İstatistiklerde ortalama nedir? Aritmetik ortalama nasıl hesaplanır

İstatistiksel toplam birimlerinin özellikleri anlam bakımından farklıdır; örneğin, bir işletmede aynı meslekte çalışan işçilerin ücretlerinin aynı zaman dilimi için aynı olmaması, aynı ürünlerin piyasa fiyatları, ilçedeki mahsul rekolteleri. çiftlikler vb. Bu nedenle, incelenen birimlerin tüm popülasyonunun karakteristiği olan bir özelliğin değerini belirlemek için ortalama değerler hesaplanır.
ortalama değer – bu, bazı niceliksel özelliklere sahip bir dizi bireysel değerin genelleştirici bir özelliğidir.

Niceliksel olarak incelenen popülasyon bireysel değerlerden oluşur; hem genel nedenlerden hem de bireysel koşullardan etkilenirler. Ortalama değerde, bireysel değerlerin karakteristik sapmaları iptal edilir. Bir dizi bireysel değerin bir fonksiyonu olan ortalama, tek bir değere sahip toplamın tamamını temsil eder ve tüm birimlerinde ortak olanı yansıtır.

Niteliksel olarak homojen birimlerden oluşan popülasyonlar için hesaplanan ortalamaya denir. tipik ortalama. Örneğin, belirli bir meslek grubundaki (madenci, doktor, kütüphaneci) bir çalışanın ortalama aylık maaşını hesaplayabilirsiniz. Elbette madencilerin aylık ücret düzeyleri, niteliklerindeki farklılıklar, hizmet süreleri, aylık çalışılan süre ve diğer birçok faktör nedeniyle birbirinden ve ortalama ücret düzeyinden farklılık göstermektedir. Ancak ortalama düzey, ücret düzeyini etkileyen temel faktörleri yansıtmakta ve çalışanın bireysel özelliklerinden kaynaklanan farklılıklar ortadan kaldırılmaktadır. Ortalama maaş, belirli bir çalışan türü için tipik ücret düzeyini yansıtır. Tipik bir ortalamanın elde edilmesinden önce, belirli bir popülasyonun niteliksel olarak ne kadar homojen olduğunun bir analizi yapılmalıdır. Bütünlük bireysel parçalardan oluşuyorsa, tipik gruplara (hastanedeki ortalama sıcaklık) bölünmelidir.

Heterojen popülasyonlar için özellik olarak kullanılan ortalama değerlere denir sistem ortalamaları. Örneğin, kişi başına düşen gayri safi yurtiçi hasılanın (GSYİH) ortalama değeri, çeşitli mal gruplarının kişi başına ortalama tüketim değeri ve tek bir ekonomik sistem olarak devletin genel özelliklerini temsil eden diğer benzer değerler.

Yeterince fazla sayıda birimden oluşan popülasyonlar için ortalamanın hesaplanması gerekir. Büyük sayılar yasasının yürürlüğe girmesi için bu koşula uygunluk gereklidir, bunun sonucunda bireysel değerlerin genel eğilimden rastgele sapmaları karşılıklı olarak iptal edilir.

Ortalama türleri ve bunları hesaplama yöntemleri

Ortalama türünün seçimi, belirli bir göstergenin ve kaynak verilerin ekonomik içeriğine göre belirlenir. Bununla birlikte, herhangi bir ortalama değer, ortalama özelliğin her bir varyantını değiştirdiğinde, nihai, genelleştirici veya genel olarak adlandırıldığı gibi değişmeyecek şekilde hesaplanmalıdır. belirleyici gösterge ortalama göstergeyle ilişkilidir. Örneğin, rotanın ayrı bölümlerindeki gerçek hızları ortalama hızlarla değiştirirken, aracın aynı anda kat ettiği toplam mesafe değişmemelidir; bir işletmenin bireysel çalışanlarının fiili ücretlerini ortalama ücretle değiştirirken ücret fonu değişmemelidir. Sonuç olarak, her özel durumda, mevcut verilerin niteliğine bağlı olarak, incelenen sosyo-ekonomik olgunun özelliklerine ve özüne uygun göstergenin yalnızca bir gerçek ortalama değeri vardır.
En sık kullanılanlar aritmetik ortalama, harmonik ortalama, geometrik ortalama, ikinci dereceden ortalama ve kübik ortalamadır.
Listelenen ortalamalar sınıfa aittir sakinleştirici ortalamalar ve genel formülle birleştirilir:
,
incelenen özelliğin ortalama değeri nerede;
m – ortalama derece indeksi;
– ortalaması alınan özelliğin mevcut değeri (varyant);
n – özellik sayısı.
Üs m'nin değerine bağlı olarak, aşağıdaki güç ortalama türleri ayırt edilir:
m = -1 olduğunda – harmonik ortalama;
m = 0'da – geometrik ortalama;
m = 1 için – aritmetik ortalama;
m = 2 için – ortalama karekök;
m = 3'te – ortalama kübik.
Aynı başlangıç ​​verilerini kullanırken, yukarıdaki formüldeki m üssü ne kadar büyük olursa, ortalama değer de o kadar büyük olur:
.
Güç ortalamalarının bu özelliğine, tanımlayıcı fonksiyonun artan üssüyle birlikte artış denir. ortalamaların çoğunluğu kuralı.
İşaretlenen ortalamaların her biri iki biçimde olabilir: basit Ve ağırlıklı.
Basit orta form ortalama birincil (gruplanmamış) verilerden hesaplandığında kullanılır. Ağırlıklı form– ikincil (gruplandırılmış) verilere dayalı ortalamayı hesaplarken.

