Şekildeki verilerden üçgenin alanının hesaplanması. Bir üçgenin alanı nasıl hesaplanır

Üçgen, aynı düz çizgi üzerinde yer almayan noktaları birleştiren üç düz çizgiden oluşan geometrik bir şekildir. Çizgilerin bağlantı noktaları, Latin harfleriyle (örneğin A, B, C) gösterilen üçgenin köşeleridir. Bir üçgenin birbirine bağlanan düz çizgilerine bölümler denir ve bunlar genellikle Latin harfleriyle de gösterilir. Aşağıdaki üçgen türleri ayırt edilir:

Dikdörtgen.
Geniş.
Akut açısal.
Çok yönlü.
Eşkenar.
İkizkenar.

Bir üçgenin alanını hesaplamak için genel formüller

Uzunluk ve yüksekliğe dayalı bir üçgenin alanı için formül

S= a*h/2,
burada a, alanı bulunması gereken üçgenin kenar uzunluğu, h ise tabana çizilen yüksekliğin uzunluğudur.

Heron'un formülü

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
burada √ karekök, p üçgenin yarı çevresi, a,b,c üçgenin her bir tarafının uzunluğudur. Bir üçgenin yarı çevresi p=(a+b+c)/2 formülü kullanılarak hesaplanabilir.

Segmentin açısına ve uzunluğuna dayalı bir üçgenin alanı için formül

S = (a*b*sin(α))/2,
burada b,c üçgenin kenarlarının uzunluğudur, sin(α) iki kenar arasındaki açının sinüsüdür.

Yazılı dairenin yarıçapı ve üç tarafı verilen bir üçgenin alanı için formül

S=p*r,
p, alanı bulunması gereken üçgenin yarı çevresi, r ise bu üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapıdır.

Üç kenara dayalı bir üçgenin alanı ve etrafını çevreleyen dairenin yarıçapı için formül

S= (a*b*c)/4*R,
burada a,b,c üçgenin her bir tarafının uzunluğudur, R ise üçgenin etrafını çevreleyen dairenin yarıçapıdır.

Noktaların Kartezyen koordinatlarını kullanan üçgenin alanı formülü

Noktaların kartezyen koordinatları xOy sistemindeki koordinatlardır; burada x apsis, y ise ordinattır. Bir düzlemdeki Kartezyen koordinat sistemi xOy, ortak orijini O noktasında olan, karşılıklı dik Ox ve Oy sayısal eksenleridir. Bu düzlemdeki noktaların koordinatları A(x1, y1), B(x2, y2) şeklinde verilirse ) ve C(x3, y3 ) ise, iki vektörün vektör çarpımından elde edilen aşağıdaki formülü kullanarak üçgenin alanını hesaplayabilirsiniz.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
nerede || modül anlamına gelir.

Dik üçgenin alanı nasıl bulunur

Dik üçgen, bir açısı 90 derece olan üçgendir. Bir üçgenin yalnızca böyle bir açısı olabilir.

İki taraftaki dik üçgenin alanı için formül

S= a*b/2,
burada a,b bacakların uzunluğudur. Bacaklar dik açıya bitişik kenarlardır.

Hipotenüs ve dar açıya dayalı dik üçgenin alanı formülü

S = a*b*sin(α)/ 2,
burada a, b üçgenin bacaklarıdır ve sin(α), a, b doğrularının kesiştiği açının sinüsüdür.

Yan ve karşı açıya göre dik üçgenin alanı formülü

S = a*b/2*tg(β),
burada a, b üçgenin bacaklarıdır, tan(β), a, b bacaklarının birleştiği açının tanjantıdır.

İkizkenar üçgenin alanı nasıl hesaplanır

İkizkenar üçgen, iki eşit kenarı olan bir üçgendir. Bu taraflara kenar, diğer tarafa ise taban denir. İkizkenar üçgenin alanını hesaplamak için aşağıdaki formüllerden birini kullanabilirsiniz.

