Dosłowne irracjonalne wyrażenia. Temat: Zamiana wyrażeń potęgowych i niewymiernych - Dokument

Artykuł ukazuje znaczenie wyrażeń irracjonalnych i przekształceń za ich pomocą. Rozważmy samo pojęcie wyrażeń irracjonalnych, transformacji i wyrażeń charakterystycznych.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Co to są wyrażenia irracjonalne?

Wprowadzając korzenie w szkole, uczymy się pojęcia wyrażeń irracjonalnych. Takie wyrażenia są ściśle związane z korzeniami.

Definicja 1

Wyrażenia irracjonalne są wyrażeniami, które mają pierwiastek. Oznacza to, że są to wyrażenia zawierające rodniki.

Na podstawie tej definicji mamy, że x - 1, 8 3 3 6 - 1 2 3, 7 - 4 3 (2 + 3) , 4 a 2 d 5: d 9 2 a 3 5 - to wszystko są wyrażenia irracjonalny typ.

Rozważając wyrażenie x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3 stwierdzamy, że wyrażenie jest wymierne. Wyrażenia wymierne obejmują wielomiany i ułamki algebraiczne. Do irracjonalnych należy praca z wyrażeniami logarytmicznymi lub wyrażeniami radykalnymi.

Główne typy przekształceń wyrażeń irracjonalnych

Obliczając takie wyrażenia, należy zwrócić uwagę na DZ. Często wymagają dodatkowych przekształceń w postaci nawiasów otwierających, sprowadzania podobnych członków, grupowania i tak dalej. Podstawą takich przekształceń są operacje na liczbach. Przekształcenia wyrażeń irracjonalnych mają ścisły porządek.

Przykład 1

Przekształć wyrażenie 9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 .

Rozwiązanie

Konieczne jest zastąpienie liczby 9 wyrażeniem zawierającym pierwiastek. Wtedy to zrozumiemy

81 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3

Otrzymane wyrażenie ma podobne terminy, więc wykonajmy redukcję i grupowanie. Dostajemy

9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 3 3 - 2 3 3 = = 8 + 3 3 3
Odpowiedź: 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = 8 + 3 3 3

Przykład 2

Przedstaw wyrażenie x + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 jako iloczyn dwóch liczb niewymiernych, używając skróconych wzorów na mnożenie.

Rozwiązania

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9

Reprezentujemy 9 w postaci 3 2 i stosujemy wzór na różnicę kwadratów:

x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

W wyniku identycznych przekształceń otrzymano produkt dwóch wyrażeń wymiernych, które należało znaleźć.

Odpowiedź:

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

Można wykonać wiele innych przekształceń, które mają zastosowanie do wyrażeń irracjonalnych.

Konwersja wyrażenia radykalnego

Ważne jest to, że wyrażenie pod znakiem pierwiastka można zastąpić takim, które jest mu identyczne. To stwierdzenie umożliwia pracę z radykalną ekspresją. Na przykład 1 + 6 można zastąpić 7 lub 2 · a 5 4 - 6 przez 2 · a 4 · a 4 - 6 . Są identycznie równe, więc zamiana ma sens.

Gdy nie ma 1 innego niż a, gdzie obowiązuje nierówność postaci a n = a 1 n, to taka równość jest możliwa tylko dla a = a 1. Wartości takich wyrażeń są równe dowolnym wartościom zmiennych.

Korzystanie z właściwości roota

Właściwości pierwiastków służą do uproszczenia wyrażeń. Aby zastosować własność a · b = a · b, gdzie a ≥ 0, b ≥ 0, to z postaci niewymiernej 1 + 3 · 12 może stać się identycznie równe 1 + 3 · 12. Nieruchomość. . . za n k n 2 n 1 = za n 1 · n 2 · , . . . , · n k , gdzie a ≥ 0 oznacza, że ​​x 2 + 4 4 3 można zapisać w postaci x 2 + 4 24 .

Podczas konwersji wyrażeń radykalnych występują pewne niuanse. Jeśli istnieje wyrażenie, to - 7 - 81 4 = - 7 4 - 81 4 nie możemy go zapisać, ponieważ wzór a b n = a n b n służy tylko dla nieujemnego a i dodatniego b. Jeśli właściwość zostanie zastosowana poprawnie, wynik będzie wyrażeniem postaci 7 4 81 4 .

Do poprawnej transformacji stosuje się transformacje wyrażeń irracjonalnych wykorzystujące właściwości pierwiastków.

Wpisanie mnożnika pod znakiem pierwiastka

Umieść pod znakiem korzenia- oznacza zastąpienie wyrażenia B · C n, a B i C to pewne liczby lub wyrażenia, gdzie n jest liczbą naturalną większą niż 1, wyrażeniem równym, które wygląda jak B n · C n lub - B n · C rz.

Jeśli uprościmy wyrażenie postaci 2 x 3, to po dodaniu go do pierwiastka otrzymamy 2 3 x 3. Takie przekształcenia są możliwe dopiero po szczegółowym przestudiowaniu zasad wprowadzania mnożnika pod znakiem pierwiastka.

