Jaka jest średnia w statystykach? Jak obliczyć średnią arytmetyczną

Charakterystyki jednostek agregatów statystycznych różnią się znaczeniem, np. płace pracowników tego samego zawodu w przedsiębiorstwie nie są takie same w tym samym okresie, ceny rynkowe tych samych produktów, plony w okręgu farmy itp. Dlatego w celu ustalenia wartości cechy charakterystycznej dla całej populacji badanych jednostek oblicza się wartości średnie.
Wartość średnia – jest to uogólniająca cecha zbioru indywidualnych wartości o pewnej charakterystyce ilościowej.

Populacja badana ilościowo składa się z poszczególnych wartości; wpływają na nie zarówno przyczyny ogólne, jak i warunki indywidualne. W wartości średniej niwelowane są odchylenia charakterystyczne dla poszczególnych wartości. Średnia, będąc funkcją zbioru pojedynczych wartości, reprezentuje cały agregat jedną wartością i odzwierciedla to, co jest wspólne dla wszystkich jego jednostek.

Nazywa się średnią obliczoną dla populacji składających się z jednostek jakościowo jednorodnych typowa średnia. Można na przykład obliczyć średnie miesięczne wynagrodzenie pracownika określonej grupy zawodowej (górnik, lekarz, bibliotekarz). Oczywiście poziomy miesięcznych wynagrodzeń górników, ze względu na różnice w ich kwalifikacjach, stażu pracy, miesięcznym wymiarze czasu pracy i wielu innych czynnikach, różnią się od siebie i od poziomu przeciętnych wynagrodzeń. Jednak średni poziom odzwierciedla główne czynniki wpływające na poziom wynagrodzeń, a różnice wynikające z indywidualnych cech pracownika są niwelowane. Przeciętne wynagrodzenie odzwierciedla typowy poziom wynagrodzenia dla danego typu pracownika. Uzyskanie typowej średniej powinno być poprzedzone analizą, jak jednorodna jest jakościowo dana populacja. Jeśli całość składa się z pojedynczych części, należy ją podzielić na typowe grupy (średnia temperatura w szpitalu).

Nazywa się wartości średnie wykorzystywane jako charakterystyka populacji heterogenicznych średnie systemowe. Na przykład średnia wartość produktu krajowego brutto (PKB) na mieszkańca, średnia wartość spożycia różnych grup towarów na osobę i inne podobne wartości, które reprezentują ogólną charakterystykę państwa jako pojedynczego systemu gospodarczego.

Średnią należy obliczyć dla populacji składających się z odpowiednio dużej liczby jednostek. Spełnienie tego warunku jest konieczne, aby prawo wielkich liczb weszło w życie, w wyniku czego przypadkowe odchylenia poszczególnych wartości od ogólnego trendu wzajemnie się znoszą.

Rodzaje średnich i metody ich obliczania

O wyborze rodzaju średniej decyduje treść ekonomiczna danego wskaźnika oraz dane źródłowe. Jednak każdą wartość średnią należy tak obliczyć, aby przy zastąpieniu każdego wariantu uśrednionej cechy, ostateczna, uogólniająca, czyli, jak to się powszechnie nazywa, nie uległa zmianie. wskaźnik określający, co jest powiązane ze wskaźnikiem uśrednionym. Przykładowo, zastępując rzeczywiste prędkości na poszczególnych odcinkach trasy ich średnią prędkością, łączna droga przebyta przez pojazd w tym samym czasie nie powinna ulec zmianie; zastępując rzeczywiste wynagrodzenia poszczególnych pracowników przedsiębiorstwa przeciętnym wynagrodzeniem, fundusz wynagrodzeń nie powinien się zmieniać. W rezultacie w każdym konkretnym przypadku, w zależności od charakteru dostępnych danych, istnieje tylko jedna prawdziwa średnia wartość wskaźnika, adekwatna do właściwości i istoty badanego zjawiska społeczno-gospodarczego.
Najczęściej stosowane to: średnia arytmetyczna, średnia harmoniczna, średnia geometryczna, średnia kwadratowa i średnia sześcienna.
Wymienione średnie należą do danej klasy statecznyśrednich i są łączone według ogólnego wzoru:
,
gdzie jest średnią wartością badanej cechy;
m – wskaźnik średniego stopnia;
– aktualna wartość (wariant) uśrednianej charakterystyki;
n – liczba cech.
W zależności od wartości wykładnika m wyróżnia się następujące typy średnich mocy:
gdy m = -1 – średnia harmoniczna;
przy m = 0 – średnia geometryczna;
dla m = 1 – średnia arytmetyczna;
dla m = 2 – pierwiastek kwadratowy;
przy m = 3 – średnia sześcienna.
Przy zastosowaniu tych samych danych początkowych im większy wykładnik m w powyższym wzorze, tym większa wartość średnia:
.
Nazywa się tę właściwość średnich mocy rosnących wraz ze wzrostem wykładnika funkcji definiującej zasada większości średnich.
Każda z zaznaczonych średnich może przybierać dwie formy: prosty I ważony.
Prosta średnia forma stosowany, gdy średnia jest obliczana na podstawie danych pierwotnych (niezgrupowanych). Ważona forma– przy obliczaniu średniej na podstawie danych wtórnych (zgrupowanych).

