Trigonometrik bir fonksiyonun bir kuvvete göre türevi. Ters trigonometrik fonksiyonların türevlerinin türetilmesi

Sinüs - sin(x)'in türevinin ispatı ve formülünün türetilmesi sunulmaktadır. Sin 2x, sinüs kare ve küp fonksiyonlarının türevlerini hesaplama örnekleri. N'inci dereceden sinüsün türevinin formülünün türetilmesi.

X'in sinüsünden x değişkenine göre türev, x'in kosinüsüne eşittir:
(günah x)' = çünkü x.

Kanıt

Sinüs türevinin formülünü türetmek için türev tanımını kullanacağız:
.

Bu sınırı bulmak için ifadeyi bilinen yasa, özellik ve kurallara indirgeyecek şekilde dönüştürmemiz gerekir. Bunu yapmak için dört özelliği bilmemiz gerekiyor.
1) İlk dikkate değer sınırın anlamı:
(1) ;
2) Kosinüs fonksiyonunun sürekliliği:
(2) ;
3) Trigonometrik formüller. Aşağıdaki formüle ihtiyacımız olacak:
(3) ;
4) Sınır özelliği:
Eğer ve ise, o zaman
(4) .

Bu kuralları sınırlarımıza uygulayalım. İlk önce cebirsel ifadeyi dönüştürüyoruz
.
Bunu yapmak için formülü uyguluyoruz
(3) .
Bizim durumumuzda
; . Daha sonra
;
;
;
.

Şimdi yerine koyma işlemini yapalım. , tarihinde.
.

İlk dikkate değer limiti (1) uygulayalım:
.

Aynı değişikliği yapıp süreklilik (2) özelliğini kullanalım:

.

Yukarıda hesaplanan limitler mevcut olduğundan, (4) özelliğini uyguluyoruz:

Sinüs türevinin formülü kanıtlanmıştır.

Örnekler
Sinüs içeren fonksiyonların türevlerini bulmanın basit örneklerine bakalım. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulacağız: y = sin 2x; y= günah 2 x ve y =.

günah 3 x

örnek 1 Türevini bulun.

günah 2x

Çözüm
Öncelikle en basit kısmın türevini bulalım:
(2x)' = 2(x)' = 2 1 = 2.
.
Başvuruyoruz.

Burada .

Cevap

(günah 2x)' = 2 çünkü 2x.

Örnek 2
Sinüs karenin türevini bulun: y = sin 2x; y=.

günah 2x

y=
.
Orijinal fonksiyonu daha anlaşılır bir biçimde yeniden yazalım:
.
En basit kısmın türevini bulalım:

.
Başvuruyoruz.

Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülünü uyguluyoruz.
.

Burada .

Trigonometri formüllerinden birini uygulayabilirsiniz. Daha sonra

Örnek 3
Sinüs karenin türevini bulun: ve y =.

Sinüs küpün türevini bulun:

Yüksek dereceli türevler Türevinin günah x
.

birinci dereceden sinüs aracılığıyla şu şekilde ifade edilebilir:

.
Başvuruyoruz.

Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülünü kullanarak ikinci dereceden türevi bulalım: Türevinin Artık bu farklılaşmayı fark edebiliriz
(5) .

argümanının artmasına neden olur. O halde n'inci dereceden türev şu şekle sahiptir:

Bunu matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak kanıtlayalım.

Formül (5)'in belirli bir değer için geçerli olduğunu varsayalım. Bundan, formül (5)'in sağlandığı sonucunun çıktığını kanıtlayalım.

Formül (5)'i şu adrese yazalım:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını kullanarak bu denklemin türevini alıyoruz:

.
Başvuruyoruz.
Böylece şunu bulduk:
.
yerine koyarsak bu formül (5) formunu alacaktır.

Formül kanıtlanmıştır.

Kosinüs - cos(x)'in türevinin ispatı ve formülünün türetilmesi sunulmaktadır. cos 2x, cos 3x, cos nx, kosinüs kare, küp ve üzeri n'nin türevlerini hesaplama örnekleri. N'inci dereceden kosinüsün türevinin formülü.

Kosinüs x'in x değişkenine göre türevi eşittir eksi sinüs x:
(çünkü x)' = - sin x.

Kanıt

Kosinüs türevinin formülünü türetmek için türev tanımını kullanırız:
.