Usunięcie mnożnika spod znaku pierwiastka

Jeśli istnieje wyrażenie w postaci B n · C n , to sprowadza się je do postaci B · C n , gdzie występuje n nieparzyste, które przyjmuje postać B · C n gdzie parzyste n , B i C są liczbami i wyrażenia.

Oznacza to, że jeśli weźmiemy irracjonalne wyrażenie w postaci 2 3 x 3, usuniemy czynnik spod pierwiastka, wówczas otrzymamy wyrażenie 2 x 3. Lub x + 1 2 · 7 da w wyniku wyrażenie w postaci x + 1 · 7, które ma inną notację w postaci x + 1 · 7.

Usunięcie mnożnika spod pierwiastka jest konieczne, aby uprościć wyrażenie i szybko je przekonwertować.

Zamiana ułamków zawierających pierwiastki

Wyrażenie niewymierne może być liczbą naturalną lub ułamkiem. Aby przekonwertować wyrażenia ułamkowe, zwróć szczególną uwagę na jego mianownik. Jeśli weźmiemy ułamek postaci (2 + 3) x 4 x 2 + 5 3, wówczas licznik przyjmie postać 5 x 4 i korzystając z właściwości pierwiastków, stwierdzimy, że mianownik stanie się x 2 + 5 6. Oryginalny ułamek można zapisać jako 5 x 4 x 2 + 5 6.

Należy zwrócić uwagę na fakt, że konieczna jest zmiana znaku tylko licznika lub tylko mianownika. Rozumiemy to

X + 2 x - 3 x 2 + 7 4 = x + 2 x - (- 3 x 2 + 7 4) = x + 2 x 3 x 2 - 7 4

Skrócenie ułamka jest najczęściej stosowane podczas upraszczania. Rozumiemy to

3 · x + 4 3 - 1 · x x + 4 3 - 1 3 zmniejsz o x + 4 3 - 1 . Otrzymujemy wyrażenie 3 x x + 4 3 - 1 2.

Przed redukcją należy wykonać przekształcenia upraszczające wyrażenie i umożliwiające rozkład na czynniki złożonego wyrażenia. Najczęściej stosowane są skrócone wzory na mnożenie.

Jeśli weźmiemy ułamek postaci 2 · x - y x + y, to konieczne jest wprowadzenie nowych zmiennych u = x i v = x, wówczas dane wyrażenie zmieni formę i przyjmie postać 2 · u 2 - v 2 u + w. Licznik należy rozłożyć na wielomiany zgodnie ze wzorem i wtedy otrzymamy to

2 · u 2 - v 2 u + v = 2 · (u - v) · u + v u + v = 2 · u - v . Po wykonaniu odwrotnego podstawienia dochodzimy do postaci 2 x - y, która jest równa pierwotnej.

Dopuszczalna jest redukcja do nowego mianownika, wówczas konieczne jest pomnożenie licznika przez dodatkowy współczynnik. Jeśli weźmiemy ułamek postaci x 3 - 1 0, 5 · x, to sprowadzimy go do mianownika x. aby to zrobić, należy pomnożyć licznik i mianownik przez wyrażenie 2 x, wówczas otrzymamy wyrażenie x 3 - 1 0, 5 x = 2 x x x 3 - 1 0, 5 x 2 x = 2 x x 3 - 1 x .

Redukcja frakcji lub sprowadzanie podobnych jest konieczne tylko w przypadku ODZ określonej frakcji. Kiedy mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie irracjonalne, okazuje się, że pozbywamy się irracjonalności mianownika.

Pozbycie się irracjonalności w mianowniku

Kiedy wyrażenie pozbywa się pierwiastka z mianownika poprzez transformację, nazywa się to pozbywaniem się irracjonalności. Spójrzmy na przykład ułamka postaci x 3 3. Po pozbyciu się irracjonalności otrzymujemy nowy ułamek postaci 9 3 x 3.

Przejście od korzeni do potęg

Aby szybko przekształcić wyrażenia irracjonalne, konieczne są przejścia od pierwiastków do potęg. Jeśli rozważymy równość a m n = a m n , zobaczymy, że jej użycie jest możliwe, gdy a jest liczbą dodatnią, m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną. Jeśli weźmiemy pod uwagę wyrażenie 5 - 2 3, w przeciwnym razie mamy prawo zapisać je jako 5 - 2 3. Wyrażenia te są równoważne.

Gdy pierwiastek zawiera liczbę ujemną lub liczbę ze zmiennymi, wówczas wzór a m n = a m n nie zawsze ma zastosowanie. Jeśli chcesz zastąpić takie pierwiastki (- 8) 3 5 i (- 16) 2 4 potęgami, to otrzymamy to - 8 3 5 i - 16 2 4 za pomocą wzoru a m n = a m n nie pracujemy z ujemnym a. Aby szczegółowo przeanalizować temat wyrażeń radykalnych i ich uproszczeń, konieczne jest przestudiowanie artykułu na temat przejścia od pierwiastka do potęgi i odwrotnie. Należy pamiętać, że wzór a m n = a m n nie ma zastosowania do wszystkich wyrażeń tego typu. Pozbycie się irracjonalności przyczynia się do dalszego uproszczenia wyrażenia, jego transformacji i rozwiązania.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Wyrażenia irracjonalne i ich przekształcenia

Ostatnim razem przypomnieliśmy sobie (lub dowiedzieliśmy się, w zależności od kogo), co to jest , dowiedziałem się, jak wyodrębnić takie korzenie, uporządkowałem podstawowe właściwości korzeni kawałek po kawałku i rozwiązałem proste przykłady z korzeniami.

