Çift denklem sistemleri nasıl çözülür? Denklem sistemi
Matematikteki problemlerin çoğu, tek değişkenli standart denklemlerin çözümüne odaklanır. Bazen iki veya daha fazla değişkeni içerebilen iki veya daha fazla denklemden oluşan bir sistem kullanılır.
Ancak sayısal ifadelere ek olarak iki bilinmeyen soyut ifade içeren ayrı bir denklemi inceleyelim. Örneğin:
Böyle herhangi bir denkleme iki değişkenli denklem denir. Böyle bir denklemin çözümü, tüm ifadenin eşdeğer bir doğru eşitliğe dönüştürüleceği şekilde bir x ve y değeri çiftidir. Değişkenler için aşağıdaki değerleri kullanıyoruz:
Denklemi yerine koyarsak doğru eşitliği elde ederiz:
(2) 2 + 2(1) = 6
Dolayısıyla (2, 1) sayı çifti denklemin bir çözümüdür.
x2 + 2y = 6. Bir çözüm yazarken, değişkenlerin değerlerini parantez içinde, virgülle ayırarak, önce x değerini yazarak belirtmeniz gerektiğine dikkat edin (bu kesin değil, ancak onaylanmıştır).
İlk örneği seçim yöntemini kullanarak çözerek başka bir çözüm çifti bulmak kolaydır - örneğin, (4, -5) değerlerini kullanacağız:
(4) 2 + 2(-5) = 6
Sayı çifti denklemi doğru bir eşitliğe dönüştürdü, bu da bu denklemin çözümüne de karşılık geldiği anlamına geliyor.
Video eğitiminden de anlayabileceğiniz gibi, iki değişkenli bir denklemin birçok çözümü, daha doğrusu, doğru cevap kriterlerini karşılayacak birçok sayı çifti vardır. İlk denklemi aşağıdaki gibi dönüştürelim. Denklemin tüm taraflarını 2'ye bölelim:
0,5x2 + y = 3
y = 3 - 0,5x2
Ortaya çıkan y = 3 - 0,5x2 ifadesi bir fonksiyondan başka bir şey değildir - bir değişkenin ikinciye bağımlılığı. Başka bir deyişle:
y = 3 - 0,5x2
f(x) = 3 - 0,5x 2
Fonksiyonların temelleri hakkındaki video derslerinden hatırladığımız gibi, herhangi bir bağımlılık üç unsurla karakterize edilir: bir dizi belirli başlangıç argümanı, bir dönüşüm formülü ve bir dizi elde edilen değerler. Denklemimizde, tüm gerçek çözümlerin kümesi x ve y değer çiftleriyle, yani fonksiyonun her iki kümesinin eşleştirilmiş elemanlarıyla temsil edilir. Bu durumda denklemin kendisi birinci ve ikinci değişkenler arasındaki ilişkinin bir ifadesidir.
Ayrıca y = 3 - 0,5x 2 ifadesi, x 2 + 2y = 6 ile tamamen aynı çözüm çiftlerine sahiptir; dolayısıyla bu denklemlere eşdeğer denir. Eşdeğer denklemler aşağıdaki durumlarda elde edilir:
- Terimlerin (işaretin ters çevrilmesi dikkate alınarak) eşitliğin bir kısmından diğerine aktarılması sırasında;
- Eşitliğin anlamını değiştirmeyen çeşitli özdeş dönüşümler altında;
- Bir denklemin her iki tarafını aynı anda aynı katsayı ile çarparken veya bölerken;
Denklemde çeşitli dönüşümler gerçekleştirirken herhangi bir değişkenin tanım alanını bozamayacağınızı anlamak önemlidir. Çoğu kimlik dönüşümü x veya y kümesini değiştirmeden tutar, ancak hoş olmayan istisnalar da vardır. Bu örneği düşünün:
y = x(2/(x) + 4)
Bu denklemi çözmek için parantezleri açmak daha mantıklı olacaktır: değişkenlerin tanım alanını neredeyse hiçbir zaman etkilemeyen, tamamen aynı bir dönüşümü gerçekleştirmek. Ancak bu durumda parantezlerin açılması aynı olay olmayacaktır. Orijinal versiyonda, sunulan denklemin x = 0 hariç birçok x çözümü vardır, çünkü bu değerle tek terimli 2/x tüm denklemle birlikte anlamını kaybedecektir. Parantezleri açarsak aşağıdakileri elde ederiz:
y = x(2/(x) + 4) = 2x/x + 4x = 2 + 4x
Görülmesi kolay olduğu gibi, yeni denklemde x'in tanım alanı sonsuzdur, x = 0 da dahil. Yani x'in değer kümesi değişmiştir, denklem verilen örneğe eşdeğer değildir. Ancak bu tür alıştırmalar sıklıkla sıradan dönüşümlerle çözülür. Denklemin geçersiz çözümlerini elemek için sadece bir ikame kontrolü yapmanız gerekir.