Bu ifadeyi bilinen matematik yasa ve kurallarına indirgeyecek şekilde dönüştürelim. Bunu yapmak için dört özelliği bilmemiz gerekiyor.
1) Trigonometrik formüller. Aşağıdaki formüle ihtiyacımız olacak:
(1) ;
2) Sinüs fonksiyonunun süreklilik özelliği:
(2) ;
3) İlk dikkate değer sınırın anlamı:
(3) ;
4) İki fonksiyonun çarpımının limitinin özelliği:
Eğer ve ise, o zaman
(4) .

Bu yasaları sınırlarımıza kadar uygulayalım. İlk önce cebirsel ifadeyi dönüştürüyoruz
.
Bunu yapmak için formülü uyguluyoruz
(1) ;
Bizim durumumuzda
; . Daha sonra
;
;
;
.

Bir değişiklik yapalım. , tarihinde.
.

Süreklilik özelliğini kullanıyoruz (2):
.

Aynı değişikliği yapıp süreklilik (2) özelliğini kullanalım:

.

Aynı değişikliği yapıp ilk dikkate değer limiti (3) uygulayalım:

Sinüs türevinin formülü kanıtlanmıştır.

Böylece kosinüsün türevinin formülünü elde ettik.
Kosinüs içeren fonksiyonların türevlerini bulmanın basit örneklerine bakalım. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulalım: y = çünkü 2x; y = çünkü 3x; y = cos nx; y=çünkü 2x ; y= günah 2 x çünkü 3x.

günah 3 x

çünkü nx Türevlerini bulun çünkü 2x,çünkü 3x Ve.

günah 2x

cosnx Orijinal işlevler benzer bir biçime sahiptir. Bu nedenle fonksiyonun türevini bulacağız y = cosnx Ve. Daha sonra türevi olarak n = 2 ve n = 3'ü yerine koyun. Ve böylece türevleri için formüller elde ederiz.çünkü 2x çünkü 2x, .

Ve
Orijinal işlevler benzer bir biçime sahiptir. Bu nedenle fonksiyonun türevini bulacağız .
Yani fonksiyonun türevini buluyoruz
1)
2)
X değişkeninin bu fonksiyonunu iki fonksiyondan oluşan karmaşık bir fonksiyon olarak düşünelim:
.

O halde orijinal fonksiyon, fonksiyonlardan oluşan karmaşık (bileşik) bir fonksiyondur ve:
.
Fonksiyonun x değişkenine göre türevini bulalım:
.
(2x)' = 2(x)' = 2 1 = 2.
.
Fonksiyonun değişkene göre türevini bulalım:
yerine koyalım: .

(P1)
;
.

Burada .

;
;
.

(günah 2x)' = 2 çünkü 2x.

Şimdi formül (A1)'de yerine şunu koyarız:
Sinüs karenin türevini bulun: y = çünkü 2x; y = çünkü 3x; y = cos nx; y=çünkü 2x ; y=çünkü 2x çünkü 3x.

günah 2x

Kosinüs kare, kosinüs küp ve kosinüs üzeri n'nin türevlerini bulun:
Sinüs karenin türevini bulun: çünkü 3x.
Bu örnekte işlevler de benzer bir görünüme sahiptir. Bu nedenle, en genel fonksiyonun türevini bulacağız - kosinüs üzeri n:

Daha sonra n = 2 ve n = 3'ü yerine koyarız. Ve böylece kosinüs kare ve kosinüs küp türevlerinin formüllerini elde ederiz.
.
O halde fonksiyonun türevini bulmamız gerekiyor.
.
Daha anlaşılır bir biçimde yeniden yazalım:
1) Değişkene bağlı işlevler: ;
2) Değişkene bağlı işlevler: .
O halde orijinal fonksiyon, iki fonksiyondan oluşan karmaşık bir fonksiyondur ve:
.

Fonksiyonun x değişkenine göre türevini bulun:
.
Fonksiyonun değişkene göre türevini bulun:
.
Karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uyguluyoruz.
.
Fonksiyonun değişkene göre türevini bulalım:
(P2) .

Şimdi yerine koyalım ve:
;
.

Burada .

;
;
.

Sinüs küpün türevini bulun:

Yüksek dereceli türevler çünkü x birinci dereceden kosinüs aracılığıyla şu şekilde ifade edilebilir:
.

birinci dereceden sinüs aracılığıyla şu şekilde ifade edilebilir:

.
Başvuruyoruz.

Farklılaşmaya dikkat edin çünkü x Artık bu farklılaşmayı fark edebiliriz
(5) .