Aritmetik ortalama

Aritmetik ortalama, popülasyonun hacmi değişen bir karakteristiğin tüm bireysel değerlerinin toplamı olduğunda kullanılır. Ortalamanın türü belirtilmediği takdirde aritmetik ortalamanın varsayılacağına dikkat edilmelidir. Mantıksal formülü şuna benzer:

Basit aritmetik ortalama hesaplanmış gruplandırılmamış verilere dayalı formüle göre:
veya ,
özelliğin bireysel değerleri nerede;
j, değeri ile karakterize edilen gözlem ünitesinin seri numarasıdır;
N – gözlem birimlerinin sayısı (nüfusun hacmi).
Örnek.“İstatistiksel verilerin özeti ve gruplandırılması” dersi, 10 kişilik bir ekibin iş deneyimini gözlemlemenin sonuçlarını inceledi. Ekip çalışanlarının ortalama iş deneyimini hesaplayalım. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Basit aritmetik ortalama formülünü kullanarak şunu da hesaplayabiliriz: kronolojik serilerdeki ortalamalar karakteristik değerlerin sunulduğu zaman aralıkları eşitse.
Örnek.İlk çeyrekte satılan ürün hacmi 47 den'i buldu. ikinci 54, üçüncü 65 ve dördüncü 58 den için birimler. birimler Ortalama üç aylık ciro (47+54+65+58)/4 = 56 den. birimler
Anlık göstergeler kronolojik bir seri halinde verilirse, ortalama hesaplanırken bunlar, dönemin başındaki ve sonundaki değerlerin yarı toplamları ile değiştirilir.
İkiden fazla an varsa ve aralarındaki aralıklar eşitse, ortalama kronolojik formül kullanılarak ortalama hesaplanır.

,
burada n, zaman noktalarının sayısıdır
Verilerin karakteristik değerlere göre gruplandırılması durumunda (yani ayrı bir varyasyonel dağılım serisi oluşturulmuştur) ile aritmetik ortalama ağırlıklı sayısı (k) gözlem sayısından (N) önemli ölçüde daha az olan, özelliğin belirli değerlerinin gözlem frekansları veya gözlem frekansları kullanılarak hesaplanır.
,
,
burada k, varyasyon serisinin grup sayısıdır,
i – varyasyon serisinin grup numarası.
a olduğundan pratik hesaplamalar için kullanılan formülleri elde ederiz:
Ve
Örnek. Gruplandırılmış bir satırdaki çalışma ekiplerinin ortalama hizmet süresini hesaplayalım.
a) frekansların kullanılması:

b) frekansların kullanılması:

Verilerin aralıklara göre gruplandırılması durumunda yani aralık dağılım serileri şeklinde sunulur; aritmetik ortalama hesaplanırken, belirli bir aralıkta nüfus birimlerinin tekdüze bir dağılımı varsayımına dayanarak aralığın ortası özelliğin değeri olarak alınır. Hesaplama aşağıdaki formüller kullanılarak gerçekleştirilir:
Ve
aralığın ortası nerede: ,
nerede ve aralıkların alt ve üst sınırlarıdır (belirli bir aralığın üst sınırının bir sonraki aralığın alt sınırıyla çakışması koşuluyla).

Örnek. 30 işçinin yıllık ücretleri üzerine yapılan bir çalışmanın sonuçlarına dayanarak oluşturulan aralık değişim serisinin aritmetik ortalamasını hesaplayalım (bkz. “İstatistiksel verilerin özeti ve gruplandırılması” dersi).
Tablo 1 – Aralık değişim serisi dağılımı.

UAH veya UAH
Kaynak verilere ve aralık varyasyon serilerine dayanarak hesaplanan aritmetik ortalamalar, nitelik değerlerinin aralıklar içindeki eşit olmayan dağılımı nedeniyle çakışmayabilir. Bu durumda ağırlıklı aritmetik ortalamanın daha doğru hesaplanması için aralıkların ortaları değil, her grup için hesaplanan basit aritmetik ortalamalar kullanılmalıdır ( grup ortalamaları). Ağırlıklı hesaplama formülü kullanılarak grup ortalamalarından hesaplanan ortalamaya denir. genel ortalama.
Aritmetik ortalamanın birçok özelliği vardır.
1. Ortalama seçenekten sapmaların toplamı sıfırdır:
.
2. Opsiyonun tüm değerleri A miktarı kadar artar veya azalırsa, ortalama değer aynı A miktarı kadar artar veya azalır:

3. Her seçenek B katı artırılır veya azaltılırsa ortalama değer de aynı sayıda artacak veya azalacaktır:
veya
4. Seçeneğin çarpımlarının frekanslara göre toplamı, ortalama değerin frekansların toplamına göre çarpımına eşittir:

5. Tüm frekanslar herhangi bir sayıya bölünür veya çarpılırsa aritmetik ortalama değişmeyecektir:

6) tüm aralıklarda frekanslar birbirine eşitse, ağırlıklı aritmetik ortalama, basit aritmetik ortalamaya eşittir:
,
burada k, varyasyon serisinin grup sayısıdır.