İkizkenar üçgenin alanını hesaplamak için temel formül

S=h*c/2,
burada c üçgenin tabanıdır, h ise üçgenin tabana indirilen yüksekliğidir.

Kenar ve tabana dayalı ikizkenar üçgen formülü

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
burada c üçgenin tabanıdır, a ise ikizkenar üçgenin kenarlarından birinin boyutudur.

Eşkenar üçgenin alanı nasıl bulunur

Eşkenar üçgen, tüm kenarların eşit olduğu bir üçgendir. Eşkenar üçgenin alanını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:
S = (√3*a*a)/4,
burada a eşkenar üçgenin kenar uzunluğudur.

Yukarıdaki formüller üçgenin gerekli alanını hesaplamanıza izin verecektir. Üçgenin alanını hesaplamak için üçgenin türünü ve hesaplama için kullanılabilecek mevcut verileri dikkate almanız gerektiğini unutmamak önemlidir.

Okul geometri müfredatınızdan hatırlayacağınız gibi üçgen, aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktanın birbirine bağladığı üç parçadan oluşan bir şekildir. Üçgen üç açı oluşturduğundan şeklin adı da buradan gelir. Tanım farklı olabilir. Bir üçgene üç açılı çokgen de denilebilir, cevap da doğru olacaktır. Şekillerde üçgenler eşit kenar sayısına ve açıların büyüklüğüne göre bölünmüştür. Böylece üçgenler sırasıyla ikizkenar, eşkenar ve çeşitkenar, ayrıca dikdörtgen, dar ve geniş olarak ayırt edilir.

Bir üçgenin alanını hesaplamak için birçok formül vardır. Bir üçgenin alanının nasıl bulunacağını seçin; Hangi formülü kullanacağınız size kalmış. Ancak bir üçgenin alanını hesaplamak için birçok formülde kullanılan gösterimlerden yalnızca bazılarına dikkat etmek önemlidir. Hatırla:

S üçgenin alanıdır,

a, b, c üçgenin kenarlarıdır,

h üçgenin yüksekliğidir,

R, çevrelenen dairenin yarıçapıdır,

p yarı çevredir.

Geometri dersinizi tamamen unuttuysanız işinize yarayabilecek temel notasyonları burada bulabilirsiniz. Aşağıda bir üçgenin bilinmeyen ve gizemli alanını hesaplamak için en anlaşılır ve karmaşık olmayan seçenekler bulunmaktadır. Zor değildir ve hem evinizin ihtiyaçları için hem de çocuklarınıza yardım etmek için faydalı olacaktır. Bir üçgenin alanının mümkün olduğunca kolay nasıl hesaplanacağını hatırlayalım:

Bizim durumumuzda üçgenin alanı: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm2. Alanın santimetre kare (cm²) cinsinden ölçüldüğünü unutmayın.

Dik üçgen ve alanı.

Sağ üçgen, bir açının 90 dereceye eşit olduğu (bu nedenle dik olarak adlandırılan) bir üçgendir. Dik açı iki dik çizgiden oluşur (üçgen durumunda iki dik bölüm). Bir dik üçgende yalnızca bir dik açı olabilir çünkü... Herhangi bir üçgenin tüm açılarının toplamı 180 dereceye eşittir. Kalan 90 dereceyi başka 2 açının bölmesi gerektiği ortaya çıktı; örneğin 70 ve 20, 45 ve 45, vb. Yani asıl meseleyi hatırlıyorsunuz, geriye kalan tek şey dik üçgenin alanını nasıl bulacağınızı bulmak. Önümüzde böyle bir dik üçgen olduğunu ve onun S alanını bulmamız gerektiğini hayal edelim.

1. Dik üçgenin alanını belirlemenin en basit yolu aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Bizim durumumuzda dik üçgenin alanı: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm2.

Prensip olarak üçgenin alanını başka yollarla doğrulamaya artık gerek yok çünkü Yalnızca bu faydalı olacak ve günlük yaşamda yardımcı olacaktır. Ancak bir üçgenin alanını dar açılardan ölçmek için seçenekler de vardır.