Średnia arytmetyczna

Średnią arytmetyczną stosuje się, gdy wielkość populacji jest sumą wszystkich indywidualnych wartości o zmiennej charakterystyce. Należy zaznaczyć, że w przypadku nieokreślenia rodzaju średniej przyjmuje się średnią arytmetyczną. Jego logiczna formuła wygląda następująco:

Prosta średnia arytmetyczna obliczony na podstawie niezgrupowanych danych według wzoru:
Lub ,
gdzie są poszczególne wartości cechy;
j to numer seryjny jednostki obserwacyjnej, który charakteryzuje się wartością ;
N – liczba jednostek obserwacyjnych (liczba populacji).
Przykład. W wykładzie „Podsumowanie i grupowanie danych statystycznych” zbadano wyniki obserwacji doświadczenia zawodowego 10-osobowego zespołu. Obliczmy średni staż pracy pracowników zespołu. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Korzystając z prostego wzoru na średnią arytmetyczną, możemy również obliczyć średnie w szeregach chronologicznych, jeżeli przedziały czasowe, dla których prezentowane są wartości charakterystyczne, są równe.
Przykład. Wolumen sprzedanych produktów w pierwszym kwartale wyniósł 47 den. jednostek, dla drugiego 54, dla trzeciego 65 i dla czwartego 58 den. jednostki Średni kwartalny obrót wynosi (47+54+65+58)/4 = 56 den. jednostki
Jeżeli wskaźniki chwilowe podawane są w szeregu chronologicznym, wówczas przy obliczaniu średniej zastępuje się je półsumami wartości na początku i na końcu okresu.
Jeżeli momentów jest więcej niż dwa, a odstępy między nimi są równe, wówczas średnią oblicza się korzystając ze wzoru na średnią chronologiczną

,
gdzie n jest liczbą punktów czasowych
W przypadku grupowania danych według wartości charakterystycznych (tj. skonstruowano dyskretny szereg rozkładów wariacyjnych) with średnia arytmetyczna ważona oblicza się za pomocą częstotliwości lub częstotliwości obserwacji określonych wartości cechy, których liczba (k) jest znacznie mniejsza niż liczba obserwacji (N).
,
,
gdzie k jest liczbą grup szeregu zmian,
i – numer grupy serii zmian.
Ponieważ , a , otrzymujemy wzory stosowane w praktycznych obliczeniach:
I
Przykład. Obliczmy średni staż pracy zespołów roboczych w zgrupowanym rzędzie.
a) wykorzystując częstotliwości:

b) z wykorzystaniem częstotliwości:

W przypadku gdy dane grupowane są przedziałami , tj. prezentowane są w postaci szeregów rozkładów przedziałowych; przy obliczaniu średniej arytmetycznej za wartość atrybutu przyjmuje się środek przedziału, w oparciu o założenie równomiernego rozkładu jednostek populacji w danym przedziale. Obliczenia przeprowadza się za pomocą wzorów:
I
gdzie jest środek przedziału: ,
gdzie i są dolną i górną granicą przedziału (pod warunkiem, że górna granica danego przedziału pokrywa się z dolną granicą następnego przedziału).

Przykład. Obliczmy średnią arytmetyczną szeregu zmian przedziałowych skonstruowanego na podstawie wyników badania rocznych wynagrodzeń 30 pracowników (patrz wykład „Podsumowanie i grupowanie danych statystycznych”).
Tabela 1 – Rozkład szeregów zmian przedziałowych.

UAH Lub UAH
Średnie arytmetyczne obliczone na podstawie danych źródłowych i serii zmian przedziałów mogą się nie pokrywać ze względu na nierównomierny rozkład wartości atrybutów w obrębie przedziałów. W takim przypadku, w celu dokładniejszego obliczenia ważonej średniej arytmetycznej, należy posłużyć się nie środkami przedziałów, ale prostymi średnimi arytmetycznymi obliczonymi dla każdej grupy ( średnie grupowe). Nazywa się średnią obliczoną ze średnich grupowych przy użyciu ważonego wzoru obliczeniowego ogólna średnia.
Średnia arytmetyczna ma wiele właściwości.
1. Suma odchyleń od opcji średniej wynosi zero:
.
2. Jeżeli wszystkie wartości opcji wzrosną lub zmniejszą się o kwotę A, wówczas średnia wartość wzrośnie lub zmniejszy się o tę samą kwotę A:

3. Jeśli każda opcja zostanie zwiększona lub zmniejszona B razy, wówczas średnia wartość również wzrośnie lub zmniejszy się o tę samą liczbę razy:
Lub
4. Suma iloczynów opcji przez częstotliwości jest równa iloczynowi wartości średniej przez sumę częstotliwości:

5. Jeśli wszystkie częstotliwości zostaną podzielone lub pomnożone przez dowolną liczbę, średnia arytmetyczna nie ulegnie zmianie:

6) jeżeli we wszystkich przedziałach częstotliwości są sobie równe, to średnia arytmetyczna ważona jest równa prostej średniej arytmetycznej:
,
gdzie k jest liczbą grup szeregu zmian.

