Çok açılı trigonometrik fonksiyonların grafikleri. y=sin x fonksiyonunun grafiği

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Fonksiyon y=sin(x). Tanımlar ve özellikler"

Ek materyaller
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

1C'den 10. sınıfa yönelik Integral çevrimiçi mağazasındaki kılavuzlar ve simülatörler
Geometri problemlerini çözüyoruz. 7-10. Sınıflar için etkileşimli inşaat görevleri
Yazılım ortamı "1C: Matematiksel Oluşturucu 6.1"

Neyi inceleyeceğiz:

• Y=sin(X) fonksiyonunun özellikleri.
• Fonksiyon grafiği.
• Bir grafik ve ölçeği nasıl oluşturulur?
• Örnekler.

Sinüsün özellikleri. Y=sin(X)

Arkadaşlar, sayısal bir argümanın trigonometrik fonksiyonları hakkında zaten bilgi sahibi olduk. Onları hatırlıyor musun?

Y=sin(X) fonksiyonuna daha yakından bakalım

Bu fonksiyonun bazı özelliklerini yazalım:
1) Tanım alanı gerçel sayılar kümesidir.
2) Fonksiyon tektir. Tek fonksiyonun tanımını hatırlayalım. Eşitlik sağlandığında bir fonksiyona tek fonksiyon denir: y(-x)=-y(x). Hayalet formüllerden hatırladığımız gibi: sin(-x)=-sin(x). Tanım yerine getirilmiştir, yani Y=sin(X) tek bir fonksiyondur.
3) Y=sin(X) fonksiyonu parça üzerinde artar ve [π/2; parça üzerinde azalır; π]. İlk çeyrekte (saat yönünün tersine) hareket ettiğimizde koordinat artar, ikinci çeyrekte ilerlediğimizde ise azalır.

4) Y=sin(X) fonksiyonu aşağıdan ve yukarıdan sınırlıdır. Bu özellik şu gerçeğinden kaynaklanmaktadır:
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Fonksiyonun en küçük değeri -1'dir (x = - π/2+ πk'de). Fonksiyonun en büyük değeri 1'dir (x = π/2+ πk'de).

Y=sin(X) fonksiyonunu çizmek için 1-5 arasındaki özellikleri kullanalım. Özelliklerimizi uygulayarak grafiğimizi sırayla oluşturacağız. Segment üzerinde bir grafik oluşturmaya başlayalım.

Ölçeğe özellikle dikkat edilmelidir. Ordinat ekseninde 2 hücreye eşit bir birim bölüm almak daha uygundur ve apsis ekseninde π/3'e eşit bir birim bölüm (iki hücre) almak daha uygundur (şekle bakın).

Sinüs fonksiyonunun grafiğini çizme x, y=sin(x)

Fonksiyonun segmentimizdeki değerlerini hesaplayalım:

Üçüncü özelliği dikkate alarak noktalarımızı kullanarak bir grafik oluşturalım.

Hayalet formüller için dönüşüm tablosu

Fonksiyonumuzun tek olduğunu, yani orijine göre simetrik olarak yansıtılabileceğini söyleyen ikinci özelliği kullanalım:

sin(x+ 2π) = sin(x) olduğunu biliyoruz. Bu, [- π; π] grafiği [π] segmentindekiyle aynı görünüyor; 3π] veya veya [-3π; - π] vb. Tek yapmamız gereken önceki şekildeki grafiği tüm x ekseni boyunca dikkatlice yeniden çizmek.

Y=sin(X) fonksiyonunun grafiğine sinüzoid denir.

Oluşturulan grafa göre birkaç özellik daha yazalım:
6) Y=sin(X) fonksiyonu formun herhangi bir parçasında artar: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k bir tam sayıdır ve formun herhangi bir bölümünde azalır: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – tamsayı.
7) Y=sin(X) fonksiyonu sürekli bir fonksiyondur. Fonksiyonun grafiğine bakalım ve fonksiyonumuzun hiç kesinti olmadığından emin olalım, bu süreklilik demektir.
8) Değer aralığı: bölüm [- 1; 1]. Bu durum fonksiyonun grafiğinden de açıkça görülmektedir.
9) Fonksiyon Y=sin(X) - periyodik fonksiyon. Grafiğe tekrar bakalım ve fonksiyonun belirli aralıklarla aynı değerleri aldığını görelim.

