerjisi, zamanın herhangi bir anı için hesaplanan kinetik ve potansiyel enerjilerin toplamıdır.

Toplam enerjiyi hesaplamanın en kolay yolu kinetik enerjinin maksimum değere ulaştığı andır. Bu anda potansiyel enerji sıfırdır. Bu nedenle toplam enerji e salınım noktası maksimum kinetik enerjiye eşittir

Maksimum hızı formül (2)'ye göre belirliyoruz: . Hız ifadesini formül (4)'te yerine koyarsak, şunu buluruz:

Büyüklüklerin değerlerini bu formülde yerine koyup hesaplamalar yaparak şunu elde ederiz:

veya µJ.

Örnek 3.İnce bir çubuk uzunluğunun uçlarında ben= 1 m ve kütle M 3 =400 g kütleli takviyeli küçük toplar M 1 =200 gr Ve M 2 =300g. Çubuk yatay bir eksen etrafında dik olarak salınır.

çubuğa diktir ve ortasından geçer (Şekil 6.2'deki O noktası). Dönemi tanımla Tçubuğun yaptığı salınımlar.

Çözüm. Bilyalı bir çubuk gibi fiziksel bir sarkacın salınım periyodu aşağıdaki ilişkiyle belirlenir:

Nerede J- T - kütlesi; ben İLE - sarkacın kütle merkezinden eksene olan mesafe.

Bu sarkacın eylemsizlik momenti topların eylemsizlik momentlerinin toplamına eşittir. J 1 ve J 2 ve çubuk J 3:

Topları maddi noktalar olarak alarak eylemsizlik momentlerini ifade ederiz:

Eksen çubuğun ortasından geçtiği için bu eksene göre eylemsizlik momenti J 3 = =. Ortaya çıkan ifadelerin değiştirilmesi J 1 , J 2 Ve J Formül (2)'de Şekil 3'ü kullanarak fiziksel sarkacın toplam eylemsizlik momentini buluruz:

Bu formülü kullanarak hesaplamalar yaptıktan sonra şunu buluruz:

Pirinç. 6.2 Sarkacın kütlesi topların kütlelerinden ve çubuğun kütlesinden oluşur:

Mesafe ben İLE Sarkacın kütle merkezini, aşağıdaki hususlara dayanarak salınım ekseninden bulacağız. Eksen ise Xçubuk boyunca yönlendirin ve koordinatların kökenini noktayla hizalayın HAKKINDA, daha sonra gerekli mesafe ben sarkacın kütle merkezinin koordinatına eşit, yani.

Miktarların değerlerini değiştirme M 1 , M 2 , M, ben ve hesaplamaları yaptıktan sonra şunu buluruz:

Formül (1)'i kullanarak hesaplamalar yaptıktan sonra, fiziksel bir sarkacın salınım periyodunu elde ederiz:

Örnek 4. Fiziksel bir sarkaç uzun bir çubuktur ben= 1 m ve kütle 3 T 1 İle uçlarından birine çapı ve kütlesi olan bir halka ile tutturulmuştur T 1 . Yatay eksen Oz

sarkaç çubuğun ortasından kendisine dik olarak geçer (Şekil 6.3). Dönemi tanımla T böyle bir sarkacın salınımları.

Çözüm. Fiziksel bir sarkacın salınım periyodu formülle belirlenir

(1)

Nerede J- sarkacın salınım eksenine göre atalet momenti; T - kütlesi; ben C - sarkacın kütle merkezinden salınım eksenine olan mesafe.

Sarkacın eylemsizlik momenti çubuğun eylemsizlik momentlerinin toplamına eşittir J 1 ve çember J 2:

(2).

Çubuğun, çubuğa dik olan ve kütle merkezinden geçen eksene göre atalet momenti aşağıdaki formülle belirlenir: . Bu durumda t= 3T 1 ve

Kasnağın eylemsizlik momentini Steiner teoremini kullanarak buluyoruz ,Nerede J- keyfi bir eksene göre eylemsizlik momenti; J 0 - belirli bir eksene paralel kütle merkezinden geçen bir eksene göre eylemsizlik momenti; A - belirtilen eksenler arasındaki mesafe. Bu formülü kasnağa uyguladığımızda şunu elde ederiz:

İfadeleri değiştirme J 1 ve J Formül (2)'de Şekil 2'de sarkacın dönme eksenine göre atalet momentini buluruz:

Mesafe ben İLE sarkacın ekseninden kütle merkezine kadar olan mesafe eşittir

İfadelerin formül (1)'de değiştirilmesi J, ben sarkacın kütlesi ve salınımlarının periyodunu buluruz:

Bu formülü kullanarak hesapladıktan sonra şunu elde ederiz: T=2,17 sn.

