Rozwiązywanie funkcji kwadratowych i ich własności. Wykresy funkcji kwadratowej

Niniejszy materiał dydaktyczny ma wyłącznie charakter informacyjny i dotyczy szerokiego zakresu tematów. W artykule dokonano przeglądu wykresów podstawowych funkcji elementarnych i rozważono najważniejsze zagadnienie - jak poprawnie i SZYBKO zbudować wykres. W trakcie studiowania matematyki wyższej bez znajomości wykresów podstawowych funkcji elementarnych będzie to trudne, dlatego bardzo ważne jest, aby pamiętać, jak wyglądają wykresy paraboli, hiperboli, sinusa, cosinusa itp. i pamiętać o kilku znaczenia funkcji. Porozmawiamy również o niektórych właściwościach głównych funkcji.

Nie twierdzę o kompletności i naukowej dokładności materiałów; nacisk zostanie położony przede wszystkim na praktykę, czyli to, z czym spotykamy się dosłownie na każdym kroku, w każdym temacie wyższej matematyki. Wykresy dla manekinów? Można tak powiedzieć.

W związku z licznymi prośbami czytelników klikalny spis treści:

Ponadto znajduje się tam bardzo krótkie streszczenie tematu
– opanuj 16 typów wykresów, studiując SZEŚĆ stron!

Poważnie, sześć, nawet ja byłem zaskoczony. To podsumowanie zawiera ulepszoną grafikę i jest dostępne za symboliczną opłatą; można obejrzeć wersję demonstracyjną. Wygodnie jest wydrukować plik, aby wykresy były zawsze pod ręką. Dziękujemy za wsparcie projektu!

I zacznijmy od razu:

Jak poprawnie skonstruować osie współrzędnych?

W praktyce testy prawie zawsze studenci rozwiązują w osobnych zeszytach, wyłożonych w kwadrat. Dlaczego potrzebujesz oznaczeń w kratkę? Przecież pracę w zasadzie można wykonać na kartkach A4. A klatka jest niezbędna tylko do wysokiej jakości i dokładnego projektowania rysunków.

Każdy rysunek wykresu funkcji zaczyna się od osi współrzędnych.

Rysunki mogą być dwuwymiarowe lub trójwymiarowe.

Rozważmy najpierw przypadek dwuwymiarowy Kartezjański prostokątny układ współrzędnych:

1) Narysuj osie współrzędnych. Oś nazywa się oś x , a oś jest oś y . Zawsze staramy się je narysować schludne i nie krzywe. Strzałki nie powinny również przypominać brody Papy Carlo.

2) Osie podpisujemy dużymi literami „X” i „Y”. Nie zapomnij o oznakowaniu osi.

3) Ustaw skalę wzdłuż osi: narysuj zero i dwie jedynki. Podczas rysowania najwygodniejszą i najczęściej stosowaną skalą jest: 1 jednostka = 2 komórki (rysunek po lewej stronie) - jeśli to możliwe, trzymaj się jej. Czasem jednak zdarza się, że rysunek nie mieści się na kartce zeszytu – wtedy zmniejszamy skalę: 1 jednostka = 1 komórka (rysunek po prawej). Rzadko się to zdarza, ale zdarza się, że trzeba jeszcze bardziej zmniejszyć (lub zwiększyć) skalę rysunku

NIE MA POTRZEBY „karabinu maszynowego”…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Bo układ współrzędnych nie jest pomnikiem Kartezjusza, a uczeń nie jest gołębicą. Kładziemy zero I dwie jednostki wzdłuż osi. Czasami zamiast jednostek, wygodnie jest „zaznaczyć” inne wartości, na przykład „dwa” na osi odciętych i „trzy” na osi rzędnych - a ten układ (0, 2 i 3) również jednoznacznie zdefiniuje siatkę współrzędnych.

Lepiej oszacować szacunkowe wymiary rysunku PRZED jego wykonaniem. Jeśli więc np. zadanie wymaga narysowania trójkąta o wierzchołkach , , , to jest całkowicie jasne, że popularna skala 1 jednostka = 2 komórki nie sprawdzi się. Dlaczego? Spójrzmy na punkt - tutaj będziesz musiał zmierzyć piętnaście centymetrów w dół i oczywiście rysunek nie zmieści się (lub ledwo zmieści się) na kartce zeszytu. Dlatego od razu wybieramy mniejszą skalę: 1 jednostka = 1 komórka.

Nawiasem mówiąc, o centymetrach i komórkach notebooka. Czy to prawda, że 30 komórek notesu zawiera 15 centymetrów? Dla zabawy zmierz w zeszycie 15 centymetrów za pomocą linijki. W ZSRR mogło to być prawdą... Warto zauważyć, że jeśli zmierzysz te same centymetry w poziomie i w pionie, wyniki (w komórkach) będą inne! Ściśle mówiąc, nowoczesne notatniki nie są w kratkę, ale prostokątne. Może się to wydawać bzdurą, ale narysowanie np. koła za pomocą kompasu w takich sytuacjach jest bardzo niewygodne. Szczerze mówiąc, w takich momentach zaczyna się myśleć o słuszności towarzysza Stalina, którego zesłano do obozów za prace hakerskie na produkcji, nie mówiąc już o krajowym przemyśle samochodowym, spadających samolotach czy eksplodujących elektrowniach.