Sinüs ile ilgili problem örnekleri

1. sin(x)= x-π denklemini çözün

Çözüm: Fonksiyonun 2 grafiğini oluşturalım: y=sin(x) ve y=x-π (şekle bakın).
Grafiklerimiz bir A(π;0) noktasında kesişiyor, cevap şu: x = π

2. y=sin(π/6+x)-1 fonksiyonunun grafiğini çizin

Çözüm: y=sin(x) π/6 fonksiyonunun grafiği sola ve 1 birim aşağıya kaydırılarak istenilen grafik elde edilecektir.

Çözüm: Fonksiyonun grafiğini çizelim ve [π/2; 5π/4].
Fonksiyonun grafiği, en büyük ve en küçük değerlerin segmentin uçlarında sırasıyla π/2 ve 5π/4 noktalarında elde edildiğini gösterir.
Cevap: sin(π/2) = 1 – en büyük değer, sin(5π/4) = en küçük değer.

Bağımsız çözüm için sinüs problemleri

• Denklemi çözün: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• y=sin(π/3+x)-2 fonksiyonunun grafiğini çizin
• y=sin(-2π/3+x)+1 fonksiyonunun grafiğini çizin
• Parçadaki y=sin(x) fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerini bulun
• y=sin(x) fonksiyonunun [- π/3; aralığındaki en büyük ve en küçük değerini bulun. 5π/6]

Y=sin x fonksiyonunun grafiği nasıl çizilir? Öncelikle aralıktaki sinüs grafiğine bakalım.

Defterde 2 hücre uzunluğunda tek bir segment alıyoruz. Oy ekseninde birini işaretliyoruz.

Kolaylık olması açısından, π/2 sayısını 1,5'e yuvarlıyoruz (yuvarlama kurallarının gerektirdiği gibi 1,6'ya değil). Bu durumda π/2 uzunluğundaki bir parça 3 hücreye karşılık gelir.

Ox ekseninde tekli segmentleri değil, π/2 uzunluğundaki segmentleri (her 3 hücrede) işaretliyoruz. Buna göre, π uzunluğundaki bir bölüm 6 hücreye, π/6 uzunluğundaki bir bölüm ise 1 hücreye karşılık gelir.

Bu birim parça seçimiyle, bir kutunun içindeki bir not defteri sayfasında gösterilen grafik, y=sin x fonksiyonunun grafiğine mümkün olduğu kadar karşılık gelir.

Aralıktaki sinüs değerlerinin bir tablosunu yapalım:

Ortaya çıkan noktaları koordinat düzleminde işaretliyoruz:

Y=sin x tek bir fonksiyon olduğundan sinüs grafiği O(0;0) başlangıç ​​noktasına göre simetriktir. Bu gerçeği hesaba katarak grafiği sola doğru çizmeye devam edelim, ardından -π noktalarını çizelim:

Y=sin x fonksiyonu T=2π periyoduyla periyodiktir. Dolayısıyla bir fonksiyonun [-π;π] aralığında alınan grafiği sağa ve sola doğru sonsuz sayıda tekrarlanır.

Şimdi çok açılı trigonometrik fonksiyonların grafiğinin nasıl çizileceği sorusuna bakacağız. ωx, Nerede ω - bazı pozitif sayılar.

Bir fonksiyonun grafiğini çizmek için y = günah ωx Bu fonksiyonu daha önce incelediğimiz fonksiyonla karşılaştıralım. y = günah x. Diyelim ki ne zaman x = x 0 işlev y = günah x 0'a eşit değeri alır. Daha sonra

y 0 = günah X 0 .