Korzystanie z właściwości średniej pozwala uprościć jej obliczenia.
Załóżmy, że wszystkie opcje (x) są najpierw redukowane o tę samą liczbę A, a następnie zmniejszane o współczynnik B. Największe uproszczenie uzyskuje się, gdy wartość środka przedziału o największej częstotliwości zostanie wybrana jako A, a wartość przedziału (dla szeregów o identycznych przedziałach) zostanie wybrana jako B. Ilość A nazywa się pochodzeniem, dlatego nazywa się tę metodę obliczania średniej sposób B om odniesienia od zera warunkowego Lub sposób chwil.
Po takiej transformacji otrzymujemy nowy szereg rozkładów wariacyjnych, którego warianty są równe . Ich średnia arytmetyczna, tzw moment pierwszego rzędu, wyraża się wzorem i zgodnie z drugą i trzecią właściwością średnia arytmetyczna jest równa średniej wersji pierwotnej, pomniejszonej najpierw o A, a następnie o B razy, tj.
Aby otrzymać prawdziwa średnia(średnia szeregu pierwotnego) należy pomnożyć moment pierwszego rzędu przez B i dodać A:

Obliczanie średniej arytmetycznej metodą momentów ilustrują dane zawarte w tabeli. 2.
Tabela 2 – Rozkład pracowników warsztatów fabrycznych według stażu pracy

Znalezienie momentu pierwszego rzędu . Następnie wiedząc, że A = 17,5 i B = 5, obliczamy średni staż pracy pracowników warsztatu:
lata

Średnia harmoniczna
Jak pokazano powyżej, do obliczenia średniej wartości cechy wykorzystuje się średnią arytmetyczną w przypadkach, gdy znane są jej warianty x i ich częstotliwości f.
Jeżeli informacja statystyczna nie zawiera częstości f dla poszczególnych opcji x populacji, lecz jest przedstawiona jako ich iloczyn, stosuje się wzór ważona średnia harmoniczna. Aby obliczyć średnią, oznaczmy gdzie . Podstawiając te wyrażenia do wzoru na średnią arytmetyczną ważoną otrzymujemy wzór na średnią ważoną harmoniczną:
,
gdzie jest objętością (wagą) wartości atrybutu wskaźnika w przedziale oznaczonym i (i=1,2, …, k).

Zatem średnią harmoniczną stosuje się w przypadkach, gdy sumowaniu podlegają nie same opcje, ale ich odwrotność: .
W przypadkach, gdy waga każdej opcji jest równa jeden, tj. poszczególne wartości charakterystyki odwrotnej występują jednorazowo, stosowane oznacza harmoniczną prostą:
,
gdzie są pojedynczymi wariantami charakterystyki odwrotnej, występującymi jednokrotnie;
N – opcja liczbowa.
Jeżeli dla dwóch części populacji występują średnie harmoniczne, to średnią ogólną dla całej populacji oblicza się ze wzoru:

i nazywa się ważona średnia harmoniczna średnich grupowych.

Przykład. Podczas handlu na giełdzie w ciągu pierwszej godziny działania zawarto trzy transakcje. Dane dotyczące wielkości sprzedaży hrywny oraz kursu wymiany hrywny w stosunku do dolara amerykańskiego przedstawiono w tabeli. 3 (kolumny 2 i 3). Określ średni kurs wymiany hrywny w stosunku do dolara amerykańskiego w pierwszej godzinie handlu.
Tabela 3 – Dane o postępie obrotu na giełdzie walutowej

Średni kurs dolara ustala się jako stosunek ilości hrywny sprzedanej podczas wszystkich transakcji do kwoty dolarów uzyskanych w wyniku tych samych transakcji. Ostateczną kwotę sprzedaży hrywny znamy z kolumny 2 tabeli, a liczbę dolarów zakupionych w każdej transakcji ustalamy poprzez podzielenie kwoty sprzedaży hrywny przez jej kurs wymiany (kolumna 4). W trzech transakcjach zakupiono łącznie 22 miliony dolarów. Oznacza to, że średni kurs hrywny za jednego dolara był
.
Wynikowa wartość jest rzeczywista, ponieważ zastąpienie w transakcjach faktycznych kursów wymiany hrywny nie spowoduje zmiany ostatecznej kwoty sprzedaży hrywny, która służy wskaźnik określający: milion UAH
Jeżeli do obliczeń wykorzystano średnią arytmetyczną, tj. hrywna, następnie po kursie wymiany na zakup 22 mln dolarów. trzeba byłoby wydać 110,66 mln hrywien, co nie jest prawdą.

Średnia geometryczna
Średnia geometryczna służy do analizy dynamiki zjawisk i pozwala wyznaczyć średni współczynnik wzrostu. Przy obliczaniu średniej geometrycznej poszczególne wartości cechy są względnymi wskaźnikami dynamiki, skonstruowanymi w postaci wartości łańcuchowych, jako stosunek każdego poziomu do poprzedniego.
Prostą średnią geometryczną oblicza się ze wzoru:
,
gdzie jest oznaczenie produktu,
N – liczba wartości uśrednionych.
Przykład. Liczba zarejestrowanych przestępstw w ciągu 4 lat wzrosła 1,57-krotnie, w tym dla pierwszego – 1,08-krotnego, drugiego – 1,1-krotnego, trzeciego – 1,18 i czwartego – 1,12-krotnego. Wówczas średnioroczne tempo wzrostu liczby przestępstw wynosi: , tj. liczba rejestrowanych przestępstw rosła średniorocznie o 12%.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

Aby obliczyć średni ważony kwadrat, wyznaczamy i wpisujemy do tabeli oraz . Wówczas średnie odchylenie długości produktów od danej normy wynosi:

Średnia arytmetyczna byłaby w tym przypadku nieodpowiednia, ponieważ w rezultacie otrzymalibyśmy zerowe odchylenie.
Użycie średniego kwadratu zostanie omówione dalej w kontekście zmienności.