Ortalamanın özelliklerini kullanmak, hesaplamasını basitleştirmenize olanak tanır.
Tüm seçeneklerin (x) önce aynı A sayısı kadar, sonra da B faktörü kadar azaltıldığını varsayalım. En büyük sadeleştirme, en yüksek frekansa sahip aralığın ortasının değeri A olarak seçildiğinde ve aralığın değeri (aynı aralıklara sahip seriler için) B olarak seçildiğinde elde edilir. A miktarına orijin denir, dolayısıyla ortalamayı hesaplamanın bu yöntemine denir. yol B koşullu sıfırdan ohm referansı veya anların yolu.
Böyle bir dönüşümün ardından varyantları eşit olan yeni bir varyasyonel dağılım serisi elde ederiz. Aritmetik ortalamalarına denir ilk sipariş anı, formülle ifade edilir ve ikinci ve üçüncü özelliklere göre aritmetik ortalama, orijinal versiyonun ortalamasına eşittir, önce A, sonra B katı ile azaltılır, yani;
Almak için gerçek ortalama(orijinal serinin ortalaması) birinci dereceden momenti B ile çarpmanız ve A'yı eklemeniz gerekir:

Momentler yöntemi kullanılarak aritmetik ortalamanın hesaplanması Tablodaki verilerle gösterilmektedir. 2.
Tablo 2 – Fabrika atölyesi çalışanlarının hizmet süresine göre dağılımı

İlk sipariş anını bulma . Daha sonra A = 17,5 ve B = 5 olduğunu bilerek atölye çalışanlarının ortalama hizmet süresini hesaplıyoruz:
yıllar

Harmonik ortalama
Yukarıda gösterildiği gibi, aritmetik ortalama, bir özelliğin x varyantlarının ve f frekanslarının bilindiği durumlarda, bir özelliğin ortalama değerini hesaplamak için kullanılır.
İstatistiksel bilgi popülasyonun bireysel x seçenekleri için f frekanslarını içermiyor ancak bunların ürünü olarak sunuluyorsa formül uygulanır ağırlıklı harmonik ortalama. Ortalamayı hesaplamak için nerede olduğunu belirtelim. Bu ifadeleri aritmetik ağırlıklı ortalama formülünde değiştirerek harmonik ağırlıklı ortalama formülünü elde ederiz:
,
i (i=1,2, …, k) numaralı aralıktaki gösterge nitelik değerlerinin hacmi (ağırlığı) nerededir.

Bu nedenle, harmonik ortalama, seçeneklerin kendisinin toplamaya tabi olmadığı, ancak bunların karşılıklı olduğu durumlarda kullanılır: .
Her seçeneğin ağırlığının bire eşit olduğu durumlarda; Ters karakteristiğin bireysel değerleri bir kez uygulanır, uygulanır harmonik basit demek:
,
ters özelliğin bireysel değişkenleri nerede bir kez meydana gelir;
N – sayı seçeneği.
Bir popülasyonun iki kısmı için harmonik ortalamalar varsa, tüm popülasyonun genel ortalaması aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

ve denir grup ortalamalarının ağırlıklı harmonik ortalaması.

Örnek. Döviz alım satımı sırasında operasyonun ilk saatinde üç işlem gerçekleştirildi. Grivna satış miktarı ve ABD doları karşısında Grivna döviz kuruna ilişkin veriler tabloda verilmektedir. 3 (sütun 2 ve 3). İşlemin ilk saati için Grivnanın ABD dolarına karşı ortalama döviz kurunu belirleyin.
Tablo 3 – Döviz ticaretinin ilerlemesine ilişkin veriler

Ortalama dolar kuru, tüm işlemler sırasında satılan Grivna miktarının, aynı işlemler sonucunda elde edilen dolar miktarına oranıyla belirlenir. Grivnanın nihai satış tutarı tablonun 2. sütunundan bilinmektedir ve her işlemde satın alınan dolar miktarı, Grivnanın satış tutarının döviz kuruna bölünmesiyle belirlenir (sütun 4). Üç işlem sırasında toplam 22 milyon dolar satın alındı. Bu, bir dolar için Grivnanın ortalama döviz kurunun şu şekilde olduğu anlamına gelir:
.
Ortaya çıkan değer gerçektir çünkü İşlemlerdeki gerçek Grivna döviz kurları ile değiştirilmesi, Grivna satışlarının nihai tutarını değiştirmeyecektir. belirleyici gösterge: milyon UAH
Hesaplama için aritmetik ortalama kullanıldıysa; Grivnası, daha sonra 22 milyon dolarlık döviz kuruyla satın alındı. 110,66 milyon UAH harcamak gerekecek ki bu doğru değil.

Geometrik ortalama
Geometrik ortalama, olayların dinamiklerini analiz etmek için kullanılır ve ortalama büyüme katsayısının belirlenmesine olanak tanır. Geometrik ortalamayı hesaplarken, bir özelliğin bireysel değerleri, her seviyenin bir öncekine oranı olarak zincir değerleri şeklinde oluşturulan dinamiklerin göreceli göstergeleridir.
Basit geometrik ortalama aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
,
ürünün işareti nerede,
N – ortalama değerlerin sayısı.
Örnek. 4 yılda kayıtlı suç sayısı 1,57 kat arttı; 1'incide 1,08 kat, 2'de 1,1 kat, 3'te 1,18 ve 4'te 1,12 kat artış yaşandı. Bu durumda suç sayısının ortalama yıllık artış oranı: , yani. Kayıtlı suçların sayısı her yıl ortalama %12 arttı.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

Ağırlıklı ortalamanın karesini hesaplamak için ve'yi belirleyip tabloya giriyoruz. Daha sonra ürünlerin uzunluğunun verilen normdan ortalama sapması şuna eşittir:

Bu durumda aritmetik ortalama uygun olmayacaktır çünkü sonuç olarak sıfır sapma elde ederiz.
Ortalama karenin kullanımı varyasyon açısından daha ayrıntılı olarak tartışılacaktır.

