Krótko o liczbach zespolonych. Liczby zespolone: ​​definicja i podstawowe pojęcia

TematLiczby zespolone i wielomiany

Wykład 22

§1. Liczby zespolone: ​​podstawowe definicje

Symbol wprowadza się przez stosunek
i nazywa się jednostką urojoną. Innymi słowy,
.

Definicja. Wyrażenie formy
, Gdzie
, nazywa się liczbą zespoloną, a liczbą nazywaną częścią rzeczywistą liczby zespolonej i oznaczać
, numer – część wyimaginowana i oznaczać
.

Z tej definicji wynika, że ​​liczbami rzeczywistymi są te liczby zespolone, których część urojona jest równa zeru.

Liczby zespolone wygodnie jest przedstawiać za pomocą punktów płaszczyzny, na której podany jest prostokątny układ współrzędnych kartezjańskich, a mianowicie: liczba zespolona
odpowiada punktowi
i odwrotnie. Na osi
przedstawiane są liczby rzeczywiste i nazywa się to osią rzeczywistą. Liczby zespolone w postaci

nazywane są czysto urojonymi. Są one reprezentowane przez punkty na osi
, co nazywa się osią urojoną. Ta płaszczyzna, która służy do przedstawiania liczb zespolonych, nazywa się płaszczyzną zespoloną. Liczba zespolona, ​​która nie jest rzeczywista, tj. takie, że
, czasami nazywane wyimaginowanymi.

Mówi się, że dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich część rzeczywista i urojona są takie same.

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych odbywa się zgodnie ze zwykłymi zasadami algebry wielomianowej, biorąc pod uwagę fakt, że

. Operację dzielenia można zdefiniować jako odwrotność operacji mnożenia i można udowodnić jednoznaczność wyniku (jeśli dzielnik jest różny od zera). Jednak w praktyce stosuje się inne podejście.

Liczby zespolone
I
nazywane są sprzężonymi; na płaszczyźnie zespolonej są reprezentowane przez punkty symetryczne względem osi rzeczywistej. To oczywiste, że:

1)

;

2)
;

3)
.

Teraz podziel NA można to zrobić w następujący sposób:

.

Nie jest trudno to pokazać

,

gdzie jest symbol oznacza dowolną operację arytmetyczną.

Pozwalać
jakaś liczba urojona i – zmienna rzeczywista. Iloczyn dwóch dwumianów

jest trójmianem kwadratowym z rzeczywistymi współczynnikami.

Teraz mając do dyspozycji liczby zespolone, możemy rozwiązać dowolne równanie kwadratowe
.Jeśli , to

a równanie ma dwa złożone pierwiastki sprzężone

.

Jeśli
, to równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Jeśli
, to równanie ma dwa identyczne pierwiastki.

§2. Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Jak wspomniano powyżej, liczba zespolona
wygodnie przedstawić jako kropkę
. Liczbę tę można również utożsamić z wektorem promienia tego punktu
. Dzięki tej interpretacji dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych odbywa się zgodnie z zasadami dodawania i odejmowania wektorów. Do mnożenia i dzielenia liczb zespolonych wygodniejsza jest inna forma.

Wprowadźmy na płaszczyźnie zespolonej
biegunowy układ współrzędnych. Więc gdzie
,
i liczba zespolona
można zapisać jako:

Ta forma zapisu nazywana jest trygonometryczną (w przeciwieństwie do formy algebraicznej).
). W tej formie liczba nazywa się modułem i – argument liczby zespolonej . Są wyznaczani:
,

. Dla modułu mamy formułę

Argument liczby nie jest jednoznacznie zdefiniowany, ale aż do terminu
,
. Wartość argumentu spełniającego nierówności
, nazywa się głównym i jest oznaczony
. Następnie,
. Dla głównej wartości argumentu można uzyskać następujące wyrażenia:

,

argument liczbowy
uważa się za niepewne.

Warunek równości dwóch liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej ma postać: moduły liczb są równe, a argumenty różnią się o wielokrotność
.

Znajdźmy iloczyn dwóch liczb zespolonych w formie trygonometrycznej:

Tak więc, gdy liczby są mnożone, mnożone są ich moduły i dodawane są ich argumenty.

W podobny sposób możemy ustalić, że przy dzieleniu dzieli się moduły liczb i odejmuje argumenty.

Rozumiejąc potęgowanie jako wielokrotne mnożenie, możemy otrzymać wzór na podniesienie liczby zespolonej do potęgi:

Wyprowadźmy wzór na
- źródło -ta potęga liczby zespolonej (nie mylić z pierwiastkiem arytmetycznym liczby rzeczywistej!). Operacja wyodrębniania pierwiastka jest odwrotnością operacji potęgowania. Dlatego
jest liczbą zespoloną takie, że
.

Pozwalać
wiadomo, ale
wymagane do znalezienia. Następnie

Z równości dwóch liczb zespolonych w formie trygonometrycznej wynika, że

,
,
.

Stąd
(to jest pierwiastek arytmetyczny!),

,
.

