Bir fonksiyonun en büyük değerini türevini kullanmadan bulun. Bir aralıkta sürekli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için türevi kullanma

Bir fonksiyonun bir segmentteki en büyük ve en küçük değerleri nasıl bulunur?

Bunun için iyi bilinen bir algoritmayı takip ediyoruz:

1 . ODZ fonksiyonlarını buluyoruz.

2 . Fonksiyonun türevini bulma

3 . Türevi sıfıra eşitlemek

4 . Türevin işaretini koruduğu aralıkları buluruz ve bunlardan fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirleriz:

I aralığında fonksiyonun türevi 0 ise" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} bu aralıkta artar.

I aralığında fonksiyonun türevi varsa, o zaman fonksiyon bu aralıkta azalır.

5 . Bulduk fonksiyonun maksimum ve minimum noktaları.

İÇİNDE Fonksiyonun maksimum noktasında türevin işareti “+”dan “-”ye değişir..

İÇİNDE fonksiyonun minimum noktasıtürevin işareti "-"den "+"ya değişir.

6 . Fonksiyonun değerini parçanın uçlarında buluruz,

• daha sonra fonksiyonun değerini parçanın uçlarında ve maksimum noktalarında karşılaştırırız ve Fonksiyonun en büyük değerini bulmanız gerekiyorsa en büyüğünü seçin
• veya fonksiyonun değerini parçanın uçlarında ve minimum noktalarda karşılaştırın ve Fonksiyonun en küçük değerini bulmanız gerekiyorsa bunlardan en küçüğünü seçin

Ancak fonksiyonun segment üzerinde nasıl davrandığına bağlı olarak bu algoritma önemli ölçüde azaltılabilir.

İşlevi düşünün . Bu fonksiyonun grafiği şuna benzer:

Açık Görev Bankası'ndaki sorunların çözümüne ilişkin birkaç örneğe bakalım.

1. Görev B15 (No. 26695)

Segmentte.

1. Fonksiyon x'in tüm gerçek değerleri için tanımlanmıştır

Açıkçası, bu denklemin hiçbir çözümü yoktur ve türevi, x'in tüm değerleri için pozitiftir. Sonuç olarak fonksiyon artar ve aralığın sağ ucunda yani x=0 noktasında en büyük değeri alır.

Cevap: 5.

2 . Görev B15 (No. 26702)

Fonksiyonun en büyük değerini bulun segmentte.

1. ODZ fonksiyonları title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Türev sıfıra eşittir ancak bu noktalarda işareti değişmez:

Bu nedenle, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} artar ve aralığın sağ ucunda en büyük değeri alır.

Türevin neden işaret değiştirmediğini açıklığa kavuşturmak için türev ifadesini aşağıdaki gibi dönüştürürüz:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Cevap: 5.

3. Görev B15 (No. 26708)

Fonksiyonun segmentteki en küçük değerini bulun.

1. ODZ işlevleri: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Bu denklemin köklerini trigonometrik çemberin üzerine yerleştirelim.

Aralık iki sayı içerir: ve

Tabelalar asalım. Bunu yapmak için x=0 noktasındaki türevin işaretini belirleriz: . Noktalardan geçerken türev işaret değiştirir.

Bir fonksiyonun türevinin işaretlerinin koordinat doğrusu üzerindeki değişimini gösterelim:

Açıkçası, bu nokta minimum bir noktadır (türevin işaretini “-” den “+” ya değiştirdiği nokta) ve segmentteki fonksiyonun en küçük değerini bulmak için fonksiyonun değerlerini şu noktada karşılaştırmanız gerekir: minimum nokta ve segmentin sol ucunda, .

Fonksiyona izin ver y =F(X) aralıkta süreklidir [ a, b] Bilindiği üzere böyle bir fonksiyon maksimum ve minimum değerlerine bu segmentte ulaşmaktadır. Fonksiyon bu değerleri ya parçanın iç noktasında alabilir [ a, b] veya segmentin sınırında.

Bir fonksiyonun segment üzerindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için [ a, b] gerekli:

1) fonksiyonun kritik noktalarını ( a, b);

2) bulunan kritik noktalarda fonksiyonun değerlerini hesaplayın;

3) segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplayın, yani X=A ve x = B;

4) fonksiyonun hesaplanan tüm değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçin.

Örnek. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma

segmentte.

Kritik noktaları bulma:

Bu noktalar segmentin içinde yer alır; sen(1) = ‒ 3; sen(2) = ‒ 4; sen(0) = ‒ 8; sen(3) = 1;

noktada X= 3 ve bu noktada X= 0.

Dışbükeylik ve bükülme noktası için bir fonksiyonun incelenmesi.

İşlev sen = F (X) isminde dışbükey arasında (A, B) grafiği bu aralığın herhangi bir noktasında çizilen teğetin altında bulunuyorsa ve denir aşağı dışbükey (içbükey) Grafiği teğetin üzerinde yer alıyorsa.