İstatistiklerde, iki büyük sınıfa ayrılan çeşitli ortalama türleri kullanılır:

Güç araçları (harmonik ortalama, geometrik ortalama, aritmetik ortalama, ikinci dereceden ortalama, kübik ortalama);

Yapısal araçlar (mod, medyan).

Hesaplamak güç ortalamaları mevcut tüm karakteristik değerlerin kullanılması gereklidir. Moda Ve medyan yalnızca dağılımın yapısı tarafından belirlenir, bu nedenle bunlara yapısal, konumsal ortalamalar denir. Medyan ve mod, güç ortalamasının hesaplanmasının imkansız veya pratik olmadığı popülasyonlarda sıklıkla ortalama bir özellik olarak kullanılır.

En yaygın ortalama türü aritmetik ortalamadır. Altında aritmetik ortalama bir özelliğin tüm değerlerinin toplamının popülasyonun tüm birimleri arasında eşit olarak dağıtılması durumunda popülasyonun her biriminin sahip olacağı bir özelliğin değeri olarak anlaşılmaktadır. Bu değerin hesaplanması, değişen karakteristiklerin tüm değerlerinin toplanmasına ve elde edilen miktarın popülasyondaki toplam birim sayısına bölünmesine dayanır. Örneğin, beş işçi parça üretimi için bir siparişi yerine getirirken, birincisi 5 parça, ikincisi 7, üçüncüsü 4, dördüncüsü 10, beşincisi 12 parça yaptı. Kaynak verilerde her birinin değeri olduğundan belirlemek için seçenek yalnızca bir kez meydana geldi

Bir işçinin ortalama çıktısını belirlemek için basit aritmetik ortalama formülü uygulanmalıdır:

yani örneğimizde bir işçinin ortalama çıktısı şuna eşittir:

Basit aritmetik ortalamanın yanı sıra, çalışıyorlar ağırlıklı aritmetik ortalama.Örneğin, yaşları 18 ile 22 arasında değişen 20 kişilik bir gruptaki öğrencilerin ortalama yaşını hesaplayalım; xi– ortalaması alınan özelliğin çeşitleri, fi– kaç kez meydana geldiğini gösteren frekans i-th toplam değer (Tablo 5.1).

Tablo 5.1

Öğrencilerin ortalama yaşı

Ağırlıklı aritmetik ortalama formülünü uygulayarak şunu elde ederiz:

Ağırlıklı aritmetik ortalamayı seçmenin belirli bir kuralı vardır: iki göstergeye ilişkin bir dizi veri varsa, bunlardan biri için hesaplamanız gerekir

ortalama değer ve aynı zamanda mantıksal formülünün paydasının sayısal değerleri biliniyor ve payın değerleri bilinmiyor, ancak bu göstergelerin ürünü olarak bulunabilir, o zaman ortalama değer olmalıdır aritmetik ağırlıklı ortalama formülü kullanılarak hesaplanır.

Bazı durumlarda, başlangıçtaki istatistiksel verilerin doğası, aritmetik ortalamanın hesaplanmasının anlamını yitirdiği ve tek genelleme göstergesinin yalnızca başka türde bir ortalama değer olabileceği şekildedir - harmonik ortalama.Şu anda, aritmetik ortalamanın hesaplama özellikleri, elektronik hesaplama teknolojisinin yaygın olarak kullanılmaya başlanması nedeniyle genel istatistiksel göstergelerin hesaplanmasındaki ilgisini kaybetmiştir. Basit ve ağırlıklı da olabilen harmonik ortalama değer, pratikte büyük önem kazanmıştır. Mantıksal bir formülün payının sayısal değerleri biliniyorsa ve paydanın değerleri bilinmiyorsa, ancak bir göstergenin diğerine kısmi bölümü olarak bulunabiliyorsa, ortalama değer harmonik kullanılarak hesaplanır. ağırlıklı ortalama formülü

Örneğin otomobilin ilk 210 km'yi 70 km/saat hızla, kalan 150 km'yi ise 75 km/saat hızla kat ettiği bilinsin. Aritmetik ortalama formülünü kullanarak bir arabanın 360 km'lik yolculuğun tamamındaki ortalama hızını belirlemek imkansızdır. Seçenekler ayrı bölümlerdeki hızlar olduğundan xj= 70 km/saat ve X2= 75 km/saat ise ve ağırlıklar (fi) yolun karşılık gelen bölümleri olarak kabul edilirse, bu durumda seçenekler ve ağırlıkların çarpımının ne fiziksel ne de ekonomik bir anlamı olacaktır. Bu durumda, bölümler yolun bölümlerini karşılık gelen hızlara (seçenekler xi) bölmekten, yani yolun ayrı bölümlerini geçmek için harcanan zamana (fi) bölmekten anlam kazanır. / xi). Yolun bölümleri fi ile gösterilirse, yolun tamamı Şfi olarak, yolun tamamında harcanan süre ise Şfi olarak ifade edilecektir. fi / xi , Daha sonra ortalama hız, tüm yolun harcanan toplam süreye bölümü olarak bulunabilir:

Örneğimizde şunu elde ederiz:

Harmonik ortalamayı kullanırken tüm seçeneklerin (f) ağırlıkları eşitse, ağırlıklı olan yerine kullanabilirsiniz basit (ağırlıklandırılmamış) harmonik ortalama:

burada xi bireysel seçeneklerdir; N– ortalaması alınan özelliğin değişken sayısı. Hız örneğinde, farklı hızlarda kat edilen yol bölümleri eşitse basit harmonik ortalama uygulanabilir.