W statystyce stosuje się różne rodzaje średnich, które dzielą się na dwie duże klasy:

Średnie potęgowe (średnia harmoniczna, średnia geometryczna, średnia arytmetyczna, średnia kwadratowa, średnia sześcienna);

Średnie strukturalne (moda, mediana).

Aby obliczyć średnie moce należy wykorzystać wszystkie dostępne wartości charakterystyczne. Moda I mediana są zdeterminowane jedynie strukturą rozkładu, dlatego nazywane są średnimi strukturalnymi, pozycyjnymi. Medianę i modę często wykorzystuje się jako średnią cechę w populacjach, w których obliczenie średniej potęgi jest niemożliwe lub niepraktyczne.

Najpopularniejszym rodzajem średniej jest średnia arytmetyczna. Pod średnia arytmetyczna rozumiana jest jako wartość cechy, jaką miałaby każda jednostka populacji, gdyby całkowita suma wszystkich wartości cechy została równomiernie rozdzielona pomiędzy wszystkie jednostki populacji. Obliczenie tej wartości sprowadza się do zsumowania wszystkich wartości zmiennej cechy i podzielenia otrzymanej kwoty przez całkowitą liczbę jednostek w populacji. Przykładowo pięciu pracowników zrealizowało zlecenie na produkcję części, pierwszy wykonał 5 części, drugi – 7, trzeci – 4, czwarty – 10, piąty – 12. Ponieważ w danych źródłowych wartość każdej opcja wystąpiła tylko raz, aby to ustalić

Aby określić średnią wydajność jednego robotnika, należy zastosować prosty wzór na średnią arytmetyczną:

tj. w naszym przykładzie średnia produkcja jednego pracownika jest równa

Oprócz prostej średniej arytmetycznej uczą się ważona średnia arytmetyczna. Dla przykładu obliczmy średni wiek uczniów w grupie 20 osób, których wiek waha się od 18 do 22 lat, gdzie xi– warianty uśrednianej cechy, fi– częstotliwość, która pokazuje, ile razy występuje i-t wartość w sumie (tabela 5.1).

Tabela 5.1

Średni wiek uczniów

Stosując wzór na średnią ważoną arytmetyczną otrzymujemy:

Istnieje pewna zasada wyboru ważonej średniej arytmetycznej: jeśli istnieje seria danych na temat dwóch wskaźników, z których jeden należy obliczyć

wartość średnia, a jednocześnie znane są wartości liczbowe mianownika jego wzoru logicznego, a wartości licznika są nieznane, ale można je znaleźć jako iloczyn tych wskaźników, wówczas wartość średnia musi oblicza się przy użyciu wzoru na średnią arytmetyczną ważoną.

W niektórych przypadkach charakter początkowych danych statystycznych jest taki, że obliczenie średniej arytmetycznej traci sens i jedynym wskaźnikiem uogólniającym może być jedynie inny rodzaj wartości średniej - średnia harmoniczna. Obecnie właściwości obliczeniowe średniej arytmetycznej straciły na znaczeniu w obliczaniu ogólnych wskaźników statystycznych ze względu na powszechne wprowadzenie technologii obliczeń elektronicznych. Wartość średnia harmoniczna, która może być również prosta i ważona, nabrała dużego znaczenia praktycznego. Jeśli znane są wartości liczbowe licznika wzoru logicznego, a wartości mianownika są nieznane, ale można je znaleźć jako częściowy podział jednego wskaźnika przez drugi, wówczas wartość średnią oblicza się za pomocą harmonicznej formuła średniej ważonej.

Przykładowo niech będzie wiadomo, że pierwsze 210 km samochód przejechał z prędkością 70 km/h, a pozostałe 150 km z prędkością 75 km/h. Nie da się określić średniej prędkości samochodu na całej trasie wynoszącej 360 km, korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną. Ponieważ opcjami są prędkości na poszczególnych odcinkach xj= 70 km/h i X2= 75 km/h, a wagi (fi) uważa się za odpowiadające im odcinki trasy, wówczas iloczyny opcji i wag nie będą miały ani znaczenia fizycznego, ani ekonomicznego. W tym przypadku ilorazy nabierają znaczenia po podziale odcinków ścieżki na odpowiadające im prędkości (opcje xi), czyli czas spędzony na przejechaniu poszczególnych odcinków ścieżki (fi / xi). Jeśli odcinki ścieżki zostaną oznaczone przez fi, wówczas cała ścieżka zostanie wyrażona jako?fi, a czas spędzony na całej ścieżce zostanie wyrażony jako?fi. fi / xi , Następnie średnią prędkość można obliczyć jako iloraz całej trasy podzielony przez całkowity czas spędzony:

W naszym przykładzie otrzymujemy:

Jeżeli przy stosowaniu średniej harmonicznej wagi wszystkich opcji (f) są równe, to zamiast opcji ważonej można zastosować prosta (nieważona) średnia harmoniczna:

gdzie xi to opcje indywidualne; N– liczba wariantów uśrednianej cechy. W przykładzie dotyczącym prędkości można zastosować prostą średnią harmoniczną, jeśli segmenty ścieżki przebyte z różnymi prędkościami były równe.