Dışbükeyliğin yerini içbükeyliğin aldığı veya bunun tersinin gerçekleştiği noktaya ne ad verilir? dönüm noktası.

Dışbükeylik ve bükülme noktasını incelemek için algoritma:

1. İkinci türden kritik noktaları, yani ikinci türevin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktaları bulun.

2. Sayı doğrusu üzerinde kritik noktaları aralıklara bölerek çizin. Her aralığın ikinci türevinin işaretini bulun; eğer ise fonksiyon yukarıya doğru dışbükeydir, eğer ise fonksiyon aşağıya doğru dışbükeydir.

3. İkinci türden bir kritik noktadan geçerken işaret değişirse ve bu noktada ikinci türev sıfıra eşitse, bu nokta bükülme noktasının apsisidir. Ordinatını bulun.

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotları. Asimptotlar için bir fonksiyonun incelenmesi.

Tanım. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotuna denir dümdüz, grafikteki herhangi bir noktadan bu çizgiye olan mesafenin, grafikteki nokta başlangıç ​​noktasından süresiz olarak hareket ettikçe sıfıra doğru gitmesi özelliğine sahiptir.

Üç tür asimptot vardır: dikey, yatay ve eğimli.

Tanım. Düz çizgiye denir dikey asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) fonksiyonun bu noktadaki tek taraflı limitlerinden en az biri sonsuza eşitse, yani

fonksiyonun süreksizlik noktası nerede yani tanım alanına ait değil.

Örnek.

D ( sen) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 – kırılma noktası.

Tanım. Dümdüz y =A isminde Yatay asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) eğer

Örnek.

Tanım. Dümdüz y =kx +B (k≠ 0) denir eğik asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) nerede

Fonksiyonları incelemek ve grafik oluşturmak için genel şema.

Fonksiyon Araştırma Algoritmasıy = f(x) :

1. Fonksiyonun tanım kümesini bulun D (sen).

2. Grafiğin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun (eğer mümkünse) X= 0 ve sen = 0).

3. Fonksiyonun düzgünlüğünü ve tekliğini inceleyin ( sen (‒ X) = sen (X) ‒ parite; sen(‒ X) = ‒ sen (X) ‒ garip).

4. Fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun.

5. Fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulun.

6. Fonksiyonun ekstremumlarını bulun.

7. Fonksiyon grafiğinin dışbükeylik (içbükeylik) aralıklarını ve dönüm noktalarını bulun.

8. Yapılan araştırmaya dayanarak fonksiyonun grafiğini oluşturunuz.

Örnek. Fonksiyonu keşfedin ve grafiğini oluşturun.

1) D (sen) =

X= 4 – kırılma noktası.

2) Ne zaman X = 0,

(0; ‒ 5) – ile kesişme noktası ah.

Şu tarihte: sen = 0,

3) sen(‒ X)= genel formun bir fonksiyonu (ne çift ne de tek).

4) Asimptotları inceliyoruz.

a) dikey

yatay

c) eğik asimptotları bulun;

‒eğik asimptot denklemi

5) Bu denklemde fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulmak gerekli değildir.

6)

Bu kritik noktalar, fonksiyonun tüm tanım alanını (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ve (10; +∞) aralığına böler. Elde edilen sonuçları aşağıdaki tablo şeklinde sunmak uygundur.

Pratikte bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini hesaplamak için türevi kullanmak oldukça yaygındır. Bu eylemi, maliyetleri nasıl en aza indireceğimizi, karı nasıl artıracağımızı, üretim üzerindeki optimum yükü nasıl hesaplayacağımızı vb. anladığımızda, yani bir parametrenin optimum değerini belirlememiz gerektiğinde gerçekleştiririz. Bu tür problemleri doğru bir şekilde çözmek için bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerinin ne olduğunu iyi anlamanız gerekir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tipik olarak bu değerleri belirli bir x aralığı içinde tanımlarız; bu da fonksiyonun tüm alanına veya bir kısmına karşılık gelebilir. Bir segment [a; b ] ve açık aralık (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), sonsuz aralık (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) veya sonsuz aralık - ∞ ; bir , (- ∞ ; bir ] , [ bir ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Bu materyalde size tek değişkenli y=f(x) y = f (x) ile açıkça tanımlanmış bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini nasıl hesaplayacağınızı anlatacağız.

Temel tanımlar

Her zaman olduğu gibi temel tanımların formülasyonuyla başlayalım.

Tanım 1

Belirli bir x aralığında y = f (x) fonksiyonunun en büyük değeri, m a x y = f (x 0) x ∈ X değeridir; bu, herhangi bir x x ∈ X değeri için, x ≠ x 0, f (x) eşitsizliğini yapar ≤ f(x) geçerli 0) .