Łatwo to sprawdzić mogę tylko zaakceptować zasadniczo różne wartości, na przykład kiedy
. Wreszcie mamy formułę:

,
.

Zatem korzeń ma th potęgę liczby zespolonej różne znaczenia. Na płaszczyźnie zespolonej wartości te są prawidłowo zlokalizowane w wierzchołkach -trójkąt wpisany w okrąg o promieniu
ze środkiem na początku. „Pierwszy” korzeń ma argument
, argumenty dwóch „sąsiednich” pierwiastków różnią się o
.

Przykład. Weźmy pierwiastek sześcienny jednostki urojonej:
,
,
. Następnie:

,

Przypomnijmy niezbędne informacje o liczbach zespolonych.

Liczba zespolona jest wyrazem formy A + bi, Gdzie A, B są liczbami rzeczywistymi i I- tzw wyimaginowana jednostka, czyli symbol, którego kwadrat jest równy –1 I 2 = –1. Numer A zwany prawdziwa część i numer B - część wyimaginowana liczba zespolona z = A + bi. Jeśli B= 0, to zamiast tego A + 0I po prostu piszą A. Można zauważyć, że liczby rzeczywiste są szczególnym przypadkiem liczb zespolonych.

Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych są takie same jak na liczbach rzeczywistych: można je dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić. Dodawanie i odejmowanie odbywa się według reguły ( A + bi) ± ( C + di) = (A ± C) + (B ± D)I, a mnożenie jest zgodne z regułą ( A + bi) · ( C + di) = (AC – bd) + (ogłoszenie + przed Chrystusem)I(tutaj używa się tego I 2 = –1). Liczba = A – bi zwany złożony koniugat Do z = A + bi. Równość z · = A 2 + B 2 pozwala zrozumieć, jak podzielić jedną liczbę zespoloną przez inną (niezerową) liczbę zespoloną:

(Na przykład, .)

Liczby zespolone mają wygodną i wizualną reprezentację geometryczną: liczba z = A + bi można przedstawić za pomocą wektora ze współrzędnymi ( A; B) na płaszczyźnie kartezjańskiej (lub, co prawie to samo, punkt - koniec wektora o tych współrzędnych). W tym przypadku suma dwóch liczb zespolonych jest przedstawiana jako suma odpowiednich wektorów (co można znaleźć za pomocą reguły równoległoboku). Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa długość wektora ze współrzędnymi ( A; B) jest równe . Ta ilość nazywa się moduł liczba zespolona z = A + bi i jest oznaczony przez | z|. Nazywa się kąt, jaki ten wektor tworzy z dodatnim kierunkiem osi x (liczonym w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara). argument liczba zespolona z i jest oznaczony przez Arg z. Argument nie jest jednoznacznie zdefiniowany, ale tylko do dodania wielokrotności 2 π radiany (lub 360°, jeśli liczyć w stopniach) - wszak jasne jest, że obrót o taki kąt wokół początku układu współrzędnych nie zmieni wektora. Ale jeśli wektor długości R tworzy kąt φ z dodatnim kierunkiem osi x, wówczas jej współrzędne są równe ( R sałata φ ; R grzech φ ). Stąd się okazuje zapis trygonometryczny liczba zespolona: z = |z| · (cos(Arg z) + I grzech (arg z)). Często wygodnie jest zapisywać liczby zespolone w tej formie, ponieważ znacznie upraszcza to obliczenia. Mnożenie liczb zespolonych w formie trygonometrycznej jest bardzo proste: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + argument z 2) + I grzech (arg z 1 + argument z 2)) (przy mnożeniu dwóch liczb zespolonych ich moduły są mnożone i dodawane są ich argumenty). Stąd podążaj Wzory Moivre’a: z n = |z|N· (bo( N· (Arg z)) + I grzech( N· (Arg z))). Korzystając z tych wzorów, łatwo jest nauczyć się wyodrębniać pierwiastki dowolnego stopnia z liczb zespolonych. n-ty pierwiastek z- to liczba zespolona w, Co w n = z. To jasne , i , gdzie k może przyjmować dowolną wartość ze zbioru (0, 1, ..., N– 1). Oznacza to, że zawsze jest dokładnie N korzenie N stopień liczby zespolonej (na płaszczyźnie znajdują się one w wierzchołkach regularnej N-gon).

Temat „Liczby zespolone” często sprawia uczniom trudności, ale tak naprawdę nie ma w nich nic strasznego, jak mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka.

Zatem teraz przeanalizujemy i rozważymy na prostych przykładach, czym jest liczba zespolona, ​​jak jest oznaczana i z czego się składa. Wyrażenie z = a + bi nazywa się liczbą zespoloną. To jest pojedyncza liczba, a nie dodatek.

Przykład 1 : z = 6 + 4i

Z czego składa się liczba zespolona?

Liczba zespolona ma część rzeczywistą i urojoną.

Liczba a nazywana jest częścią rzeczywistą liczby zespolonej i jest oznaczana a = Re(z). A oto co dzieje się z listem I- tj. numer B nazywa się współczynnikiem części urojonej liczby zespolonej i jest oznaczany b = Im(z). Razem bi tworzą część urojoną liczby zespolonej.

