Y sinx fonksiyonunun temel özellikleri. Ders "y=sinx fonksiyonu, özellikleri ve grafiği"

Y=sin x fonksiyonunun grafiği nasıl çizilir? Öncelikle aralıktaki sinüs grafiğine bakalım.

Defterde 2 hücre uzunluğunda tek bir segment alıyoruz. Oy ekseninde birini işaretliyoruz.

Kolaylık olması açısından, π/2 sayısını 1,5'e yuvarlıyoruz (yuvarlama kurallarının gerektirdiği gibi 1,6'ya değil). Bu durumda π/2 uzunluğundaki bir parça 3 hücreye karşılık gelir.

Ox ekseninde tekli segmentleri değil, π/2 uzunluğundaki segmentleri (her 3 hücrede) işaretliyoruz. Buna göre, π uzunluğundaki bir bölüm 6 hücreye, π/6 uzunluğundaki bir bölüm ise 1 hücreye karşılık gelir.

Bu birim parça seçimiyle, bir kutunun içindeki bir not defteri sayfasında gösterilen grafik, y=sin x fonksiyonunun grafiğine mümkün olduğu kadar karşılık gelir.

Aralıktaki sinüs değerlerinin bir tablosunu yapalım:

Ortaya çıkan noktaları koordinat düzleminde işaretliyoruz:

Y=sin x tek bir fonksiyon olduğundan sinüs grafiği O(0;0) başlangıç ​​noktasına göre simetriktir. Bu gerçeği hesaba katarak grafiği sola doğru çizmeye devam edelim, ardından -π noktalarını çizelim:

Y=sin x fonksiyonu T=2π periyoduyla periyodiktir. Dolayısıyla bir fonksiyonun [-π;π] aralığında alınan grafiği sağa ve sola doğru sonsuz sayıda tekrarlanır.

Bu dersimizde y = sin x fonksiyonuna, temel özelliklerine ve grafiğine detaylı bir şekilde bakacağız. Dersin başında koordinat çemberi üzerinde y = sin t trigonometrik fonksiyonunun tanımını verip, fonksiyonun çember ve doğru üzerindeki grafiğini ele alacağız. Bu fonksiyonun periyodikliğini grafik üzerinde gösterelim ve fonksiyonun temel özelliklerini ele alalım. Dersin sonunda bir fonksiyonun grafiğini ve özelliklerini kullanarak birkaç basit problemi çözeceğiz.

Konu: Trigonometrik fonksiyonlar

Ders: y=sinx fonksiyonu, temel özellikleri ve grafiği

Bir fonksiyonu değerlendirirken her argüman değerini tek bir fonksiyon değeriyle ilişkilendirmek önemlidir. Bu yazışma kanunu ve fonksiyon olarak adlandırılır.

için yazışma yasasını tanımlayalım.

Herhangi bir gerçek sayı, birim çember üzerindeki tek bir noktaya karşılık gelir. Bir noktanın, sayının sinüsü adı verilen tek bir koordinatı vardır (Şekil 1).

Her bağımsız değişken değeri tek bir işlev değeriyle ilişkilendirilir.

Açık özellikler sinüs tanımından kaynaklanmaktadır.

Şekil şunu gösteriyor Çünkü birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatıdır.

Fonksiyonun grafiğini düşünün. Argümanın geometrik yorumunu hatırlayalım. Tartışma, radyan cinsinden ölçülen merkezi açıdır. Eksen boyunca gerçek sayıları veya açıları radyan cinsinden, eksen boyunca fonksiyonun karşılık gelen değerlerini çizeceğiz.

Örneğin birim çember üzerindeki bir açı, grafikteki bir noktaya karşılık gelir (Şekil 2).

Bölgedeki fonksiyonun bir grafiğini elde ettik ancak sinüsün periyodunu bilerek, fonksiyonun grafiğini tüm tanım alanı boyunca gösterebiliriz (Şekil 3).

Fonksiyonun ana periyodu Bu, grafiğin bir segment üzerinde elde edilebileceği ve daha sonra tüm tanım alanı boyunca devam ettirilebileceği anlamına gelir.