Herhangi bir ortalama değer, ortalama özelliğin her bir varyantının yerini aldığında, ortalama göstergeyle ilişkili bazı nihai, genel göstergelerin değerinin değişmeyeceği şekilde hesaplanmalıdır. Bu nedenle, rotanın ayrı bölümlerindeki gerçek hızları ortalama değerle (ortalama hız) değiştirirken toplam mesafe değişmemelidir.

Ortalama değerin formu (formülü), bu son göstergenin ortalama değerle ilişkisinin doğası (mekanizması) ile belirlenir, bu nedenle, seçenekleri ortalama değerleriyle değiştirirken değeri değişmemesi gereken son gösterge, isminde belirleyici gösterge. Ortalama formülü türetmek için, ortalama gösterge ile tanımlayıcı gösterge arasındaki ilişkiyi kullanarak bir denklem oluşturup çözmeniz gerekir. Bu denklem, ortalama karakteristik (gösterge) değişkenlerinin ortalama değerleriyle değiştirilmesiyle oluşturulur.

İstatistiklerde aritmetik ortalama ve harmonik ortalamanın yanı sıra diğer ortalama türleri (formları) da kullanılır. Hepsi özel durumlar güç ortalaması. Aynı veri için tüm güç ortalama türlerini hesaplarsak, o zaman değerler

aynı olacaklar, kural burada geçerli büyük oran ortalama. Ortalamanın üssü arttıkça ortalama değerin kendisi de artar. Pratik araştırmalarda çeşitli güç ortalama türlerini hesaplamak için en sık kullanılan formüller Tabloda sunulmaktadır. 5.2.

Tablo 5.2

Güç türleri

Geometrik ortalama şu durumlarda kullanılır: N büyüme katsayıları, karakteristiğin bireysel değerleri ise kural olarak, dinamik serideki her seviyenin önceki seviyesine oran olarak zincir değerleri şeklinde oluşturulan göreceli dinamik değerlerdir. Dolayısıyla ortalama, ortalama büyüme oranını karakterize eder. Ortalama geometrik basit formülle hesaplanır

Formül ağırlıklı geometrik ortalama aşağıdaki forma sahiptir:

Yukarıdaki formüller aynıdır ancak biri mevcut katsayılar veya büyüme oranları için, ikincisi ise seri seviyelerinin mutlak değerleri için uygulanır.

Ortalama kare kare fonksiyonlarının değerleriyle hesaplanırken kullanılır, bir özelliğin bireysel değerlerinin dağılım serisindeki aritmetik ortalama etrafındaki dalgalanma derecesini ölçmek için kullanılır ve formülle hesaplanır

Ağırlıklı ortalama kare başka bir formül kullanılarak hesaplanır:

Ortalama kübik kübik fonksiyon değerleriyle yapılan hesaplamalarda kullanılır ve formül kullanılarak hesaplanır

ortalama kübik ağırlıklı:

Yukarıda tartışılan tüm ortalama değerler genel bir formül olarak sunulabilir:

ortalama değer nerede; – bireysel anlam; N– incelenen popülasyonun birim sayısı; k– ortalamanın türünü belirleyen üs.

Aynı kaynak verilerini kullanırken, daha fazla k genel güç ortalaması formülünde ortalama değer ne kadar büyük olursa. Bundan, güç ortalamalarının değerleri arasında doğal bir ilişki olduğu anlaşılmaktadır:

Yukarıda açıklanan ortalama değerler, incelenen nüfus hakkında genel bir fikir verir ve bu açıdan bunların teorik, uygulamalı ve eğitimsel önemi tartışılmaz. Ancak ortalama değerin gerçekte var olan seçeneklerin hiçbiriyle örtüşmediği görülür, bu nedenle, istatistiksel analizde, dikkate alınan ortalamalara ek olarak, çok özel bir konumu işgal eden belirli seçeneklerin değerlerinin kullanılması tavsiye edilir. sıralı (sıralanmış) nitelik değerleri serisi. Bu miktarlar arasında en sık kullanılanlar şunlardır: yapısal, veya tanımlayıcı, ortalama– mod (Mo) ve medyan (Me).

Moda– belirli bir popülasyonda en sık bulunan bir özelliğin değeri. Bir varyasyon serisiyle ilgili olarak mod, sıralanan seride en sık tekrarlanan değer, yani en yüksek frekansa sahip seçenektir. Moda, daha sık ziyaret edilen mağazaların, herhangi bir ürünün en yaygın fiyatının belirlenmesinde kullanılabilir. Popülasyonun önemli bir kısmının özellik karakteristiğinin boyutunu gösterir ve formülle belirlenir.

burada x0 aralığın alt sınırıdır; H– aralık boyutu; fm– aralık frekansı; fm_ 1 – önceki aralığın sıklığı; fm+ 1 – bir sonraki aralığın frekansı.