Ta lekcja będzie kontynuacją poprzedniej i będzie poświęcona przekształceniom szerokiej gamy wyrażeń zawierających wszystkie rodzaje pierwiastków. Takie wyrażenia nazywane są irracjonalny. Pojawią się tutaj wyrażenia z literami, dodatkowe warunki, pozbycie się irracjonalności ułamków i kilka zaawansowanych technik pracy z pierwiastkami. Techniki, które zostaną omówione w tej lekcji, staną się dobrą podstawą do rozwiązywania problemów USE (i nie tylko) o niemal każdym poziomie złożoności. Zacznijmy więc.

Na początek powtórzę tutaj podstawowe wzory i właściwości korzeni. Żeby nie skakać z tematu na temat. Oto one:

Na

Trzeba znać te formuły i umieć je zastosować. I w obu kierunkach - zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej. To na nich opiera się rozwiązanie większości zadań o korzeniach o dowolnym stopniu złożoności. Zacznijmy na razie od najprostszej rzeczy - od bezpośredniego zastosowania formuł lub ich kombinacji.

Łatwe stosowanie formuł

W tej części rozważone zostaną proste i nieszkodliwe przykłady - bez liter, dodatkowych warunków i innych sztuczek. Jednak nawet w nich z reguły istnieją opcje. Im bardziej wyrafinowany przykład, tym więcej jest takich opcji. A niedoświadczony student staje przed głównym problemem – od czego zacząć? Odpowiedź jest tutaj prosta – Jeśli nie wiesz, czego potrzebujesz, zrób, co możesz. Pod warunkiem, że Twoje działania są w zgodzie i zgodzie z zasadami matematyki i nie są z nimi sprzeczne.) Przykładowo to zadanie:

Obliczać:

Nawet w tak prostym przykładzie istnieje kilka możliwych ścieżek odpowiedzi.

Pierwszym z nich jest po prostu pomnożenie pierwiastków przez pierwszą właściwość i wyodrębnienie pierwiastka z wyniku:

Druga opcja jest następująca: nie dotykamy tego, pracujemy z . Wyciągamy mnożnik spod znaku pierwiastka, a następnie - zgodnie z pierwszą właściwością. Tak:

Możesz decydować ile chcesz. W każdej z opcji odpowiedź brzmi jeden – osiem. Na przykład łatwiej mi pomnożyć 4 przez 128 i otrzymać 512, a pierwiastek sześcienny można łatwo wydobyć z tej liczby. Jeśli ktoś nie pamięta, że ​​512 to 8 do sześcianu, to nie ma to znaczenia: możesz zapisać 512 jako 2 9 (pierwsze 10 potęg dwójki, mam nadzieję, że pamiętasz?) i korzystając ze wzoru na pierwiastek potęgi :

Inny przykład.

Oblicz: .

Jeśli będziesz pracować według pierwszej właściwości (składając wszystko pod jeden pierwiastek), otrzymasz pokaźną liczbę, z której będzie można następnie wydobyć korzeń – także nie cukier. I nie jest faktem, że zostanie on wyodrębniony dokładnie.) Dlatego warto tutaj usunąć czynniki spod pierwiastka z liczby. I wykorzystaj jak najlepiej:

A teraz wszystko jest w porządku:

Pozostaje tylko zapisać ósemkę i dwa pod jednym pierwiastkiem (zgodnie z pierwszą właściwością) i zadanie gotowe. :)

Teraz dodajmy kilka ułamków.

Obliczać:

Przykład jest dość prymitywny, ale zawiera również opcje. Możesz użyć mnożnika, aby przekształcić licznik i zmniejszyć go o mianownik:

Możesz też od razu skorzystać ze wzoru na dzielenie pierwiastków:

Jak widzimy, tak i tak – wszystko się zgadza.) Jeśli nie potkniesz się w połowie drogi i nie popełnisz błędu. Chociaż gdzie mogę się tutaj pomylić...

Spójrzmy teraz na ostatni przykład z pracy domowej z ostatniej lekcji:

Upraszczać:

Zupełnie niewyobrażalny zestaw korzeni, a nawet zagnieżdżonych. Co powinienem zrobić? Najważniejsze to się nie bać! Tutaj po raz pierwszy zauważamy pod pierwiastkami liczby 2, 4 i 32 - potęgi dwójki. Pierwszą rzeczą, którą należy zrobić, to zredukować wszystkie liczby do dwójek: wszak im więcej identycznych liczb w przykładzie i im mniej różnych, tym jest to łatwiejsze.) Zacznijmy osobno od pierwszego czynnika:

Liczbę można uprościć, redukując dwa pod pierwiastkiem do czterech w wykładniku pierwiastkowym:

Teraz, zgodnie z podstawą pracy:

.