Nie jest trudno odgadnąć i łatwo zapamiętać ten skrót "Odnośnie" pochodzi od słowa "Prawdziwy"- prawdziwa, ważna część. Odpowiednio, "Jestem" jest skrótem słowa "Wyimaginowany"- część urojona, wyimaginowana.

Przykład 2 : z = 0,5 + 9i. Oto prawdziwa część a = Re (z) = 0,5 i część urojona b = Im (z) = 9i

Przykład 3 : z = -5 + 19i. Oto prawdziwa część a = Re (z) = -5 i część urojona b = Im (z) = 19.

Czysto urojona liczba zespolona

Liczba zespolona, ​​która nie ma części rzeczywistej, tj. Re(z) = 0, nazywa się czysto urojonym.

Przykład 4 : z = 2i. Brakuje prawdziwej części a = Re (z) = 0 i część urojona b = Im (z) = 2.

Przykład 5 . z = -8i. Oto część wyimaginowana b = Im(z) = -8, prawdziwa część a = Re (z) = 0.

Koniuguj liczby zespolone

Oznaczono zespoloną liczbę koniugatu „zet” z kreską i służy np. do znalezienia ilorazu dwóch liczb zespolonych, czyli innymi słowy do realizacji dzielenia liczb. Ci, którzy teraz myślą, to jest miejsce, w którym możesz przeczytać o dzieleniu liczb zespolonych.

Liczby nazywane są sprzężeniami zespolonymi; mają te same części rzeczywiste i różnią się jedynie znakiem części urojonych. Spójrzmy na przykład:

Przykład 6 . Złożony koniugat z liczbą z = 7 + 13i jest numerem.

Jednostka urojona liczby zespolonej

I na koniec porozmawiajmy o liście I. Ta sama litera, która tworzy wyimaginowany składnik liczby zespolonej. Nawet jeśli mamy wyrażenie z = 5 oznacza to po prostu, że część urojona danej liczby jest równa zeru, a część rzeczywista jest równa pięć.

Ogrom I zwany wyimaginowana jednostka.

Jednostka urojona jest przydatna w rozwiązywaniu równań kwadratowych, gdy dyskryminator jest mniejszy od zera. Przyzwyczailiśmy się myśleć, że jeśli jest ona ujemna, nie ma rozwiązania, nie ma korzeni. Nie jest to całkowicie poprawne. Korzenie istnieją, są po prostu złożone. Ale o tym później. Przejdźmy teraz do następnego artykułu na temat badania liczb zespolonych, dowiedzmy się, jak liczyć

§1. Liczby zespolone

1°. Definicja. Notacja algebraiczna.

Definicja 1. Liczby zespolone nazywane są uporządkowane pary liczb rzeczywistych I , jeśli dla nich zdefiniowano pojęcie równości, dodawania i mnożenia, spełniając następujące aksjomaty:

1) Dwie liczby
I
równe wtedy i tylko wtedy, gdy
,
, tj.

2) Suma liczb zespolonych
I

i równe
, tj.

3) Iloczyn liczb zespolonych
I
jest liczbą oznaczoną przez
i równe, tj.

Oznaczono zbiór liczb zespolonych C.

Wzory (2), (3) na liczby postaci
weź formularz

skąd wynika, że ​​operacje dodawania i mnożenia liczb mają postać
pokrywają się z dodawaniem i mnożeniem liczb rzeczywistych liczba zespolona postaci
identyfikowany z liczbą rzeczywistą .

Liczba zespolona
zwany wyimaginowana jednostka i jest wyznaczony , tj.
Następnie od (3)

Od (2), (3)  co oznacza

Wywołuje się wyrażenie (4). notacja algebraiczna liczba zespolona.

W notacji algebraicznej operacje dodawania i mnożenia mają postać:

Liczba zespolona jest oznaczona przez
,– część prawdziwa, – część urojona, jest liczbą czysto urojoną. Oznaczenie:
,
.

Definicja 2. Liczba zespolona
zwany sprzężony z liczbą zespoloną
.

Właściwości koniugacji złożonej.

1)

2)
.

3) Jeśli
, To
.

4)
.

5)
– liczba rzeczywista.

Dowód przeprowadza się metodą bezpośrednich obliczeń.

Definicja 3. Numer
zwany moduł liczba zespolona
i jest wyznaczony
.

To oczywiste
, I


. Formuły są również oczywiste:
I
.

2°. Własności operacji dodawania i mnożenia.

1) Przemienność:
,
.

2) Łączność:,
.

3) Rozdzielczość: .

Dowód 1) – 3) przeprowadza się metodą bezpośrednich obliczeń bazujących na podobnych własnościach liczb rzeczywistych.

4)
,
.

5) , C ! , spełniając równanie
. Ten

6) ,C, 0, ! :
. Ten oblicza się, mnożąc równanie przez



.