Tanım 2

Belirli bir x aralığında y = f (x) fonksiyonunun en küçük değeri, m ben n x ∈ X y = f (x 0) değeridir; bu, herhangi bir x ∈ X değeri için x ≠ x 0, f(X f eşitsizliğini yapar) (x) ≥ f(x0) .

Bu tanımlar oldukça açıktır. Daha da basit olarak şunu söyleyebiliriz: Bir fonksiyonun en büyük değeri, onun abscissa x 0'da bilinen bir aralıktaki en büyük değeridir; en küçüğü ise aynı aralıkta x 0'da kabul edilen en küçük değerdir.

Tanım 3

Durağan noktalar, türevinin 0 olduğu bir fonksiyonun argümanının değerleridir.

Durağan noktaların ne olduğunu neden bilmemiz gerekiyor? Bu soruyu cevaplamak için Fermat teoremini hatırlamamız gerekiyor. Bundan, durağan bir noktanın türevlenebilir fonksiyonun ekstremumunun (yani yerel minimum veya maksimum) bulunduğu nokta olduğu sonucu çıkar. Sonuç olarak, fonksiyon belirli bir aralıkta tam olarak durağan noktalardan birinde en küçük veya en büyük değeri alacaktır.

Bir fonksiyon, kendisinin tanımlandığı ve birinci türevinin bulunmadığı noktalarda da en büyük veya en küçük değeri alabilir.

Bu konuyu incelerken ortaya çıkan ilk soru: Her durumda, belirli bir aralıkta bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini belirleyebilir miyiz? Hayır, belirli bir aralığın sınırları tanım alanının sınırlarıyla çakıştığında veya sonsuz bir aralıkla karşı karşıya olduğumuzda bunu yapamayız. Belirli bir segmentteki veya sonsuzdaki bir fonksiyonun sonsuz küçük veya sonsuz büyük değerler alması da mümkündür. Bu durumlarda en büyük ve/veya en küçük değeri belirlemek mümkün değildir.

Bu noktalar grafiklerde gösterildikten sonra daha da netleşecektir:

İlk şekil bize [ - 6 ; 6].

İkinci grafikte belirtilen durumu detaylı olarak inceleyelim. Segmentin değerini [ 1 ; 6 ] ve fonksiyonun maksimum değerine apsisin aralığın sağ sınırında olduğu noktada ve minimum değerinin sabit noktada elde edileceğini buluyoruz.

Üçüncü şekilde noktaların apsisleri doğru parçasının sınır noktalarını temsil etmektedir [-3; 2]. Belirli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerine karşılık gelirler.

Şimdi dördüncü resme bakalım. Burada fonksiyon m a xy'yi (en büyük değer) ve mi n y'yi (en küçük değer) açık aralıktaki (- 6; 6) sabit noktalarda alır.

[ 1 ; 6), o zaman üzerinde fonksiyonun en küçük değerine durağan bir noktada ulaşılacağını söyleyebiliriz. En büyük değer bizim için bilinmiyor olacak. Eğer x = 6 aralığa aitse, fonksiyon maksimum değerini x'in 6'ya eşit olduğu noktada alabilir. Bu tam olarak grafik 5'te gösterilen durumdur.

Grafik 6'da bu fonksiyon en küçük değerini (-3; 2 ] aralığının sağ sınırında elde eder ve en büyük değer hakkında kesin çıkarımlara varamayız.

Şekil 7'de fonksiyonun apsisi 1'e eşit olan sabit bir noktada m a xy'ye sahip olacağını görüyoruz. Fonksiyon minimum değerine sağ taraftaki aralığın sınırında ulaşacaktır. Eksi sonsuzda fonksiyon değerleri asimptotik olarak y = 3'e yaklaşacaktır.

x ∈ 2 aralığını alırsak; + ∞ ise verilen fonksiyonun ne en küçük ne de en büyük değeri almayacağını göreceğiz. Eğer x 2'ye yöneliyorsa, o zaman fonksiyonun değerleri eksi sonsuza yönelecektir, çünkü x = 2 düz çizgisi dikey bir asimptottur. Eğer apsis artı sonsuza eğilim gösteriyorsa, o zaman fonksiyon değerleri asimptotik olarak y = 3'e yaklaşacaktır. Bu tam olarak Şekil 8'de gösterilen durumdur.

Bu paragrafta, belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini bulmak için yapılması gereken eylemlerin sırasını sunacağız.