Bu formül matematiksel tümevarım yöntemi kullanılarak daha kesin bir şekilde kanıtlanabilir. Sinüsün n'inci türevinin kanıtı “Sinüs Türevi” sayfasında sunulmaktadır. Kosinüsün n'inci türevi için ispat tamamen aynıdır. Tüm formüllerde sin'i cos ile değiştirmeniz yeterlidir.

Ters trigonometrik fonksiyonların türevleri ve formüllerinin türetilmesi sunulmaktadır. Yüksek mertebeden türevler için de ifadeler verilmiştir. Formüllerin türetilmesiyle ilgili daha ayrıntılı açıklamalar içeren sayfalara bağlantılar.

İlk olarak arksinüs türevinin formülünü türetiyoruz. İzin vermek
Sinüs karenin türevini bulun: ark sin x.
Ark sinüs sinüsün ters fonksiyonu olduğundan, o zaman
.
Burada y, x'in bir fonksiyonudur. x değişkenine göre türev alın:
.
Başvuruyoruz:
.
Böylece şunu bulduk:
.

Çünkü o zaman. Daha sonra
.
Ve önceki formül şu şekli alır:
. Buradan
.

Tam olarak bu şekilde ark kosinüsün türevinin formülünü elde edebilirsiniz. Ancak ters trigonometrik fonksiyonlarla ilgili bir formül kullanmak daha kolaydır:
.
Daha sonra
.

Daha ayrıntılı bir açıklama “Arksinüs ve arkkosinüs türevlerinin türetilmesi” sayfasında sunulmaktadır. Orada veriliyor Türevlerin iki yolla türetilmesi- yukarıda tartışıldı ve ters fonksiyonun türevi formülüne göre.

Arktanjant ve arkkotanjant türevlerinin türetilmesi

Aynı şekilde arktanjant ve arkkotanjantın türevlerini de bulacağız.

İzin vermek
Sinüs karenin türevini bulun: arktan x.
Arktanjant, tanjantın ters fonksiyonudur:
.
x değişkenine göre türev alın:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü uyguluyoruz:
.
Böylece şunu bulduk:
.

Ark kotanjantının türevi:
.

Arksin türevleri

İzin vermek
.
Arsinüsün birinci dereceden türevini zaten bulduk:
.
Türev alarak ikinci dereceden türevi buluruz:
;
.
Ayrıca aşağıdaki biçimde de yazılabilir:
.
Buradan birinci ve ikinci dereceden arksinüs türevleri tarafından karşılanan bir diferansiyel denklem elde ederiz:
.

Bu denklemin türevini alarak daha yüksek mertebeden türevleri bulabiliriz.

N'inci dereceden arksinüsün türevi

N'inci dereceden arksinüsün türevi aşağıdaki forma sahiptir:
,
derece polinomu nerede. Formüllerle belirlenir:
;
.
Başvuruyoruz.

Polinom diferansiyel denklemi karşılar:
.

N'inci dereceden arkkosinüsün türevi

Ark kosinüs türevleri, trigonometrik formül kullanılarak ark sinüs türevlerinden elde edilir:
.
Bu nedenle, bu fonksiyonların türevleri yalnızca işaret bakımından farklılık gösterir:
.

Arktanjantın türevleri

İzin vermek . Birinci dereceden yay kotanjantının türevini bulduk:
.

Kesri en basit şekline göre ayıralım:

.
İşte sanal birim, .

Bir kez farklılaştırıyoruz ve kesri ortak bir paydaya getiriyoruz:

.

yerine koyarsak şunu elde ederiz:
.

N'inci dereceden arktanjantın türevi

Böylece, n'inci dereceden arktanjantın türevi çeşitli şekillerde temsil edilebilir:
;
.

Ark kotanjantının türevleri

Şimdi olsun. Ters trigonometrik fonksiyonları bağlayan formülü uygulayalım:
.
Bu durumda ark tanjantının n'inci dereceden türevi, ark tanjantının türevinden yalnızca işaret bakımından farklılık gösterir:
.

yerine koyarsak şunu buluruz:
.

Referanslar:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Yüksek matematikte problemlerin toplanması, “Lan”, 2003.

Geometri ve matematik dersinden itibaren okul çocukları, türev kavramının kendilerine bir şeklin alanı, diferansiyeller, fonksiyonların limitleri ve limitler aracılığıyla aktarıldığı gerçeğine alışkındır. Türev kavramına farklı bir açıdan bakmaya çalışalım ve türev ile trigonometrik fonksiyonların nasıl ilişkilendirilebileceğini belirleyelim.