İki değişkenli denklemlerin büyük çoğunluğu analitik bağımlılığa dönüştürülür, ardından herhangi iki x değeri yerine konulur ve böylece bir x ve y çözümü çifti hesaplanır. Aynı zamanda çözümlerin kendileri de kural olarak sonsuz sayıdadır. Ancak bazı noktaların değişken tanımının kapsamı dışında kalması gibi küçük istisnalar da vardır. İki bilinmeyenli bazı denklemlerin yalnızca bir çözümü vardır; örneğin, x 2 + y 2 = 0 ifadesinin yalnızca bir kök çifti vardır - (0, 0). Ve x 2 + y 2 = -1 formundaki bir denklemin hiçbir gerçek çözümü yoktur. Aynı şey, negatif sayılara eşit olan benzer denklemler için de geçerlidir; sonuçta kareler, toplamları gibi, prensipte negatif değerler veremez.
İki bilinmeyenli doğrusal olmayan denklemler
Tanım 1. A biraz olsun sayı çiftleri kümesi (X; sen). A kümesinin verildiğini söylüyorlar sayısal fonksiyon z iki değişkenden x ve y A kümesindeki her sayı çiftinin belirli bir sayıyla ilişkilendirildiği bir kural belirtilirse.
İki değişken x ve y için sayısal bir z fonksiyonu belirtmek genellikle belirtmek Bu yüzden:
Nerede F (X , sen) – fonksiyon dışında herhangi bir fonksiyon
F (X , sen) = balta+by+c ,
a, b, c'ye sayılar verilmiştir.
Tanım 3. Denklem çözme (2) bir çift numarayı arayın ( X; sen) , bunun için formül (2) gerçek bir eşitliktir.
Örnek 1. Denklemi çözün
Herhangi bir sayının karesi negatif olmadığından, formül (4)'ten x ve y bilinmeyenlerinin denklem sistemini sağladığı sonucu çıkar.
çözüm bir çift sayıdır (6; 3).
Cevap: (6; 3)
Örnek 2. Denklemi çözün
Bu nedenle, denklem (6)'nın çözümü şu şekildedir: sonsuz sayıda sayı çifti tür
(1 + sen ; sen) ,
burada y herhangi bir sayıdır.
doğrusal
Tanım 4. Bir denklem sistemini çözme
bir çift numarayı arayın ( X; sen), bunları bu sistemin denklemlerinin her birine yerleştirirken doğru eşitlik elde edilir.
Biri doğrusal olan iki denklemli sistemler şu şekildedir:
G(X , sen)
Örnek 4. Denklem sistemini çözme
Çözüm . Sistemin (7) ilk denklemindeki bilinmeyen y'yi bilinmeyen x'e kadar ifade edelim ve elde edilen ifadeyi sistemin ikinci denkleminde yerine koyalım:
Denklemin çözümü
X 1 = - 1 , X 2 = 9 .
Buradan,
sen 1 = 8 - X 1 = 9 ,
sen 2 = 8 - X 2 = - 1 .