Fonksiyonun özelliklerini göz önünde bulundurun:

1) Tanımın kapsamı:

2) Değer aralığı:

3) Tek fonksiyon:

4) En küçük pozitif dönem:

5) Grafiğin apsis ekseni ile kesişme noktalarının koordinatları:

6) Grafiğin ordinat ekseni ile kesişme noktasının koordinatları:

7) Fonksiyonun pozitif değer aldığı aralıklar:

8) Fonksiyonun negatif değer aldığı aralıklar:

9) Artan aralıklar:

10) Aralıkların azaltılması:

11) Asgari puanlar:

12) Asgari işlevler:

13) Maksimum puanlar:

14) Maksimum işlevler:

Fonksiyonun özelliklerine ve grafiğine baktık. Özellikler problemleri çözerken tekrar tekrar kullanılacaktır.

Kaynakça

1. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). Genel eğitim kurumları için ders kitabı (profil düzeyinde), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). Eğitim kurumları için sorun kitabı (profil düzeyi), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. 10. sınıf için cebir ve matematiksel analiz (ileri düzey matematik eğitimi olan okul ve sınıf öğrencileri için ders kitabı). - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Cebir ve matematiksel analizin derinlemesine incelenmesi.-M.: Eğitim, 1997.

5. Yükseköğretim kurumlarına başvuranlar için matematik problemlerinin toplanması (M.I. Skanavi tarafından düzenlenmiştir). - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cebirsel simülatör.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Cebir sorunları ve analiz ilkeleri (genel eğitim kurumlarının 10-11. sınıflarındaki öğrenciler için bir el kitabı). - M .: Prosveshchenie, 2003.

8.Karp A.P. Cebir ve analiz ilkeleri ile ilgili problemlerin toplanması: ders kitabı. 10-11. sınıflar için ödenek. derinliği olan okudu Matematik.-M.: Eğitim, 2006.

Ev ödevi

Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). Eğitim kurumları için sorun kitabı (profil düzeyi), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Ek web kaynakları

3. Sınava hazırlık için eğitim portalı ().

Bu dersimizde y = sin x fonksiyonuna, temel özelliklerine ve grafiğine detaylı bir şekilde bakacağız. Dersin başında koordinat çemberi üzerinde y = sin t trigonometrik fonksiyonunun tanımını verip, fonksiyonun çember ve doğru üzerindeki grafiğini ele alacağız. Bu fonksiyonun periyodikliğini grafik üzerinde gösterelim ve fonksiyonun temel özelliklerini ele alalım. Dersin sonunda bir fonksiyonun grafiğini ve özelliklerini kullanarak birkaç basit problemi çözeceğiz.

Konu: Trigonometrik fonksiyonlar

Ders: y=sinx fonksiyonu, temel özellikleri ve grafiği

Bir fonksiyonu değerlendirirken her argüman değerini tek bir fonksiyon değeriyle ilişkilendirmek önemlidir. Bu yazışma kanunu ve fonksiyon olarak adlandırılır.

için yazışma yasasını tanımlayalım.

Herhangi bir gerçek sayı, birim çember üzerindeki tek bir noktaya karşılık gelir. Bir noktanın, sayının sinüsü adı verilen tek bir koordinatı vardır (Şekil 1).

Her bağımsız değişken değeri tek bir işlev değeriyle ilişkilendirilir.

Açık özellikler sinüs tanımından kaynaklanmaktadır.

Şekil şunu gösteriyor Çünkü birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatıdır.

Fonksiyonun grafiğini düşünün. Argümanın geometrik yorumunu hatırlayalım. Tartışma, radyan cinsinden ölçülen merkezi açıdır. Eksen boyunca gerçek sayıları veya açıları radyan cinsinden, eksen boyunca fonksiyonun karşılık gelen değerlerini çizeceğiz.

Örneğin birim çember üzerindeki bir açı, grafikteki bir noktaya karşılık gelir (Şekil 2).

