Çizgiler dik düzlemlerde uzanıyorsa. Uzaydaki çizgilerin dikliği

Karşılıklı dik çizgilerin ve düzlemlerin oluşturulması, metrik problemlerin çözümünde önemli bir grafik işlemidir.

Bir çizgiye veya düzleme dik olanın yapısı, aşağıdaki şekilde formüle edilen dik açının özelliğine dayanmaktadır: dik açının kenarlarından biri projeksiyon düzlemine paralel ise diğeri ona dik değilse, daha sonra açı bu düzleme tam boyutta yansıtılır.

Şekil 28

Şekil 28'de gösterilen ABC dik açısının BC kenarı P 1 düzlemine paraleldir. Sonuç olarak, ABC açısının bu düzleme izdüşümü bir A 1 B 1 C 1 =90 dik açısını temsil edecektir.

Bir doğru, bu düzlemde bulunan kesişen iki çizgiye dik ise, bu düzleme diktir. Düzleme ait bir dizi düz çizgiden bir dik oluştururken, yatay ve önden düz düz çizgiler seçin. Bu durumda dikeyin yatay izdüşümü yataya dik olarak gerçekleştirilir ve önden izdüşümü öne dik olur. Şekil 29'da gösterilen örnek, K noktasından ABC üçgeni ile tanımlanan düzleme dik olanın yapımını göstermektedir. Bunu yapmak için önce düzlemdeki yatay ve ön çizgileri çizin. Daha sonra, K noktasının ön izdüşümünden, ön tarafın ön izdüşümüne dik ve noktanın yatay izdüşümünden - yatayın yatay izdüşümüne dik bir çizeriz. Daha sonra yardımcı kesme düzlemi Σ'yi kullanarak bu dikmenin düzlemle kesişme noktasını oluştururuz. Gerekli nokta F'dir. Böylece elde edilen KF parçası ABC düzlemine diktir.


Şekil 29

Şekil 29 ABC düzlemine dik bir KF'nin yapısını göstermektedir.

Bir düzlemde yer alan bir doğru, diğer düzlemin kesişen iki çizgisine dik ise, iki düzlem birbirine diktir. Bu ABC düzlemine dik bir düzlemin yapısı Şekil 30'da gösterilmektedir. M noktasından ABC düzlemine dik bir MN düz çizgisi çizilir. Bu çizginin yatay izdüşümü AC'ye diktir, çünkü AC yataydır ve ön izdüşümü AB'ye diktir, çünkü AB öndendir. Daha sonra M noktasından geçen keyfi bir EF düz çizgisi çizilir. Dolayısıyla düzlem ABC'ye diktir ve kesişen iki doğru EF ve MN ile tanımlanır.


Şekil 30

Bu yöntem, bölümlerin genel konumdaki doğal değerlerinin yanı sıra projeksiyon düzlemlerine olan eğim açılarını belirlemek için kullanılır. Bu yöntemi kullanarak bir doğru parçasının doğal boyutunu belirlemek için, parçanın çıkıntılarından birine dik bir üçgen tamamlamak gerekir. Diğer bacak ise doğru parçasının uç noktalarının yükseklik veya derinlik farkı olacak ve hipotenüs doğal değer olacaktır.

Bir örnek düşünelim: Şekil 31 bir AB doğru parçasını genel konumda göstermektedir. Doğal boyutunun ve çıkıntıların ön ve yatay düzlemlerine olan eğim açılarının belirlenmesi gerekmektedir.

Yatay bir düzlemde parçanın uçlarından birine dik çiziyoruz. Segmentin uçlarının yükseklik farkını (ZA-ZB) üzerine çizip dik üçgenin yapımını tamamlıyoruz. Hipotenüsü, parçanın doğal değeridir ve doğal değer ile parçanın izdüşümü arasındaki açı, parçanın P 1 düzlemine eğim açısının doğal değeridir. Ön düzlemdeki yapım sırası aynıdır. Dikey boyunca segmentin uçlarının derinliklerindeki farkı (YA-YB) çiziyoruz. Segmentin doğal boyutu ile önden izdüşümü arasında ortaya çıkan açı, segmentin P2 düzlemine eğim açısıdır.


Şekil 31

1. Dik açıların özelliği ile ilgili bir teorem belirtin.

2. Düz bir çizgi hangi durumda bir düzleme dik olur?

3. Uzaydaki bir noktadan geçen kaç tane düz çizgi ve belirli bir düzleme dik kaç tane düzlem çizilebilir?

4. Dik üçgen yöntemi ne için kullanılır?

5. Genel konumdaki bir parçanın projeksiyonların yatay düzlemine olan eğim açısını belirlemek için bu yöntem nasıl kullanılır?