Medyan sıralanan satırın ortasında bulunan seçenek çağrılır. Ortanca, seriyi her iki tarafında da aynı sayıda nüfus birimi olacak şekilde iki eşit parçaya böler. Bu durumda popülasyondaki birimlerin yarısı değişkenlik özelliğinin değerine medyandan küçük, diğer yarısı ise medyandan daha büyük bir değere sahiptir. Medyan, değeri bir dağılım serisinin elemanlarının yarısından büyük veya eşit veya aynı zamanda yarısından küçük veya eşit olan bir eleman incelenirken kullanılır. Medyan, nitelik değerlerinin nerede yoğunlaştığı, diğer bir deyişle merkezlerinin nerede olduğu konusunda genel bir fikir verir.

Medyanın tanımlayıcı doğası, popülasyondaki birimlerin yarısının sahip olduğu değişken bir özelliğin değerlerinin niceliksel sınırını karakterize etmesiyle ortaya çıkar. Ayrık bir varyasyon serisi için medyanı bulma problemi kolaylıkla çözülebilir. Serinin tüm birimlerine seri numarası verilmişse ortanca seçeneğin seri numarası (n+1)/2 olarak belirlenir ve serinin üye sayısı çift sayıdır. , bu durumda medyan, seri numarasına sahip iki seçeneğin ortalama değeri olacaktır. N/ 2 ve N/ 2 + 1.

Aralık değişim serilerinde medyanı belirlerken öncelikle içinde bulunduğu aralığı (medyan aralığı) belirleyin. Bu aralık, birikmiş frekans toplamının serinin tüm frekanslarının toplamına eşit veya yarısına eşit olmasıyla karakterize edilir. Bir aralık varyasyon serisinin medyanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Nerede X0– aralığın alt sınırı; H– aralık boyutu; fm– aralık frekansı; F– serinin üye sayısı;

M -1 – verilen seriden önceki serinin birleştirilmiş terimlerinin toplamı.

İncelenen popülasyonun yapısını daha iyi karakterize etmek için medyanın yanı sıra sıralanan seride çok özel bir konuma sahip olan diğer seçenek değerleri de kullanılır. Bunlar şunları içerir: çeyrekler Ve ondalık.Çeyrekler, seriyi frekansların toplamına göre 4 eşit parçaya ve ondalık dilimleri 10 eşit parçaya böler. Üç çeyrek ve dokuz ondalık dilim vardır.

Medyan ve mod, aritmetik ortalamanın aksine, değişken bir özelliğin değerlerindeki bireysel farklılıkları bastırmaz ve bu nedenle istatistiksel popülasyonun ek ve çok önemli özellikleridir. Uygulamada sıklıkla ortalamanın yerine veya onunla birlikte kullanılırlar. İncelenen popülasyonun değişen karakteristiklerin çok büyük veya çok küçük değerlerine sahip belirli sayıda birim içerdiği durumlarda medyan ve modun hesaplanması özellikle tavsiye edilir. Nüfusun pek karakteristik özelliği olmayan seçeneklerin bu değerleri, aritmetik ortalamanın değerini etkilerken, medyan ve mod değerlerini etkilemez, bu da ikincisini ekonomik ve istatistiksel açıdan çok değerli göstergeler haline getirir. analiz.

Excel'de sayıların ortalaması nasıl hesaplanır

Fonksiyonu kullanarak Excel'deki sayıların aritmetik ortalamasını bulabilirsiniz.

Sözdizimi ORTALAMA

=ORTALAMA(sayı1,[sayı2],…) - Rusça versiyonu

Bağımsız Değişkenler ORTALAMA

• 1 numara- aritmetik ortalamanın hesaplanması için ilk sayı veya sayı aralığı;
• 2 numara(İsteğe bağlı) – aritmetik ortalamayı hesaplamak için ikinci sayı veya sayı aralığı. Maksimum işlev argümanı sayısı 255'tir.

Hesaplamak için şu adımları izleyin:

• Herhangi bir hücreyi seçin;
• Formülü oraya yazın =ORTALAMA(
• Hesaplama yapmak istediğiniz hücre aralığını seçin;
• Klavyenizdeki “Enter” tuşuna basın

İşlev, sayıları içeren hücreler arasında belirtilen aralıktaki ortalama değeri hesaplar.

Verilen ortalama metin nasıl bulunur?

Veri aralığında boş satırlar veya metinler varsa işlev bunları "sıfır" olarak ele alır. Veriler arasında YANLIŞ veya DOĞRU mantıksal ifadeleri varsa, fonksiyon YANLIŞ'ı "sıfır", DOĞRU'yu ise "1" olarak algılar.

Koşula göre aritmetik ortalama nasıl bulunur?

Ortalamayı koşula veya kritere göre hesaplamak için fonksiyon kullanılır. Örneğin, ürün satışlarına ilişkin verilerimizin olduğunu düşünün:

Görevimiz kalem satışlarının ortalama değerini hesaplamaktır. Bunu yapmak için aşağıdaki adımları uygulayacağız:

• Bir hücrede A13ürünün adını “Kalemler” yazın;
• Bir hücrede B13 formülü tanıtalım:

=EĞERORTALAMA(A2:A10;A13;B2:B10)

Hücre aralığı “ A2:A10”, “Kalemler” kelimesini arayacağımız ürünlerin listesini gösterir. Argüman A13 bu, tüm ürün listesi arasında arayacağımız metin içeren bir hücrenin bağlantısıdır. Hücre aralığı “ B2:B10”, işlevin "Tutma Noktalarını" bulacağı ve ortalama değeri hesaplayacağı, ürün satış verilerini içeren bir aralıktır.