Bölgedeki fonksiyonun bir grafiğini elde ettik ancak sinüsün periyodunu bilerek, fonksiyonun grafiğini tüm tanım alanı boyunca gösterebiliriz (Şekil 3).

Fonksiyonun ana periyodu Bu, grafiğin bir segment üzerinde elde edilebileceği ve daha sonra tüm tanım alanı boyunca devam ettirilebileceği anlamına gelir.

Fonksiyonun özelliklerini göz önünde bulundurun:

1) Tanımın kapsamı:

2) Değer aralığı:

3) Tek fonksiyon:

4) En küçük pozitif dönem:

5) Grafiğin apsis ekseni ile kesişme noktalarının koordinatları:

6) Grafiğin ordinat ekseni ile kesişme noktasının koordinatları:

7) Fonksiyonun pozitif değer aldığı aralıklar:

8) Fonksiyonun negatif değer aldığı aralıklar:

9) Artan aralıklar:

10) Aralıkların azaltılması:

11) Asgari puanlar:

12) Asgari işlevler:

13) Maksimum puanlar:

14) Maksimum işlevler:

Fonksiyonun özelliklerine ve grafiğine baktık. Özellikler problemleri çözerken tekrar tekrar kullanılacaktır.

Kaynakça

1. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). Genel eğitim kurumları için ders kitabı (profil düzeyinde), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). Eğitim kurumları için sorun kitabı (profil düzeyi), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. 10. sınıf için cebir ve matematiksel analiz (ileri düzey matematik eğitimi olan okul ve sınıf öğrencileri için ders kitabı). - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Cebir ve matematiksel analizin derinlemesine incelenmesi.-M.: Eğitim, 1997.

5. Yükseköğretim kurumlarına başvuranlar için matematik problemlerinin toplanması (M.I. Skanavi tarafından düzenlenmiştir). - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cebirsel simülatör.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Cebir sorunları ve analiz ilkeleri (genel eğitim kurumlarının 10-11. sınıflarındaki öğrenciler için bir el kitabı). - M .: Prosveshchenie, 2003.

8.Karp A.P. Cebir ve analiz ilkeleri ile ilgili problemlerin toplanması: ders kitabı. 10-11. sınıflar için ödenek. derinliği olan okudu Matematik.-M.: Eğitim, 2006.

Ev ödevi

Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölüm halinde). Eğitim kurumları için sorun kitabı (profil düzeyi), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Ek web kaynakları

3. Sınava hazırlık için eğitim portalı ().

Trigonometrik fonksiyonların davranışlarını ve fonksiyonlarını öğrendik. y = günah x özellikle, sayı satırının tamamında (veya argümanın tüm değerleri için) X) tamamen aralıktaki davranışıyla belirlenir 0 < X < π / 2 .

Bu nedenle öncelikle fonksiyonun grafiğini çizeceğiz. y = günah x tam da bu aralıkta.

Fonksiyonumuzun aşağıdaki değer tablosunu yapalım;

Koordinat düzleminde karşılık gelen noktaları işaretleyip bunları düz bir çizgiyle birleştirerek şekilde gösterilen eğriyi elde ederiz.

Ortaya çıkan eğri, fonksiyon değerleri tablosu derlenmeden geometrik olarak da oluşturulabilir. y = günah x .

1. Yarıçapı 1 olan bir dairenin ilk çeyreğini 8 eşit parçaya bölün. Dairenin bölme noktalarının ordinatları, karşılık gelen açıların sinüsleridir.

2. Çemberin ilk çeyreği 0'dan 0'a kadar olan açılara karşılık gelir. π / 2 . Bu nedenle eksen üzerinde X Bir parçayı alıp 8 eşit parçaya bölelim.

3. Eksenlere paralel düz çizgiler çizelim X ve bölme noktalarından yatay çizgilerle kesişene kadar dikler oluşturuyoruz.

4. Kesişme noktalarını düzgün bir çizgiyle bağlayın.

Şimdi aralığa bakalım π / 2 < X < π .
Her argüman değeri X bu aralıktan şu şekilde temsil edilebilir:

X = π / 2 + φ

Nerede 0 < φ < π / 2 . İndirgeme formüllerine göre

günah( π / 2 + φ ) = çünkü φ = günah( π / 2 - φ ).