2. Diğer hesaplama yöntemleri için kosinüsler, sinüsler ve teğetlerden oluşan bir tablonuz olmalıdır. Kendinize hakim olun, işte hala kullanılabilecek bir dik üçgenin alanını hesaplamak için bazı seçenekler:

İlk formülü kullanmaya karar verdik ve bazı küçük lekelerle (bunu bir deftere çizdik ve eski bir cetvel ve iletki kullandık), ancak doğru hesaplamayı yaptık:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Şu sonuçları elde ettik: 3,6=3,7, ancak hücrelerin değişimini hesaba katarsak bu nüansı affedebiliriz.

İkizkenar üçgen ve alanı.

Bir ikizkenar üçgenin formülünü hesaplama göreviyle karşı karşıyaysanız, en kolay yol, ana ve üçgenin alanı için klasik formül olarak kabul edilen şeyi kullanmaktır.

Ama önce ikizkenar üçgenin alanını bulmadan önce onun nasıl bir şekil olduğunu bulalım. İkizkenar üçgen, iki kenarın aynı uzunluğa sahip olduğu bir üçgendir. Bu iki tarafa yan, üçüncü tarafa ise taban denir. İkizkenar üçgeni eşkenar üçgenle karıştırmayın; üç tarafı eşit olan düzgün bir üçgen. Böyle bir üçgende açılara veya daha doğrusu boyutlarına ilişkin özel bir eğilim yoktur. Bununla birlikte, bir ikizkenar üçgenin taban açıları eşittir, ancak eşit kenarlar arasındaki açıdan farklıdır. Yani, ilk ve ana formülü zaten biliyorsunuz; ikizkenar üçgenin alanını belirlemek için başka hangi formüllerin bilindiğini bulmaya devam ediyor:

Üçgen, üç kenar ve üç köşeden oluşan en basit geometrik şekildir. Basitliği nedeniyle üçgen eski çağlardan beri çeşitli ölçümler yapmak için kullanılmıştır ve bugün bu şekil pratik ve günlük sorunların çözümünde yararlı olabilir.

Bir üçgenin özellikleri

Şekil eski çağlardan beri hesaplamalar için kullanılmaktadır; örneğin, kadastrocular ve gökbilimciler alanları ve mesafeleri hesaplamak için üçgenlerin özelliklerini kullanırlar. Herhangi bir n-gon'un alanını bu şeklin alanı aracılığıyla ifade etmek kolaydır ve bu özellik eski bilim adamları tarafından çokgenlerin alanları için formüller türetmek için kullanılmıştır. Üçgenlerle, özellikle de dik üçgenle sürekli çalışma, tüm matematik dalının - trigonometrinin temeli haline geldi.

Üçgen geometrisi

Geometrik şeklin özellikleri eski çağlardan beri araştırılmaktadır: Üçgenle ilgili en eski bilgi 4.000 yıl öncesine ait Mısır papirüslerinde bulunmuştur. Daha sonra şekil Antik Yunan'da incelenmiş ve üçgen geometrisine en büyük katkılar Öklid, Pisagor ve Heron tarafından yapılmıştır. Üçgenin incelenmesi hiç durmadı ve 18. yüzyılda Leonhard Euler, bir şeklin diklik merkezi ve Euler çemberi kavramını ortaya attı. 19. ve 20. yüzyılların başında, üçgen hakkında kesinlikle her şeyin bilindiği bir zamanda, Frank Morley açı trisektörleri teoremini formüle etti ve Waclaw Sierpinski fraktal üçgeni önerdi.