Z liczby usuwamy dwa jako znak pierwiastka:

I zajmujemy się wyrażeniem, korzystając z pierwiastka wzoru pierwiastkowego:

Zatem pierwszy czynnik zostanie zapisany w następujący sposób:

Zagnieżdżone korzenie zniknęły, liczby stały się mniejsze, co już jest przyjemne. Tyle, że korzenie są inne, ale na razie zostawmy to tak. W razie potrzeby przerobimy je na takie same. Weźmy drugi czynnik.)

Drugi czynnik przekształcamy w podobny sposób, korzystając ze wzoru na pierwiastek iloczynu i pierwiastek z pierwiastka. W razie potrzeby zmniejszamy wskaźniki, stosując piątą formułę:

Wklejamy wszystko do oryginalnego przykładu i otrzymujemy:

Otrzymaliśmy produkt całej gamy zupełnie innych korzeni. Byłoby miło sprowadzić ich wszystkich do jednego wskaźnika, a potem zobaczymy. Cóż, jest to całkiem możliwe. Największym z wykładników pierwiastkowych jest 12, a wszystkie pozostałe - 2, 3, 4, 6 - są dzielnikami liczby 12. Dlatego wszystkie pierwiastki zgodnie z piątą właściwością sprowadzimy do jednego wykładnika - 12:

Liczymy i otrzymujemy:

Nie dostaliśmy ładnego numeru, ale to w porządku. Zapytano nas upraszczać wyraz, nie liczyć. Uproszczony? Z pewnością! Rodzaj odpowiedzi (liczba całkowita lub nie) nie odgrywa już tutaj żadnej roli.

Niektóre dodawanie/odejmowanie i skrócone wzory na mnożenie

Niestety, ogólne wzory na dodawanie i odejmowanie pierwiastków nie, w matematyce. Jednak w zadaniach często można znaleźć te działania z korzeniami. Tutaj trzeba zrozumieć, że wszelkie pierwiastki są dokładnie tymi samymi symbolami matematycznymi, co litery w algebrze.) I te same techniki i zasady dotyczą pierwiastków, co liter - otwieranie nawiasów, wprowadzanie podobnych, skrócone wzory mnożenia itp. s.

Na przykład dla każdego jest jasne, że . Dokładnie to samo identyczny Pierwiastki można dość łatwo dodawać/odejmować od siebie:

Jeśli pierwiastki są różne, szukamy sposobu, aby je wyrównać - dodając/odejmując mnożnik lub korzystając z piątej właściwości. Jeśli nie zostanie to w żaden sposób uproszczone, to być może transformacje są bardziej przebiegłe.

Spójrzmy na pierwszy przykład.

Znajdź znaczenie wyrażenia: .

Wszystkie trzy korzenie, choć sześcienne, pochodzą z różny takty muzyczne. Nie są one wyodrębniane wyłącznie i są dodawane/odejmowane od siebie. Dlatego stosowanie ogólnych wzorów nie sprawdza się tutaj. Co powinienem zrobić? Wyjmijmy czynniki z każdego pierwiastka. W każdym razie gorzej nie będzie.) Co więcej, tak naprawdę nie ma innych opcji:

Dlatego, .

To jest rozwiązanie. Tutaj z pomocą przenieśliśmy się z różnych korzeni do tych samych usunięcie mnożnika spod pierwiastka. A potem po prostu przywieźli podobne.) Decydujemy dalej.

Znajdź wartość wyrażenia:

Zdecydowanie nic nie można zrobić z pierwiastkiem siedemnastu. Pracujemy zgodnie z pierwszą właściwością - jeden pierwiastek tworzymy z iloczynu dwóch pierwiastków:

Teraz przyjrzyjmy się bliżej. Co kryje się pod naszym dużym pierwiastkiem sześciennym? Różnica jest jak... Cóż, oczywiście! Różnica kwadratów:

Teraz pozostaje tylko wyodrębnić katalog główny: .

Obliczać:

Tutaj będziesz musiał wykazać się pomysłowością matematyczną.) Myślimy w przybliżeniu w następujący sposób: „Tak więc w przykładzie iloczyn korzeni. Pod jednym pierwiastkiem jest różnica, a pod drugim suma. Bardzo podobny do wzoru różnicy kwadratów. Ale... Korzenie są inne! Pierwsza jest kwadratowa, a druga czwartego stopnia... Dobrze byłoby zrobić je takie same. Zgodnie z piątą właściwością z pierwiastka kwadratowego można łatwo utworzyć czwarty pierwiastek. Aby to zrobić, wystarczy wyrównać radykalne wyrażenie.

Jeśli pomyślałeś o tym samym, jesteś w połowie drogi do sukcesu. Absolutnie racja! Zamieńmy pierwszy czynnik na czwarty pierwiastek. Tak:

Teraz nie ma już nic do zrobienia, ale będziesz musiał zapamiętać wzór na kwadrat różnicy. Tylko przy zastosowaniu na korzenie. No to co? Dlaczego pierwiastki są gorsze od innych liczb i wyrażeń?! Budujemy:

„Hmm, cóż, wznieśli go i co z tego? Chrzan nie jest słodszy od rzodkiewki. Zatrzymywać się! A jeśli usuniesz cztery pod korzeniem? Wtedy wyjdzie to samo wyrażenie, co pod drugim pierwiastkiem, tylko z minusem i właśnie to staramy się osiągnąć!”