Eksen noktaları X apsisli π / 2 + φ Ve π / 2 - φ eksen noktasına göre birbirine simetrik X apsisli π / 2 ve bu noktalardaki sinüsler aynıdır. Bu bize fonksiyonun grafiğini elde etmemizi sağlar y = günah x aralıkta [ π / 2 , π ] bu fonksiyonun grafiğini düz çizgiye göre aralıkta simetrik olarak görüntüleyerek X = π / 2 .

Şimdi özelliği kullanıyorum tek eşlik fonksiyonu y = günah x,

günah(- X) = - günah X,

bu fonksiyonu aralıkta çizmek kolaydır [- π , 0].

Y = sin x fonksiyonu 2π periyoduyla periyodiktir ;. Dolayısıyla bu fonksiyonun tüm grafiğini oluşturmak için şekilde gösterilen eğriyi periyodik olarak sola ve sağa bir periyodla devam ettirmek yeterlidir. 2π .

Ortaya çıkan eğri denir sinüzoid . Bu fonksiyonun grafiğidir y = günah x.

Şekil, fonksiyonun tüm özelliklerini iyi bir şekilde göstermektedir y = günah x bunu daha önce kanıtlamıştık. Bu özellikleri hatırlayalım.

1) İşlev y = günah x tüm değerler için tanımlanmış X , dolayısıyla tanım kümesi tüm gerçek sayılar kümesidir.

2) İşlev y = günah x sınırlı. Bu iki sayı da dahil olmak üzere kabul ettiği tüm değerler -1 ile 1 arasındadır. Sonuç olarak, bu fonksiyonun varyasyon aralığı -1 eşitsizliği ile belirlenir. < en < 1. Ne zaman X = π / 2 + 2k π fonksiyon 1'e eşit en büyük değerleri alır ve x = - için π / 2 + 2k π - en küçük değerler - 1'e eşittir.

3) İşlev y = günah x tuhaftır (sinüsoid orijine göre simetriktir).

4) İşlev y = günah x periyot 2 ile periyodik π .

5) 2n aralıklarla π < X < π + 2n π (n herhangi bir tam sayıdır) pozitiftir ve aralıklarla π + 2k π < X < 2π + 2k π (k herhangi bir tamsayıdır) negatiftir. x = k'de π fonksiyon sıfıra gider. Dolayısıyla x argümanının bu değerleri (0; ± π ; ±2 π ; ...) fonksiyon sıfırları olarak adlandırılır y = günah x

6) Aralıklarla - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π işlev y = günah X monoton ve aralıklarla artar π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π monoton olarak azalır.

Fonksiyonun davranışına özellikle dikkat etmelisiniz. y = günah x noktaya yakın X = 0 .

Örneğin, günah 0,012 ≈ 0,012; günah(-0,05) ≈ -0,05;

günah 2° = günah π 2 / 180 = günah π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Aynı zamanda, x'in herhangi bir değeri için şunu da belirtmek gerekir:

| günah X| < | x | . (1)

Nitekim şekilde gösterilen dairenin yarıçapı 1'e eşit olsun,
A / AOB = X.

O zaman günah X= AC. Ama klima< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Bu yayın uzunluğu açıkça eşittir X, çemberin yarıçapı 1 olduğundan. Yani 0'da< X < π / 2

günah x< х.

Dolayısıyla fonksiyonun tuhaflığı nedeniyle y = günah x bunu göstermek kolaydır - π / 2 < X < 0

| günah X| < | x | .

Nihayet ne zaman X = 0

| günah x | = | x |.

Böylece | X | < π / 2 eşitsizliği (1) kanıtlanmıştır. Aslında bu eşitsizlik | X | > π / 2 | günah X | < 1 A π / 2 > 1

Egzersizler

1.Fonksiyonun grafiğine göre y = günah x şunları belirleyin: a) günah 2; b) günah 4; c) günah (-3).