Każdą wartość średnią należy tak obliczyć, aby przy zastąpieniu każdego wariantu uśrednionej cechy nie uległa zmianie wartość jakiegoś końcowego, ogólnego wskaźnika, który jest powiązany ze wskaźnikiem uśrednionym. Zatem zastępując rzeczywiste prędkości na poszczególnych odcinkach trasy ich wartością średnią (prędkość średnią) dystans całkowity nie powinien się zmieniać.

Formę (wzór) wartości średniej wyznacza charakter (mechanizm) relacji tego wskaźnika końcowego do wskaźnika uśrednionego, dlatego też wskaźnikiem końcowym, którego wartość nie powinna się zmieniać przy zastąpieniu opcji ich wartością średnią, jest zwany wskaźnik określający. Aby wyprowadzić wzór na średnią, należy utworzyć i rozwiązać równanie, wykorzystując relację między wskaźnikiem uśrednionym a wskaźnikiem definiującym. Równanie to konstruuje się poprzez zastąpienie wariantów uśrednionej charakterystyki (wskaźnika) ich wartością średnią.

Oprócz średniej arytmetycznej i średniej harmonicznej w statystyce stosuje się inne typy (formy) średniej. Wszystkie są szczególnymi przypadkami średnia moc. Jeśli obliczymy wszystkie rodzaje średnich mocy dla tych samych danych, to wartości

okażą się takie same, tutaj obowiązuje zasada stawka główna przeciętny. Wraz ze wzrostem wykładnika średniej wzrasta sama wartość średnia. W tabeli przedstawiono najczęściej stosowane wzory do obliczania różnych typów średnich mocy w badaniach praktycznych. 5.2.

Tabela 5.2

Rodzaje środków mocy

Jeśli istnieje, stosuje się średnią geometryczną N współczynników wzrostu, natomiast poszczególne wartości cechy są z reguły wartościami dynamiki względnej, konstruowanymi w postaci wartości łańcuchowych, jako stosunek do poprzedniego poziomu każdego poziomu w szeregu dynamiki. Średnia charakteryzuje zatem średnią stopę wzrostu. Przeciętna geometryczna prosta obliczone według wzoru

Formuła ważona średnia geometryczna ma następującą postać:

Powyższe wzory są identyczne, z tym że jeden stosuje się dla bieżących współczynników lub stóp wzrostu, a drugi dla wartości bezwzględnych poziomów szeregów.

Średni kwadrat używany przy obliczaniu z wartościami funkcji kwadratowych, używany do pomiaru stopnia fluktuacji poszczególnych wartości cechy wokół średniej arytmetycznej w szeregach rozkładowych i obliczany według wzoru

Średni ważony kwadrat obliczone według innego wzoru:

Przeciętny sześcienny jest używany w obliczeniach z wartościami funkcji sześciennej i jest obliczany za pomocą wzoru

średnia waga sześcienna:

Wszystkie wartości średnie omówione powyżej można przedstawić w postaci ogólnego wzoru:

gdzie jest wartość średnia; – znaczenie indywidualne; N– liczba jednostek badanej populacji; k– wykładnik określający rodzaj średniej.

W przypadku korzystania z tych samych danych źródłowych tym więcej k w ogólnym wzorze na średnią moc, im większa jest wartość średnia. Wynika z tego, że istnieje naturalna zależność pomiędzy wartościami średnich mocy:

Opisane powyżej średnie wartości dają uogólnione pojęcie o badanej populacji i z tego punktu widzenia ich znaczenie teoretyczne, stosowane i edukacyjne jest bezdyskusyjne. Zdarza się jednak, że średnia wartość nie pokrywa się z żadną z faktycznie istniejących opcji, dlatego oprócz rozważanych średnich w analizie statystycznej wskazane jest wykorzystanie wartości konkretnych opcji, które zajmują bardzo konkretną pozycję w uporządkowane (uszeregowane) serie wartości atrybutów. Wśród tych ilości najczęściej stosowane są strukturalny, Lub opisowy, średni– mod (Mo) i mediana (Me).

Moda– wartość cechy, która najczęściej występuje w danej populacji. W odniesieniu do szeregu wariacyjnego modą jest najczęściej występująca wartość szeregu rankingowego, czyli opcja występująca z największą częstotliwością. Modę można wykorzystać do określenia najczęściej odwiedzanych sklepów, najczęstszej ceny dowolnego produktu. Pokazuje wielkość cechy charakterystycznej dla znacznej części populacji i jest określana za pomocą wzoru

gdzie x0 jest dolną granicą przedziału; H– wielkość interwału; fm– częstotliwość interwałów; fm_ 1 – częstotliwość poprzedniego interwału; fm+ 1 – częstotliwość kolejnego interwału.

