Suma sinusów i cosinusów. Uniwersalne podstawienie trygonometryczne, wyprowadzanie wzorów, przykłady

– na pewno nie zabraknie zadań z trygonometrii. Trygonometria jest często nielubiana ze względu na konieczność upchania ogromnej liczby trudnych wzorów, pełnych sinusów, cosinusów, stycznych i kotangentów. Serwis już kiedyś udzielał porad, jak zapamiętać zapomnianą formułę, posługując się przykładem formuł Eulera i Peela.

W tym artykule postaramy się pokazać, że wystarczy dobrze znać tylko pięć prostych wzorów trygonometrycznych, a o pozostałych mieć ogólne pojęcie i na bieżąco je wyprowadzać. To tak jak z DNA: cząsteczka nie przechowuje pełnych planów gotowej żywej istoty. Zawiera raczej instrukcje składania go z dostępnych aminokwasów. Zatem w trygonometrii, znając pewne ogólne zasady, wszystkie niezbędne wzory otrzymamy z małego zestawu tych, o których należy pamiętać.

Będziemy opierać się na następujących wzorach:

Ze wzorów na sumę sinus i cosinus, znając parzystość funkcji cosinus i nieparzystość funkcji sinus, podstawiając -b zamiast b, otrzymujemy wzory na różnice:

1. Sinus różnicy: grzech(a-b) = grzechAsałata(-B)+sałataAgrzech(-B) = grzechAsałataB-sałataAgrzechB
2. Cosinus różnicy: sałata(a-b) = sałataAsałata(-B)-grzechAgrzech(-B) = sałataAsałataB+grzechAgrzechB

Wstawiając a = b do tych samych wzorów, otrzymujemy wzory na sinus i cosinus kątów podwójnych:

1. Sinus podwójnego kąta: grzech2a = grzech(a+a) = grzechAsałataA+sałataAgrzechA = 2grzechAsałataA
2. Cosinus podwójnego kąta: sałata2a = sałata(a+a) = sałataAsałataA-grzechAgrzechA = sałata2a-grzech2a

Wzory na inne kąty wielokrotne uzyskuje się w podobny sposób:

1. Sinus potrójnego kąta: grzech3a = grzech(2a+a) = grzech2asałataA+sałata2agrzechA = (2grzechAsałataA)sałataA+(sałata2a-grzech2a)grzechA = 2grzechAsałata2a+grzechAsałata2a-grzech 3 a = 3 grzechAsałata2a-grzech 3 a = 3 grzechA(1-grzech2a)-grzech 3 a = 3 grzechA-4grzech 3a
2. Cosinus potrójnego kąta: sałata3a = sałata(2a+a) = sałata2asałataA-grzech2agrzechA = (sałata2a-grzech2a)sałataA-(2grzechAsałataA)grzechA = sałata 3 a- grzech2asałataA-2grzech2asałataA = sałata 3 a-3 grzech2asałataA = sałata 3 a-3(1- sałata2a)sałataA = 4sałata 3 a-3 sałataA

Zanim przejdziemy dalej, spójrzmy na jeden problem.
Dane: kąt jest ostry.
Znajdź jego cosinus jeśli
Rozwiązanie podane przez jednego ucznia:
Ponieważ , To grzechA= 3,a sałataA = 4.
(Z humoru matematycznego)

Zatem definicja tangensa wiąże tę funkcję zarówno z sinusem, jak i cosinusem. Ale możesz otrzymać wzór, który wiąże tangens tylko z cosinusem. Aby to wyprowadzić, bierzemy główną tożsamość trygonometryczną: grzech 2 A+sałata 2 A= 1 i podziel przez sałata 2 A. Otrzymujemy:

Zatem rozwiązaniem tego problemu byłoby:

(Ponieważ kąt jest ostry, podczas wyodrębniania korzenia brany jest znak +)

Kolejnym trudnym do zapamiętania wzorem jest wzór na tangens sumy. Wyprowadźmy to w ten sposób:

Natychmiast wyświetlane i

Ze wzoru na cosinus dla kąta podwójnego można uzyskać wzory na sinus i cosinus dla kąta połówkowego. Aby to zrobić, po lewej stronie wzoru na cosinus podwójnego kąta:
sałata2 A = sałata 2 A-grzech 2 A
dodajemy jeden, a po prawej - jednostkę trygonometryczną, tj. suma kwadratów sinusa i cosinusa.
sałata2a+1 = sałata2a-grzech2a+sałata2a+grzech2a
2sałata 2 A = sałata2 A+1
Wyrażający sałataA Poprzez sałata2 A i dokonując zmiany zmiennych, otrzymujemy:

Znak jest przyjmowany w zależności od ćwiartki.