1. Öncelikle fonksiyonun tanım tanım kümesini bulalım. Koşulda belirtilen segmentin koşula dahil olup olmadığını kontrol edelim.
2. Şimdi bu parçada yer alan ve birinci türevin bulunmadığı noktaları hesaplayalım. Çoğunlukla argümanları modül işareti altında yazılan fonksiyonlarda veya üssü kesirli rasyonel sayı olan kuvvet fonksiyonlarında bulunabilirler.
3. Daha sonra verilen segmentte hangi sabit noktaların düşeceğini öğreneceğiz. Bunu yapmak için, fonksiyonun türevini hesaplamanız, ardından onu 0'a eşitlemeniz ve elde edilen denklemi çözmeniz ve ardından uygun kökleri seçmeniz gerekir. Eğer tek bir durağan nokta bulamazsak veya verilen segmente girmiyorsa bir sonraki adıma geçiyoruz.
4. Verilen durağan noktalarda (varsa) veya birinci türevin bulunmadığı noktalarda (varsa) fonksiyonun hangi değerleri alacağını belirleriz veya x = a ve değerlerini hesaplarız. x = b.
5. 5. Şimdi aralarından en büyüğünü ve en küçüğünü seçmemiz gereken bir dizi fonksiyon değerimiz var. Bunlar bulmamız gereken fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri olacak.

Sorunları çözerken bu algoritmanın nasıl doğru şekilde uygulanacağını görelim.

örnek 1

Durum: y = x 3 + 4 x 2 fonksiyonu verilmiştir. Segmentlerdeki en büyük ve en küçük değerlerini belirleyin [ 1 ; 4 ] ve [ - 4 ; -1] .

Çözüm:

Belirli bir fonksiyonun tanım tanım kümesini bularak başlayalım. Bu durumda 0 dışındaki tüm reel sayılar kümesi olacaktır. Başka bir deyişle, D(y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Koşulda belirtilen her iki segment de tanım alanı içinde olacaktır.

Şimdi fonksiyonun türevini kesir türevi kuralına göre hesaplıyoruz:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Bir fonksiyonun türevinin doğru parçalarının her noktasında bulunacağını öğrendik [ 1 ; 4 ] ve [ - 4 ; -1] .

Şimdi fonksiyonun durağan noktalarını belirlememiz gerekiyor. Bunu x 3 - 8 x 3 = 0 denklemini kullanarak yapalım. Tek bir gerçek kökü vardır, o da 2'dir. Fonksiyonun durağan bir noktası olacak ve ilk segmente düşecektir [1; 4 ] .

Birinci parçanın uçlarındaki ve bu noktada fonksiyonun değerlerini hesaplayalım; x = 1, x = 2 ve x = 4 için:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3, x = 1'de elde edilecektir ve en küçük m ben n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – x = 2'de.

İkinci bölüm tek bir durağan nokta içermediğinden, yalnızca verilen bölümün uçlarındaki fonksiyon değerlerini hesaplamamız gerekir:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Bunun anlamı m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m ben n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Cevap: Segment için [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m ben n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m ben n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Resmi görmek:

Bu yöntemi incelemeden önce, tek taraflı limiti ve sonsuzdaki limiti nasıl doğru bir şekilde hesaplayacağınızı gözden geçirmenizi ve bunları bulmanın temel yöntemlerini öğrenmenizi tavsiye ederiz. Bir fonksiyonun açık veya sonsuz bir aralıkta en büyük ve/veya en küçük değerini bulmak için aşağıdaki adımları sırayla uygulayın.

1. Öncelikle verilen aralığın verilen fonksiyonun tanım kümesinin bir alt kümesi olup olmayacağını kontrol etmeniz gerekir.
2. İstenilen aralıkta yer alan ve birinci türevin bulunmadığı tüm noktaları belirleyelim. Genellikle argümanın modül işareti içine alındığı fonksiyonlarda ve kesirli rasyonel üssü olan kuvvet fonksiyonlarında ortaya çıkarlar. Bu noktalar eksikse bir sonraki adıma geçebilirsiniz.
3. Şimdi hangi durağan noktaların verilen aralığa düşeceğini belirleyelim. Öncelikle türevi 0'a eşitliyoruz, denklemi çözüyoruz ve uygun kökleri seçiyoruz. Tek bir sabit noktamız yoksa veya belirtilen aralığa girmiyorlarsa hemen diğer işlemlere geçiyoruz. Aralık türüne göre belirlenirler.

• Aralık [ a ; b) ise fonksiyonun x = a noktasındaki değerini ve tek taraflı limiti lim x → b - 0 f(x)'i hesaplamamız gerekir.
• Aralık (a; b ] biçimindeyse, o zaman fonksiyonun x = b noktasındaki değerini ve tek taraflı limiti lim x → a + 0 f(x)'i hesaplamamız gerekir.
• Aralık (a; b) biçimindeyse, tek taraflı limitleri lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x) hesaplamamız gerekir.
• Aralık [ a ; + ∞), o zaman x = a noktasındaki değeri ve artı sonsuz lim x → + ∞ f(x) noktasındaki limiti hesaplamamız gerekir.
• Aralık (- ∞ ; b ] gibi görünüyorsa, x = b noktasındaki değeri ve eksi sonsuzdaki limiti lim x → - ∞ f(x) hesaplarız.
• Eğer - ∞ ise; b ise tek taraflı limiti lim x → b - 0 f(x) ve eksi sonsuzdaki limiti lim x → - ∞ f(x) dikkate alırız
• Eğer - ∞ ise; + ∞ , sonra eksi ve artı sonsuzun limitlerini dikkate alırız lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Sonunda elde edilen fonksiyon değerlerine ve limitlere dayanarak bir sonuç çıkarmanız gerekiyor. Burada birçok seçenek mevcut. Dolayısıyla, tek taraflı limit eksi sonsuza veya artı sonsuza eşitse, fonksiyonun en küçük ve en büyük değerleri hakkında hiçbir şey söylenemeyeceği hemen anlaşılır. Aşağıda tipik bir örneğe bakacağız. Ayrıntılı açıklamalar neyin ne olduğunu anlamanıza yardımcı olacaktır. Gerekirse malzemenin ilk kısmındaki Şekil 4 - 8'e dönebilirsiniz.