Skoro mowa o jakości, czyli krótka rekomendacja dotycząca artykułów piśmiennych. Dziś większość notebooków w sprzedaży to, delikatnie mówiąc, kompletna bzdura. Z tego powodu, że zamoczą się, i to nie tylko od długopisów żelowych, ale także od długopisów! Oszczędzają pieniądze na papierze. Do ukończenia testów polecam zeszyty z Zakładu Celulozowo-Papierniczego w Archangielsku (18 arkuszy, kwadrat) lub „Piaterochka”, chociaż jest droższy. Warto wybrać długopis żelowy, nawet najtańszy chiński wkład żelowy jest o wiele lepszy od długopisu, który rozmazuje lub podrze papier. Jedyny „konkurencyjny” długopis, jaki pamiętam, to Erich Krause. Pisze wyraźnie, pięknie i konsekwentnie – czy to z pełnym rdzeniem, czy z prawie pustym.

Dodatkowo: W artykule omówiono wizję prostokątnego układu współrzędnych oczami geometrii analitycznej Liniowa (nie)zależność wektorów. Baza wektorów, szczegółowe informacje na temat ćwiartek współrzędnych znajdziesz w drugim akapicie lekcji Nierówności liniowe.

Obudowa 3D

Tutaj jest prawie tak samo.

1) Narysuj osie współrzędnych. Standard: zastosowanie osi – skierowana w górę, oś – skierowana w prawo, oś – skierowana w dół w lewo rygorystycznie pod kątem 45 stopni.

2) Oznacz osie.

3) Ustaw skalę wzdłuż osi. Skala wzdłuż osi jest dwukrotnie mniejsza niż skala wzdłuż pozostałych osi. Zwróć też uwagę, że na prawym rysunku zastosowałem niestandardowe „wycięcie” wzdłuż osi (ta możliwość została już wspomniana powyżej). Z mojego punktu widzenia jest to dokładniejsze, szybsze i bardziej estetyczne - nie trzeba szukać środka komórki pod mikroskopem i „rzeźbić” jednostki blisko początku współrzędnych.

Podczas tworzenia rysunku 3D ponownie nadaj priorytet skali
1 jednostka = 2 komórki (rysunek po lewej).

Po co te wszystkie zasady? Zasady są po to, żeby je łamać. To właśnie teraz zrobię. Faktem jest, że kolejne rysunki artykułu będą wykonane przeze mnie w Excelu, a osie współrzędnych będą wyglądać niepoprawnie z punktu widzenia prawidłowego projektu. Mógłbym narysować wszystkie wykresy ręcznie, ale tak naprawdę jest to przerażające, ponieważ Excel nie chce rysować ich znacznie dokładniej.

Wykresy i podstawowe własności funkcji elementarnych

Funkcja liniowa jest dana równaniem. Wykres funkcji liniowych to bezpośredni. Aby zbudować linię prostą wystarczy znać dwa punkty.

Przykład 1

Zbuduj wykres funkcji. Znajdźmy dwa punkty. Korzystne jest wybranie zera jako jednego z punktów.

Jeśli, to

Weźmy inny punkt, na przykład 1.

Jeśli, to

Podczas wykonywania zadań współrzędne punktów są zwykle podsumowywane w tabeli:

A same wartości są obliczane ustnie lub na szkicu, kalkulatorze.

Znaleziono dwa punkty, zróbmy rysunek:

Przygotowując rysunek zawsze podpisujemy grafikę.

Przydałoby się przypomnieć szczególne przypadki funkcji liniowej:

Zwróć uwagę, jak umieściłem podpisy, podpisy nie powinny dopuszczać rozbieżności podczas studiowania rysunku. W tym przypadku wyjątkowo niepożądane było umieszczenie podpisu obok punktu przecięcia linii lub w prawym dolnym rogu pomiędzy wykresami.

1) Funkcja liniowa formy () nazywana jest bezpośrednią proporcjonalnością. Na przykład, . Wykres bezpośredniej proporcjonalności zawsze przechodzi przez początek. W ten sposób upraszcza się konstruowanie linii prostej – wystarczy znaleźć tylko jeden punkt.

2) Równanie postaci określa linię prostą równoległą do osi, w szczególności samą oś wyznacza równanie. Wykres funkcji tworzony jest od razu, bez znajdowania punktów. Oznacza to, że zapis należy rozumieć w następujący sposób: „y jest zawsze równe –4, dla dowolnej wartości x”.

3) Równanie postaci określa linię prostą równoległą do osi, w szczególności samą oś wyznacza równanie. Wykres funkcji jest również natychmiast wykreślany. Zapis należy rozumieć w następujący sposób: „x jest zawsze, dla dowolnej wartości y, równe 1.”

Niektórzy zapytają, dlaczego pamiętasz 6 klasę?! Tak to jest, może i tak jest, ale przez lata praktyki spotkałem kilkunastu uczniów, którzy byli zaskoczeni zadaniem zbudowania wykresu typu lub.

Konstruowanie linii prostej jest najczęstszą czynnością podczas tworzenia rysunków.

Linia prosta jest szczegółowo omawiana w trakcie geometrii analitycznej, a zainteresowanych odsyłam do artykułu Równanie prostej na płaszczyźnie.

Wykres funkcji kwadratowej, sześciennej, wykres wielomianu

Parabola. Wykres funkcji kwadratowej () oznacza parabolę. Rozważmy słynny przypadek:

Przypomnijmy niektóre właściwości funkcji.

A więc rozwiązanie naszego równania: – w tym miejscu znajduje się wierzchołek paraboli. Dlaczego tak jest, można dowiedzieć się z artykułu teoretycznego o pochodnej i lekcji o ekstremach funkcji. W międzyczasie obliczmy odpowiednią wartość „Y”:

Zatem wierzchołek znajduje się w punkcie

Teraz znajdujemy inne punkty, bezczelnie wykorzystując symetrię paraboli. Warto zaznaczyć, że funkcja – nie jest równa, ale mimo to nikt nie anulował symetrii paraboli.