Podobnie, odejmując jeden od lewej strony równości i sumę kwadratów sinusa i cosinusa od prawej, otrzymujemy:
sałata2a-1 = sałata2a-grzech2a-sałata2a-grzech2a
2grzech 2 A = 1-sałata2 A

I na koniec, aby przeliczyć sumę funkcji trygonometrycznych na iloczyn, stosujemy następującą technikę. Powiedzmy, że musimy przedstawić sumę sinusów jako iloczyn grzechA+grzechB. Wprowadźmy zmienne x i y takie, że a = x+y, b+x-y. Następnie
grzechA+grzechB = grzech(x+y)+ grzech(x-y) = grzech X sałata ty+ sałata X grzech ty+ grzech X sałata y- sałata X grzech y=2 grzech X sałata y. Wyraźmy teraz x i y za pomocą aib.

Ponieważ a = x+y, b = x-y, to . Dlatego

Możesz natychmiast się wycofać

1. Wzór na partycjonowanie produkty sinusa i cosinusa V kwota: grzechAsałataB = 0.5(grzech(a+b)+grzech(a-b))

Zalecamy samodzielne ćwiczenie i wyprowadzanie wzorów na przeliczanie różnicy sinusów oraz sumy i różnicy cosinusów na iloczyn, a także na dzielenie iloczynów sinusów i cosinusów na sumę. Po wykonaniu tych ćwiczeń doskonale opanujesz umiejętność wyprowadzania wzorów trygonometrycznych i nie zgubisz się nawet w najtrudniejszym teście, olimpiadzie czy teście.

Dane referencyjne dla tangensu (tg x) i cotangensu (ctg x). Definicja geometryczna, właściwości, wykresy, wzory. Tabela stycznych i cotangensów, pochodnych, całek, rozwinięć szeregów. Wyrażenia poprzez zmienne zespolone. Powiązanie z funkcjami hiperbolicznymi.

Definicja geometryczna

|BD|
- długość łuku okręgu o środku w punkcie A.

α to kąt wyrażony w radianach. Styczna () opalenizna α

jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a ramieniem trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości przeciwnej nogi |BC| do długości sąsiedniej nogi |AB| .) Cotangens (

ctg α

jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a ramieniem trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości sąsiedniej nogi |AB| do długości przeciwnej nogi |BC| . Tangens

Gdzie
.
;
;
.

N

- cały.

jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a ramieniem trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości sąsiedniej nogi |AB| do długości przeciwnej nogi |BC| . Tangens

W literaturze zachodniej tangens jest oznaczany w następujący sposób:
.
Wykres funkcji stycznej, y = tan x
;
;
.

Cotangens

W literaturze zachodniej cotangens oznacza się w następujący sposób:

Akceptowane są także następujące oznaczenia:

Wykres funkcji cotangens, y = ctg x Własności tangensa i cotangensa Okresowość Funkcje y = tg x

i y =

ctg x

są okresowe z okresem π.

Parytet do długości przeciwnej nogi |BC| . Funkcje tangens i cotangens są nieparzyste.

Formuły

Wyrażenia wykorzystujące sinus i cosinus

; ;
; ;
;

Wzory na tangens i cotangens z sumy i różnicy

Pozostałe wzory są łatwe do uzyskania np

Iloczyn stycznych

Wzór na sumę i różnicę stycznych

Ta tabela przedstawia wartości stycznych i cotangensów dla określonych wartości argumentu.

Wyrażenia wykorzystujące liczby zespolone

Wyrażenia poprzez funkcje hiperboliczne

;
;

Instrumenty pochodne

; .