Koşul: verilen fonksiyon y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . - ∞ ; aralıklarındaki en büyük ve en küçük değerini hesaplayın; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .

Çözüm

Öncelikle fonksiyonun tanım tanım kümesini buluyoruz. Kesirin paydası, 0'a dönmemesi gereken ikinci dereceden bir üç terimli sayı içerir:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Koşulda belirtilen tüm aralıkların ait olduğu fonksiyonun tanım tanım kümesini elde ettik.

Şimdi fonksiyonun türevini alalım ve şunu elde edelim:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Sonuç olarak, bir fonksiyonun türevleri tüm tanım alanı boyunca mevcuttur.

Durağan noktaları bulmaya geçelim. Fonksiyonun türevi x = - 1 2'de 0 olur. Bu (- 3 ; 1 ] ve (- 3 ; 2) aralıklarında yer alan durağan bir noktadır.

Fonksiyonun (- ∞ ; - 4 ] aralığı için x = - 4'teki değerini ve eksi sonsuzdaki limitini hesaplayalım:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

3 e 1 6 - 4 > - 1 olduğundan, m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 olduğu anlamına gelir. Bu, denklemin en küçük değerini benzersiz bir şekilde belirlememize izin vermez. Fonksiyonun eksi sonsuzda asimptotik olarak yaklaştığı nokta bu değer olduğundan, yalnızca -1'in altında bir kısıtlama olduğu sonucuna varabiliriz.

İkinci aralığın özelliği, içinde tek bir sabit noktanın veya tek bir katı sınırın bulunmamasıdır. Sonuç olarak fonksiyonun ne en büyük değerini ne de en küçük değerini hesaplayamayız. Limiti eksi sonsuzda tanımladıktan sonra ve argüman sol tarafta -3'e doğru gittiğinden, yalnızca bir değer aralığı elde ederiz:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Bu, fonksiyon değerlerinin - 1 aralığında yer alacağı anlamına gelir; +∞

Fonksiyonun üçüncü aralıktaki en büyük değerini bulmak için, eğer x = 1 ise, x = - 1 2 sabit noktasındaki değerini belirleriz. Ayrıca argümanın sağ tarafta -3'e doğru yöneldiği durum için tek taraflı limiti de bilmemiz gerekecek:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y(1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Fonksiyonun en büyük değeri m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 noktasında alacağı ortaya çıktı. En küçük değeri ise belirleyemeyiz. Bildiğimiz her şey -4'e kadar bir alt sınırın varlığıdır.

(- 3 ; 2) aralığı için, önceki hesaplamanın sonuçlarını alın ve sol tarafta 2'ye yönelirken tek taraflı limitin neye eşit olduğunu bir kez daha hesaplayın:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Bu, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 olduğu ve en küçük değerin belirlenemediği ve fonksiyonun değerlerinin aşağıdan - 4 sayısı ile sınırlandırıldığı anlamına gelir. .

Önceki iki hesaplamada elde ettiğimiz sonuçlara dayanarak şunu söyleyebiliriz: [ 1 ; 2) Fonksiyon x = 1 noktasında en büyük değeri alacaktır ancak en küçüğünü bulmak imkansızdır.

(2 ; + ∞) aralığında fonksiyon ne en büyük ne de en küçük değere ulaşmayacaktır; - 1 aralığından değerler alacaktır; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Fonksiyonun değerinin x = 4'te neye eşit olacağını hesapladıktan sonra m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 ve artı sonsuzda verilen fonksiyon y = - 1 düz çizgisine asimptotik olarak yaklaşacaktır.