Bu derste teoriyi tekrarlayacağız ve bir doğru ile bir düzlemin dikliğini gösteren teoremi kanıtlayacağız.
Dersin başında düzleme dik doğrunun tanımını hatırlayalım. Daha sonra, bir doğrunun ve bir düzlemin dikliğini gösteren teoremi ele alıp kanıtlayacağız. Bu teoremi kanıtlamak için dik açıortayın özelliğini hatırlayın.
Daha sonra bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği ile ilgili çeşitli problemleri çözeceğiz.

Konu: Doğru ve düzlemin dikliği

Ders: Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliğinin işareti

Bu derste teoriyi tekrarlayıp kanıtlayacağız Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliğinin teorem testi.

Tanım. Dümdüz A bu düzlemde yer alan herhangi bir çizgiye dik ise, α düzlemine dik olarak adlandırılır.

Bir doğru, bir düzlemde bulunan kesişen iki çizgiye dik ise, o zaman bu düzleme diktir.

Kanıt.

Bize bir α düzlemi verilsin. Bu düzlemde kesişen iki doğru var P Ve Q. Dümdüz A düz bir çizgiye dik P ve düz Q. çizgisinin olduğunu kanıtlamamız gerekiyor. Aα düzlemine diktir, yani a doğrusu α düzleminde yer alan herhangi bir doğruya diktir.

Hatırlatma.

Bunu kanıtlamak için bir doğru parçasına dik açıortayın özelliklerini hatırlamamız gerekir. Dik açıortay R segmente AB- bu, parçanın uçlarından eşit uzaklıktaki noktaların yeridir. Yani eğer amaç İLE dik ortaorta p üzerinde yatıyor, o zaman AC = BC.

Bırakın nokta HAKKINDA- çizginin kesişme noktası A ve α düzlemi (Şekil 2). Genelliği kaybetmeden, düz çizgilerin olduğunu varsayacağız. P Ve Q bir noktada kesişmek HAKKINDA. Doğrunun dikliğini kanıtlamamız gerekiyor A keyfi bir çizgiye Mα düzleminden.

Hadi noktayı çizelim HAKKINDA doğrudan ben, çizgiye paralel M. Düz bir çizgi üzerinde A bölümleri bir kenara bırakın OA Ve doğum günü, Ve OA = doğum günü yani asıl nokta HAKKINDA- segmentin ortası AB. Direkt yapalım P.L., .

Dümdüz R düz bir çizgiye dik A(durumdan), (inşaat yoluyla). Araç, R AB. Nokta R düz bir çizgi üzerinde yatıyor R. Araç, RA = PB.

Dümdüz Q düz bir çizgiye dik A(durumdan), (inşaat yoluyla). Araç, Q- bir segmente dik açıortay AB. Nokta Q düz bir çizgi üzerinde yatıyor Q. Araç, Kalite Güvencesi =QB.

üçgenler ARQ Ve Sanal GerçeklikQüç tarafı eşit (RA = PB, Kalite Güvencesi =QB, PQ- ortak taraf). Yani açılar ARQ Ve Sanal GerçeklikQ eşittir.

üçgenler AP.L. Ve BPL açı olarak eşit ve iki bitişik kenar (∠ ARL= ∠Sanal GerçeklikL, RA = PB, P.L.- ortak taraf). Üçgenlerin eşitliğinden şunu elde ederiz: AL =B.L..

Bir üçgen düşünün ABL.İkizkenardır çünkü AL =BL. Bir ikizkenar üçgende medyan LО aynı zamanda yüksekliktir, yani düz bir çizgidir LО dik AB.

Bunu doğru anladık A düz bir çizgiye dik ben, ve bu nedenle doğrudan M, Q.E.D.

Puanlar A, M, Çα düzlemine dik bir doğru üzerinde yer alır ve noktalar O, V, S Ve Dα düzleminde yer alır (Şekil 3). Aşağıdaki açılardan hangisi dik açıdır?

Çözüm

Açıyı ele alalım. Dümdüz JSCα düzlemine dik ve dolayısıyla düz bir çizgi JSCçizgisi de dahil olmak üzere α düzleminde yer alan herhangi bir çizgiye dik İÇİNDE. Araç, .

Açıyı ele alalım. Dümdüz JSC düz bir çizgiye dik işletim sistemi, Araç, .

Açıyı ele alalım. Dümdüz JSC düz bir çizgiye dik HAKKINDAD, Araç, . Bir üçgen düşünün DAO. Bir üçgenin yalnızca bir dik açısı olabilir. Yani açı BARAJ- doğrudan değil.

Açıyı ele alalım. Dümdüz JSC düz bir çizgiye dik HAKKINDAD, Araç, .

Açıyı ele alalım. Bu dik üçgende bir açıdır BMO açısı olduğundan düz olamaz. MOU- dümdüz.

Cevap: .