.
Pochodna n-tego rzędu po zmiennej x funkcji:
.
Wyprowadzanie wzorów na styczną > > > ; dla cotangens > > >

Całki

Rozszerzenia serii

Aby otrzymać rozwinięcie stycznej w potęgach x, należy przyjąć kilka wyrazów rozwinięcia szeregu potęgowego dla funkcji grzech x I bo x i podzielić te wielomiany przez siebie, .

W ten sposób powstają następujące formuły.

Na .
Na . Gdzie Bn
;
;
- Liczby Bernoulliego. Wyznacza się je albo z relacji powtarzalności:
Gdzie .

Lub zgodnie ze wzorem Laplace'a:

Funkcje odwrotne

Funkcje odwrotne tangensa i cotangens to odpowiednio arcustangens i arccotangens.

Arcus tangens, arctg do długości przeciwnej nogi |BC| . Tangens

, Gdzie

Arcus tangens, arctg do długości przeciwnej nogi |BC| . Tangens

Arccotangens, arcctg
Wykorzystana literatura:
W. Bronstein, KA Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów, „Lan”, 2009.

G. Korn, Podręcznik matematyki dla naukowców i inżynierów, 2012.

Kontynuujemy rozmowę na temat najczęściej używanych wzorów w trygonometrii. Najważniejszymi z nich są wzory na dodawanie.

Definicja 1

Wzory na dodawanie umożliwiają wyrażenie funkcji różnicy lub sumy dwóch kątów za pomocą funkcji trygonometrycznych tych kątów.

Na początek podamy pełną listę wzorów dodawania, następnie udowodnimy je i przeanalizujemy kilka ilustrujących przykładów.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Podstawowe wzory na dodawanie w trygonometrii

Istnieje osiem podstawowych wzorów: odpowiednio sinus sumy i sinus różnicy dwóch kątów, cosinus sumy i różnicy, styczne i cotangensy sumy i różnicy. Poniżej znajdują się ich standardowe formuły i obliczenia.

1. Sinus sumy dwóch kątów można otrzymać w następujący sposób:

Obliczamy iloczyn sinusa pierwszego kąta i cosinusa drugiego;

Pomnóż cosinus pierwszego kąta przez sinus pierwszego;

Dodaj otrzymane wartości.

Graficzny zapis wzoru wygląda następująco: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

3. Cosinus sumy. W tym celu znajdujemy iloczyny cosinusa pierwszego kąta przez cosinus drugiego i sinus pierwszego kąta przez sinus drugiego kąta i znajdujemy ich różnicę: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

4. Cosinus różnicy: oblicz iloczyny sinusów i cosinusów tych kątów jak poprzednio i dodaj je. Wzór: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. Tangens sumy. Wzór ten wyraża się jako ułamek, którego licznik jest sumą stycznych wymaganych kątów, a mianownik jest jednostką, od której odejmuje się iloczyn stycznych pożądanych kątów. Wszystko jest jasne po zapisie graficznym: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. Tangens różnicy. Obliczamy wartości różnicy i iloczynu stycznych tych kątów i postępujemy z nimi w podobny sposób. W mianowniku dodajemy do jedności, a nie odwrotnie: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. Cotangens sumy. Do obliczeń za pomocą tego wzoru będziemy potrzebować iloczynu i sumy kotangentów tych kątów, co postępujemy następująco: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

8. Cotangens różnicy . Wzór jest podobny do poprzedniego, ale licznik i mianownik to minus, a nie plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.

Prawdopodobnie zauważyłeś, że te formuły są podobne w parach. Używając znaków ± (plus-minus) i ∓ (minus-plus) możemy je pogrupować dla ułatwienia zapisu:

grzech (α ± β) = grzech α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · grzech β t g (α ± β) = t sol α ± t g β 1 ∓ t sol α · t g β do t g (α ± β) = - 1 ± do t g α · do t sol β do t sol α ± c t g β

W związku z tym mamy jeden wzór zapisu na sumę i różnicę każdej wartości, tylko w jednym przypadku zwracamy uwagę na znak górny, w drugim – na dolny.

Definicja 2

Możemy przyjąć dowolne kąty α i β i dla nich będą działać wzory na dodawanie cosinusa i sinusa. Jeśli uda nam się poprawnie wyznaczyć wartości stycznych i cotangensów tych kątów, wówczas będą dla nich obowiązywać również wzory na dodawanie stycznej i cotangensu.