Myślę, że w jakiej kolejności znaleźć pozostałe punkty, będzie jasne od stołu finałowego:

Ten algorytm konstrukcji można w przenośni nazwać „wahadłem” lub zasadą „tam i z powrotem” u Anfisy Czechowej.

Zróbmy rysunek:

Z zbadanych wykresów przychodzi na myśl kolejna przydatna funkcja:

Dla funkcji kwadratowej () prawdą jest, co następuje:

Jeśli , to gałęzie paraboli są skierowane w górę.

Jeśli , to ramiona paraboli są skierowane w dół.

Dogłębną wiedzę na temat krzywej można uzyskać na lekcji Hiperbola i parabola.

Parabola sześcienna jest dana funkcją. Oto rysunek znany ze szkoły:

Wymieńmy główne właściwości funkcji

Wykres funkcji

Reprezentuje jedną z gałęzi paraboli. Zróbmy rysunek:

Główne właściwości funkcji:

W tym przypadku oś jest asymptota pionowa dla wykresu hiperboli w .

Byłoby rażącym błędem, gdybyśmy podczas rysowania nieuważnie pozwolili na przecięcie wykresu z asymptotą.

Również jednostronne granice mówią nam, że hiperbola nie ograniczone z góry I nie ograniczone od dołu.

Przeanalizujmy funkcję w nieskończoności: , czyli jeśli zaczniemy poruszać się wzdłuż osi w lewo (lub w prawo) do nieskończoności, to „gry” będą uporządkowanym krokiem nieskończenie blisko zbliżają się do zera i odpowiednio do gałęzi hiperboli nieskończenie blisko zbliżyć się do osi.

A więc jest oś asymptota pozioma dla wykresu funkcji, jeśli „x” dąży do plus lub minus nieskończoności.

Funkcja jest dziwne, a zatem hiperbola jest symetryczna względem początku. Fakt ten wynika z rysunku, dodatkowo można go łatwo zweryfikować analitycznie: .

Wykres funkcji postaci () przedstawia dwie gałęzie hiperboli.

Jeśli , to hiperbola znajduje się w pierwszej i trzeciej ćwiartce współrzędnych(patrz zdjęcie powyżej).

Jeśli , to hiperbola znajduje się w drugiej i czwartej ćwiartce współrzędnych.

Wskazany wzór rezydencji hiperboli jest łatwy do analizy z punktu widzenia przekształceń geometrycznych wykresów.

Przykład 3

Skonstruuj prawą gałąź hiperboli

Stosujemy metodę konstrukcji punktowej i korzystne jest dobranie wartości tak, aby były podzielne przez całość:

Zróbmy rysunek:

Skonstruowanie lewej gałęzi hiperboli nie będzie trudne; pomoże tu osobliwość funkcji. Z grubsza mówiąc, w tabeli konstrukcji punktowej dodajemy w myślach minus do każdej liczby, umieszczamy odpowiednie punkty i rysujemy drugą gałąź.

Szczegółowe informacje geometryczne na temat rozpatrywanej linii można znaleźć w artykule Hiperbola i parabola.

Wykres funkcji wykładniczej

W tej sekcji natychmiast rozważę funkcję wykładniczą, ponieważ w problemach wyższej matematyki w 95% przypadków spotyka się funkcję wykładniczą.

Przypomnę, że jest to liczba niewymierna: , będzie to wymagane przy konstruowaniu wykresu, który tak naprawdę zbuduję bez ceremonii. Trzy punkty prawdopodobnie wystarczą:

Zostawmy na razie wykres funkcji w spokoju, więcej o tym później.

Główne właściwości funkcji:

Wykresy funkcji itp. wyglądają zasadniczo tak samo.

Muszę powiedzieć, że ten drugi przypadek w praktyce występuje rzadziej, ale jednak występuje, dlatego uznałem za konieczne uwzględnienie go w tym artykule.

Wykres funkcji logarytmicznej

Rozważmy funkcję z logarytmem naturalnym.
Zróbmy rysunek punkt po punkcie:

Jeśli zapomniałeś, czym jest logarytm, zajrzyj do podręczników szkolnych.

Główne właściwości funkcji:

Dziedzina definicji:

Zakres wartości: .

Funkcja nie jest ograniczona od góry: , choć powoli, ale gałąź logarytmu zmierza do nieskończoności.
Zbadajmy zachowanie funkcji w pobliżu zera po prawej stronie: . A więc jest oś asymptota pionowa dla wykresu funkcji, gdy „x” dąży do zera od prawej strony.

Konieczne jest poznanie i zapamiętanie typowej wartości logarytmu: .

W zasadzie wykres logarytmu o podstawie wygląda tak samo: , , (logarytm dziesiętny o podstawie 10) itd. Co więcej, im większa podstawa, tym bardziej płaski będzie wykres.

Nie będziemy się nad tym rozwodzić; nie pamiętam kiedy ostatni raz budowałem wykres na takiej podstawie. Logarytm wydaje się być bardzo rzadkim gościem w problemach wyższej matematyki.

Na koniec tego akapitu powiem jeszcze jeden fakt: Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna– są to dwie wzajemnie odwrotne funkcje. Jeśli przyjrzysz się uważnie wykresowi logarytmu, zobaczysz, że jest to ten sam wykładnik, tylko jest nieco inaczej położony.