Przykład. Wyobraźmy sobie liczbę zespoloną
w formie algebraicznej. Aby to zrobić, pomnóż licznik i mianownik ułamka przez liczbę sprzężoną mianownika. Mamy:

3°. Interpretacja geometryczna liczb zespolonych. Trygonometryczna i wykładnicza forma zapisu liczby zespolonej.

Niech na płaszczyźnie zostanie określony prostokątny układ współrzędnych. Następnie
C możesz dopasować punkt na płaszczyźnie za pomocą współrzędnych
.(patrz rys. 1). Oczywiście taka korespondencja ma charakter indywidualny. W tym przypadku liczby rzeczywiste leżą na osi odciętych, a liczby czysto urojone na osi rzędnych. Dlatego nazywa się oś odciętych prawdziwa oś i oś rzędnych − wyimaginowana oś. Nazywa się płaszczyznę, na której leżą liczby zespolone złożona płaszczyzna.

Zauważ to I
są symetryczne względem początku, oraz I symetryczny względem Wołu.

Każdą liczbę zespoloną (czyli każdy punkt na płaszczyźnie) można powiązać z wektorem mającym początek w punkcie O i koniec w punkcie
. Zgodność między wektorami i liczbami zespolonymi jest jeden do jednego. Dlatego wektor odpowiadający liczbie zespolonej , oznaczony tą samą literą

D linia wektorowa
odpowiadający liczbie zespolonej
, jest równe
, I
,
.

Korzystając z interpretacji wektorów, widzimy, że wektor
− suma wektorów I , A
− suma wektorów I
.(patrz rys. 2). Obowiązują zatem następujące nierówności: ,

Razem z długością wektor przedstawmy kąt między wektorem i oś Wół, liczona od dodatniego kierunku osi Wół: jeśli liczenie odbywa się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, wówczas znak kąta uważa się za dodatni, jeśli zgodnie z ruchem wskazówek zegara, to jest on ujemny. Kąt ten nazywa się argument liczbowy zespolony i jest wyznaczony
. Narożnik nie jest ustalana jednoznacznie, ale precyzyjnie
… . Dla
argument nie jest zdefiniowany.

Wzory (6) definiują tzw zapis trygonometryczny liczba zespolona.

Z (5) wynika, że ​​jeśli
I
To

Od (5)
co byś powiedział na I liczba zespolona jest jednoznacznie określona. Odwrotna sytuacja nie jest prawdą: mianowicie w przypadku liczby zespolonej jego moduł jest wyjątkowy i argument , na mocy (7), − z dokładnością
. Z (7) wynika również, że argument można znaleźć jako rozwiązanie równania

Jednakże nie wszystkie rozwiązania tego równania są rozwiązaniami (7).

Spośród wszystkich wartości argumentu liczby zespolonej wybierana jest jedna, która nazywa się główną wartością argumentu i jest oznaczona
. Zwykle główna wartość argumentu jest wybierana albo w przedziale
lub w przedziale

Wygodne jest wykonywanie operacji mnożenia i dzielenia w formie trygonometrycznej.

Twierdzenie 1. Moduł iloczynu liczb zespolonych I jest równy iloczynowi modułów, a argumentem jest suma argumentów, tj.

, A .

Podobnie

,

Dowód. Pozwalać ,. Następnie przez bezpośrednie mnożenie otrzymujemy:

Podobnie

.■

Konsekwencja(wzór Moivre’a). Dla
Wzór Moivre’a jest prawidłowy

P przykład. Znajdźmy położenie geometryczne punktu
. Z Twierdzenia 1 wynika, że ​​.

Dlatego, aby go skonstruować, musisz najpierw skonstruować punkt , czyli inwersja względem okręgu jednostkowego, a następnie znajdź punkt symetryczny do niego względem osi Wołu.

Pozwalać
,te.
Liczba zespolona
oznaczony przez
, tj. R Wzór Eulera jest prawidłowy

Ponieważ
, To
,
. Z twierdzenia 1
o co chodzi z funkcją
możesz pracować jak ze zwykłą funkcją wykładniczą, tj. równości są ważne

,
,
.

Od (8)
notacja poglądowa liczba zespolona

, Gdzie
,

Przykład. .

4°. Korzenie -ta potęga liczby zespolonej.

Rozważ równanie

Pozwalać
, a rozwiązania równania (9) szukamy w postaci
. Wtedy (9) przyjmuje postać
, skąd to znajdujemy
,
, tj.

,
,
.

Zatem równanie (9) ma pierwiastki

Pokażmy, że wśród (10) jest dokładnie różne korzenie. Naprawdę,

są różne, ponieważ ich argumenty są różne i różnią się mniej niż
. Następny,
, ponieważ
. Podobnie
.

Zatem równanie (9) w
ma dokładnie korzenie
, znajdujące się na wierzchołkach regularnych -trójkąt wpisany w okrąg o promieniu ze środkiem w t.O.

W ten sposób zostało to udowodnione

Twierdzenie 2. Ekstrakcja korzeni -ta potęga liczby zespolonej
Zawsze jest to możliwe. Wszystkie podstawowe znaczenia stopień zlokalizowane w wierzchołkach prawidłowych -gon wpisany w okrąg o środku w punkcie zero i promieniu
. Naraz,

Konsekwencja. Korzenie -ta potęga 1 wyrażana jest wzorem

.