Mediana wywoływana jest opcja znajdująca się w środku rankingu. Mediana dzieli szereg na dwie równe części w taki sposób, że po obu jej stronach znajduje się taka sama liczba jednostek populacji. W tym przypadku połowa jednostek populacji ma wartość zmiennej zmiennej mniejszą od mediany, a druga połowa większą od niej. Medianę stosuje się przy badaniu elementu, którego wartość jest większa lub równa lub jednocześnie mniejsza lub równa połowie elementów szeregu dystrybucyjnego. Mediana daje ogólne wyobrażenie o tym, gdzie koncentrują się wartości atrybutów, innymi słowy, gdzie znajduje się ich środek.

Opisowy charakter mediany przejawia się w tym, że charakteryzuje ona ilościową granicę wartości zmiennej cechy, jaką posiada połowa jednostek w populacji. Problem znalezienia mediany dla szeregu zmienności dyskretnej można łatwo rozwiązać. Jeżeli wszystkim jednostkom serii nadano numery seryjne, wówczas numer seryjny opcji mediany określa się jako (n + 1) / 2 z nieparzystą liczbą członków n. Jeśli liczba członków szeregu jest liczbą parzystą , wówczas mediana będzie średnią wartością dwóch opcji mających numery seryjne N/ 2 i N/ 2 + 1.

Wyznaczając medianę w szeregu zmian przedziału, należy najpierw określić przedział, w którym się ona znajduje (przedział medianowy). Przedział ten charakteryzuje się tym, że jego skumulowana suma częstotliwości jest równa lub przekracza połowę sumy wszystkich częstotliwości szeregu. Medianę szeregu zmian przedziałowych oblicza się za pomocą wzoru

Gdzie X0– dolna granica przedziału; H– wielkość interwału; fm– częstotliwość interwałów; F– liczba członków serii;

M -1 – suma skumulowanych wyrazów szeregu poprzedzającego dany.

Oprócz mediany, aby pełniej scharakteryzować strukturę badanej populacji, wykorzystuje się także inne wartości opcji, które zajmują bardzo konkretną pozycję w szeregu rankingowym. Należą do nich kwartyle I decyle. Kwartyle dzielą szereg według sumy częstości na 4 równe części, a decyle na 10 równych części. Istnieją trzy kwartyle i dziewięć decyli.

Mediana i moda w odróżnieniu od średniej arytmetycznej nie eliminują różnic indywidualnych w wartościach cechy zmiennej i dlatego stanowią dodatkowe i bardzo ważne cechy populacji statystycznej. W praktyce często stosuje się je zamiast średniej lub wraz z nią. Obliczanie mediany i postaci jest szczególnie wskazane w przypadkach, gdy badana populacja zawiera pewną liczbę jednostek o bardzo dużej lub bardzo małej wartości zmiennej cechy. Te wartości opcji, które nie są zbyt charakterystyczne dla populacji, wpływając na wartość średniej arytmetycznej, nie wpływają na wartości mediany i mody, co czyni te ostatnie bardzo cennymi wskaźnikami z punktu widzenia ekonomii i statystyki analiza.

Jak obliczyć średnią liczb w programie Excel

Za pomocą tej funkcji możesz znaleźć średnią arytmetyczną liczb w programie Excel.

Składnia ŚREDNIA

=ŚREDNIA(liczba1,[liczba2],…) – Wersja rosyjska

Argumenty ŚREDNIE

• numer 1– pierwsza liczba lub zakres liczb służących do obliczenia średniej arytmetycznej;
• numer 2(Opcjonalnie) – druga liczba lub zakres liczb służący do obliczenia średniej arytmetycznej. Maksymalna liczba argumentów funkcji wynosi 255.

Aby obliczyć, wykonaj następujące kroki:

• Wybierz dowolną komórkę;
• Zapisz w nim formułę =ŚREDNIA(
• Wybierz zakres komórek, dla którego chcesz wykonać obliczenia;
• Naciśnij klawisz „Enter” na klawiaturze

Funkcja obliczy średnią wartość z określonego zakresu spośród komórek zawierających liczby.

Jak znaleźć średni podany tekst

Jeśli w zakresie danych znajdują się puste linie lub tekst, funkcja traktuje je jako „zero”. Jeżeli wśród danych znajdują się wyrażenia logiczne FAŁSZ lub PRAWDA, wówczas funkcja postrzega FAŁSZ jako „zero”, a PRAWDA jako „1”.

Jak znaleźć średnią arytmetyczną według warunku

Aby obliczyć średnią według warunku lub kryterium, użyj funkcji. Wyobraźmy sobie na przykład, że mamy dane dotyczące sprzedaży produktów:

Naszym zadaniem jest obliczenie średniej wartości sprzedaży długopisów. Aby to zrobić, wykonamy następujące kroki:

• W celi A13 wpisz nazwę produktu „Długopisy”;
• W celi B13 wprowadźmy formułę:

=ŚREDNIAJEŻELI(A2:A10,A13,B2:B10)

Zakres komórek „ A2:A10” oznacza listę produktów, w których będziemy szukać słowa „Długopisy”. Argument A13 jest to link do komórki z tekstem, który będziemy przeszukiwać wśród całej listy produktów. Zakres komórek „ B2:B10” to zakres z danymi sprzedaży produktów, wśród których funkcja znajdzie „Uchwyty” i obliczy średnią wartość.