Öyleyse, y = f(x) soyut fonksiyonuyla tanımlanan rastgele bir eğriyi ele alalım.

Programın bir turist rotasının haritası olduğunu hayal edelim. Şekildeki ∆x (delta x) artışı yolun belirli bir uzaklığıdır, ∆y ise yolun deniz seviyesinden yüksekliğinin değişimidir.
Daha sonra ∆x/∆y oranının rotanın her bir bölümünde rotanın karmaşıklığını karakterize edeceği ortaya çıktı. Bu değeri öğrendikten sonra, tırmanış/inişin dik olup olmadığını, tırmanma ekipmanına ihtiyaç duyulup duyulmayacağını ve turistlerin belirli bir fiziksel eğitime ihtiyaç duyup duymadığını güvenle söyleyebilirsiniz. Ancak bu gösterge yalnızca küçük bir ∆x aralığı için geçerli olacaktır.

Geziyi düzenleyen kişi parkurun başlangıç ​​ve bitiş noktalarının değerlerini alırsa, yani ∆x rotanın uzunluğuna eşitse, zorluk derecesi hakkında objektif veriler elde edemeyecektir. yolculuğun. Bu nedenle yoldaki değişikliklerin hızını ve “kalitesini” karakterize edecek, başka bir deyişle rotanın her “metresi” için ∆x/∆y oranını belirleyecek başka bir grafik oluşturmak gerekir.

Bu grafik, belirli bir yol için görsel bir türev olacak ve her ilgi aralığındaki değişikliklerini objektif olarak tanımlayacaktır. Bunu doğrulamak çok basittir; ∆x/∆y değeri, x ve y'nin belirli bir değeri için alınan diferansiyelden başka bir şey değildir. Türev almayı belirli koordinatlara değil, bir bütün olarak fonksiyona uygulayalım:

Türev ve trigonometrik fonksiyonlar

Trigonometrik fonksiyonlar ayrılmaz bir şekilde türevlerle bağlantılıdır. Aşağıdaki çizimden bunu anlamak mümkündür. Koordinat ekseninin şekli Y = f (x) fonksiyonunu - mavi eğriyi gösterir.

K (x0; f (x0)) isteğe bağlı bir noktadır, x0 + ∆x OX ekseni boyunca artıştır ve f (x0 + ∆x), belirli bir L noktasında OY ekseni boyunca artıştır.

K ve L noktalarından geçen bir çizgi çizelim ve bir KLN dik üçgeni oluşturalım. LN segmentini Y = f (x) grafiği boyunca zihinsel olarak hareket ettirirseniz, L ve N noktaları K (x0; f (x0) değerlerine yönelecektir. Bu noktaya grafiğin koşullu başlangıcı - limit diyelim, ancak fonksiyon sonsuzsa, en azından aralıklardan birinde bu eğilim de sonsuz olacaktır ve sınır değeri 0'a yakındır.

Bu eğilimin doğası, seçilen y = kx + b noktasına teğet olarak veya orijinal dy fonksiyonunun türevinin - yeşil düz çizginin bir grafiğiyle açıklanabilir.

Peki trigonometri burada nerede? Her şey çok basit, KLN dik üçgenini düşünün. Belirli bir K noktası için diferansiyel değer, α veya ∠K açısının tanjantıdır:

Bu şekilde türevin geometrik anlamını ve trigonometrik fonksiyonlarla ilişkisini tanımlayabiliriz.

Trigonometrik fonksiyonlar için türev formülleri

Türevi belirlerken sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant dönüşümlerinin ezberlenmesi gerekir.

Son iki formül bir hata değildir; mesele, basit bir argümanın türevini tanımlamak ile aynı kapasitedeki bir fonksiyonu tanımlamak arasında bir fark olmasıdır.

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant türevlerinin formüllerini içeren karşılaştırmalı bir tabloya bakalım:

Son derece nadir kullanılmalarına rağmen, arksinüs, arkkosinüs, arktanjant ve arkkotanjant türevleri için de formüller türetilmiştir:

Yukarıdaki formüllerin, bir trigonometrik ifadenin türevini bulmanın belirli bir örneğini çözerken gösterilecek olan tipik USE görevlerini başarıyla çözmek için açıkça yeterli olmadığını belirtmekte fayda var.

Egzersiz yapmak: Fonksiyonun türevini ve π/4 değerini bulmak gerekir:

Çözüm: Y'yi bulmak için orijinal fonksiyonu türeve dönüştürmenin temel formüllerini hatırlamak gerekir, yani.