Her hesaplamada elde ettiğimiz sonuçları verilen fonksiyonun grafiğiyle karşılaştıralım. Şekilde asimptotlar noktalı çizgilerle gösterilmiştir.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma konusunda size anlatmak istediklerimiz bu kadardı. Verdiğimiz eylem dizileri, gerekli hesaplamaları olabildiğince hızlı ve basit bir şekilde yapmanıza yardımcı olacaktır. Ancak, öncelikle fonksiyonun hangi aralıklarla azalacağını ve hangi aralıklarla artacağını bulmanın genellikle yararlı olduğunu, ardından daha fazla sonuç çıkarabileceğinizi unutmayın. Bu şekilde fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini daha doğru bir şekilde belirleyebilir ve elde edilen sonuçları doğrulayabilirsiniz.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Pratik açıdan bakıldığında en büyük ilgi, bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için türevi kullanmaktır. Bunun neyle bağlantısı var? Kârı en üst düzeye çıkarmak, maliyetleri en aza indirmek, optimum ekipman yükünü belirlemek... Başka bir deyişle, hayatın birçok alanında bazı parametreleri optimize etme sorunlarını çözmek zorundayız. Bunlar da bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma görevleridir.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerinin genellikle, ya fonksiyonun tüm alanı ya da tanım alanının bir parçası olan belirli bir X aralığında arandığına dikkat edilmelidir. X aralığının kendisi bir parça, açık bir aralık olabilir , sonsuz bir aralık.

Bu yazımızda tek değişkenli y=f(x) 'in açıkça tanımlanmış bir fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerinin bulunmasından bahsedeceğiz.

Sayfada gezinme.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri - tanımlar, çizimler.

Kısaca ana tanımlara bakalım.

Fonksiyonun en büyük değeri bu herkes için eşitsizlik doğrudur.

Fonksiyonun en küçük değeri X aralığında y=f(x)'e böyle bir değer denir bu herkes için eşitsizlik doğrudur.

Bu tanımlar sezgiseldir: Bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri, apsiste söz konusu aralıkta kabul edilen en büyük (en küçük) değerdir.

Sabit noktalar– bunlar, fonksiyonun türevinin sıfır olduğu argümanın değerleridir.

En büyük ve en küçük değerleri bulurken neden sabit noktalara ihtiyacımız var? Bu sorunun cevabı Fermat teoremi ile verilmektedir. Bu teoremden, türevlenebilir bir fonksiyonun bir noktada bir ekstremuma (yerel minimum veya yerel maksimum) sahip olması durumunda bu noktanın durağan olduğu sonucu çıkar. Dolayısıyla fonksiyon çoğu zaman en büyük (en küçük) değerini X aralığında bu aralığın durağan noktalarından birinde alır.

Ayrıca bir fonksiyon çoğu zaman en büyük ve en küçük değerlerini bu fonksiyonun birinci türevinin bulunmadığı ve fonksiyonun kendisinin tanımlandığı noktalarda alabilir.

Bu konuyla ilgili en sık sorulan sorulardan birine hemen cevap verelim: “Bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değerini belirlemek her zaman mümkün müdür?” Hayır her zaman değil. Bazen X aralığının sınırları, fonksiyonun tanım bölgesinin sınırlarıyla çakışır veya X aralığı sonsuzdur. Ve sonsuzdaki ve tanım alanının sınırlarındaki bazı fonksiyonlar hem sonsuz büyük hem de sonsuz küçük değerler alabilir. Bu durumlarda fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri hakkında bir şey söylenemez.

Netlik sağlamak için grafiksel bir gösterim vereceğiz. Resimlere baktığınızda pek çok şey daha net hale gelecektir.

Segmentte

İlk şekilde fonksiyon [-6;6] segmenti içerisinde yer alan durağan noktalardaki en büyük (max y) ve en küçük (min y) değerlerini almaktadır.

İkinci şekilde gösterilen durumu düşünün. Segmenti olarak değiştirelim. Bu örnekte, fonksiyonun en küçük değeri sabit bir noktada, en büyüğü ise aralığın sağ sınırına karşılık gelen apsisin olduğu noktada elde edilir.

Şekil 3'te [-3;2] doğru parçasının sınır noktaları, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerine karşılık gelen noktaların apsisleridir.

Açık bir aralıkta

Dördüncü şekilde fonksiyon, açık aralık (-6;6) içerisinde yer alan durağan noktalardaki en büyük (max y) ve en küçük (min y) değerlerini almaktadır.

Aralıkta en büyük değer hakkında hiçbir sonuç çıkarılamaz.

sonsuzlukta

Yedinci şekilde sunulan örnekte fonksiyon, apsis x=1 olan durağan bir noktada en büyük değeri (max y) almakta ve en küçük değere (min y) aralığın sağ sınırında ulaşmaktadır. Eksi sonsuzda fonksiyon değerleri asimptotik olarak y=3'e yaklaşır.

Aralık boyunca fonksiyon ne en küçük ne de en büyük değere ulaşır. X=2 sağdan yaklaştıkça fonksiyon değerleri eksi sonsuza doğru yönelir (x=2 doğrusu dikey bir asimptottur), apsis artı sonsuza doğru yöneldikçe fonksiyon değerleri asimptotik olarak y=3'e yaklaşır. Bu örneğin grafiksel gösterimi Şekil 8'de gösterilmektedir.