Örnek 5. Denklemlerle ifade edilen aynı yöndeki iki salınım toplanır; X 2 = = nerede A 1 = 1 santimetre, A 2 =2 cm, s, s, ω = =. 1. Salınım bileşenlerinin başlangıç fazlarını φ 1 ve φ 2'yi belirleyin

Baniya. 2. Genliği bulun A ve ortaya çıkan salınımın başlangıç fazı φ. Ortaya çıkan titreşimin denklemini yazın.

Çözüm. 1. Harmonik titreşim denklemi şu şekildedir:

Problem cümlesinde belirtilen denklemleri aynı forma dönüştürelim:

İfadelerin (2) eşitlik (1) ile karşılaştırılmasından, birinci ve ikinci salınımların başlangıç aşamalarını buluruz:

sevindim ve memnun.

2. Genliği belirlemek için A Ortaya çıkan salınımın etkisi için, aşağıda sunulan vektör diyagramını kullanmak uygundur. pirinç. 6.4. Kosinüs teoremine göre şunu elde ederiz:

salınım bileşenlerinin faz farkı nerede? , daha sonra bulunan φ 2 ve φ 1 değerlerini değiştirerek rad elde ederiz.

Değerleri yerine koyalım A 1 , A 2 ve formül (3)'e girin ve hesaplamaları yapın:

A= 2,65 cm.

Ortaya çıkan salınımın başlangıç fazının φ tanjantını doğrudan Şekil 2'den belirleyelim. 6.4: Başlangıç aşaması nereden geliyor?

1. Salınım hareketinin belirlenmesi

Salınım hareketi- Bu, tam olarak veya yaklaşık olarak belirli aralıklarla tekrarlanan bir harekettir. Fizikte salınım hareketinin incelenmesi özellikle vurgulanmaktadır. Bunun nedeni, çeşitli doğadaki salınımlı hareket kalıplarının ve çalışma yöntemlerinin ortaklığıdır. Mekanik, akustik, elektromanyetik titreşimler ve dalgalar tek bir bakış açısıyla ele alınır. Salınım hareketi tüm doğal olayların karakteristik özelliğidir. Kalbin atması gibi ritmik olarak tekrarlanan işlemler, herhangi bir canlı organizmanın içinde sürekli olarak meydana gelir.

Mekanik titreşimlerSalınımlar, zaman içinde tekrarlanabilirlik ile karakterize edilen herhangi bir fiziksel süreçtir.

Denizin engebeli hali, saat sarkacının salınımı, gemi gövdesinin titreşimi, insan kalbinin atışı, ses, radyo dalgaları, ışık, alternatif akımlar; bunların hepsi titreşimdir.

Salınım işlemi sırasında sistemin durumunu belirleyen fiziksel büyüklüklerin değerleri eşit veya eşit olmayan zaman aralıklarında tekrarlanır. Salınımlara denir periyodik Değişen fiziksel büyüklüklerin değerleri düzenli aralıklarla tekrarlanıyorsa.

Değişen bir fiziksel miktarın değerinin tekrarlandığı en kısa T süresine (bu miktar vektör ise büyüklük ve yönde, skaler ise büyüklük ve işaret bakımından) denir. dönem tereddüt.

Birim zamanda yapılan n tam salınım sayısına denir. sıklık bu değerin dalgalanmaları ve ν ile gösterilir. Salınımların periyodu ve sıklığı aşağıdaki ilişkiyle ilişkilidir:

Herhangi bir salınım, salınım sistemi üzerindeki bir veya başka etkiden kaynaklanır. Salınımlara neden olan etkinin niteliğine bağlı olarak, aşağıdaki periyodik salınım türleri ayırt edilir: serbest, zorunlu, kendi kendine salınımlar, parametrik.

Serbest titreşimler- bunlar, kararlı bir denge durumundan çıkarıldıktan sonra kendi başına bırakılan bir sistemde meydana gelen salınımlardır (örneğin, bir yay üzerindeki yükün salınımları).

Zorlanmış titreşimler- bunlar harici periyodik etkilerin neden olduğu salınımlardır (örneğin, bir TV antenindeki elektromanyetik salınımlar).