2.Fonksiyonun grafiğine göre y = günah x aralıktan hangi sayıyı belirleyin
[ - π / 2 , π / 2 ]'nin sinüsü şuna eşittir: a) 0,6; b) -0,8.

3. Fonksiyonun grafiğine göre y = günah x hangi sayıların sinüsü olduğunu belirleyin,
1/2'ye eşittir.

4. Yaklaşık olarak bulun (tablo kullanmadan): a) sin 1°; b) günah 0,03;
c) günah (-0,015); d) günah (-2°30").

Sinüs ve kosinüsün geometrik tanımı

\(\sin \alpha = \dfrac(|BC|)(|AB|) \), \(\cos \alpha = \dfrac(|AC|)(|AB|) \)

α - radyan cinsinden ifade edilen açı.

Sinüs (sin α) hipotenüs ile bir dik üçgenin kenarı arasındaki α açısının, karşı kenarın uzunluğunun oranına eşit olan |BC| hipotenüs uzunluğuna |AB|.

Kosinüs (cos α) hipotenüs ile bir dik üçgenin kenarı arasındaki α açısının, bitişik kenarı |AC| uzunluğunun oranına eşit trigonometrik bir fonksiyonudur. hipotenüs uzunluğuna |AB|.

Trigonometrik tanım

Yukarıdaki formülleri kullanarak bir dar açının sinüsünü ve kosinüsünü bulabilirsiniz. Ancak isteğe bağlı büyüklükte bir açının sinüsünü ve kosinüsünü nasıl hesaplayacağınızı öğrenmeniz gerekir. Dik üçgen böyle bir fırsat sağlamaz (örneğin geniş bir açıya sahip olamaz); Bu nedenle sinüs ve kosinüsün bu formülleri özel bir durum olarak içeren daha genel bir tanımına ihtiyacımız var.

Trigonometrik daire kurtarmaya geliyor. Biraz açı verelim; trigonometrik çember üzerinde aynı adı taşıyan noktaya karşılık gelir.

Pirinç. 2. Sinüs ve kosinüsün trigonometrik tanımı

Bir açının kosinüsü bir noktanın apsisidir. Bir açının sinüsü bir noktanın ordinatıdır.

İncirde. Şekil 2'de açı dar olarak alınır ve bu tanımın genel geometrik tanımla örtüştüğünü anlamak kolaydır. Aslında birim hipotenüs O ve dar açısı olan bir dik üçgen görüyoruz. Bu üçgenin bitişik ayağı cos'dur (Şekil 1 ile karşılaştırın) ve aynı zamanda noktanın apsisidir; karşı taraf günahtır (Şekil 1'deki gibi) ve aynı zamanda noktanın koordinatıdır.

Ancak artık artık ilk çeyrekle sınırlı değiliz ve bu tanımı her açıdan genişletme fırsatına sahibiz. İncirde. Şekil 3 bir açının sinüs ve kosinüsünün ikinci, üçüncü ve dördüncü çeyrekte ne olduğunu göstermektedir.

Pirinç. 3. II, III ve IV çeyreklerdeki sinüs ve kosinüs

Sinüs ve kosinüs tablo değerleri

Sıfır açı \(\LARGE 0^(\circ ) \)

0 noktasının apsisi 1'e, 0 noktasının ordinatı 0'a eşittir. Buradan,

çünkü 0 = 1 günah 0 = 0

Şekil 4. Sıfır açı

Açı \(\BÜYÜK \frac(\pi)(6) = 30^(\circ )\)

Birim hipotenüs ve dar açısı 30° olan bir dik üçgen görüyoruz. Bildiğiniz gibi 30° açının karşısındaki kenar hipotenüsün 1 yarısına eşittir; başka bir deyişle dikey bacak 1/2'ye eşittir ve dolayısıyla

\[ \sin \frac(\pi)(6) =\frac(1)(2) \]

Pisagor teoremini kullanarak yatay kenarı buluruz (veya aynı şey olan temel trigonometrik özdeşliği kullanarak kosinüsü buluruz):

\[ \cos \frac(\pi)(6) = \sqrt(1 - \left(\frac(1)(2) \right)^(2) ) =\frac(\sqrt(3) )(2 ) \]

1 Bu neden oluyor? 2. kenarı yüksekliği boyunca olacak şekilde bir eşkenar üçgen kesin! Hipotenüsü 2, dar açısı 30° ve kısa kenarı 1 olan iki dik üçgene bölünecektir.