Bir segment üzerinde sürekli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma algoritması.

Bir fonksiyonun bir segment üzerindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulmamızı sağlayan bir algoritma yazalım.

1. Fonksiyonun tanım alanını buluyoruz ve tüm segmenti içerip içermediğini kontrol ediyoruz.
2. Birinci türevin bulunmadığı ve segmentte yer alan tüm noktaları buluruz (genellikle bu tür noktalar, modül işareti altında argümanı olan fonksiyonlarda ve kesirli-rasyonel üssü olan kuvvet fonksiyonlarında bulunur). Eğer böyle bir nokta yoksa, bir sonraki noktaya geçin.
3. Segment içerisine düşen tüm sabit noktaları belirliyoruz. Bunu yapmak için onu sıfıra eşitliyoruz, ortaya çıkan denklemi çözüyoruz ve uygun kökleri seçiyoruz. Durağan nokta yoksa veya hiçbiri doğru parçasına girmiyorsa bir sonraki noktaya geçin.
4. Fonksiyonun değerlerini seçilen sabit noktalarda (varsa), birinci türevin bulunmadığı noktalarda (varsa) ve ayrıca x=a ve x=b'de hesaplıyoruz.
5. Fonksiyonun elde edilen değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçiyoruz - bunlar sırasıyla fonksiyonun gerekli en büyük ve en küçük değerleri olacak.

Bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmaya yönelik bir örneği çözmek için algoritmayı analiz edelim.

Örnek.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulma

• segmentte;
• [-4;-1] segmentinde.

Çözüm.

Bir fonksiyonun tanım alanı, sıfır hariç, gerçek sayılar kümesinin tamamıdır. Her iki segment de tanım alanına girer.

Fonksiyonun türevini aşağıdakilere göre bulun:

Açıkçası, fonksiyonun türevi doğru parçalarının tüm noktalarında ve [-4;-1]'de mevcuttur.

Denklemden durağan noktaları belirliyoruz. Tek gerçek kök x=2'dir. Bu durağan nokta ilk segmente girer.

İlk durumda fonksiyonun değerlerini parçanın uçlarında ve sabit noktada yani x=1, x=2 ve x=4 için hesaplıyoruz:

Bu nedenle fonksiyonun en büyük değeri x=1'de elde edilir ve en küçük değer – x=2'de.

İkinci durumda, fonksiyon değerlerini yalnızca [-4;-1] segmentinin uçlarında hesaplıyoruz (çünkü tek bir durağan nokta içermemektedir):

Bir fonksiyonun ekstremumu nedir ve bir ekstremum için gerekli koşul nedir?

Bir fonksiyonun ekstremumu, fonksiyonun maksimum ve minimumudur.

Bir fonksiyonun maksimum ve minimum (ekstrem) için gerekli koşul şudur: f(x) fonksiyonunun x = a noktasında bir ekstremumu varsa, o zaman bu noktada türev ya sıfırdır ya da sonsuzdur ya da mevcut değil.

Bu koşul gereklidir ancak yeterli değildir. X = a noktasındaki türev sıfıra, sonsuza gidebilir veya fonksiyon bu noktada bir ekstremuma sahip olmadan var olmayabilir.

Bir fonksiyonun ekstremumu (maksimum veya minimum) için yeterli koşul nedir?

İlk koşul:

Eğer x = a noktasına yeterli yakınlıkta f?(x) türevi a'nın solunda pozitif ve sağında negatif ise, o zaman x = a noktasında f(x) fonksiyonu şuna sahiptir: maksimum

Eğer x = a noktasına yeterli yakınlıkta f?(x) türevi a'nın solunda negatif ve sağında pozitif ise, o zaman x = a noktasında f(x) fonksiyonu şuna sahiptir: minimum f(x) fonksiyonunun burada sürekli olması şartıyla.

Bunun yerine, bir fonksiyonun ekstremumu için ikinci yeterli koşulu kullanabilirsiniz:

x = a noktasında birinci türev f?(x) sıfır olsun; f??(a) ikinci türevi negatifse, f(x) fonksiyonunun x = a noktasında maksimumu vardır, pozitifse minimumu vardır.

Bir fonksiyonun kritik noktası nedir ve nasıl bulunur?

Bu, fonksiyonun bir uç noktaya (yani maksimum veya minimum) sahip olduğu fonksiyon argümanının değeridir. Onu bulmak için ihtiyacın var türevi bul f?(x) fonksiyonu ve bunu sıfıra eşitleyerek, denklemi çözün f?(x) = 0. Bu denklemin kökleri ve bu fonksiyonun türevinin bulunmadığı noktalar kritik noktalardır, yani bir ekstremum olabilecek argümanın değerleridir. Bakılarak kolaylıkla tespit edilebilirler. türev grafiği: fonksiyonun grafiğinin apsis ekseniyle (Ox ekseni) kesiştiği ve grafiğin süreksizliklere maruz kaldığı argümanın değerleriyle ilgileniyoruz.