Mekanikdalgalanmalar

Kendi kendine salınımlar- salınım sisteminin kendisi tarafından zamanında doğru anlarda açılan harici bir enerji kaynağı tarafından desteklenen serbest salınımlar (örneğin, bir saat sarkacının salınımları).

Parametrik salınımlar- bunlar, sistemin bazı parametrelerinde periyodik bir değişikliğin meydana geldiği salınımlardır (örneğin, bir salıncağı sallamak: aşırı pozisyonlarda çömelerek ve orta pozisyonda düzleşerek, salıncaktaki bir kişi salınımın atalet momentini değiştirir) ).

Doğaları farklı olan salınımlar pek çok ortak noktayı ortaya çıkarır: Aynı yasalara tabidirler, aynı denklemlerle tanımlanırlar ve aynı yöntemlerle incelenirler. Bu, birleşik bir salınım teorisi oluşturmayı mümkün kılar.

Periyodik salınımların en basiti

harmonik titreşimlerdir.

Harmonik salınımlar, fiziksel büyüklüklerin değerlerinin sinüs veya kosinüs kanununa göre zamanla değiştiği salınımlardır. Salınımlı süreçlerin çoğu bu yasayla tanımlanır veya harmonik salınımların toplamı olarak ifade edilebilir.

Harmonik salınımların başka bir "dinamik" tanımı, elastik veya "yarı elastik" etki altında gerçekleştirilen bir işlem olarak mümkündür.

2. Periyodik Sürecin tam olarak düzenli aralıklarla tekrarlandığı salınımlara denir.

Dönem Periyodik salınımlar, sistemin orijinal durumuna dönmesi için geçen minimum süredir.

x, salınım yapan bir niceliktir (örneğin, bir devredeki akımın gücü, sürecin başladığı durum ve tekrarlanma). Bir salınım periyodu sırasında meydana gelen sürece “bir tam salınım” adı verilir.

periyodik salınımlar, birim zamandaki (1 saniye) tam salınımların sayısıdır - bu bir tam sayı olmayabilir.

T - salınım periyodu, bir tam salınımın süresidir.

Frekansı v hesaplamak için, 1 saniyeyi bir salınımın T süresine (saniye cinsinden) bölmeniz gerekir ve 1 saniyedeki salınım sayısını veya noktanın koordinatını elde edersiniz) t - zaman

Harmonik salınım

Bu, hareketi karakterize eden koordinat, hız ve ivmenin sinüs veya kosinüs kanununa göre değiştiği periyodik bir salınımdır.

Harmonik grafik

Grafik, vücut yer değiştirmesinin zamana bağlılığını ortaya koymaktadır. Yaylı sarkaca bir kalem ve sarkacın arkasına eşit şekilde hareket eden bir kağıt bant takalım. Veya bir matematik sarkacını iz bırakmaya zorlayalım. Kağıt üzerinde bir hareket programı görüntülenecektir.

Harmonik salınımın grafiği sinüs dalgasıdır (veya kosinüs dalgasıdır). Salınım grafiğinden salınım hareketinin tüm özelliklerini belirleyebilirsiniz.

Harmonik titreşim denklemi

Harmonik salınım denklemi, vücut koordinatlarının zamana bağımlılığını belirler

Kosinüs grafiği ilk anda maksimum değere sahiptir ve sinüs grafiği başlangıç anında sıfır değerine sahiptir. Salınımı denge konumundan incelemeye başlarsak, o zaman salınım bir sinüzoidi tekrarlayacaktır. Salınımı maksimum sapma konumundan dikkate almaya başlarsak, o zaman salınım bir kosinüs ile tanımlanacaktır. Veya böyle bir salınım, başlangıç fazlı sinüs formülüyle açıklanabilir.

Harmonik salınım sırasında hız ve ivmedeki değişim

Sinüs veya kosinüs kanununa göre zamanla yalnızca vücudun koordinatı değişmez. Ancak kuvvet, hız, ivme gibi büyüklükler de aynı şekilde değişir. Salınım yapan cisim yer değiştirmenin maksimum olduğu uç konumlarda olduğunda kuvvet ve ivme maksimumdur ve vücut denge konumundan geçtiğinde sıfırdır. Ekstrem konumlarda ise hız sıfırdır ve vücut denge konumundan geçtiğinde maksimum değerine ulaşır.