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Gdzie w szkole zaczynają się męki trygonometryczne? Prawidłowy. Od sinusa

Narysujmy funkcję

Ta linia nazywa się sinusoida.

Przypomnę, że „pi” jest liczbą niewymierną: , a w trygonometrii sprawia, że oczy olśniewają.

Główne właściwości funkcji:

Ta funkcja jest okresowy z okresem. Co to znaczy? Spójrzmy na segment. Po lewej i prawej stronie powtarza się w nieskończoność dokładnie ten sam fragment wykresu.

Dziedzina definicji: , czyli dla każdej wartości „x” istnieje wartość sinus.

Zakres wartości: . Funkcja jest ograniczony: , czyli wszystkie „gry” mieszczą się ściśle w segmencie .
To się nie zdarza: a ściślej dzieje się, ale te równania nie mają rozwiązania.

Na lekcjach matematyki w szkole zapoznałeś się już z najprostszymi właściwościami i wykresem funkcji y = x 2. Poszerzajmy naszą wiedzę nt funkcja kwadratowa.

Zadanie 1.

Wykres funkcji y = x 2. Skala: 1 = 2 cm Zaznacz punkt na osi Oy F(0; 1/4). Za pomocą kompasu lub paska papieru zmierz odległość od punktu F do pewnego momentu M parabole. Następnie przypnij pasek w punkcie M i obracaj go wokół tego punktu, aż będzie pionowy. Koniec paska spadnie nieco poniżej osi X (ryc. 1). Zaznacz na pasku, jak daleko wystaje on poza oś x. Teraz weź kolejny punkt paraboli i powtórz pomiar jeszcze raz. Jak daleko krawędź paska spadła poniżej osi x?

Wynik: niezależnie od tego, który punkt paraboli y = x 2 przyjmiemy, odległość od tego punktu do punktu F(0; 1/4) będzie większa od odległości tego samego punktu od osi odciętych zawsze o tę samą liczbę - o 1/4.

Można to powiedzieć inaczej: odległość dowolnego punktu paraboli od punktu (0; 1/4) jest równa odległości od tego samego punktu paraboli do prostej y = -1/4. Ten cudowny punkt F(0; 1/4) nazywa się centrum parabole y = x 2 i prosta y = -1/4 – dyrektorka szkoły tę parabolę. Każda parabola ma kierownicę i ognisko.

Ciekawe właściwości paraboli:

1. Każdy punkt paraboli jest w równej odległości od pewnego punktu, zwanego ogniskiem paraboli, i pewnej linii prostej, zwanej jej kierownicą.

2. Jeśli obrócisz parabolę wokół osi symetrii (na przykład parabolę y = x 2 wokół osi Oy), otrzymasz bardzo interesującą powierzchnię zwaną paraboloidą obrotową.

Powierzchnia cieczy w naczyniu obrotowym ma kształt paraboloidy obrotowej. Tę powierzchnię można zobaczyć, jeśli energicznie wymieszaj łyżką w niepełnej szklance herbaty, a następnie wyjmij łyżkę.

3. Jeśli rzucisz kamień w próżnię pod pewnym kątem do horyzontu, poleci on po paraboli (ryc. 2).

4. Jeśli przetniemy powierzchnię stożka z płaszczyzną równoległą do którejkolwiek z jego tworzących, to w wyniku przekroju poprzecznego powstanie parabola (ryc. 3).

5. W parkach rozrywki czasami organizowana jest przyjemna przejażdżka zwana Paraboloidą Cudów. Każdemu stojącemu wewnątrz obracającej się paraboloidy wydaje się, że on stoi na podłodze, podczas gdy reszta ludzi jakimś cudem trzyma się ścian.

6. W teleskopach odbijających stosuje się również zwierciadła paraboliczne: światło odległej gwiazdy, przechodzące w równoległej wiązce, padające na lustro teleskopu, jest skupiane.

7. Reflektory mają zwykle lustro w kształcie paraboloidy. Jeśli umieścisz źródło światła w ognisku paraboloidy, wówczas promienie odbite od zwierciadła parabolicznego utworzą wiązkę równoległą.

Wykresy funkcji kwadratowej

Na lekcjach matematyki uczyłeś się, jak uzyskać wykresy funkcji postaci z wykresu funkcji y = x 2:

1) y = topór 2– rozciąganie wykresu y = x 2 wzdłuż osi Oy w |a| razy (z |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, ryż. 4).

2) y = x 2 + n– przesunięcie wykresu o n jednostek wzdłuż osi Oy, a jeżeli n > 0, to przesunięcie jest w górę, a jeżeli n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– przesunięcie wykresu o m jednostek wzdłuż osi Wółu: jeżeli m< 0, то вправо, а если m >0, następnie w lewo, (ryc. 5).

4) y = -x 2– symetryczne wyświetlanie względem osi Ox wykresu y = x 2 .

Przyjrzyjmy się bliżej wykreślaniu funkcji y = a(x – m) 2 + n.

Funkcję kwadratową postaci y = ax 2 + bx + c można zawsze sprowadzić do postaci

y = a(x – m) 2 + n, gdzie m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Udowodnijmy to.

Naprawdę,

y = topór 2 + bx + do = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Wprowadźmy nowe oznaczenia.

Pozwalać m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

wtedy otrzymujemy y = a(x – m) 2 + n lub y – n = a(x – m) 2.

Dokonajmy jeszcze kilku podstawień: niech y – n = Y, x – m = X (*).

Następnie otrzymujemy funkcję Y = aX 2, której wykresem jest parabola.

Wierzchołek paraboli znajduje się w początku. X = 0; Y = 0.