Şekil 5. Açı π/6

Açı \(\BÜYÜK \frac(\pi)(4) = 45^(\circ )\)

Bu durumda dik üçgen ikizkenardır; 45° açının sinüsü ve kosinüsü birbirine eşittir. Şimdilik bunları x ile gösterelim. Sahibiz:

\[ x^(2) + x^(2) = 1 \]

dolayısıyla \(x=\frac(\sqrt(2) )(2) \). Buradan,

\[ \cos \frac(\pi)(4) = \sin \frac(\pi)(4) =\frac(\sqrt(2) )(2) \]

Şekil 5. Açı π/4

Sinüs ve kosinüsün özellikleri

Kabul edilen gösterimler

\(\sin^2 x \equiv (\sin x)^2; \)\(\quad \sin^3 x \equiv (\sin x)^3; \)\(\quad \sin^n x \equiv (\sin x)^n \)\(\sin^(-1) x \equiv \arcsin x \)\((\sin x)^(-1) \equiv \dfrac1(\sin x) \equiv \cosec x \).

\(\cos^2 x \equiv (\cos x)^2; \)\(\dört \cos^3 x \equiv (\cos x)^3; \)\(\quad \cos^n x \equiv (\cos x)^n \)\(\cos^(-1) x \equiv \arccos x \)\((\cos x)^(-1) \equiv \dfrac1(\cos x) \equiv \sec x \).

Periyodiklik

y = sin x ve y = cos x fonksiyonları 2π periyoduyla periyodiktir.

\(\sin(x + 2\pi) = \sin x; \quad \)\(\cos(x + 2\pi) = \cos x \)

Parite

Sinüs fonksiyonu tektir. Kosinüs fonksiyonu çifttir.

\(\sin(-x) = - \sin x; \quad \)\(\cos(-x) = \cos x \)

Tanım ve değer alanları, ekstremum, artış, azalış

Sinüs ve kosinüsün temel özellikleri tabloda sunulmaktadır ( N- tüm).

Sinüs ve kosinüs içeren temel formüller

Karelerin toplamı

\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)

Toplam ve fark için sinüs ve kosinüs formülleri

\(\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \)
\(\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \)
\(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \)
\(\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \)

\(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x \)
\(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \)\(2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x \)
\(\cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \sin x \) ; \(\sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \cos x \)
\(\cos(x + \pi) = - \cos x \) ; \(\sin(x + \pi) = - \sin x \)

Sinüs ve kosinüslerin çarpımı için formüller

\(\sin x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Büyük [) \sin(x - y) + \sin(x + y) (\Büyük ]) \)
\(\sin x \sin y = \) \(\dfrac12 (\Büyük [) \cos(x - y) - \cos(x + y) (\Büyük ]) \)
\(\cos x \cos y = \) \(\dfrac12 (\Büyük [) \cos(x - y) + \cos(x + y) (\Büyük ]) \)

\(\sin x \cos y = \dfrac12 \sin 2x \)
\(\sin^2 x = \dfrac12 (\Large [) 1 - \cos 2x (\Large ]) \)
\(\cos^2 x = \dfrac12 (\Büyük [) 1 + \cos 2x (\Büyük ]) \)

Toplam ve fark formülleri

\(\sin x + \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\sin x - \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x-y)2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \)
\(\cos x + \cos y = 2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\cos x - \cos y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \sin \dfrac(y-x)2 \)

Sinüsün kosinüsle ifade edilmesi

\(\sin x = \cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \)\(\cos\left(x - \dfrac(\pi)2 \right) = - \cos\left(x + \dfrac(\pi)2 \right) \)\(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\) \(\sin x = \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2 \pi n \) \)\(\sin x = - \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( -\pi + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 2 \pi n \) \).