Salınım kosinüs kanunu ile tanımlanırsa

Salınım sinüs kanununa göre tanımlanırsa

Maksimum hız ve ivme değerleri

Bağımlılık denklemlerini v(t) ve a(t) analiz ettikten sonra, trigonometrik faktörün 1 veya -1'e eşit olması durumunda hız ve ivmenin maksimum değerleri aldığını tahmin edebiliriz. Formülle belirlenir

v(t) ve a(t) bağımlılıkları nasıl elde edilir

En basit salınım türü harmonik titreşimler- salınım noktasının denge konumundan yer değiştirmesinin sinüs veya kosinüs kanununa göre zamanla değiştiği salınımlar.

Böylece, topun bir daire içinde düzgün bir şekilde dönmesiyle, projeksiyonu (paralel ışık ışınlarındaki gölge) dikey bir ekran üzerinde harmonik bir salınım hareketi gerçekleştirir (Şekil 1).

Harmonik titreşimler sırasında denge konumundan yer değiştirme, aşağıdaki formdaki bir denklemle (buna harmonik hareketin kinematik yasası denir) tanımlanır:

burada x yer değiştirmedir - salınım noktasının t zamanındaki konumunu denge konumuna göre karakterize eden ve belirli bir zamanda denge konumundan noktanın konumuna olan mesafeyle ölçülen bir nicelik; A - salınımların genliği - vücudun denge konumundan maksimum yer değiştirmesi; T - salınım periyodu - bir tam salınımın süresi; onlar. salınımı karakterize eden fiziksel büyüklüklerin değerlerinin tekrarlandığı en kısa süre; - başlangıç aşaması;

T zamanındaki salınım aşaması. Salınım aşaması, belirli bir salınım genliği için vücudun salınım sisteminin durumunu (yer değiştirme, hız, ivme) herhangi bir zamanda belirleyen periyodik bir fonksiyonun bir argümanıdır.

Zamanın ilk anında salınım noktası denge konumundan maksimum düzeyde yer değiştirirse, o zaman ve noktanın denge konumundan yer değiştirmesi yasaya göre değişir

Salınım noktası kararlı bir denge konumundaysa, o zaman noktanın denge konumundan yer değiştirmesi yasaya göre değişir

Dönemin tersi olan ve 1 saniyede tamamlanan tam salınımların sayısına eşit olan V değerine salınım frekansı denir:

Eğer vücut t süresi boyunca N tam salınım yaparsa, o zaman

Boyut bir cismin s cinsinden kaç tane salınım yaptığını gösterene denir döngüsel (dairesel) frekans.

Harmonik hareketin kinematik yasası şu şekilde yazılabilir:

Grafiksel olarak, salınan bir noktanın yer değiştirmesinin zamana bağımlılığı bir kosinüs dalgası (veya sinüzoid) ile gösterilir.

Şekil 2, durum için salınım noktasının denge konumundan yer değiştirmesinin zamana bağımlılığının bir grafiğini göstermektedir.

Salınım yapan bir noktanın hızının zamanla nasıl değiştiğini öğrenelim. Bunu yapmak için bu ifadenin zamana göre türevini buluyoruz:

x eksenine hız projeksiyonunun genliği nerede?

Bu formül, harmonik salınımlar sırasında cismin hızının x eksenine izdüşümünün de harmonik bir yasaya göre aynı frekansta, farklı bir genlikte değiştiğini ve fazdaki yer değiştirmenin önünde olduğunu gösterir (Şekil 2, b). ).

İvmenin bağımlılığını açıklığa kavuşturmak için hız projeksiyonunun zamana göre türevini buluyoruz:

x ekseni üzerindeki ivme projeksiyonunun genliği nerede.

Harmonik salınımlarda hızlanma projeksiyonu faz kaymasının k kadar ilerisindedir (Şekil 2, c).

Benzer şekilde bağımlılık grafikleri oluşturabilirsiniz

Bunu dikkate alarak ivmenin formülünü yazabiliriz.

onlar. Harmonik salınımlarda ivme projeksiyonu yer değiştirmeyle doğru orantılıdır ve işaret olarak zıttır, yani. ivme yer değiştirmenin tersi yönde yönlendirilir.

Dolayısıyla, ivme projeksiyonu yer değiştirmenin ikinci türevi olduğundan ortaya çıkan ilişki şu şekilde yazılabilir:

Son eşitliğe denir harmonik denklem.

Harmonik salınımların olabileceği fiziksel sisteme denir harmonik osilatör ve harmonik titreşimlerin denklemi harmonik osilatör denklemi.