Podstawiając współrzędne wierzchołka do (*), otrzymujemy współrzędne wierzchołka grafu y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

Zatem, aby wykreślić funkcję kwadratową reprezentowaną jako

y = a(x – m) 2 + n

poprzez przekształcenia możesz postępować w następujący sposób:

A) wykreśl funkcję y = x 2 ;

B) poprzez równoległe przesunięcie wzdłuż osi Ox o m jednostek i wzdłuż osi Oy o n jednostek - przenieś wierzchołek paraboli od początku do punktu o współrzędnych (m; n) (ryc. 6).

Rejestracja transformacji:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Przykład.

Korzystając z transformacji skonstruuj wykres funkcji y = 2(x – 3) 2 w kartezjańskim układzie współrzędnych – 2.

Rozwiązanie.

Łańcuch transformacji:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Wykres jest pokazany w ryż. 7.

Możesz samodzielnie poćwiczyć tworzenie wykresów funkcji kwadratowych. Na przykład zbuduj wykres funkcji y = 2(x + 3) 2 + 2 w jednym układzie współrzędnych za pomocą transformacji. Jeśli masz pytania lub chcesz uzyskać poradę od nauczyciela, masz możliwość przeprowadzenia bezpłatna 25-minutowa lekcja z lektorem online po rejestracji. Aby dalej pracować z nauczycielem, możesz wybrać odpowiedni dla siebie plan taryfowy.

Nadal masz pytania? Nie wiesz, jak wykreślić funkcję kwadratową?
Aby skorzystać z pomocy korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.

Ważne uwagi!
1. Jeśli zamiast formuł widzisz Gobbledygook, wyczyść pamięć podręczną. Jak to zrobić w przeglądarce jest napisane tutaj:
2. Zanim zaczniesz czytać artykuł, zwróć uwagę na nasz nawigator, aby uzyskać najbardziej przydatne zasoby

Aby zrozumieć, co tutaj zostanie napisane, musisz dobrze wiedzieć, czym jest funkcja kwadratowa i do czego się jej używa. Jeśli uważasz się za profesjonalistę, jeśli chodzi o funkcje kwadratowe, witaj. Ale jeśli nie, warto przeczytać wątek.

Zacznijmy od małego sprawdza:

Jak wygląda funkcja kwadratowa w postaci ogólnej (wzór)?
Jak nazywa się wykres funkcji kwadratowej?
Jak współczynnik wiodący wpływa na wykres funkcji kwadratowej?

Jeśli od razu udało Ci się odpowiedzieć na te pytania, czytaj dalej. Jeśli choć jedno pytanie sprawiło Ci trudność, przejdź do.

Wiesz już, jak obsługiwać funkcję kwadratową, analizować jej wykres i budować wykres według punktów.

No cóż, oto on: .

Przypomnijmy krótko, czym się zajmują szanse.

Współczynnik wiodący odpowiada za „stromość” paraboli, czyli inaczej mówiąc, za jej szerokość: im większa, tym węższa parabola (bardziej stroma), a im mniejsza, tym szersza parabola (bardziej płaska).
Człon wolny jest współrzędną przecięcia paraboli z osią rzędnych.
A współczynnik jest w jakiś sposób odpowiedzialny za przemieszczenie paraboli ze środka współrzędnych. Porozmawiajmy o tym teraz bardziej szczegółowo.

Od czego zawsze zaczynamy budować parabolę? Jaki jest jego charakterystyczny punkt?

Ten wierzchołek. Czy pamiętasz, jak znaleźć współrzędne wierzchołka?

Odciętą przeszukuje się przy użyciu następującego wzoru:

W ten sposób: niż więcej, te w lewo wierzchołek paraboli porusza się.

Współrzędną wierzchołka można znaleźć podstawiając do funkcji:

Zastąp to sam i wykonaj obliczenia. Co się stało?

Jeśli zrobisz wszystko poprawnie i maksymalnie uprościsz wynikowe wyrażenie, otrzymasz:

Okazuje się, że tym bardziej modulo, te wyższy będzie wierzchołek parabole.

Przejdźmy na koniec do narysowania wykresu.
Najłatwiej jest zbudować parabolę zaczynając od góry.

Przykład:

Zbuduj wykres funkcji.

Rozwiązanie:

Najpierw określmy współczynniki: .

Teraz obliczmy współrzędne wierzchołka:

Teraz pamiętaj: wszystkie parabole o tym samym współczynniku wiodącym wyglądają tak samo. Oznacza to, że jeśli zbudujemy parabolę i przesuniemy jej wierzchołek do punktu, otrzymamy potrzebny nam wykres:

Proste, prawda?

Pozostaje tylko jedno pytanie: jak szybko narysować parabolę? Nawet jeśli narysujemy parabolę z wierzchołkiem w początku, nadal musimy ją budować punkt po punkcie, a to jest długie i niewygodne. Ale wszystkie parabole wyglądają tak samo, może istnieje sposób na przyspieszenie ich rysowania?

Kiedy byłam w szkole, moja nauczycielka matematyki kazała wszystkim wyciąć z tektury szablon w kształcie paraboli, aby móc szybko go narysować. Ale nie będziesz mógł wszędzie chodzić z szablonem i nie będą mogli zabrać go na egzamin. Oznacza to, że nie będziemy używać obcych przedmiotów, ale będziemy szukać wzoru.