Iloczyn dwóch pierwiastków z 1 to pierwiastek, 1 to pierwiastek -potęga jedności, źródło
:
.

Badając właściwości równania kwadratowego, postawiono ograniczenie - dla dyskryminatora mniejszego od zera nie ma rozwiązania. Od razu stwierdzono, że mówimy o zbiorze liczb rzeczywistych. Dociekliwy umysł matematyka będzie zainteresowany, jaka tajemnica kryje się w zdaniu o wartościach rzeczywistych?

Z biegiem czasu matematycy wprowadzili koncepcję liczb zespolonych, w której warunkową wartość drugiego pierwiastka z minus jeden przyjmuje się jako jeden.

Tło historyczne

Teoria matematyki rozwija się sekwencyjnie, od prostych do złożonych. Zastanówmy się, jak powstało pojęcie „liczby zespolonej” i dlaczego jest potrzebne.

Od niepamiętnych czasów podstawą matematyki było zwykłe liczenie. Badacze znali jedynie naturalny zestaw wartości. Dodawanie i odejmowanie było proste. W miarę jak stosunki gospodarcze stawały się coraz bardziej złożone, zamiast dodawania identycznych wartości zaczęto stosować mnożenie. Pojawiła się operacja odwrotna do mnożenia – dzielenie.

Koncepcja liczby naturalnej ograniczała stosowanie działań arytmetycznych. Niemożliwe jest rozwiązanie wszystkich problemów związanych z dzieleniem na zbiorze wartości całkowitych. doprowadziło najpierw do koncepcji wartości racjonalnych, a następnie do wartości irracjonalnych. Jeśli dla racjonalnego można wskazać dokładne położenie punktu na prostej, to dla irracjonalnego nie da się wskazać takiego punktu. Możesz jedynie w przybliżeniu wskazać odstęp lokalizacji. Kombinacja liczb wymiernych i niewymiernych utworzyła zbiór rzeczywisty, który można przedstawić jako pewną linię o zadanej skali. Każdy krok na tej linii jest liczbą naturalną, a pomiędzy nimi znajdują się wartości wymierne i niewymierne.

Rozpoczęła się era matematyki teoretycznej. Rozwój astronomii, mechaniki i fizyki wymagał rozwiązywania coraz bardziej złożonych równań. W ogólnej formie znaleziono pierwiastki równania kwadratowego. Rozwiązując bardziej złożony wielomian sześcienny, naukowcy napotkali sprzeczność. Koncepcja ujemnego pierwiastka sześciennego ma sens, ale w przypadku pierwiastka kwadratowego powoduje niepewność. Co więcej, równanie kwadratowe jest tylko szczególnym przypadkiem równania sześciennego.

W 1545 roku Włoch G. Cardano zaproponował wprowadzenie pojęcia liczby urojonej.

Liczba ta stała się drugim pierwiastkiem z minus jeden. Termin liczba zespolona powstał ostatecznie dopiero trzysta lat później, w pracach słynnego matematyka Gaussa. Zaproponował formalne rozszerzenie wszystkich praw algebry na liczbę urojoną. Rzeczywista linia rozwinęła się do płaszczyzny. Świat stał się większy.

Podstawowe pojęcia

Przypomnijmy szereg funkcji, które mają ograniczenia na zbiorze rzeczywistym:

• y = arcsin(x), zdefiniowany w zakresie wartości pomiędzy jednością ujemną i dodatnią.
• y = ln(x), ma sens w przypadku argumentów pozytywnych.
• pierwiastek kwadratowy y = √x, obliczany tylko dla x ≥ 0.

Oznaczając i = √(-1) wprowadzamy takie pojęcie jak liczba urojona, co pozwoli nam usunąć wszelkie ograniczenia z dziedziny definicji powyższych funkcji. Wyrażenia takie jak y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) nabierają znaczenia w określonej przestrzeni liczb zespolonych.

Postać algebraiczną można zapisać jako z = x + i×y na zbiorze wartości rzeczywistych x i y oraz i 2 = -1.

Nowa koncepcja usuwa wszelkie ograniczenia w stosowaniu jakiejkolwiek funkcji algebraicznej, a jej wygląd przypomina wykres linii prostej we współrzędnych wartości rzeczywistych i urojonych.

Złożona płaszczyzna

Geometryczna postać liczb zespolonych umożliwia wizualizację wielu ich właściwości. Wzdłuż osi Re(z) zaznaczamy rzeczywiste wartości x, wzdłuż Im(z) - wartości urojone y, wówczas punkt z na płaszczyźnie wyświetli wymaganą wartość zespoloną.