Örneğin, bulalım bir parabolün ekstremumu.

Fonksiyon y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Fonksiyonun türevi: y?(x) = 6x + 2

Denklemi çözün: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Bu durumda kritik nokta x0=-1/3 olur. Fonksiyonun sahip olduğu bu argüman değeridir. ekstremum. Ona bulmak, "x" yerine fonksiyon yerine ifadede bulunan sayıyı yazın:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Bir fonksiyonun maksimum ve minimumu nasıl belirlenir? en büyük ve en küçük değerleri?

Türevin işareti x0 kritik noktasından geçerken “artı”dan “eksi”ye değişirse, o zaman x0 maksimum nokta; türevin işareti eksiden artıya değişirse x0 minimum puan; işaret değişmezse, x0 noktasında ne maksimum ne de minimum vardır.

Ele alınan örnek için:

Kritik noktanın solundaki argümanın keyfi bir değerini alıyoruz: x = -1

x = -1'de türevin değeri y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 olacaktır (yani işareti “eksi”).

Şimdi kritik noktanın sağındaki argümanın keyfi bir değerini alıyoruz: x = 1

x = 1'de türevin değeri y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 olacaktır (yani işareti “artı”dır).

Gördüğünüz gibi kritik noktadan geçerken türevin işareti eksiden artıya değişti. Bu, x0 kritik değerinde minimum bir noktaya sahip olduğumuz anlamına gelir.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri aralıkta(bir segment üzerinde) aynı prosedür kullanılarak bulunur, ancak belki de tüm kritik noktaların belirtilen aralıkta olmayacağı gerçeği dikkate alınır. Aralığın dışındaki kritik noktalar değerlendirme dışı bırakılmalıdır. Aralık içinde yalnızca bir kritik nokta varsa, bu noktanın ya maksimumu ya da minimumu olacaktır. Bu durumda fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini belirlemek için fonksiyonun aralığın uçlarındaki değerlerini de dikkate alıyoruz.

Örneğin fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulalım

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

aralıklarla:

Yani fonksiyonun türevi

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

3cos(x) - 0,5 = 0 denklemini çözüyoruz

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

[-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (aralığa dahil değildir)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (aralığa dahil değildir)

Fonksiyon değerlerini argümanın kritik değerlerinde buluyoruz:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

[-9; 9] fonksiyon x = -4,88'de en büyük değere sahiptir:

x = -4,88, y = 5,398,

ve en küçüğü - x = 4,88'de:

x = 4,88, y = -5,398.

[-6; -3] tek bir kritik noktamız var: x = -4,88. Fonksiyonun x = -4,88'deki değeri y = 5,398'e eşittir.

Aralığın sonunda fonksiyonun değerini bulun:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

[-6; -3] fonksiyonun en büyük değerine sahibiz

y = 5,398, x = -4,88'de

en küçük değer -

x = -3'te y = 1,077

Bir fonksiyon grafiğinin bükülme noktaları nasıl bulunur ve dışbükey ve içbükey taraflar nasıl belirlenir?

Y = f(x) doğrusundaki tüm bükülme noktalarını bulmak için, ikinci türevi bulmanız, onu sıfıra eşitlemeniz (denklemi çözmeniz) ve ikinci türevin sıfır olduğu tüm x değerlerini test etmeniz gerekir, sonsuzdur veya yoktur. Bu değerlerden birinden geçerken ikinci türev işaret değiştirirse, fonksiyonun grafiği bu noktada bir bükülmeye sahiptir. Eğer değişmezse bükülme olmaz.

f denkleminin kökleri? (x) = 0, fonksiyonun ve ikinci türevinin olası süreksizlik noktalarının yanı sıra, fonksiyonun tanım bölgesini bir dizi aralığa böler. Aralıklarının her birindeki dışbükeylik, ikinci türevin işaretiyle belirlenir. İncelenen aralıktaki bir noktadaki ikinci türev pozitifse, o zaman y = f(x) doğrusu yukarıya doğru içbükeydir, negatifse aşağıya doğru içbükeydir.

İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumunu nasıl bulabilirim?

Spesifikasyon tanım kümesinde türevlenebilir f(x,y) fonksiyonunun ekstremumunu bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

1) kritik noktaları bulun ve bunun için denklem sistemini çözün

fх? (x,y) = 0, yani? (x,y) = 0

2) her kritik nokta P0(a;b) için farkın işaretinin değişmeden kalıp kalmadığını araştırın

tüm (x;y) noktaları için P0'a yeterince yakın. Fark pozitif kalırsa, P0 noktasında minimumumuz olur, negatifse maksimumumuz olur. Eğer fark işaretini korumuyorsa P0 noktasında ekstremum yoktur.

Bir fonksiyonun ekstremumları daha fazla sayıda argüman için benzer şekilde belirlenir.