Rozważmy najprostszą parabolę. Zbudujmy to punkt po punkcie:

Taki jest tutaj wzór. Jeśli od wierzchołka przesuniemy się w prawo (wzdłuż osi) o i w górę (wzdłuż osi) o, to dotrzemy do punktu paraboli. Dalej: jeśli od tego punktu przejdziemy w prawo i w górę, ponownie dotrzemy do punktu paraboli. Dalej: dalej i dalej. Co dalej? Dalej i dalej. I tak dalej: przesuń o jedną liczbę w prawo, a następną liczbę nieparzystą w górę. Następnie to samo robimy z lewą gałęzią (w końcu parabola jest symetryczna, czyli jej gałęzie wyglądają tak samo):

Świetnie, to pomoże Ci skonstruować dowolną parabolę z wierzchołka o współczynniku wiodącym równym. Dowiedzieliśmy się na przykład, że wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie. Skonstruuj (samodzielnie na papierze) tę parabolę.

Wybudowany?

Powinno to wyglądać tak:

Teraz łączymy powstałe punkty:

To wszystko.

OK, cóż, teraz możemy budować tylko parabole?

Oczywiście, że nie. Teraz zastanówmy się, co z nimi zrobić, jeśli.

Spójrzmy na kilka typowych przypadków.

Świetnie, nauczyłeś się rysować parabolę, teraz poćwiczmy korzystanie z rzeczywistych funkcji.

Narysuj więc wykresy tych funkcji:

Odpowiedzi:

3. Góra: .

Czy pamiętasz, co zrobić, jeśli współczynnik seniora jest mniejszy?

Patrzymy na mianownik ułamka: jest równy. Zatem będziemy poruszać się w ten sposób:

właśnie - w górę
właśnie - w górę
właśnie - w górę

a także po lewej stronie:

4. Góra: .

Och, co możemy z tym zrobić? Jak zmierzyć komórki, jeśli wierzchołek znajduje się gdzieś pomiędzy liniami?..

I będziemy oszukiwać. Najpierw narysujmy parabolę, a dopiero potem przesuńmy jej wierzchołek do punktu. Nie, zróbmy coś jeszcze bardziej przebiegłego: narysujmy parabolę, a potem przesuń osie:- NA w dół, a - na Prawidłowy:

Ta technika jest bardzo wygodna w przypadku dowolnej paraboli, pamiętaj o tym.

Przypomnę, że funkcję możemy przedstawić w postaci:

Na przykład: .

Co nam to daje?

Faktem jest, że liczba odejmowana w nawiasach () jest odciętą wierzchołka paraboli, a wyraz poza nawiasami () jest rzędną wierzchołka.

Oznacza to, że po zbudowaniu paraboli będziesz po prostu potrzebował przesuń oś w lewo i oś w dół.

Przykład: zbudujmy wykres funkcji.

Wybierzmy cały kwadrat:

Jaki numer odliczony z nawiasów? To (a nie sposób, w jaki możesz decydować bez myślenia).

Zbudujmy więc parabolę:

Teraz przesuwamy oś w dół, czyli w górę:

A teraz - w lewo, czyli w prawo:

To wszystko. Działa to tak samo, jak przesuwanie paraboli wraz z jej wierzchołkiem od początku do punktu, z tą różnicą, że oś prosta jest znacznie łatwiejsza do przesunięcia niż parabola zakrzywiona.

A teraz jak zwykle ja:

I nie zapomnij wymazać starych osi za pomocą gumki!

Jestem jak odpowiedzi Aby to sprawdzić, napiszę Ci rzędne wierzchołków tych paraboli:

Czy wszystko się połączyło?

Jeśli tak, to jesteś wielki! Umiejętność posługiwania się parabolą jest bardzo ważna i przydatna, a tutaj przekonaliśmy się, że nie jest to wcale trudne.

BUDOWA WYKRESU FUNKCJI KWADRATOWEJ. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Funkcja kwadratowa- funkcja postaci, gdzie i są dowolnymi liczbami (współczynnikami), - termin dowolny.

Wykres funkcji kwadratowej jest parabolą.

Wierzchołek paraboli:
, tj. Im większy \displaystyle b, tym bardziej w lewo przesuwa się wierzchołek paraboli.
Podstawiamy to do funkcji i otrzymujemy:
, tj. \displaystyle b jest większe w wartości bezwzględnej, tym wyższy będzie wierzchołek paraboli

Człon wolny jest współrzędną przecięcia paraboli z osią rzędnych.

No cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te słowa, oznacza to, że jesteś bardzo fajny.

Bo tylko 5% ludzi jest w stanie samodzielnie coś opanować. A jeśli przeczytasz do końca, to jesteś w tych 5%!

Teraz najważniejsza rzecz.

Zrozumiełeś teorię na ten temat. I powtarzam, to... to jest po prostu super! Już jesteś lepszy od zdecydowanej większości Twoich rówieśników.

Problem w tym, że to może nie wystarczyć...

Po co?

Za pomyślne zdanie egzaminu Unified State Exam, za rozpoczęcie studiów z ograniczonym budżetem i, CO NAJWAŻNIEJSZE, za całe życie.

Nie będę Cię do niczego przekonywać, powiem tylko jedno...

Ludzie, którzy otrzymali dobre wykształcenie, zarabiają znacznie więcej niż ci, którzy go nie otrzymali. To jest statystyka.

Ale to nie jest najważniejsze.

Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Być może dlatego, że otwiera się przed nimi o wiele więcej możliwości i życie staje się jaśniejsze? nie wiem...

Ale pomyśl samodzielnie...

Czego potrzeba, aby na egzaminie Unified State Exam wypaść lepiej od innych i ostatecznie… być szczęśliwszym?

Zdobądź rękę, rozwiązując problemy z tego tematu.