Ortalamanın en önemli özelliği, incelenen popülasyonun tüm birimleri için ortak olanı yansıtmasıdır. Bir popülasyonun bireysel birimlerinin nitelik değerleri, aralarında hem temel hem de rastgele olabilecek birçok faktörün etkisi altında değişir. Ortalamanın özü, rastgele faktörlerin eyleminin neden olduğu bir özelliğin değerlerindeki sapmaları karşılıklı olarak telafi etmesi ve ana faktörlerin eyleminin neden olduğu değişiklikleri biriktirmesi (dikkate alması) gerçeğinde yatmaktadır. . Bu, ortalamanın özelliğin tipik düzeyini yansıtmasına ve bireysel birimlerin doğasında bulunan bireysel özelliklerden soyutlanmasına olanak tanır.

Ortalamanın gerçek anlamda temsili olabilmesi için belirli ilkeler dikkate alınarak hesaplanması gerekir.

Ortalamaları kullanmanın temel ilkeleri.

1. Niteliksel olarak homojen birimlerden oluşan popülasyonlar için ortalama belirlenmelidir.

2. Yeterince fazla sayıda birimden oluşan bir popülasyon için ortalama hesaplanmalıdır.

3. Ortalama, sabit koşullar altındaki nüfus için hesaplanmalıdır (etkileyen faktörler değişmediğinde veya önemli ölçüde değişmediğinde).

4. Ortalama, incelenen göstergenin ekonomik içeriği dikkate alınarak hesaplanmalıdır.

En spesifik istatistiksel göstergelerin hesaplanması aşağıdakilerin kullanımına dayanmaktadır:

· ortalama toplam;

· ortalama güç (harmonik, geometrik, aritmetik, ikinci dereceden, kübik);

· ortalama kronolojik (bkz. bölüm).

Toplam ortalama dışındaki tüm ortalamalar, ağırlıklı ve ağırlıksız olmak üzere iki şekilde hesaplanabilir.

Ortalama agrega. Kullanılan formül şöyledir:

Nerede ben= x ben* ben;

x ben- ortalaması alınan özelliğin i-inci versiyonu;

ben, - ağırlık Ben- seçenek.

Orta güç. Genel olarak hesaplama formülü şöyledir:

derece nerede k– orta güç tipi.

Aynı başlangıç ​​verileri için güç ortalamaları esas alınarak hesaplanan ortalamaların değerleri aynı değildir. k üssü arttıkça karşılık gelen ortalama değer de artar:

Ortalama kronolojik. Tarihler arasında eşit aralıklara sahip bir an zaman serisi için aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

,

Nerede x 1 Ve XN göstergenin başlangıç ​​ve bitiş tarihindeki değeri.

Güç ortalamalarını hesaplamak için formüller

Örnek. Tabloya göre. 2.1, bir bütün olarak üç işletme için ortalama maaşın hesaplanmasını gerektirir.

Tablo 2.1

JSC işletmelerinin ücretleri

Özel hesaplama formülü, tablodaki hangi verilere bağlıdır. 7 tanesi orjinaldir. Buna göre aşağıdaki seçenekler mümkündür: 1. sütundan (çalışan sayısı) ve 2'den (aylık maaş bordrosu) veriler; veya - 1 (SAGP sayısı) ve 3 (ortalama maaş); veya 2 (aylık maaş bordrosu) ve 3 (ortalama maaş).

Yalnızca 1. ve 2. sütun verileri mevcutsa. Bu sütunların sonuçları, istenen ortalamanın hesaplanması için gerekli değerleri içerir. Ortalama agrega formülü kullanılır:

Yalnızca 1. ve 3. sütun verileri mevcutsa ise orijinal oranın paydası biliniyor ancak payı bilinmiyor. Ancak ortalama ücretin öğretim elemanı sayısıyla çarpılmasıyla ücret fonu elde edilebilir. Bu nedenle genel ortalama şu formül kullanılarak hesaplanabilir: aritmetik ortalama ağırlıklı:

Ağırlığın dikkate alınması gerekir ( ben) bazı durumlarda iki hatta üç değerin çarpımı olabilir.

Ayrıca ortalama istatistik uygulamalarında da kullanılır. aritmetik ağırlıksız:

burada n nüfusun hacmidir.

Bu ortalama ağırlıklar ( ben) yoktur (özelliğin her bir çeşidi yalnızca bir kez meydana gelir) veya birbirine eşittir.

Yalnızca 2. ve 3. sütunlardan veriler varsa. yani orijinal oranın payı biliniyor ancak paydası bilinmiyor. Her işletmenin çalışan sayısı bordronun ortalama maaşa bölünmesiyle elde edilebilir. Daha sonra bir bütün olarak üç işletmenin ortalama maaşı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır: ağırlıklı harmonik ortalama:

Ağırlıklar eşitse ( ben) ortalamanın hesaplanması şu şekilde yapılabilir: harmonik ortalama ağırlıksız:

Örneğimizde farklı ortalama biçimleri kullandık ancak aynı cevabı aldık. Bunun nedeni, belirli veriler için her seferinde aynı başlangıç ​​ortalama oranının uygulanmasıdır.