Biri homojen olan iki denklemli sistemler
Biri homojen olan iki denklemin sistemleri şu şekildedir:
a, b, c'ye sayılar verilmiştir ve G(X , sen) – iki değişkenli x ve y fonksiyonu.
Örnek 6. Denklem sistemini çözme
Çözüm . Homojen denklemi çözelim
3X 2 + 2xy - sen 2 = 0 ,
3X 2 + 17xy + 10sen 2 = 0 ,
bunu bilinmeyen x'e göre ikinci dereceden bir denklem olarak ele alırsak:
.
Durumunda X = - 5sen, sistemin (11) ikinci denkleminden denklemi elde ederiz
5sen 2 = - 20 ,
kökleri olmayan.
Durumunda
sistemin ikinci denkleminden (11) denklemi elde ederiz
,
kökleri sayılar olan sen 1 = 3 , sen 2 = - 3 . Bu y değerlerinin her biri için karşılık gelen x değerini bularak sisteme iki çözüm elde ederiz: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .
Cevap: (- 2 ; 3), (2 ; - 3)
Diğer türdeki denklem sistemlerinin çözüm örnekleri
Örnek 8. Denklem sistemini çözme (MIPT)
Çözüm . Aşağıdaki formüllere göre x ve y aracılığıyla ifade edilen yeni bilinmeyen u ve v'yi tanıtalım:
(12) sistemini yeni bilinmeyenler cinsinden yeniden yazmak için öncelikle x ve y bilinmeyenlerini u ve v cinsinden ifade ederiz. Sistem (13)'ten şu sonuç çıkıyor:
Lineer sistemi (14) bu sistemin ikinci denkleminden x değişkenini çıkararak çözelim. Bu amaçla sistem (14) üzerinde aşağıdaki dönüşümleri gerçekleştiriyoruz:
- Sistemin ilk denklemini değiştirmeden bırakacağız;
- ikinci denklemden birinci denklemi çıkarırız ve sistemin ikinci denklemini ortaya çıkan farkla değiştiririz.
Sonuç olarak sistem (14) eşdeğer bir sisteme dönüştürülür.
nereden buluyoruz
Formül (13) ve (15)'i kullanarak orijinal sistemi (12) şu şekilde yeniden yazıyoruz:
(16) sisteminin ilk denklemi doğrusaldır, dolayısıyla bilinmeyen u'yu bilinmeyen v'ye doğru ifade edebilir ve bu ifadeyi sistemin ikinci denkleminde yerine koyabiliriz.
İlk kez 7.sınıf matematik dersinde karşılaşıyoruz iki değişkenli denklemler ancak bunlar yalnızca iki bilinmeyenli denklem sistemleri bağlamında incelenir. Bu nedenle, denklemin katsayılarına onları sınırlayan belirli koşulların getirildiği bir dizi problem gözden kayboluyor. Ayrıca, Birleşik Devlet Sınavı materyallerinde ve giriş sınavlarında bu tür problemlere giderek daha sık rastlanmasına rağmen, “Doğal veya tamsayılarda denklem çözme” gibi problem çözme yöntemleri de göz ardı edilmektedir.
Hangi denkleme iki değişkenli denklem denir?
Yani örneğin 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 veya xy = 12 denklemleri iki değişkenli denklemlerdir.
2x – y = 1 denklemini düşünün. x = 2 ve y = 3 olduğunda doğru olur, yani bu değişken değer çifti söz konusu denklemin bir çözümüdür.
Dolayısıyla, iki değişkenli herhangi bir denklemin çözümü, bu denklemi gerçek bir sayısal eşitliğe dönüştüren değişkenlerin değerleri olan sıralı çiftler (x; y) kümesidir.
İki bilinmeyenli bir denklem şunları yapabilir:
A) tek bir çözümü var.Örneğin, x 2 + 5y 2 = 0 denkleminin tek bir çözümü vardır (0; 0);
B) birden fazla çözümü var.Örneğin, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0'ın 4 çözümü vardır: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);
V) hiçbir çözümü yok.Örneğin x 2 + y 2 + 1 = 0 denkleminin çözümü yoktur;
G) sonsuz sayıda çözümü var.Örneğin, x + y = 3. Bu denklemin çözümleri toplamı 3'e eşit sayılar olacaktır. Bu denklemin çözüm kümesi (k; 3 – k) biçiminde yazılabilir; burada k herhangi bir gerçektir sayı.