Najważniejszą właściwością średniej jest to, że odzwierciedla ona to, co jest wspólne dla wszystkich jednostek badanej populacji. Wartości atrybutów poszczególnych jednostek populacji zmieniają się pod wpływem wielu czynników, wśród których mogą być zarówno podstawowe, jak i losowe. Istota średniej polega na tym, że wzajemnie kompensuje ona odchylenia wartości cechy spowodowane działaniem czynników losowych i kumuluje (uwzględnia) zmiany spowodowane działaniem czynników głównych . Dzięki temu średnia odzwierciedla typowy poziom cechy i abstrahuje od indywidualnych cech właściwych poszczególnym jednostkom.

Aby średnia była rzeczywiście reprezentatywna, należy ją obliczyć z uwzględnieniem pewnych zasad.

Podstawowe zasady stosowania średnich.

1. Należy określić średnią dla populacji składających się z jednostek jednorodnych jakościowo.

2. Średnią należy obliczyć dla populacji składającej się z odpowiednio dużej liczby jednostek.

3. Średnią należy obliczyć dla populacji w warunkach stacjonarnych (kiedy czynniki wpływające nie zmieniają się lub nie zmieniają się istotnie).

4. Średnią należy obliczyć, biorąc pod uwagę treść ekonomiczną badanego wskaźnika.

Obliczanie najbardziej szczegółowych wskaźników statystycznych opiera się na wykorzystaniu:

· kruszywo średnie;

· moc średnia (harmoniczna, geometryczna, arytmetyczna, kwadratowa, sześcienna);

· średnia chronologiczna (patrz sekcja).

Wszystkie średnie, z wyjątkiem średniej zagregowanej, można obliczyć na dwa sposoby – jako ważone lub nieważone.

Przeciętny agregat. Stosowana formuła to:

Gdzie w ja= x ja* f ja;

x ja- i-ta wersja uśrednianej cechy;

f ja, - waga I- ta opcja.

Średnia moc. Ogólnie wzór do obliczeń jest następujący:

gdzie jest stopień k– typ średniej mocy.

Wartości średnich obliczonych na podstawie średnich mocy dla tych samych danych początkowych nie są takie same. Wraz ze wzrostem wykładnika k wzrasta również odpowiadająca mu wartość średnia:

Średnio chronologicznie. Dla chwilowego szeregu czasowego o równych odstępach między datami oblicza się go według wzoru:

,

Gdzie x 1 I XN wartość wskaźnika w dacie początkowej i końcowej.

Wzory do obliczania średnich mocy

Przykład. Według tabeli. 2.1 wymaga obliczenia przeciętnego wynagrodzenia dla trzech przedsiębiorstw jako całości.

Tabela 2.1

Płace przedsiębiorstw JSC

Konkretny wzór obliczeniowy zależy od tego, jakie dane znajdują się w tabeli. 7 to oryginalne. W związku z tym możliwe są następujące opcje: dane z kolumny 1 (liczba pracowników) i 2 (miesięczne wynagrodzenie); lub - 1 (liczba PPP) i 3 (przeciętne wynagrodzenie); lub 2 (miesięczne wynagrodzenie) i 3 (średnie wynagrodzenie).

Jeżeli dostępne są tylko dane z kolumn 1 i 2. Wyniki tych kolumn zawierają wartości niezbędne do obliczenia pożądanej średniej. Stosowany jest średni wzór zagregowany:

Jeżeli dostępne są tylko dane z kolumn 1 i 3, to znany jest mianownik pierwotnego stosunku, ale jego licznik nie jest znany. Fundusz wynagrodzeń można jednak otrzymać mnożąc przeciętne wynagrodzenie przez liczbę pracowników dydaktycznych. Dlatego ogólną średnią można obliczyć za pomocą wzoru średnia arytmetyczna ważona:

Należy wziąć pod uwagę, że waga ( f ja) w niektórych przypadkach może być iloczynem dwóch lub nawet trzech wartości.

Ponadto średnia jest również wykorzystywana w praktyce statystycznej. arytmetyka nieważona:

gdzie n jest wielkością populacji.

Tę średnią stosuje się, gdy wagi ( f ja) są nieobecne (każdy wariant cechy występuje tylko raz) lub są sobie równe.

Jeżeli są tylko dane z kolumn 2 i 3., czyli znany jest licznik pierwotnego stosunku, ale jego mianownik nie jest znany. Liczbę pracowników każdego przedsiębiorstwa można uzyskać dzieląc listę płac przez średnie wynagrodzenie. Następnie ze wzoru oblicza się przeciętne wynagrodzenie dla trzech przedsiębiorstw jako całości ważona średnia harmoniczna:

Jeśli wagi są równe ( f ja) obliczenia średniej można dokonać wg średnia harmoniczna nieważona:

W naszym przykładzie użyliśmy różnych form średnich, ale otrzymaliśmy tę samą odpowiedź. Wynika to z faktu, że dla określonych danych każdorazowo realizowano ten sam wyjściowy współczynnik średniej.