Podczas egzaminu nie będziesz proszony o zadawanie teorii.

Będziesz potrzebować rozwiązywać problemy z czasem.

A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno popełnisz gdzieś głupi błąd lub po prostu nie będziesz miał czasu.

To jak w sporcie – trzeba to powtarzać wiele razy, żeby na pewno wygrać.

Znajdź kolekcję gdziekolwiek chcesz, koniecznie z rozwiązaniami, szczegółową analizą i decyduj, decyduj, decyduj!

Możesz skorzystać z naszych zadań (opcjonalnie) i oczywiście je polecamy.

Aby lepiej radzić sobie z naszymi zadaniami, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który aktualnie czytasz.

Jak? Istnieją dwie opcje:

Odblokuj wszystkie ukryte zadania w tym artykule -
Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań we wszystkich 99 artykułach podręcznika - Kup podręcznik - 499 RUR

Tak, w naszym podręczniku mamy 99 takich artykułów i dostęp do wszystkich zadań oraz wszystkich ukrytych w nich tekstów można od razu otworzyć.

Dostęp do wszystkich ukrytych zadań jest zapewniony przez CAŁĄ żywotność witryny.

I podsumowując...

Jeśli nie podobają Ci się nasze zadania, znajdź inne. Tylko nie poprzestawaj na teorii.

„Rozumiem” i „Umiem rozwiązać” to zupełnie różne umiejętności. Potrzebujesz obu.

Znajdź problemy i rozwiąż je!

Prawdopodobnie każdy wie, czym jest parabola. Ale poniżej przyjrzymy się, jak prawidłowo i kompetentnie go używać, rozwiązując różne problemy praktyczne.

Na początek nakreślmy podstawowe pojęcia, jakie algebra i geometria nadają temu terminowi. Rozważmy wszystkie możliwe typy tego wykresu.

Poznajmy wszystkie główne cechy tej funkcji. Rozumiemy podstawy konstrukcji krzywych (geometrii). Nauczmy się, jak znaleźć górę i inne podstawowe wartości wykresu tego typu.

Dowiedzmy się: jak poprawnie skonstruować pożądaną krzywą za pomocą równania, na co należy zwrócić uwagę. Przyjrzyjmy się głównemu praktycznemu zastosowaniu tej wyjątkowej wartości w życiu człowieka.

Co to jest parabola i jak wygląda?

Algebra: Termin ten odnosi się do wykresu funkcji kwadratowej.

Geometria: jest to krzywa drugiego rzędu, która ma wiele specyficznych cech:

Równanie kanoniczne paraboli

Rysunek przedstawia prostokątny układ współrzędnych (XOY), ekstremum, kierunek gałęzi funkcji rysujący się wzdłuż osi odciętej.

Równanie kanoniczne to:

y 2 = 2 * p * x,

gdzie współczynnik p jest parametrem ogniskowym paraboli (AF).

W algebrze będzie to zapisane inaczej:

y = a x 2 + b x + c (rozpoznawalny wzór: y = x 2).

Własności i wykres funkcji kwadratowej

Funkcja ma oś symetrii i środek (ekstremum). Dziedziną definicji są wszystkie wartości osi odciętych.

Zakres wartości funkcji – (-∞, M) lub (M, +∞) zależy od kierunku gałęzi krzywej. Parametr M oznacza tutaj wartość funkcji na górze wiersza.

Jak określić, gdzie skierowane są gałęzie paraboli

Aby znaleźć kierunek krzywej tego typu na podstawie wyrażenia, należy określić znak przed pierwszym parametrem wyrażenia algebraicznego. Jeśli ˃ 0, to są skierowane w górę. Jeśli jest odwrotnie, w dół.

Jak znaleźć wierzchołek paraboli za pomocą wzoru

Znalezienie ekstremum jest głównym krokiem w rozwiązaniu wielu praktycznych problemów. Oczywiście możesz otworzyć specjalne kalkulatory online, ale lepiej móc to zrobić samodzielnie.

Jak to ustalić? Istnieje specjalna formuła. Gdy b nie jest równe 0, musimy poszukać współrzędnych tego punktu.

Wzory na znalezienie wierzchołka:

x 0 = -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

Przykład.

Istnieje funkcja y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Znajdźmy wierzchołki tej funkcji.

Dla takiej linii:

x = -16 / (2 * 4) = -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Otrzymujemy współrzędne wierzchołka (-2, -41).

Przemieszczenie paraboli

Klasyczny przypadek ma miejsce, gdy w funkcji kwadratowej y = a x 2 + b x + c drugi i trzeci parametr są równe 0, a = 1 - wierzchołek znajduje się w punkcie (0; 0).

Ruch wzdłuż osi odciętych lub rzędnych wynika ze zmiany odpowiednio parametrów b i c. Linia na płaszczyźnie zostanie przesunięta dokładnie o liczbę jednostek równą wartości parametru.

Przykład.

Mamy: b = 2, c = 3.

Oznacza to, że klasyczna postać krzywej przesunie się o 2 odcinki jednostkowe na osi odciętych i o 3 na osi rzędnych.

Jak zbudować parabolę za pomocą równania kwadratowego

Ważne jest, aby uczniowie nauczyli się poprawnie rysować parabolę, korzystając z podanych parametrów.

Analizując wyrażenia i równania, można zobaczyć, co następuje:

Punkt przecięcia żądanej linii z wektorem rzędnych będzie miał wartość równą c.
Wszystkie punkty wykresu (wzdłuż osi x) będą symetryczne względem głównego ekstremum funkcji.