İki değişkenli denklemleri çözmenin ana yöntemleri, ifadeleri çarpanlara ayırmaya, tam bir kareyi izole etmeye, ikinci dereceden bir denklemin özelliklerini kullanmaya, sınırlı ifadelere ve tahmin yöntemlerine dayalı yöntemlerdir. Denklem genellikle bilinmeyenleri bulmak için bir sistemin elde edilebileceği bir forma dönüştürülür.
Faktorizasyon
Örnek 1.
Denklemi çözün: xy – 2 = 2x – y.
Çözüm.
Çarpanlara ayırma amacıyla terimleri gruplandırıyoruz:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Her parantezden ortak bir çarpan çıkarıyoruz:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Elimizde:
y = 2, x – herhangi bir gerçek sayı veya x = -1, y – herhangi bir gerçek sayı.
Böylece, cevap (x; 2), x € R ve (-1; y), y € R formundaki tüm çiftlerdir.
Negatif olmayan sayıların sıfıra eşitliği
Örnek 2.
Denklemi çözün: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Çözüm.
Gruplandırma:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Artık her parantez kare fark formülü kullanılarak katlanabilir.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Negatif olmayan iki ifadenin toplamı yalnızca 3x – 2 = 0 ve 2y – 3 = 0 ise sıfırdır.
Bu, x = 2/3 ve y = 3/2 anlamına gelir.
Cevap: (2/3; 3/2).
Tahmin yöntemi
Örnek 3.
Denklemi çözün: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Çözüm.
Her parantez içinde tam bir kare seçiyoruz:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Tahmin edelim 
parantez içindeki ifadelerin anlamı.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ve (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 ise denklemin sol tarafı her zaman en az 2 olur. Eşitlik şu durumlarda mümkündür:
(x + 1) 2 + 1 = 1 ve (y – 2) 2 + 2 = 2, yani x = -1, y = 2.
Cevap: (-1; 2).
İkinci dereceden iki değişkenli denklemleri çözmek için başka bir yöntemle tanışalım. Bu yöntem denklemin şu şekilde ele alınmasından oluşur: bazı değişkenlere göre kare.
Örnek 4.
Denklemi çözün: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Çözüm.
Denklemi x için ikinci dereceden bir denklem olarak çözelim. Diskriminantı bulalım:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Denklemin çözümü ancak D = 0 olduğunda, yani y = 4 olduğunda olacaktır. Y'nin değerini orijinal denklemde yerine koyarız ve x = 3 olduğunu buluruz.
Cevap: (3; 4).
Genellikle iki bilinmeyenli denklemlerde şunu belirtirler: değişkenlere ilişkin kısıtlamalar.
Örnek 5.
Denklemi tam sayılarla çözün: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Çözüm.
Denklemi x 2 = -5y 2 + 20x + 2 şeklinde yeniden yazalım. Ortaya çıkan denklemin sağ tarafı 5'e bölündüğünde 2 kalanını verir. Dolayısıyla x 2, 5'e bölünemez. Ancak a'nın karesi 5'e bölünmeyen sayı 1 veya 4 kalanını verir. Dolayısıyla eşitlik mümkün değildir ve çözüm yoktur.
Cevap: Kök yok.
Örnek 6.
Denklemi çözün: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Çözüm.
Her parantez içindeki karelerin tamamını vurgulayalım:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Denklemin sol tarafı her zaman 3'ten büyük veya eşittir. Eşitlik |x| olması koşuluyla mümkündür. – 2 = 0 ve y + 3 = 0. Böylece x = ± 2, y = -3 olur.
Cevap: (2; -3) ve (-2; -3).
Örnek 7.
Denklemi sağlayan her negatif tam sayı (x;y) çifti için
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, (x + y) toplamını hesaplayın. Lütfen cevabınızda en küçük miktarı belirtin.