Bu ilişkiyi şu şekilde dönüştürelim:

Bu nedenle fonksiyon y = günah ωx en X = X 0 / ω aynı değeri alır en 0 işleviyle aynı olan y = günah x en x = X 0 . Bu şu anlama gelir: işlev y = günah ωx anlamlarını tekrarlıyor ω işlevden kat daha sık y = günah x. Bu nedenle fonksiyonun grafiği y = günah ωx fonksiyonun grafiğinin "sıkıştırılmasıyla" elde edilir y = günah x V ω x ekseni boyunca kez.

Örneğin bir fonksiyonun grafiği y = günah 2x bir sinüzoidin “sıkıştırılmasıyla” elde edilir y = günah x x ekseni boyunca iki kez.

Bir fonksiyonun grafiği y = günah x / 2 sinüzoid y = sin x'in iki kez "gerilmesiyle" (veya şu şekilde "sıkıştırılmasıyla") elde edilir: 1 / 2 kez) x ekseni boyunca.

Fonksiyondan beri y = günah ωx anlamlarını tekrarlıyor ω işlevden kat daha sık
y = günah x, o zaman periyodu ω fonksiyonun süresinden kat daha az y = günah x. Örneğin, fonksiyonun periyodu y = günah 2x eşittir 2π/2 = π ve fonksiyonun periyodu y = günah x / 2 eşittir π / X/ 2 = 4π .

Fonksiyonun davranışını incelemek ilginçtir y = günah baltası programda çok kolay bir şekilde oluşturulabilecek animasyon örneğini kullanarak Akçaağaç:

Çok açılı diğer trigonometrik fonksiyonların grafikleri de benzer şekilde oluşturulur. Şekil fonksiyonun grafiğini göstermektedir y = çünkü 2x kosinüs dalgasının "sıkıştırılmasıyla" elde edilen y = çünkü x x ekseni boyunca iki kez.

Bir fonksiyonun grafiği y = çünkü x / 2 kosinüs dalgasının "gerilmesiyle" elde edilir y = çünkü x x ekseni boyunca iki katına çıkar.

Şekilde fonksiyonun grafiğini görüyorsunuz y = ten rengi 2x, tanjantoidlerin "sıkıştırılmasıyla" elde edilir y = ten rengi x x ekseni boyunca iki kez.

Bir fonksiyonun grafiği y = tg X/ 2 , tanjantoidlerin "gerilmesiyle" elde edilir y = ten rengi x x ekseni boyunca iki katına çıkar.

Ve son olarak programın gerçekleştirdiği animasyon Akçaağaç:

Egzersizler

1. Bu fonksiyonların grafiklerini oluşturun ve bu grafiklerin koordinat eksenleriyle kesiştiği noktaların koordinatlarını belirtin. Bu fonksiyonların periyotlarını belirleyiniz.

A). y = günah 4x/ 3 G). y = ten rengi 5x/ 6 Ve). y = çünkü 2 kere/ 3

B). y=cos 5x/ 3 D). y = ctg 5x/ 3 H). y=ctg X/ 3

V). y = ten rengi 4x/ 3 e). y = günah 2 kere/ 3

2. Görevlerin periyotlarını belirleyin y = günah (πх) Ve y = tg (πх/2).

3. -1'den +1'e kadar (bu iki sayı dahil) tüm değerleri alan ve 10'uncu periyotla periyodik olarak değişen iki fonksiyon örneği verin.

4 *. 0'dan 1'e kadar tüm değerleri alan (bu iki sayı dahil) ve bir nokta ile periyodik olarak değişen fonksiyonlara iki örnek verin π/2.

5. Tüm gerçek değerleri alan ve periyot 1 ile periyodik olarak değişen iki fonksiyon örneği verin.

6 *. Tüm negatif değerleri ve sıfırı kabul eden, ancak pozitif değerleri kabul etmeyen ve 5'lik periyotlarla periyodik olarak değişen iki fonksiyon örneği verin.