Ortalama göstergeler ayrık ve aralıklı değişim serileri kullanılarak hesaplanabilir. Bu durumda hesaplama ağırlıklı aritmetik ortalama kullanılarak yapılır. Ayrık bir seri için bu formül yukarıdaki örnekte olduğu gibi kullanılır. Aralık serisinde hesaplama için aralıkların orta noktaları belirlenir.

Örnek. Tabloya göre. 2.2 Koşullu bir bölgede aylık kişi başına düşen ortalama parasal gelir miktarını belirliyoruz.

Tablo 2.2

Başlangıç ​​verileri (varyasyon serisi)

Excel'de ortalama değeri bulmak için (sayısal, metin, yüzde veya başka bir değer olması fark etmez) birçok işlev vardır. Ve her birinin kendine has özellikleri ve avantajları var. Aslında bu görevde belirli koşullar belirlenebilir.

Örneğin Excel'deki bir sayı serisinin ortalama değerleri istatistiksel işlevler kullanılarak hesaplanır. Ayrıca kendi formülünüzü manuel olarak da girebilirsiniz. Çeşitli seçenekleri düşünelim.

Sayıların aritmetik ortalaması nasıl bulunur?

Aritmetik ortalamayı bulmak için kümedeki tüm sayıları toplamanız ve toplamı miktara bölmeniz gerekir. Örneğin bir öğrencinin bilgisayar bilimleri notları: 3, 4, 3, 5, 5. Çeyreğe neler dahil: 4. Aritmetik ortalamayı şu formülü kullanarak bulduk: =(3+4+3+5+5) /5.

Excel işlevlerini kullanarak bunu hızlı bir şekilde nasıl yapabilirim? Örneğin bir dizedeki bir dizi rastgele sayıyı ele alalım:

Veya: aktif hücreyi oluşturun ve formülü manuel olarak girin: =ORTALAMA(A1:A8).

Şimdi ORTALAMA fonksiyonunun başka neler yapabileceğini görelim.

İlk iki ve son üç sayının aritmetik ortalamasını bulalım. Formül: =ORTALAMA(A1:B1;F1:H1). Sonuç:

Durum ortalaması

Aritmetik ortalamayı bulma koşulu sayısal bir kriter veya metin olabilir. =ORTALAMAEĞER() fonksiyonunu kullanacağız.

10'dan büyük veya ona eşit olan sayıların aritmetik ortalamasını bulun.

İşlev: =EĞERORTALAMA(A1:A8;">=10")

Üçüncü argüman – “Ortalama aralık” – atlanmıştır. Öncelikle buna gerek yok. İkinci olarak, program tarafından analiz edilen aralık SADECE sayısal değerleri içerir. İlk argümanda belirtilen hücreler, ikinci argümanda belirtilen koşula göre aranacaktır.

Dikkat! Arama kriteri hücrede belirtilebilir. Ve formülde buna bir bağlantı yapın.

Metin kriterini kullanarak sayıların ortalama değerini bulalım. Örneğin “masa” ürününün ortalama satışları.

İşlev şu şekilde görünecektir: =ORTALAMAEĞER($A$2:$A$12,A7,$B$2:$B$12). Aralık – ürün adlarını içeren bir sütun. Arama kriteri, "tablolar" kelimesini içeren bir hücreye bağlantıdır (A7 bağlantısı yerine "tablolar" kelimesini ekleyebilirsiniz). Ortalama aralığı – ortalama değeri hesaplamak için verilerin alınacağı hücreler.

Fonksiyonun hesaplanması sonucunda aşağıdaki değeri elde ederiz:

Dikkat! Bir metin kriteri (koşul) için ortalama aralığının belirtilmesi gerekir.

Excel'de ağırlıklı ortalama fiyat nasıl hesaplanır?

Ağırlıklı ortalama fiyatı nasıl öğrendik?

Formül: =TOPLAÇARP(C2:C12;B2:B12)/TOPLA(C2:C12).

SUMproduct formülünü kullanarak mal miktarının tamamını sattıktan sonra toplam geliri buluyoruz. SUM işlevi de malların miktarını özetler. Mal satışından elde edilen toplam geliri toplam mal adedine bölerek ağırlıklı ortalama fiyatı bulduk. Bu gösterge her fiyatın “ağırlığını” dikkate alır. Toplam değerler kütlesindeki payı.

Standart sapma: Excel'deki formül

Genel popülasyon ve örneklem için standart sapmalar vardır. İlk durumda, bu genel varyansın köküdür. İkincisinde ise örneklem varyansından.

Bu istatistiksel göstergeyi hesaplamak için bir dağılım formülü derlenir. Kök ondan çıkarılır. Ancak Excel'de standart sapmayı bulmak için hazır bir işlev vardır.

Standart sapma kaynak verinin ölçeğine bağlıdır. Bu, analiz edilen aralığın varyasyonunun mecazi bir temsili için yeterli değildir. Göreli veri dağılımı düzeyini elde etmek için değişim katsayısı hesaplanır:

standart sapma / aritmetik ortalama

Excel'deki formül şuna benzer:

STDSAPMA (değer aralığı) / ORTALAMA (değer aralığı).

Değişim katsayısı yüzde olarak hesaplanır. Bu nedenle hücredeki yüzde formatını ayarladık.