Çözüm.
Tam kareleri seçelim:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. x ve y tam sayı olduğundan kareleri de tam sayıdır. 1 + 36'yı toplarsak iki tam sayının karelerinin toplamını 37 elde ederiz. Dolayısıyla:
(x – y) 2 = 36 ve (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 ve (y + 2) 2 = 36.
Bu sistemleri çözüp x ve y'nin negatif olduğunu dikkate alarak şu çözümleri buluyoruz: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Cevap: -17.
İki bilinmeyenli denklemleri çözmekte zorluk yaşıyorsanız umutsuzluğa kapılmayın. Biraz pratik yaparak her denklemi çözebilirsiniz.
Hala sorularınız mı var? İki değişkenli denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
İlk ders ücretsiz!
web sitesi, materyalin tamamı veya bir kısmı kopyalanırken orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Bölüm 8. Denklem Sistemleri
8.2. İki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemi
Tanım
Aynı bilinmeyenlerin aynı miktarı ifade ettiği çeşitli denklemlere denir denklem sistemi.
Tip sistemi denir normal biçim iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemi.
Böyle bir sistemi çözmek, her iki denklem için ortak olan tüm çözümlerin kümesini bulmak anlamına gelir.
Peki böyle bir sistem nasıl çözülür?
Böyle bir sistem örneğin grafiksel olarak çözülebilir. Tipik olarak böyle bir sistem grafiksel olarak iki düz çizgiyle temsil edilir ve bu denklemlerin genel çözümü (sistemin çözümü), iki düz çizginin ortak noktasının koordinatları olacaktır. Burada üç olası durum vardır:
1) Düz çizgilerin (grafiklerin) yalnızca bir ortak noktası vardır (kesişir) - denklem sisteminin benzersiz bir çözümü vardır ve buna belirli denir.
2) Düz çizgilerin (grafiklerin) ortak noktaları (paralel) yoktur - sistemin çözümü yoktur ve buna tutarsız denir.
3) Düz çizgilerin (grafiklerin) sonsuz sayıda ortak noktası vardır (çakışır) - sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır ve belirsiz olarak adlandırılır.
Henüz anlamadığım bir şey var. Belki örneklerle daha net olur?
Elbette şimdi her durum için bir örnek vereceğiz ve her şey hemen netleşecek.
Sistemin tanımlandığı (benzersiz bir çözümü olan) bir örnekle başlayalım. Sistemi ele alalım. Bu fonksiyonların grafiklerini oluşturalım.
Yalnızca bir noktada kesişirler, dolayısıyla bu sistemin çözümü yalnızca şu noktanın koordinatlarıdır: , .
Şimdi uyumsuz (çözümsüz) bir sistem örneği verelim. Böyle bir sistemi ele alalım.
Bu durumda sistem çelişkilidir: Sol kısımlar eşittir, sağ kısımlar farklıdır. Grafiklerin ortak noktaları (paralel) bulunmadığından sistemin çözümü yoktur.
Şimdi sistemin belirsiz olduğu (sonsuz sayıda çözüme sahip) son durum var. İşte böyle bir sistemin bir örneği: . Bu denklemleri çizelim.
Düz çizgilerin (grafiklerin) sonsuz sayıda ortak noktası (çakışması) vardır, bu da sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu anlamına gelir. Bu durumda sistemin denklemleri eşdeğerdir (ikinci denklem ile çarpıldığında). 2 , ilk denklemi elde ederiz).
En önemlisi ilk durumdur. Böyle bir sistemin tek çözümü her zaman grafiksel olarak bulunabilir - bazen tam olarak ve çoğu zaman yaklaşık olarak gerekli doğruluk derecesi ile.
Tanım
İki denklem sistemine eşdeğer denir (eş değer) Her birinin tüm çözümleri aynı zamanda diğerinin de çözümü ise (çözüm kümeleri çakışıyorsa) veya her ikisinin de çözümü yoksa.
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu'ndaki devlet kurumlarının talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