Podobnie jak większość pojęć w algebrze, wzory na dodawanie można udowodnić. Pierwszą formułą, którą udowodnimy, jest wzór na różnicę cosinus. Pozostałą część materiału dowodowego można z niego łatwo wywnioskować.

Wyjaśnijmy podstawowe pojęcia. Będziemy potrzebować koła jednostkowego. Będzie działać, jeśli weźmiemy pewien punkt A i obrócimy kąty α i β wokół środka (punkt O). Wtedy kąt pomiędzy wektorami O A 1 → i O A → 2 będzie równy (α - β) + 2 π · z lub 2 π - (α - β) + 2 π · z (z jest dowolną liczbą całkowitą). Powstałe wektory tworzą kąt równy α - β lub 2 π - (α - β) lub mogą różnić się od tych wartości całkowitą liczbą pełnych obrotów. Spójrz na zdjęcie:

Skorzystaliśmy ze wzorów redukcyjnych i otrzymaliśmy następujące wyniki:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

Wynik: cosinus kąta między wektorami O A 1 → i O A 2 → jest równy cosinusowi kąta α - β, zatem cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).

Przypomnijmy definicje sinusa i cosinusa: sinus jest funkcją kąta, równą stosunkowi ramienia przeciwnego kąta do przeciwprostokątnej, cosinus jest sinusem kąta dopełniającego. Dlatego punkty 1 I 2 mają współrzędne (cos α, sin α) i (cos β, sin β).

Otrzymujemy co następuje:

O ZA 1 → = (cos α, sin α) i O A 2 → = (cos β, sin β)

Jeśli nie jest to jasne, spójrz na współrzędne punktów znajdujących się na początku i na końcu wektorów.

Długości wektorów są równe 1, ponieważ Mamy okrąg jednostkowy.

Przeanalizujmy teraz iloczyn skalarny wektorów O A 1 → i O A 2 → . We współrzędnych wygląda to tak:

(O ZA 1 → , O ZA 2) → = cos α · cos β + sin α · grzech β

Z tego możemy wyprowadzić równość:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

W ten sposób udowodniono wzór na różnicę cosinus.

Teraz udowodnimy następujący wzór - cosinus sumy. Jest to łatwiejsze, ponieważ możemy skorzystać z poprzednich obliczeń. Weźmy reprezentację α + β = α - (- β) . Mamy:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α grzech (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

To jest dowód wzoru na sumę cosinus. Ostatnia linia wykorzystuje właściwość sinusa i cosinusa przeciwnych kątów.

Wzór na sinus sumy można wyprowadzić ze wzoru na cosinus różnicy. Weźmy dla tego wzór na redukcję:

postaci sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Więc
grzech (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

A oto dowód wzoru na różnicę sinus:

grzech (α - β) = grzech (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α grzech (- β) = = grzech α cos β - cos α sin β
Zwróć uwagę na wykorzystanie właściwości sinus i cosinus przeciwległych kątów w ostatnim obliczeniu.

Następnie potrzebujemy dowodów na dodawanie wzorów na styczną i cotangens. Przypomnijmy podstawowe definicje (styczna to stosunek sinusa do cosinusa, a cotangens odwrotnie) i skorzystajmy z wyprowadzonych już wcześniej wzorów. Mamy to:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

Mamy ułamek złożony. Następnie musimy podzielić jego licznik i mianownik przez cos α · cos β, biorąc pod uwagę, że cos α ≠ 0 i cos β ≠ 0, otrzymujemy:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β

Teraz redukujemy ułamki i otrzymujemy następujący wzór: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s in n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Mamy t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. To jest dowód wzoru na dodawanie styczne.