Dodatkowo punkty przecięcia z OX można znaleźć znając dyskryminator (D) takiej funkcji:

re = (b 2 - 4 * a * c).

Aby to zrobić, musisz zrównać wyrażenie z zerem.

Obecność pierwiastków paraboli zależy od wyniku:

re ˃ 0, następnie x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
re = 0, następnie x 1, 2 = -b / (2 * a);
D ˂ 0, to nie ma punktów przecięcia z wektorem OX.

Otrzymujemy algorytm konstruowania paraboli:

określić kierunek gałęzi;
znajdź współrzędne wierzchołka;
znajdź przecięcie z osią rzędnych;
znajdź punkt przecięcia z osią x.

Przykład 1.

Biorąc pod uwagę funkcję y = x 2 - 5 * x + 4. Konieczne jest skonstruowanie paraboli. Postępujemy zgodnie z algorytmem:

a = 1, zatem gałęzie są skierowane w górę;
współrzędne ekstremalne: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
przecina się z osią rzędnych przy wartości y = 4;
znajdźmy dyskryminator: D = 25 - 16 = 9;
szukam korzeni:

X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (1, 0).

Przykład 2.

Dla funkcji y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 musisz skonstruować parabolę. Działamy według podanego algorytmu:

a = 3, zatem gałęzie są skierowane w górę;
współrzędne ekstremalne: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
przetnie się z osią y przy wartości y = -1;
znajdźmy dyskryminator: D = 4 + 12 = 16. Zatem pierwiastki to:

X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

Korzystając z uzyskanych punktów, możesz skonstruować parabolę.

Kierownica, ekscentryczność, ognisko paraboli

Bazując na równaniu kanonicznym, ognisko F ma współrzędne (p/2, 0).

Linia prosta AB jest kierownicą (rodzaj cięciwy paraboli o określonej długości). Jego równanie: x = -p/2.

Mimośród (stała) = 1.

Wniosek

Przyjrzeliśmy się tematowi, którego uczą się uczniowie w szkole średniej. Teraz wiesz, patrząc na funkcję kwadratową paraboli, jak znaleźć jej wierzchołek, w jakim kierunku będą skierowane gałęzie, czy występuje przemieszczenie wzdłuż osi i mając algorytm konstrukcji, możesz narysować jej wykres.

- — [] funkcja kwadratowa Funkcja postaci y= ax2 + bx + c (a ? 0). Wykres K.f. - parabola, której wierzchołek ma współrzędne [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], z gałęziami a>0 paraboli ... ...

FUNKCJA KWADRATOWA, FUNKCJA matematyczna, której wartość zależy od kwadratu zmiennej niezależnej x i jest określona odpowiednio przez WIELOMIAN kwadratowy, na przykład: f(x) = 4x2 + 17 lub f(x) = x2 + 3x + 2. zobacz także RÓWNANIE KWADRATOWE... Naukowy i techniczny słownik encyklopedyczny

Funkcja kwadratowa- Funkcja kwadratowa - funkcja postaci y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). Wykres K.f. - parabola, której wierzchołek ma współrzędne [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], dla a> 0 ramiona paraboli są skierowane w górę, dla a< 0 –вниз… …

- (kwadratowa) Funkcja mająca postać: y=ax2+bx+c, gdzie a≠0 i najwyższym stopniem x jest kwadrat. Równanie kwadratowe y=ax2 +bx+c=0 można również rozwiązać korzystając ze wzoru: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. Te korzenie są prawdziwe… Słownik ekonomiczny

Funkcja afiniczna kwadratowa w przestrzeni afinicznej S to dowolna funkcja Q: S → K, która ma postać Q(x)=q(x)+l(x)+c w postaci wektoryzowanej, gdzie q jest funkcją kwadratową, l jest funkcja liniowa, c jest stałą. Spis treści 1 Przesunięcie punktu odniesienia 2 ... ... Wikipedia

Afiniczną funkcją kwadratową w przestrzeni afinicznej jest dowolna funkcja, która ma postać wektorową, gdzie jest macierzą symetryczną, funkcją liniową, stałą. Spis treści... Wikipedia

Funkcja na przestrzeni wektorowej określonej przez jednorodny wielomian drugiego stopnia we współrzędnych wektora. Spis treści 1 Definicja 2 Powiązane definicje... Wikipedia

- jest funkcją, która w teorii decyzji statystycznych charakteryzuje straty wynikające z błędnego podejmowania decyzji na podstawie zaobserwowanych danych. Jeśli rozwiązuje się problem oszacowania parametru sygnału na tle szumu, to funkcja straty jest miarą rozbieżności... ... Wikipedia

funkcja celu- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Angielsko-rosyjski słownik elektrotechniki i energetyki, Moskwa, 1999] funkcja celu W problemach ekstremalnych: funkcja, której należy znaleźć minimum lub maksimum. Ten… … Przewodnik tłumacza technicznego

Funkcja celu- w przypadku problemów ekstremalnych funkcja, której minimum lub maksimum należy znaleźć. Jest to kluczowa koncepcja programowania optymalnego. Po znalezieniu ekstremum C.f. i dlatego po ustaleniu wartości kontrolowanych zmiennych, które do niego trafiają... ... Słownik ekonomiczny i matematyczny

Książki

Zestaw tabel. Matematyka. Wykresy funkcji (10 tabel), . Album edukacyjny składający się z 10 arkuszy.
Funkcja liniowa. Graficzne i analityczne przypisywanie funkcji. Funkcja kwadratowa. Przekształcenie wykresu funkcji kwadratowej. Funkcja y=sinx. Funkcja y=cosx.…