Bir üçgende ABC verilen: , AC= 6cm, Güneş= 8cm, SANTİMETRE- medyan (Şekil 4). Üst kısımdan İLE doğrudan bir çizgi çizildi SK, üçgenin düzlemine dik ABC, Ve SK= 12 cm Bul KM.

Çözüm:

Uzunluğunu bulalım AB Pisagor teoremine göre: (cm).

Dik üçgenin özelliğine göre hipotenüsün orta noktası Müçgenin köşelerine eşit uzaklıkta. Yani SM = AM = VM, (santimetre).

Bir üçgen düşünün KSM. Dümdüz KS düzleme dik ABC, yani KS dik SANTİMETRE. Yani bu bir üçgen KSM- dikdörtgen. Hipotenüsü bulalım KM Pisagor teoreminden: (cm).

1. Geometri. 10-11. Sınıflar: genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı (temel ve uzmanlık seviyeleri) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. baskı, düzeltilmiş ve genişletilmiş - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: hasta.

Görevler 1, 2, 5, 6 s.

2. Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliğini tanımlayın.

3. Küpte bir çift belirtin - bir kenar ve dik olan bir yüz.

4. Nokta İLE ikizkenar üçgen düzleminin dışında yer alır ABC ve noktalardan eşit uzaklıkta İÇİNDE Ve İLE. M- tabanın ortası Güneş. Bu çizgiyi kanıtlayın Güneş düzleme dik AKM.

Uzaydaki düz bir çizginin düzlem olabilmesi için, diyagramda çizginin yatay izdüşümünün yatayın yatay izdüşümü olması ve ön izdüşümünün bunun ön kısmının ön izdüşümü olması gerekli ve yeterlidir. uçak.

Bir noktadan düzleme olan mesafeyi belirleme(Şekil 19)

1. Bir noktadan düzleme dik bir açı indirin (bunu düzlemde yapmak için)

h,f'yi basılı tutun);

2. Düz çizginin düzlemle kesişme noktasını bulun (bkz. Şekil 18);

3. N.v.'yi bulun. dikey bölüm (bkz. Şekil 7).

İkinci bölüm Projeksiyon düzlemlerini değiştirme yöntemi

(görev 5, 6,7 için)

Bu geometrik şekil izdüşüm düzlemleri sisteminde hareketsiz bırakılmıştır. Yeni projeksiyon düzlemleri, üzerlerinde elde edilen projeksiyonların söz konusu soruna rasyonel bir çözüm sunması için kurulur. Bu durumda, projeksiyon düzlemlerinin her yeni sistemi dik bir sistem olmalıdır. Nesneleri düzlemlere yansıttıktan sonra, her bir karşılıklı dik düzlem çiftinin ortak düz çizgileri (izdüşüm eksenleri) etrafında döndürülerek birleştirilirler.

Örneğin, P 1 ve P 2 düzlemlerinden oluşan bir sistemde A noktası belirtilsin. Sistemi başka bir P 4 (Şekil 20), P 1 P 4 düzlemiyle tamamlayalım. P 1 düzlemi ile ortak bir X 14 çizgisine sahiptir. A 4'ün P 4'e bir projeksiyonunu oluşturuyoruz.

AA 1 =A 2 A 12 =A 4 A 14.

İncirde. Şekil 21'de P 1, P 2 ve P 4 düzlemlerinin hizaya getirildiği yerde bu gerçek A 1 A 4 X 14 ve A 14 A 4 A 2 A 12 sonucuyla belirlenir.

Noktanın yeni projeksiyonunun yeni projeksiyon eksenine (A 4 A 14) olan mesafesi, noktanın değiştirilen projeksiyonundan değiştirilen eksene (A 2 A 12) olan mesafeye eşittir.

Tanımlayıcı geometrinin çok sayıda metrik problemi aşağıdaki dört probleme dayanarak çözülür:

1. Genel konum düz çizgisinin düz düz çizgiye dönüştürülmesi (Şekil 22):

a) P 4 || AB (eksen X 14 || A 1 B 1);

b) A 1 A 4 X 14; B 1 B 4 X 14 ;

c) A 4 A 14 = A 12 A 2;

V4V14 = V12V2;

A 4 B 4 - n.v.

2. Genel bir çizgiyi çıkıntılı bir çizgiye dönüştürme (Şekil 23):

a) P 4 || AB (X 14 || A 1 B 1);

A 1 A 4 X 14;

B 1 B 4 X 14 ;

bir 14 bir 4 = bir 12 bir 2;

V14V4 = V12V2;

A 4 B 4 - mevcut;

b) P 5 AB (X 45 A 4 B 4);

A 4 A 5 X 45;

B 4 B 5 X 45;

A 45 A 5 =B 45 V 5 =A 14 A 1 =B 14 V 1;

3. Genel konum düzlemini çıkıntı konumuna dönüştürme (Şek. 24):

Düzlemin bir düz çizgisi çıkıntılı hale getirilirse düzlem çıkıntılı bir konuma getirilebilir. ABC düzleminde, tek bir dönüşümle çıkıntı yapılabilecek yatay bir çizgi (h 2, h 1) çiziyoruz. Yataya dik P 4 düzlemini çizelim; bu düzlem üzerine bir nokta olarak yansıtılacak ve üçgenin düzlemi de düz bir çizgi olarak yansıtılacaktır.