Definicje:

• Re(z) - oś rzeczywista.
• Im(z) - oznacza wyimaginowaną oś.
• z jest punktem warunkowym liczby zespolonej.
• Wartość liczbowa długości wektora od punktu zerowego do z nazywana jest modułem.
• Osie rzeczywiste i urojone dzielą płaszczyznę na ćwiartki. Z dodatnią wartością współrzędnej - I kwartał. Gdy argument osi rzeczywistej jest mniejszy od 0, a oś urojona jest większy od 0 – drugi kwartał. Gdy współrzędne są ujemne - III kwartał. Ostatnia, IV ćwiartka zawiera wiele dodatnich wartości rzeczywistych i ujemnych wartości urojonych.

Zatem na płaszczyźnie o współrzędnych x i y zawsze można wizualnie przedstawić punkt liczby zespolonej. Wprowadzono symbol i, aby oddzielić część rzeczywistą od części urojonej.

Właściwości

1. Przy zerowej wartości argumentu urojonego otrzymujemy po prostu liczbę (z = x), która leży na osi rzeczywistej i należy do zbioru rzeczywistego.
2. Szczególnym przypadkiem, gdy wartość argumentu rzeczywistego wynosi zero, wyrażenie z = i×y odpowiada położeniu punktu na urojonej osi.
3. Ogólna postać z = x + i×y będzie dotyczyć niezerowych wartości argumentów. Wskazuje położenie punktu charakteryzującego liczbę zespoloną w jednej z ćwiartek.

Zapis trygonometryczny

Przypomnijmy sobie biegunowy układ współrzędnych oraz definicję grzechu i cos. Oczywiście za pomocą tych funkcji można opisać położenie dowolnego punktu na płaszczyźnie. Aby to zrobić, wystarczy znać długość promienia polarnego i kąt nachylenia do osi rzeczywistej.

Definicja. Zapis postaci ∣z ∣ pomnożony przez sumę funkcji trygonometrycznych cos(ϴ) i części urojonej i ×sin(ϴ) nazywany jest trygonometryczną liczbą zespoloną. Tutaj używamy zapisu kąta nachylenia do osi rzeczywistej

ϴ = arg(z) i r = ∣z∣, długość belki.

Z definicji i właściwości funkcji trygonometrycznych wynika bardzo ważny wzór Moivre'a:

z n = r n × (cos (n × ϴ) + ja × sin (n × ϴ)).

Korzystając z tego wzoru, wygodnie jest rozwiązać wiele układów równań zawierających funkcje trygonometryczne. Zwłaszcza, gdy pojawia się problem potęgowania.

Moduł i faza

Aby uzupełnić opis zbioru złożonego, proponujemy dwie ważne definicje.

Znając twierdzenie Pitagorasa łatwo jest obliczyć długość promienia w biegunowym układzie współrzędnych.

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), taki zapis w przestrzeni zespolonej nazywany jest „modułem” i charakteryzuje odległość od 0 do punktu na płaszczyźnie.

Kąt nachylenia promienia zespolonego do prostej rzeczywistej ϴ nazywany jest zwykle fazą.

Z definicji wynika, że ​​część rzeczywistą i urojoną opisuje się za pomocą funkcji cyklicznych. Mianowicie:

• x = r × cos(ϴ);
• y = r × sin(ϴ);

I odwrotnie, faza ma związek z wartościami algebraicznymi poprzez wzór:

ϴ = arctan(x / y) + µ, wprowadza się poprawkę µ, aby uwzględnić okresowość funkcji geometrycznych.

Wzór Eulera

Matematycy często używają formy wykładniczej. Liczby płaszczyzny zespolonej zapisuje się jako wyrażenie

z = r × e i × ϴ, co wynika ze wzoru Eulera.

Notacja ta stała się powszechna w praktycznym obliczaniu wielkości fizycznych. Forma reprezentacji w postaci wykładniczych liczb zespolonych jest szczególnie wygodna w obliczeniach inżynierskich, gdzie istnieje potrzeba obliczania obwodów z prądami sinusoidalnymi i konieczna jest znajomość wartości całek funkcji o zadanym okresie. Same obliczenia służą jako narzędzie przy projektowaniu różnych maszyn i mechanizmów.

Definiowanie operacji

Jak już wspomniano, wszystkie prawa algebraiczne pracy z podstawowymi funkcjami matematycznymi dotyczą liczb zespolonych.

Operacja sumaryczna

Podczas dodawania wartości złożonych sumują się także ich części rzeczywiste i urojone.

z = z 1 + z 2, gdzie z 1 i z 2 są liczbami zespolonymi w postaci ogólnej. Przekształcając wyrażenie, po otwarciu nawiasów i uproszczeniu zapisu otrzymujemy argument rzeczywisty x = (x 1 + x 2), argument urojony y = (y 1 + y 2).

Na wykresie wygląda to jak dodanie dwóch wektorów, zgodnie ze znaną zasadą równoległoboku.

Operacja odejmowania

Uważa się, że jest to szczególny przypadek dodawania, gdy jedna liczba jest dodatnia, a druga ujemna, to znaczy znajduje się w ćwiartce lustrzanej. Notacja algebraiczna wygląda jak różnica między częściami rzeczywistymi i urojonymi.

z = z 1 - z 2 lub biorąc pod uwagę wartości argumentów, analogicznie do operacji dodawania, otrzymujemy dla wartości rzeczywistych x = (x 1 - x 2) i wartości urojonych y = (r 1 - r 2).