Okul geometri derslerinden bize tanıdık gelen birkaç tür düz üçgen vardır:

akut - şeklin tüm köşeleri akut;
geniş - şeklin bir geniş açısı vardır (90 dereceden fazla);
dikdörtgen - şekil 90 dereceye eşit bir dik açı içerir;
ikizkenar - iki eşit kenarı olan bir üçgen;
eşkenar - tüm kenarları eşit olan bir üçgen.
Gerçek hayatta her türlü üçgen vardır ve bazı durumlarda geometrik bir şeklin alanını hesaplamamız gerekebilir.

Bir üçgenin alanı

Alan, bir şeklin düzlemin ne kadarını kapsadığına dair bir tahmindir. Bir üçgenin alanı, yazılı veya çevrelenmiş dairenin kenarlarını, yüksekliğini, açılarını, yarıçapını kullanarak, ayrıca Heron formülünü kullanarak veya düzlemi sınırlayan çizgiler boyunca çift katlı integrali hesaplayarak altı şekilde bulunabilir. Bir üçgenin alanını hesaplamak için en basit formül:

a üçgenin kenarı, h ise yüksekliğidir.

Ancak pratikte geometrik bir şeklin yüksekliğini bulmak bizim için her zaman uygun değildir. Hesap makinemizin algoritması aşağıdakileri bilerek alanı hesaplamanıza olanak tanır:

üç taraf;
iki kenar ve aralarındaki açı;
bir tarafı ve iki köşesi.

Üç kenar boyunca alanı belirlemek için Heron formülünü kullanırız:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c))

burada p üçgenin yarı çevresidir.

İki taraftaki alan ve bir açı klasik formül kullanılarak hesaplanır:

S = a × b × sin(alfa),

burada alfa, a ve b kenarları arasındaki açıdır.

Alanı bir kenar ve iki açı açısından belirlemek için aşağıdaki ilişkiyi kullanırız:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Basit bir orantı kullanarak ikinci kenarın uzunluğunu belirleriz ve ardından S = a × b × sin(alfa) formülünü kullanarak alanı hesaplarız. Bu algoritma tamamen otomatiktir ve yalnızca belirtilen değişkenleri girmeniz ve sonucu almanız gerekir. Birkaç örneğe bakalım.

Hayattan örnekler

Kaldırım levhaları

Diyelim ki zemini üçgen fayanslarla döşemek istiyorsunuz ve ihtiyaç duyulan malzeme miktarını belirlemek için bir fayansın alanını ve zeminin alanını bilmeniz gerekiyor. Boyutları a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm olan bir karo kullanarak 6 metrekarelik bir yüzeyi işlemeniz gerektiğini varsayalım. Açıkçası, bir üçgenin alanını hesaplamak için hesap makinesi Heron formülünü kullanıyor ve şunu veriyor: sonuç:

Böylece bir karo elemanının alanı 0,021 metrekare olacak ve zemin iyileştirmesi için 6/0,021 = 285 üçgene ihtiyacınız olacak. 20, 21 ve 29 sayıları Pisagor üçlü sayılarını oluşturur. Doğru, hesap makinemiz üçgenin tüm açılarını da hesapladı ve gama açısı tam olarak 90 derece.

Okul görevi

Bir okul probleminde, a tarafının = 5 cm olduğunu ve alfa ve beta açılarının sırasıyla 30 ve 50 derece olduğunu bilerek bir üçgenin alanını bulmanız gerekir. Bu sorunu manuel olarak çözmek için önce en boy oranının ve karşıt açıların sinüslerinin oranını kullanarak b tarafının değerini buluruz ve ardından S = a × b × sin(alfa) basit formülünü kullanarak alanı belirleriz. Zamandan tasarruf edelim, verileri hesap makinesi formuna girelim ve anında yanıt alalım

Hesap makinesini kullanırken açıları ve kenarları doğru belirtmek önemlidir, aksi takdirde sonuç yanlış olacaktır.

Çözüm

Üçgen, hem gerçek hayatta hem de soyut hesaplamalarda bulunan eşsiz bir figürdür. Her türlü üçgenin alanını belirlemek için çevrimiçi hesap makinemizi kullanın.