4. Genel konum düzleminin seviye düzlemine dönüştürülmesi (Şekil 25).

İki dönüşüm kullanarak düzlemi düz bir düzlem haline getirin. Öncelikle düzlem çıkıntılı hale getirilmeli (bkz. Şekil 25) ve ardından P 5 || çizilmelidir. A 4 B 4 C 4, A 5 B 5 C 5 - n.v.

Sorun #5

Genel konumda C noktasından düz bir çizgiye olan mesafeyi belirleyin (Şek. 26).

Çözüm 2. ana soruna geliyor. Daha sonra diyagramdaki mesafe iki nokta arasındaki mesafe olarak tanımlanır.

A 5 B 5 D 5 ve C 5.

Projeksiyon C 4 D 4 || X 45.

Sorun #6

()D'den A, B, C noktalarıyla belirtilen düzleme olan mesafeyi belirleyin (Şekil 27).

Sorun 2. ana problem kullanılarak çözüldü. ()D4'ten ABC düzleminin yansıtıldığı A 4 C 4 B 4 düz çizgisine olan mesafe (E 4 D 4), ED segmentinin doğal değeridir.

Projeksiyon D 1 E 1 || X 14;

E 2 E X12 = E 4 E X14.

Kendiniz inşa edin D 1 E 1.

Kendiniz inşa edin D 2 E 2.

Sorun No. 7

ABC üçgeninin gerçek boyutunu belirleyin (4. ana problemin çözümüne bakın) (Şekil 25)

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

  • Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

  • Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
  • Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
  • Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
  • Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

  • Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
  • Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Tanım. Bir düzlemdeki herhangi bir doğruya dik olan bir doğruya bu düzleme dik denir.

Daha sonraki metrik problemlerin çözümü için gerekli olan, okul stereometri dersinde bilinen teoremleri kanıt olmadan sunuyoruz.

1. Bir çizginin ve bir düzlemin diklik işareti: Bir çizgi, bir düzlemde uzanan kesişen iki çizgiye dikse, o zaman bu düzleme diktir.

2. Uzaydaki herhangi bir noktadan, belirli bir düzleme dik olan tek bir düz çizgi geçer.

3. Uzaydaki herhangi bir noktadan, belirli bir çizgiye dik olan tek bir düzlem geçer.

Σ düzlemine dik bir düz çizgi t "E oluşturmak için, diklik işaretine bağlı olarak, düzlemde kesişen iki düz çizgi h ve f çizmek ve ardından düz bir t çizgisi oluşturmak gerekir. koşullara göre: t ^ h, t ^ f (Şekil 7.3). Genel durumda, t ve h, t ve f çizgileri çarpık çizgi çiftleridir.

Görev. Bir Σ(ΔАВС) düzlemi ve bir E noktası verildiğinde.

Koşullara göre düz bir t çizgisi oluşturun: t " E, t ^ Σ (Şekil 7.4).

Sorunun çözümü şu şekilde olabilir:

1) h ve f seviye çizgileri Σ düzleminde inşa edilir; burada h 2 // x, f 1 // x;

2) istenen çizginin t 1 ve t 2 projeksiyonları oluşturulur, burada t 2 " E 2, t 2 ^ f 2; t 1 " E 1, t 1 ^ h 1. Sonuç olarak, t 1, t 2 – sorunun çözümü. Doğrudan f ile kesişiyor ve H.

H ve f seviye çizgilerinin seçilmesi Σ düzleminde kesişen çizgiler, dik açının izdüşümüne ve CN üzerindeki yapının basitliğine ilişkin teoremin yukarıdaki koşulları tarafından belirlenir. E noktası Σ düzlemindeyse, yapıların sırası aynı kalır.

Görev. Düz bir çizgi verildiğinde t ve E noktası. E noktasından geçen ve t doğrusuna dik bir düzlem çizin. (Şekil 7.5).

Sorunun çözümü h(h 1 ,h 2) ve f(f 1 ,f 2) olmak üzere iki seviye doğrusunun inşasına dayanmaktadır. E noktasından geçmek: h 2 "E 2, h 2 // x, h 1 "E 1, h 1 ^ t 1; f 1 " E 1 , f 1 // x, f 2 " E 2 , f 2 ^ t 2 . (h, f) düzlemi problemin çözümüdür.



İlgili yayınlar