Prawidłowy! Weźmy cztery:

.

A teraz - kwestia technologii:

Tak rozplątuje się skomplikowane przykłady.) Teraz czas na ćwiczenie z ułamkami zwykłymi.

Obliczać:

Oczywiste jest, że licznik należy przeliczyć. Jak? Oczywiście korzystając ze wzoru na kwadrat sumy. Czy mamy jakieś inne opcje? :) Wyrównujemy to, usuwamy czynniki, zmniejszamy wskaźniki (jeśli to konieczne):

Wow! Otrzymaliśmy dokładnie mianownik naszego ułamka.) Oznacza to, że cały ułamek jest oczywiście równy jeden:

Inny przykład. Tylko teraz o innym wzorze na skrócone mnożenie.)

Obliczać:

Oczywiste jest, że w praktyce należy stosować kwadrat różnicy. Osobno zapisujemy mianownik i - chodźmy!

Wyciągamy czynniki spod korzeni:

Stąd,

Teraz wszystko, co złe, zostało znakomicie zredukowane i okazuje się:

Cóż, przejdźmy na wyższy poziom. :)

Listy i warunki dodatkowe

Wyrażenia dosłowne z pierwiastkami są trudniejsze niż wyrażenia liczbowe i stanowią niewyczerpane źródło irytujących i bardzo poważnych błędów. Zamknijmy to źródło.) Błędy wynikają z faktu, że takie zadania często dotyczą liczb i wyrażeń ujemnych. Są one albo podawane nam bezpośrednio w zadaniu, albo ukryte w pisma i dodatkowe warunki. A w procesie pracy z korzeniami musimy stale o tym pamiętać w korzeniach nawet stopień powinno być zarówno pod samym korzeniem, jak i w wyniku wyrwania korzenia wyrażenie nieujemne. Kluczową formułą w zadaniach tego paragrafu będzie czwarta formuła:

Nie ma pytań z pierwiastkami stopni nieparzystych - zawsze wyodrębnia się wszystko, zarówno pozytywne, jak i negatywne. A minus, jeśli w ogóle, jest przesunięty. Przejdźmy od razu do korzeni nawet stopni.) Na przykład takie krótkie zadanie.

Upraszczać: , Jeśli .

Wydawać by się mogło, że wszystko jest proste. Po prostu okaże się, że jest to X.) Ale po co więc dodatkowy warunek? W takich przypadkach przydatne jest szacowanie za pomocą liczb. Wyłącznie dla siebie.) Jeśli, to x jest oczywiście liczbą ujemną. Minus trzy, na przykład. Albo minus czterdzieści. Pozwalać . Czy potrafisz podnieść minus trzy do potęgi czwartej? Z pewnością! Wynik to 81. Czy można wyodrębnić czwarty pierwiastek z 81? Dlaczego nie? Móc! Dostajesz trzy. Przeanalizujmy teraz cały nasz łańcuch:

Co widzimy? Dane wejściowe były liczbą ujemną, a dane wyjściowe były już dodatnie. Było minus trzy, teraz jest plus trzy.) Wróćmy do liter. Bez wątpienia modulo będzie to dokładnie X, ale tylko samo X jest minusem (według warunku!), a wynikiem ekstrakcji (ze względu na pierwiastek arytmetyczny!) musi być plus. Jak zdobyć plusa? Bardzo proste! Aby to zrobić, po prostu postaw minus przed liczbą oczywiście ujemną.) Prawidłowe rozwiązanie wygląda następująco:

Swoją drogą, gdybyśmy skorzystali ze wzoru, to pamiętając definicję modułu, od razu otrzymalibyśmy poprawną odpowiedź. Ponieważ

|x| = -x przy x<0.

Usuń współczynnik ze znaku pierwiastka: , Gdzie .

Na pierwszy rzut oka widać radykalne wyrażenie. Wszystko jest tutaj w porządku. W każdym razie nie będzie to wynik negatywny. Zacznijmy ekstrakcję. Korzystając ze wzoru na pierwiastek iloczynu, wyodrębniamy pierwiastek każdego czynnika:

Myślę, że nie trzeba wyjaśniać, skąd wzięły się moduły.) Teraz przeanalizujmy każdy z modułów.

Mnożnik | A | zostawiamy to bez zmian: nie mamy żadnego warunku dla literyA. Nie wiemy, czy jest to pozytywne, czy negatywne. Następny moduł |b 2 | można bezpiecznie pominąć: w każdym razie wyrażenieb 2 nieujemne. Ale o |c 3 | - tu już jest problem.) Jeśli, Następnie c 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть z minusem: | c 3 | = - c 3 . W sumie prawidłowym rozwiązaniem byłoby:

A teraz - problem odwrotny. Nie najłatwiejsze, od razu ostrzegam!

Wprowadź mnożnik pod znakiem pierwiastka: .

Jeśli od razu zapiszesz rozwiązanie w ten sposób

potem ty wpadł w pułapkę. Ten zła decyzja! O co chodzi?

Przyjrzyjmy się bliżej wyrażeniu pod pierwiastkiem. Pod podstawą czwartego stopnia, jak wiemy, powinno być nieujemne wyrażenie. W przeciwnym razie pierwiastek nie ma znaczenia.) Dlatego A to z kolei oznacza, że ​​i dlatego samo w sobie jest również niedodatnie: .