Alan kavramı

Herhangi bir geometrik şeklin, özellikle de bir üçgenin alanı kavramı, kare gibi bir şekil ile ilişkilendirilecektir. Herhangi bir geometrik şeklin birim alanı için, kenarı bire eşit olan karenin alanını alacağız. Bütünlüğü sağlamak için geometrik şekillerin alanları kavramının iki temel özelliğini hatırlayalım.

Özellik 1: Geometrik şekillerin eşit olması durumunda alanları da eşittir.

Özellik 2: Herhangi bir rakam birkaç rakama bölünebilir. Ayrıca orijinal şeklin alanı, onu oluşturan tüm şekillerin alanlarının toplamına eşittir.

Bir örneğe bakalım.

örnek 1

Açıkçası, üçgenin kenarlarından biri bir dikdörtgenin köşegenidir, bir kenarının uzunluğu 5$'dır (çünkü $5$ hücreleri vardır), diğeri $6$'dır (çünkü $6$ hücreleri vardır). Dolayısıyla bu üçgenin alanı böyle bir dikdörtgenin yarısına eşit olacaktır. Dikdörtgenin alanı

O zaman üçgenin alanı eşittir

Cevap: 15$.

Daha sonra, üçgenlerin alanlarını bulmak için çeşitli yöntemleri ele alacağız; yani yüksekliği ve tabanı kullanarak, Heron formülünü ve eşkenar üçgenin alanını kullanarak.

Yüksekliğini ve tabanını kullanarak bir üçgenin alanı nasıl bulunur?

Teorem 1

Bir üçgenin alanı, bir kenar uzunluğu ile o kenar yüksekliğinin çarpımının yarısı kadar bulunabilir.

Matematiksel olarak şöyle görünüyor

$S=\frac(1)(2)αh$

burada $a$ kenarın uzunluğu, $h$ ona çizilen yüksekliktir.

Kanıt.

$AC=α$ olan bir $ABC$ üçgenini düşünün. Bu tarafa $h$'a eşit olan $BH$ yüksekliği çizilir. Şekil 2'deki gibi $AXYC$ karesine kadar oluşturalım.

$AXBH$ dikdörtgeninin alanı $h\cdot AH$ ve $HBYC$ dikdörtgeninin alanı $h\cdot HC$'dir. Daha sonra

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Bu nedenle, özellik 2'ye göre üçgenin gerekli alanı şuna eşittir:

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorem kanıtlandı.

Örnek 2

Hücrenin alanı bire eşitse aşağıdaki şekildeki üçgenin alanını bulun

Bu üçgenin tabanı $9$'a eşittir (çünkü $9$, $9$'ın karesidir). Yükseklik de 9$. O zaman Teorem 1'e göre şunu elde ederiz:

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Cevap: 40,5$.

Heron'un formülü

Teorem 2

$α$, $β$ ve $γ$ üçgeninin üç kenarı bize verilirse, alanı aşağıdaki gibi bulunabilir.

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

burada $ρ$ bu üçgenin yarı çevresi anlamına geliyor.

Kanıt.

Aşağıdaki şekli göz önünde bulundurun:

Pisagor teoremine göre $ABH$ üçgeninden şunu elde ederiz:

Pisagor teoremine göre $CBH$ üçgeninden şunu elde ederiz:

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Bu iki ilişkiden eşitliği elde ederiz

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

$ρ=\frac(α+β+γ)(2)$ olduğundan $α+β+γ=2ρ$, yani

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Teorem 1'e göre şunu elde ederiz:

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Bir üçgenin alanını belirlemek için farklı formüller kullanabilirsiniz. Tüm yöntemler arasında en kolay ve en sık kullanılanı, yüksekliği taban uzunluğuyla çarpmak ve ardından sonucu ikiye bölmektir. Ancak bu yöntem tek yöntem olmaktan uzaktır. Aşağıda farklı formüller kullanarak bir üçgenin alanının nasıl bulunacağını okuyabilirsiniz.