Wskaźniki średnie można obliczyć za pomocą szeregów dyskretnych i przedziałowych. W takim przypadku obliczenia dokonuje się przy użyciu ważonej średniej arytmetycznej. W przypadku szeregu dyskretnego wzór ten stosuje się w taki sam sposób, jak w powyższym przykładzie. W szeregach przedziałów do obliczeń wyznaczane są punkty środkowe przedziałów.

Przykład. Według tabeli. 2.2 określamy wysokość średniego miesięcznego dochodu pieniężnego na mieszkańca w regionie warunkowym.

Tabela 2.2

Dane początkowe (seria zmian)

Aby znaleźć średnią wartość w Excelu (nieważne, czy jest to wartość liczbowa, tekstowa, procentowa czy inna), istnieje wiele funkcji. A każdy z nich ma swoje własne cechy i zalety. Rzeczywiście, w tym zadaniu można postawić pewne warunki.

Na przykład średnie wartości serii liczb w programie Excel są obliczane za pomocą funkcji statystycznych. Możesz także ręcznie wprowadzić własną formułę. Rozważmy różne opcje.

Jak znaleźć średnią arytmetyczną liczb?

Aby znaleźć średnią arytmetyczną, należy dodać wszystkie liczby w zestawie i podzielić sumę przez ilość. Np. oceny ucznia z informatyki: 3, 4, 3, 5, 5. Co wchodzi w skład kwartału: 4. Średnią arytmetyczną obliczyliśmy ze wzoru: =(3+4+3+5+5) /5.

Jak to szybko zrobić korzystając z funkcji Excela? Weźmy na przykład serię liczb losowych w ciągu:

Lub: utwórz aktywną komórkę i po prostu wprowadź formułę ręcznie: =ŚREDNIA(A1:A8).

Zobaczmy teraz, co jeszcze potrafi funkcja ŚREDNIA.

Znajdźmy średnią arytmetyczną dwóch pierwszych i trzech ostatnich liczb. Wzór: =ŚREDNIA(A1:B1,F1:H1). Wynik:

Stan średni

Warunkiem znalezienia średniej arytmetycznej może być kryterium numeryczne lub tekstowe. Skorzystamy z funkcji: =ŚREDNIA JEŻELI().

Znajdź średnią arytmetyczną liczb większych lub równych 10.

Funkcja: =ŚREDNIAJEŻELI(A1:A8,">=10")

Trzeci argument – ​​„Zakres uśredniania” – zostaje pominięty. Przede wszystkim nie jest to wymagane. Po drugie, zakres analizowany przez program zawiera WYŁĄCZNIE wartości liczbowe. Komórki określone w pierwszym argumencie zostaną przeszukane zgodnie z warunkiem określonym w drugim argumencie.

Uwaga! Kryterium wyszukiwania można określić w komórce. I utwórz link do niego w formule.

Znajdźmy średnią wartość liczb, korzystając z kryterium tekstowego. Na przykład średnia sprzedaż produktu „stoły”.

Funkcja będzie wyglądać następująco: =ŚREDNIA JEŻELI($A$2:$A$12,A7,$B$2:$B$12). Asortyment – ​​kolumna z nazwami produktów. Kryterium wyszukiwania stanowi odnośnik do komórki zawierającej słowo „tabele” (zamiast linku A7 można wstawić słowo „tabele”). Zakres uśredniania – te komórki, z których zostaną pobrane dane do obliczenia wartości średniej.

W wyniku obliczenia funkcji otrzymujemy następującą wartość:

Uwaga! Dla kryterium tekstowego (warunku) należy podać zakres uśredniania.

Jak obliczyć średnią ważoną cenę w Excelu?

Jak ustaliliśmy średnią ważoną cenę?

Wzór: =SUMA(C2:C12,B2:B12)/SUMA(C2:C12).

Korzystając ze wzoru SUMPRODUCT, obliczamy całkowity przychód po sprzedaży całej ilości towaru. Natomiast funkcja SUMA sumuje ilość towaru. Dzieląc całkowity przychód ze sprzedaży towarów przez łączną liczbę jednostek towaru, otrzymaliśmy średnią ważoną cenę. Wskaźnik ten uwzględnia „wagę” każdej ceny. Jego udział w ogólnej masie wartości.

Odchylenie standardowe: wzór w Excelu

Istnieją odchylenia standardowe dla populacji ogólnej i próby. W pierwszym przypadku jest to pierwiastek wariancji ogólnej. W drugim, z wariancji próbki.

Aby obliczyć ten wskaźnik statystyczny, sporządzany jest wzór dyspersji. Wyciąga się z niego korzeń. Ale w Excelu istnieje gotowa funkcja do znajdowania odchylenia standardowego.

Odchylenie standardowe jest powiązane ze skalą danych źródłowych. Nie wystarczy to do graficznego przedstawienia zmienności analizowanego zakresu. Aby uzyskać względny poziom rozproszenia danych, oblicza się współczynnik zmienności:

odchylenie standardowe / średnia arytmetyczna

Formuła w programie Excel wygląda następująco:

STDEV (zakres wartości) / ŚREDNIA (zakres wartości).

Współczynnik zmienności oblicza się w procentach. Dlatego ustawiamy format procentowy w komórce.