Następnym wzorem, który udowodnimy, jest tangens wzoru różnicowego. Wszystko wyraźnie widać w obliczeniach:

t sol (α - β) = t sol (α + (- β)) = t sol α + t g (- β) 1 - t sol α t g (- β) = t sol α - t g β 1 + t sol α t sol β

Wzory na kotangens dowodzi się w podobny sposób:
do t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - grzech α · grzech β grzech α · grzech β grzech α · cos β + cos α · grzech β sin α · grzech β = cos α · cos β grzech α · grzech β - 1 grzech α · cos β sin α · grzech β + cos α · grzech β grzech α · grzech β = = - 1 + do t sol α · do t sol β do t sol α + do t sol β
Następny:
do t sol (α - β) = do t sol  (α + (- β)) = - 1 + do t sol α do t g (- β) do t sol α + do t g (- β) = - 1 - do t sol α do t g β do t g α - do t sol β

W tym artykule porozmawiamy o uniwersalne podstawienie trygonometryczne. Polega na wyrażeniu sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu dowolnego kąta poprzez tangens połówki kąta. Co więcej, taka wymiana odbywa się racjonalnie, to znaczy bez korzeni.

Najpierw zapiszemy wzory wyrażające sinus, cosinus, tangens i cotangens w postaci tangensa kąta połówkowego. Następnie pokażemy wyprowadzenie tych wzorów. Podsumowując, spójrzmy na kilka przykładów zastosowania uniwersalnego podstawienia trygonometrycznego.

Nawigacja strony.

Sinus, cosinus, tangens i cotangens poprzez tangens połówki kąta

Najpierw zapiszmy cztery wzory wyrażające sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta poprzez tangens połówki kąta.

Wskazane wzory obowiązują dla wszystkich kątów, przy których zdefiniowane są zawarte w nich styczne i cotangensy:

Wyprowadzanie formuł

Przeanalizujmy wyprowadzenie wzorów wyrażających sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta poprzez tangens połówki kąta. Zacznijmy od wzorów na sinus i cosinus.

Przedstawmy sinus i cosinus za pomocą wzorów na kąt podwójny jako I odpowiednio. Teraz wyrażenia I zapisujemy to w postaci ułamków zwykłych o mianowniku 1 jako I . Następnie, bazując na głównej tożsamości trygonometrycznej, zastępujemy jednostki w mianowniku sumą kwadratów sinusa i cosinusa, po czym otrzymujemy I . Na koniec licznik i mianownik otrzymanego ułamka dzielimy przez (jego wartość jest różna od podanego zera ). W rezultacie cały łańcuch działań wygląda następująco:


I

Na tym kończy się wyprowadzenie wzorów wyrażających sinus i cosinus poprzez tangens kąta połówkowego.

Pozostaje wyprowadzić wzory na styczną i cotangens. Teraz, biorąc pod uwagę wzory uzyskane powyżej, zarówno wzory, jak i , natychmiast otrzymujemy wzory wyrażające tangens i cotangens poprzez tangens połówki kąta:

W ten sposób wyprowadziliśmy wszystkie wzory na uniwersalne podstawienie trygonometryczne.

Przykłady zastosowania uniwersalnego podstawienia trygonometrycznego

Najpierw spójrzmy na przykład zastosowania uniwersalnego podstawienia trygonometrycznego podczas przekształcania wyrażeń.

Przykład.

Daj wyraz do wyrażenia zawierającego tylko jedną funkcję trygonometryczną.

Rozwiązanie.

Odpowiedź:

.

Referencje.

• Algebra: Podręcznik dla 9 klasy. średnio szkoła/Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; wyd. S. A. Telyakovsky.- M.: Edukacja, 1990.- 272 s.: il.- isbn 5-09-002727-7
• Bashmakov M. I. Algebra i początki analizy: Podręcznik. dla klas 10-11. średnio szkoła - wyd. 3. - M.: Edukacja, 1993. - 351 s.: il. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra i początek analizy: Proc. dla klas 10-11. wykształcenie ogólne instytucje / A. N. Kołmogorow, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; wyd. A. N. Kołmogorowa – wyd. 14 – M.: Edukacja, 2004. – 384 s.: il. – ISBN 5-09-013651-3.
• Gusiew V. A., Mordkovich A. G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach): Proc. zasiłek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., il.

Rozpoczniemy naukę trygonometrii od trójkąta prostokątnego. Zdefiniujmy, czym są sinus i cosinus oraz tangens i cotangens kąta ostrego. To są podstawy trygonometrii.