Błąd polega na tym, że wprowadzamy u źródła niepozytywne numer: czwarty stopień zamienia to w nieujemne i uzyskuje się zły wynik - po lewej stronie jest zamierzony minus, a po prawej jest już plus. I umieść go w korzeniu nawet stopnia mamy tylko prawo nieujemne liczby lub wyrażenia. I zostaw minus, jeśli taki istnieje, przed pierwiastkiem.) Jak możemy wybrać nieujemny współczynnik w liczbie, wiedząc, że samo w sobie jest całkowicie negatywne? Tak, dokładnie to samo! Umieść minus.) I żeby nic się nie zmieniło, zrekompensuj to innym minusem. Tak:

A teraz już nieujemne Spokojnie wpisujemy liczbę (-b) pod pierwiastek zgodnie ze wszystkimi zasadami:

Ten przykład wyraźnie pokazuje, że w przeciwieństwie do innych działów matematyki, w pierwiastkach poprawna odpowiedź nie zawsze wynika automatycznie ze wzorów. Musisz pomyśleć i osobiście podjąć właściwą decyzję.) Powinieneś zachować szczególną ostrożność przy znakach irracjonalne równania i nierówności.

Przyjrzyjmy się kolejnej ważnej technice podczas pracy z korzeniami - pozbycie się irracjonalności.

Eliminowanie irracjonalności w ułamkach

Jeśli wyrażenie zawiera pierwiastki, to przypomnę, takie wyrażenie nazywa się wyrażenie z irracjonalnością. W niektórych przypadkach przydatne może być pozbycie się tej właśnie irracjonalności (tj. korzeni). Jak usunąć root? Nasz korzeń znika, gdy... zostaje podniesiony do potęgi. Ze wskaźnikiem równym wskaźnikowi pierwiastkowemu lub jego wielokrotności. Ale jeśli podniesiemy pierwiastek do potęgi (tj. pomnożymy pierwiastek przez siebie wymaganą liczbę razy), wówczas wyrażenie się zmieni. Niezbyt dobrze.) Jednak w matematyce są tematy, w których mnożenie jest całkiem bezbolesne. W ułamkach np. Zgodnie z podstawową właściwością ułamka, jeśli licznik i mianownik zostaną pomnożone (podzielone) przez tę samą liczbę, wartość ułamka nie ulegnie zmianie.

Powiedzmy, że mamy dany ułamek:

Czy można pozbyć się pierwiastka z mianownika? Móc! Aby to zrobić, korzeń należy pokroić w kostkę. Czego brakuje nam w mianowniku pełnej kostki? Brakuje nam mnożnika, tj.. Zatem mnożymy licznik i mianownik ułamka przez

Pierwiastek w mianowniku zniknął. Ale... pojawił się w liczniku. Nic nie można zrobić, taki jest los.) To już nie jest dla nas ważne: poproszono nas o uwolnienie mianownika od korzeni. Wydany? Niewątpliwie.)

Nawiasem mówiąc, ci, którzy już dobrze radzą sobie z trygonometrią, mogli zwrócić uwagę na fakt, że na przykład w niektórych podręcznikach i tabelach wyznaczają inaczej: gdzieś i gdzieś. Pytanie brzmi – co jest słuszne? Odpowiedź: wszystko się zgadza!) Jeśli zgadniesz– to po prostu skutek wyzwolenia się od irracjonalności w mianowniku ułamka. :)

Dlaczego powinniśmy uwolnić się od irracjonalności ułamków? Jaka to różnica – pierwiastek jest w liczniku czy w mianowniku? Kalkulator i tak wszystko obliczy.) No cóż, dla tych, którzy nie rozstają się z kalkulatorem, tak naprawdę nie ma praktycznie żadnej różnicy... Ale nawet licząc na kalkulator, można zwrócić uwagę na to, że dzielić NA cały numer jest zawsze wygodniejszy i szybszy niż włączony irracjonalny. A o podziale na kolumny przemilczę.)

Poniższy przykład tylko potwierdzi moje słowa.

Jak możemy tutaj wyeliminować pierwiastek kwadratowy z mianownika? Jeśli licznik i mianownik zostaną pomnożone przez wyrażenie, wówczas mianownikiem będzie kwadrat sumy. Suma kwadratów pierwszej i drugiej liczby da nam po prostu liczby bez pierwiastków, co jest bardzo przyjemne. Jednakże... pojawi się podwójny produkt pierwszą liczbę do drugiej, gdzie pierwiastek z trzech nadal pozostanie. Nie nadaje kanału. Co powinienem zrobić? Zapamiętaj kolejny wspaniały wzór na skrócone mnożenie! Gdzie nie ma produktów podwójnych, a jedynie kwadraty:

Wyrażenie, które po pomnożeniu przez pewną sumę (lub różnicę) daje różnica kwadratów, zwany także wyrażenie sprzężone. W naszym przykładzie wyrażenie koniugatu będzie różnicą. Zatem mnożymy licznik i mianownik przez tę różnicę:

Co mogę powiedzieć? W wyniku naszych manipulacji nie tylko zniknął pierwiastek mianownika, ale ułamek zniknął całkowicie! :) Nawet za pomocą kalkulatora odejmowanie pierwiastka z trzech jest łatwiejsze niż obliczenie ułamka z pierwiastkiem w mianowniku. Inny przykład.