Mnożenie w płaszczyźnie zespolonej

Korzystając z zasad pracy z wielomianami, wyprowadzimy wzór na rozwiązywanie liczb zespolonych.

Kierując się ogólnymi regułami algebraicznymi z=z 1 × z 2, opisujemy każdy argument i przedstawiamy podobne. Części rzeczywiste i urojone można zapisać w następujący sposób:

• x = x 1 × x 2 - y 1 × y 2,
• y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

Wygląda to piękniej, jeśli użyjemy wykładniczych liczb zespolonych.

Wyrażenie wygląda następująco: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e ja ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

Dział

Rozważając operację dzielenia jako odwrotność operacji mnożenia, w notacji wykładniczej otrzymujemy proste wyrażenie. Dzielenie wartości z 1 przez z 2 jest wynikiem podzielenia ich modułów i różnicy faz. Formalnie przy użyciu wykładniczej postaci liczb zespolonych wygląda to następująco:

z = z 1 / z 2 = r 1 × mi ja ϴ 1 / r 2 × mi ja ϴ 2 = r 1 / r 2 × mi ja(ϴ 1- ϴ 2) .

W formie notacji algebraicznej operacja dzielenia liczb na płaszczyźnie zespolonej jest zapisana nieco bardziej skomplikowana:

Opisując argumenty i przeprowadzając przekształcenia wielomianów, łatwo jest otrzymać wartości x = x 1 × x 2 + y 1 × y 2 , odpowiednio y = x 2 × y 1 - x 1 × y 2 , jednak , w ramach opisywanej przestrzeni wyrażenie to ma sens, jeśli z 2 ≠ 0.

Wyodrębnianie korzenia

Wszystkie powyższe można wykorzystać do zdefiniowania bardziej złożonych funkcji algebraicznych - podniesienia do dowolnej potęgi i jej odwrotności - wyodrębnienia pierwiastka.

Korzystając z ogólnej koncepcji podniesienia do potęgi n, otrzymujemy definicję:

z n = (r × mi ja ϴ) n .

Korzystając z właściwości ogólnych zapisujemy to w postaci:

z n = r n × mi ja ϴ n .

Otrzymaliśmy prosty wzór na podniesienie liczby zespolonej do potęgi.

Z definicji stopnia wynika bardzo ważny wniosek. Parzysta moc jednostki urojonej jest zawsze równa 1. Jakakolwiek nieparzysta moc jednostki urojonej jest zawsze równa -1.

Przeanalizujmy teraz funkcję odwrotną - wyodrębnianie pierwiastka.

Dla uproszczenia zapisu przyjmujemy n = 2. Pierwiastek kwadratowy w wartości zespolonej z na płaszczyźnie zespolonej C jest zwykle uważany za wyrażenie z = ±, ważne dla dowolnego rzeczywistego argumentu większego lub równego zero. Dla w ≤ 0 nie ma rozwiązania.

Spójrzmy na najprostsze równanie kwadratowe z 2 = 1. Korzystając ze wzorów na liczby zespolone, przepisujemy r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0. Z zapisu jasno wynika, że ​​r 2 = 1 i ϴ = 0, zatem mamy unikalne rozwiązanie równe 1. Jest to jednak sprzeczne z koncepcją, że z = -1, odpowiada również definicji pierwiastka kwadratowego.

Zastanówmy się, czego nie bierzemy pod uwagę. Jeśli pamiętamy zapis trygonometryczny, przywrócimy stwierdzenie - przy okresowej zmianie fazy ϴ liczba zespolona się nie zmienia. Oznaczmy wartość okresu symbolem p, wtedy obowiązuje: r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p), skąd 2ϴ = 0 + p, czyli ϴ = p / 2. Zatem e i 0 = 1 i mi ja p /2 = -1 . Otrzymaliśmy drugie rozwiązanie, które odpowiada ogólnemu rozumieniu pierwiastka kwadratowego.

Aby znaleźć dowolny pierwiastek liczby zespolonej, zastosujemy procedurę.

• Zapiszmy postać wykładniczą w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk), k jest dowolną liczbą całkowitą.
• Możemy również przedstawić wymaganą liczbę za pomocą postaci Eulera z = r × e i ϴ .
• Skorzystajmy z ogólnej definicji funkcji wyodrębniania pierwiastka r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) .
• Z ogólnych własności równości modułów i argumentów piszemy r n = ∣w∣ i nϴ = arg (w) + p×k.
• Ostateczny zapis pierwiastka liczby zespolonej opisuje wzór z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n.
• Komentarz. Wartość ∣w∣ z definicji jest dodatnią liczbą rzeczywistą, co oznacza, że ​​pierwiastek dowolnej potęgi ma sens.

Pole i kolega

Podsumowując, podajemy dwie ważne definicje, które mają niewielkie znaczenie dla rozwiązywania stosowanych problemów z liczbami zespolonymi, ale są niezbędne dla dalszego rozwoju teorii matematycznej.