Kosinüsün sinüs yoluyla ifade edilmesi

\(\cos x = \sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \right) = \)\(- \sin\left(x - \dfrac(\pi)2 \right) = \sin\left(x + \dfrac(\pi)2 \right) \)\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) \(\cos x = \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( -\pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi/2 + 2 \pi n \) \)\(\cos x = - \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( \pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 3\pi/2 + 2 \pi n \) \).

Teğet yoluyla ifade

\(\sin^2 x = \dfrac(\tg^2 x)(1+\tg^2 x) \)\(\cos^2 x = \dfrac1(1+\tg^2 x) \).

Şu tarihte: \(- \dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n \) \(\sin x = \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).

Şu tarihte: \(\dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{3\pi}2 + 2 \pi n \) :
\(\sin x = - \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = - \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x)) ) \).

Sinüs ve kosinüs, teğet ve kotanjant tablosu

Bu tablo, argümanın belirli değerleri için sinüs ve kosinüs değerlerini gösterir.
[ img style = "maksimum genişlik: 500 piksel; maksimum yükseklik: 1080 piksel;" src="tablitsa.png" alt="Sinüs ve kosinüs tablosu" title="Sinüs ve kosinüs tablosu" ]!}

Karmaşık değişkenler aracılığıyla ifadeler

\(i^2 = -1\)
\(\sin z = \dfrac(e^(iz) - e^(-iz))(2i) \)\(\cos z = \dfrac(e^(iz) + e^(-iz))(2) \)

Euler'in formülü

\(e^(iz) = \cos z + i \sin z \)

Hiperbolik fonksiyonlar aracılığıyla ifadeler

\(\sin iz = i \sh z \) \(\cos iz = \ch z \)
\(\sh iz = i \sin z \) \(\ch iz = \cos z \)

Türevler

\((\sin x)" = \cos x \) \((\cos x)" = - \sin x \) . Formüllerin türetilmesi > > >

N'inci dereceden türevler:
\(\left(\sin x \right)^((n)) = \sin\left(x + n\dfrac(\pi)2 \right) \)\(\left(\cos x \sağ)^((n)) = \cos\left(x + n\dfrac(\pi)2 \right) \).

İntegraller

\(\int \sin x \, dx = - \cos x + C \)\(\int \cos x \, dx = \sin x + C \)
Ayrıca bkz. Belirsiz integraller tablosu >>>

Seri genişletmeler

\(\sin x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n+1) )( (2n+1)! ) = \)\(x - \dfrac(x^3)(3 + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + ... \) !} \(\(- \infty< x < \infty \} \)
\(\cos x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n) )( (2n)! ) = \)\(1 - \dfrac(x^2)(2 + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + ... \) !} \(\( - \infty< x < \infty \} \)

Sekant, kosekant

\(\sn x = \dfrac1( \cos x ) ; \) \(\cosec x = \dfrac1( \sin x ) \)

Ters fonksiyonlar

Sinüs ve kosinüsün ters fonksiyonları sırasıyla arksinüs ve arkkosinüstür.

Arsin, arksin

\(y = \arcsin x\) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; - \dfrac(\pi)2 \leqslant y \leqslant \dfrac(\pi)2 \right\) \)
\(\sin(\arcsin x) = x\)
\(\arcsin(\sin x) = x\) \(\left\( - \dfrac(\pi)2 \leqslant x \leqslant \dfrac(\pi)2 \right\) \)

Arkosinüs, arkkos

\(y = \arccos x\) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; 0 \leqslant y \leqslant \pi \right\) \)
\(\cos(\arccos x) = x \) \(\( -1 \leqslant x \leqslant 1 \) \)
\(\arccos(\cos x) = x\) \(\( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) \)

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.