Uwolnij się od irracjonalności w mianowniku ułamka:

Jak się z tego wydostać? Wzory na skrócone mnożenie przez kwadraty nie działają od razu - pierwiastków nie da się całkowicie wyeliminować, bo tym razem nasz pierwiastek nie jest kwadratowy, ale sześcienny. Konieczne jest, aby korzeń został w jakiś sposób podniesiony do sześcianu. Dlatego należy zastosować jeden ze wzorów z kostkami. Jaki? Pomyślmy o tym. Mianownik to suma. Jak możemy uzyskać sześcian pierwiastka? Pomnóż przez częściowa kwadratowa różnica! Zastosujemy więc formułę suma kostek. Ten:

Jak A mamy trzy i jako jakość B– pierwiastek sześcienny z pięciu:

I znowu ułamek zniknął.) Takie sytuacje, gdy uwolniony od irracjonalności w mianowniku ułamka, sam ułamek całkowicie znika wraz z pierwiastkami, zdarzają się bardzo często. Jak ci się podoba ten przykład!

Obliczać:

Po prostu spróbuj dodać te trzy ułamki! Żadnych błędów! :) Warto mieć jeden wspólny mianownik. A gdybyśmy spróbowali uwolnić się od irracjonalności mianownika każdego ułamka? Cóż, spróbujmy:

Wow, jakie ciekawe! Wszystkie ułamki zniknęły! Całkowicie. A teraz przykład można rozwiązać na dwa sposoby:

Prosty i elegancki. I to bez długich i żmudnych obliczeń. :)

Dlatego trzeba umieć dokonać operacji wyzwolenia z irracjonalności w ułamkach. W tak wyrafinowanych przykładach to jedyna rzecz, która oszczędza, tak.) Oczywiście nikt nie anulował uważności. Są zadania, w których jesteś proszony o pozbycie się irracjonalności licznik ułamka. Zadania te nie różnią się od omawianych, jedynie licznik jest usuwany z pierwiastków.)

Bardziej złożone przykłady

Pozostaje rozważyć kilka specjalnych technik pracy z korzeniami i poćwiczyć rozwiązywanie nie najprostszych przykładów. A wtedy otrzymane informacje wystarczą do rozwiązania zadań o korzeniach o dowolnym poziomie złożoności. Więc - śmiało.) Najpierw zastanówmy się, co zrobić z zagnieżdżonymi korzeniami, gdy formuła korzenia z korzenia nie działa. Oto przykład.

Obliczać:

Korzeń jest pod korzeniem... Co więcej, pod korzeniami jest suma, czyli różnica. Dlatego wzór na pierwiastek pierwiastkowy (z mnożeniem wykładników) znajduje się tutaj nie działa. Trzeba więc coś z tym zrobić radykalne wyrażenia: Po prostu nie mamy innego wyjścia. W takich przykładach najczęściej szyfrowany jest duży katalog główny idealny kwadrat dowolna ilość. Albo różnice. A pierwiastek kwadratu można już doskonale wyodrębnić! A teraz naszym zadaniem jest go odszyfrować.) Takie odszyfrowanie jest pięknie wykonane układ równań. Teraz zobaczysz wszystko na własne oczy.)

Zatem pod pierwszym pierwiastkiem mamy następujące wyrażenie:

A co jeśli nie zgadłeś prawidłowo? Sprawdźmy! Podnosimy to do kwadratu korzystając ze wzoru na kwadrat sumy:

Zgadza się.) Ale... Skąd wziąłem to wyrażenie? Z nieba?

Nie.) Szczerze mówiąc, dostaniemy to trochę niżej. Po prostu używając tego wyrażenia, pokazuję dokładnie, w jaki sposób autorzy zadań szyfrują takie kwadraty. :) Co to jest 54? Ten suma kwadratów pierwszej i drugiej liczby. I uwaga, już bez korzeni! A korzeń pozostaje podwójny produkt, co w naszym przypadku jest równe . Dlatego rozwikłanie takich przykładów rozpoczyna się od poszukiwania iloczynu podwójnego. Jeśli odkryjesz zwykły wybór. A tak przy okazji, o znakach. Tutaj wszystko jest proste. Jeśli przed podwójną liczbą jest plus, to kwadrat sumy. Jeśli jest minus, to różnice.) Mamy plus – czyli kwadrat sumy.) A teraz – obiecana analityczna metoda dekodowania. Przez system.)