Mówi się, że wyrażenia dodawania i mnożenia tworzą pole, jeśli spełniają aksjomaty dowolnego elementu płaszczyzny zespolonej z:

1. Zmiana miejsc terminów złożonych nie powoduje zmiany sumy zespolonej.
2. Stwierdzenie jest prawdziwe - w wyrażeniu złożonym dowolną sumę dwóch liczb można zastąpić ich wartością.
3. Istnieje wartość neutralna 0, dla której z + 0 = 0 + z = z jest prawdą.
4. Dla każdego z istnieje przeciwieństwo - z, którego dodanie daje zero.
5. Zmieniając miejsca czynników złożonych, iloczyn złożony nie ulega zmianie.
6. Mnożenie dowolnych dwóch liczb można zastąpić ich wartością.
7. Istnieje wartość neutralna 1, której pomnożenie nie powoduje zmiany liczby zespolonej.
8. Dla każdego z ≠ 0 istnieje odwrotna wartość z -1, której pomnożenie daje 1.
9. Mnożenie sumy dwóch liczb przez trzecią jest równoznaczne z operacją pomnożenia każdej z nich przez tę liczbę i dodania wyników.
10. 0 ≠ 1.

Liczby z 1 = x + i×y i z 2 = x - i×y nazywane są sprzężonymi.

Twierdzenie. W przypadku parowania prawdziwe jest następujące stwierdzenie:

• Koniugat sumy jest równy sumie elementów koniugatu.
• Koniugat produktu jest równy produktowi koniugatów.
• równa samej liczbie.

W ogólnej algebrze takie właściwości nazywane są zwykle automorfizmami pola.

Przykłady

Kierując się podanymi regułami i wzorami dotyczącymi liczb zespolonych, możesz łatwo na nich operować.

Spójrzmy na najprostsze przykłady.

Zadanie 1. Korzystając z równania 3y +5 x i= 15 - 7i, wyznacz x i y.

Rozwiązanie. Przypomnijmy definicję równości zespolonych, wówczas 3y = 15, 5x = -7. Dlatego x = -7 / 5, y = 5.

Zadanie 2. Oblicz wartości 2 + i 28 i 1 + i 135.

Rozwiązanie. Oczywiście 28 jest liczbą parzystą, wychodząc z definicji liczby zespolonej do potęgi, którą mamy i 28 = 1, co oznacza, że ​​wyrażenie to 2 + i 28 = 3. Druga wartość, i 135 = -1, wtedy 1 + ja 135 = 0.

Zadanie 3. Oblicz iloczyn wartości 2 + 5i i 4 + 3i.

Rozwiązanie. Z ogólnych właściwości mnożenia liczb zespolonych otrzymujemy (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20). Nowa wartość będzie wynosić -7 + 26i.

Zadanie 4. Oblicz pierwiastki równania z 3 = -i.

Rozwiązanie. Może istnieć kilka możliwości znalezienia liczby zespolonej. Rozważmy jeden z możliwych. Z definicji ∣ - i∣ = 1, faza dla -i wynosi -p / 4. Oryginalne równanie można przepisać jako r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk, skąd z = e - p / 12 + pk /3 , dla dowolnej liczby całkowitej k.

Zbiór rozwiązań ma postać (e - ip/12, e ip /4, e i 2 p/3).

Dlaczego potrzebne są liczby zespolone?

Historia zna wiele przykładów, kiedy naukowcy pracując nad teorią nawet nie myślą o praktycznym zastosowaniu swoich wyników. Matematyka to przede wszystkim gra umysłu, ścisłe trzymanie się związków przyczynowo-skutkowych. Prawie wszystkie konstrukcje matematyczne sprowadzają się do rozwiązywania równań całkowych i różniczkowych, a te z kolei przy pewnym przybliżeniu rozwiązuje się poprzez znalezienie pierwiastków wielomianów. Tutaj po raz pierwszy spotykamy się z paradoksem liczb urojonych.

Naukowi przyrodnicy, rozwiązując całkowicie praktyczne problemy, odwołując się do rozwiązań różnych równań, odkrywają paradoksy matematyczne. Interpretacja tych paradoksów prowadzi do zupełnie zaskakujących odkryć. Jednym z takich przykładów jest podwójna natura fal elektromagnetycznych. Liczby zespolone odgrywają decydującą rolę w zrozumieniu ich właściwości.

To z kolei znalazło praktyczne zastosowanie w optyce, elektronice radiowej, energetyce i wielu innych dziedzinach technologii. Kolejny przykład, znacznie trudniejszy do zrozumienia zjawisk fizycznych. Antymaterię przewidywano na czubku pióra. I dopiero wiele lat później rozpoczynają się próby jego fizycznej syntezy.

Nie należy myśleć, że takie sytuacje istnieją tylko w fizyce. Nie mniej interesujących odkryć dokonuje się w żywej przyrodzie, podczas syntezy makrocząsteczek i podczas badań sztucznej inteligencji. A wszystko to dzięki poszerzaniu naszej świadomości, odchodzeniu od prostego dodawania i odejmowania wielkości naturalnych.