Ayrı olarak, belirli üçgen türlerinin (dikdörtgen, ikizkenar ve eşkenar) alanını hesaplamanın yollarına bakacağız. Her formüle, özünü anlamanıza yardımcı olacak kısa bir açıklama ekliyoruz.

Bir üçgenin alanını bulmak için evrensel yöntemler

Aşağıdaki formüller özel gösterim kullanır. Her birinin şifresini çözeceğiz:

a, b, c – ele aldığımız şeklin üç tarafının uzunlukları;
r, üçgenimize yazılabilecek dairenin yarıçapıdır;
R, çevresinde tanımlanabilecek dairenin yarıçapıdır;
α, b ve c kenarlarının oluşturduğu açının büyüklüğüdür;
β a ve c arasındaki açının büyüklüğüdür;
γ, a ve b taraflarının oluşturduğu açının büyüklüğüdür;
h, üçgenimizin α açısından a kenarına indirilmiş yüksekliğidir;
p – a, b ve c kenarlarının toplamının yarısı.

Bir üçgenin alanını neden bu şekilde bulabileceğiniz mantıksal olarak açıktır. Üçgen, üçgenin bir tarafının köşegen görevi göreceği bir paralelkenar halinde kolaylıkla tamamlanabilir. Paralelkenarın alanı, kenarlarından birinin uzunluğunun kendisine çizilen yüksekliğin değeriyle çarpılmasıyla bulunur. Köşegen bu koşullu paralelkenarı 2 özdeş üçgene böler. Dolayısıyla orijinal üçgenimizin alanının bu yardımcı paralelkenarın alanının yarısına eşit olması gerektiği oldukça açıktır.

S=½ a b sin γ

Bu formüle göre bir üçgenin alanı, iki kenarının (a ve b) uzunluklarının, bunların oluşturduğu açının sinüsüyle çarpılmasıyla bulunur. Bu formül mantıksal olarak öncekinden türetilmiştir. Yüksekliği β açısından b kenarına indirirsek, dik üçgenin özelliklerine göre a tarafının uzunluğunu γ açısının sinüsüyle çarptığımızda üçgenin yüksekliğini yani h'yi elde ederiz. .

Söz konusu şeklin alanı, içine yazılabilecek dairenin yarıçapının yarısının çevresi ile çarpılmasıyla bulunur. Yani söz konusu dairenin yarı çevresi ile yarıçapının çarpımını buluyoruz.

S= a b c/4R

Bu formüle göre ihtiyacımız olan değer, şeklin kenarlarının çarpımının, çevresinde tanımlanan dairenin 4 yarıçapına bölünmesiyle bulunabilir.

Bu formüller evrenseldir, çünkü herhangi bir üçgenin (çeşitkenar, ikizkenar, eşkenar, dikdörtgen) alanını belirlemeyi mümkün kılarlar. Bu, üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağımız daha karmaşık hesaplamalar kullanılarak yapılabilir.

Belirli özelliklere sahip üçgenlerin alanları

Dik üçgenin alanı nasıl bulunur? Bu şeklin özelliği, iki tarafının aynı anda yüksekliği olmasıdır. Eğer a ve b kenarlar ise ve c hipotenüs olursa, alanı şu şekilde buluruz:

İkizkenar üçgenin alanı nasıl bulunur? A uzunluğunda iki kenarı ve b uzunluğunda bir kenarı vardır. Sonuç olarak alanı, a tarafının karesinin çarpımının γ açısının sinüsüne bölünmesiyle belirlenebilir.

Eşkenar üçgenin alanı nasıl bulunur? İçinde tüm kenarların uzunluğu a'ya eşittir ve tüm açıların büyüklüğü α'dır. Yüksekliği, a tarafının uzunluğunun ve 3'ün karekökünün çarpımının yarısına eşittir. Normal bir üçgenin alanını bulmak için, a tarafının karesini 3'ün kareköküyle çarpmanız ve şuna bölmeniz gerekir: 4.