Przypomnijmy Ci to prosty kąt jest kątem równym 90 stopni. Innymi słowy, pół obrotu.

Kąt ostry- mniej niż 90 stopni.

Kąt rozwarty- większy niż 90 stopni. W odniesieniu do takiego kąta „tępy” nie jest obelgą, ale terminem matematycznym :-)

Narysujmy trójkąt prostokątny. Kąt prosty jest zwykle oznaczany przez . Należy pamiętać, że strona przeciwna do rogu jest oznaczona tą samą literą, tylko małą. Zatem strona przeciwna do kąta A jest oznaczona .

Kąt jest oznaczony odpowiednią literą grecką.

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego to bok leżący naprzeciw kąta prostego.

Nogi- boki leżące naprzeciw kątów ostrych.

Nazywa się nogę leżącą naprzeciwko kąta naprzeciwko(w odniesieniu do kąta). Nazywa się drugą nogę, która leży na jednym z boków kąta przylegający.

Zatoka Kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej:

Cosinus kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:

Tangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek boku przeciwnego do boku sąsiedniego:

Inna (równoważna) definicja: tangens kąta ostrego to stosunek sinusa kąta do jego cosinusa:

Cotangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniego boku do przeciwnego (lub, co jest takie samo, stosunek cosinusa do sinusa):

Zwróć uwagę na podstawowe zależności dla sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa poniżej. Przydadzą się nam przy rozwiązywaniu problemów.

Udowodnijmy niektóre z nich.

OK, podaliśmy definicje i spisaliśmy wzory. Ale po co nam jeszcze sinus, cosinus, tangens i cotangens?

Wiemy to suma kątów dowolnego trójkąta jest równa.

Znamy zależności pomiędzy imprezy prawy trójkąt. Jest to twierdzenie Pitagorasa: .

Okazuje się, że znając dwa kąty w trójkącie, można znaleźć trzeci. Znając dwa boki trójkąta prostokątnego, możesz znaleźć trzeci. Oznacza to, że kąty mają swój własny stosunek, a boki mają swój własny. Ale co zrobić, jeśli w trójkącie prostokątnym znasz jeden kąt (z wyjątkiem kąta prostego) i jeden bok, ale musisz znaleźć pozostałe boki?

Z tym właśnie spotykali się ludzie w przeszłości, tworząc mapy okolicy i gwiaździstego nieba. W końcu nie zawsze można bezpośrednio zmierzyć wszystkie boki trójkąta.

Sinus, cosinus i tangens - są również nazywane funkcje kąta trygonometrycznego- podać relacje pomiędzy imprezy I rogi trójkąt. Znając kąt, możesz znaleźć wszystkie jego funkcje trygonometryczne za pomocą specjalnych tabel. A znając sinusy, cosinusy i styczne kątów trójkąta i jednego z jego boków, możesz znaleźć resztę.

Narysujemy także tabelę wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla „dobrych” kątów od do.

Zwróć uwagę na dwie czerwone kreski w tabeli. Przy odpowiednich wartościach kąta tangens i cotangens nie istnieją.

Przyjrzyjmy się kilku problemom trygonometrycznym z banku zadań FIPI.

1. W trójkącie kąt wynosi , . Znajdować .

Problem zostanie rozwiązany w cztery sekundy.

Od , .

2. W trójkącie kąt wynosi , , . Znajdować .

Znajdźmy to za pomocą twierdzenia Pitagorasa.

Problem został rozwiązany.

Często w problemach występują trójkąty z kątami i/lub z kątami i. Zapamiętaj na pamięć podstawowe proporcje dla nich!

Dla trójkąta z kątami i nogą przeciwną kąt przy jest równy połowa przeciwprostokątnej.

Trójkąt mający kąty i jest równoramienny. W nim przeciwprostokątna jest razy większa niż noga.

Przyjrzeliśmy się problemom rozwiązywania trójkątów prostokątnych, czyli znajdowania nieznanych boków i kątów. Ale to nie wszystko! Na jednolitym egzaminie państwowym z matematyki pojawia się wiele problemów związanych z sinusem, cosinusem, tangensem lub cotangensem kąta zewnętrznego trójkąta. Więcej na ten temat w następnym artykule.