Tak więc pod naszym korzeniem wyraźnie widać wyrażenie (a+b) 2, a naszym zadaniem jest znaleźć A I B. W naszym przypadku suma kwadratów daje 54. Zatem piszemy:

Teraz podwój produkt. Mamy to. Zapisujemy więc to:

Mamy taki układ:

Rozwiązujemy zwykłą metodą podstawienia. Wyrażamy na przykład drugie równanie i podstawiamy je do pierwszego:

Rozwiążmy pierwsze równanie:

Otrzymane bikwadratowy równanie względneA . Obliczamy dyskryminator:

Oznacza,

Otrzymaliśmy aż cztery możliwe wartościA. Nie boimy się. Teraz odsiejemy wszystkie niepotrzebne rzeczy.) Jeśli teraz obliczymy odpowiednie wartości dla każdej z czterech znalezionych wartości, otrzymamy cztery rozwiązania dla naszego układu. Oto one:

I tu pojawia się pytanie – które rozwiązanie będzie dla nas odpowiednie? Pomyślmy o tym. Rozwiązania negatywne można natychmiast odrzucić: podczas podniesienia do kwadratu minusy „wypalą się”, a całe radykalne wyrażenie jako całość nie ulegnie zmianie.) Pierwsze dwie opcje pozostają. Można je wybierać całkowicie dowolnie: przestawianie terminów nadal nie powoduje zmiany sumy.) Niech na przykład a .

W sumie pod pierwiastkiem otrzymaliśmy kwadrat następującej sumy:

Wszystko jest jasne.)

Nie bez powodu tak szczegółowo opisuję proces decyzyjny. Aby było jasne, w jaki sposób następuje deszyfrowanie.) Ale jest jeden problem. Analityczna metoda dekodowania, choć niezawodna, jest bardzo długa i uciążliwa: trzeba rozwiązać równanie dwukwadratowe, uzyskać cztery rozwiązania układu, a potem jeszcze zastanawiać się, które z nich wybrać... Kłopot? Zgadzam się, jest to kłopotliwe. Ta metoda działa bezbłędnie w większości tych przykładów. Jednak bardzo często można zaoszczędzić sobie sporo pracy i kreatywnie znaleźć obie liczby. Przez wybór.) Tak, tak! Teraz na przykładzie drugiego członu (drugiego pierwiastka) pokażę łatwiejszy i szybszy sposób wyodrębnienia całego kwadratu pod pierwiastkiem.

Mamy więc teraz ten korzeń: .

Pomyślmy tak: „Pod korzeniem najprawdopodobniej znajduje się zaszyfrowany cały kwadrat. Gdy przed podwójną liczbą pojawia się minus, oznacza to kwadrat różnicy. Suma kwadratów pierwszej i drugiej liczby daje nam liczbę 54. Ale co to za kwadraty? 1 i 53? 49 i 5 ? Opcji jest za dużo... Nie, rozplątanie lepiej zacząć od podwójnego produktu. Naszmożna zapisać jako . Produkt Timesa podwoił się, to natychmiast odrzucamy te dwa. Następnie kandydaci na tę rolę a i b pozostają 7 i . A co jeśli będzie 14 i/2 ? To możliwe. Ale zawsze zaczynamy od czegoś prostego!” Zatem niech , a. Sprawdźmy je pod kątem sumy kwadratów:

To zadziałało! Oznacza to, że nasze radykalne wyrażenie jest w rzeczywistości kwadratem różnicy:

Oto prosty sposób na uniknięcie ingerencji w system. Nie zawsze to działa, ale w wielu z tych przykładów jest w zupełności wystarczające. Tak więc pod korzeniami znajdują się pełne kwadraty. Pozostaje tylko poprawnie wyodrębnić pierwiastki i obliczyć przykład:

Teraz spójrzmy na jeszcze bardziej niestandardowe zadanie dotyczące korzeni.)

Udowodnić, że liczba A– liczba całkowita, jeśli .

Nic nie jest wydobywane bezpośrednio, korzenie są wtapiane, a nawet w różnym stopniu... Koszmar! Jednak zadanie ma sens.) Dlatego istnieje klucz do jego rozwiązania.) I kluczem jest tutaj. Rozważmy naszą równość

Jak równanie względne A. Tak, tak! Dobrze byłoby pozbyć się korzeni. Nasze pierwiastki są sześcienne, więc podnieśmy obie strony równania do sześcianu. Według formuły sześcian sumy:

Kostki i pierwiastki sześcienne znoszą się nawzajem, a pod każdym dużym pierwiastkiem bierzemy jeden nawias z kwadratu i zwijamy iloczyn różnicy i sumy w różnicę kwadratów:

Oddzielnie obliczamy różnicę kwadratów pod pierwiastkami:

Właściwości pierwiastków leżą u podstaw dwóch kolejnych przekształceń, zwanych wprowadzeniem ich pod znak pierwiastka i wyjęciem spod znaku korzenia, które teraz rozważymy.

Wpisanie mnożnika pod znakiem pierwiastka

Wprowadzenie czynnika pod znak oznacza zastąpienie wyrażenia , gdzie B i C są pewnymi liczbami lub wyrażeniami, a n jest liczbą naturalną większą od jedności, identycznym wyrażeniem postaci lub .

Na przykład po wprowadzeniu współczynnika 2 pod pierwiastkiem wyrażenie irracjonalne przyjmuje postać .

Teoretyczne podstawy tej transformacji, zasady jej realizacji, a także rozwiązania różnych typowych przykładów podano w artykule wprowadzającym mnożnik pod znakiem pierwiastka.

Usunięcie mnożnika spod znaku pierwiastka

Transformacja, w pewnym sensie przeciwieństwo wprowadzenia czynnika pod pierwiastek, polega na usunięciu czynnika spod pierwiastka. Polega na przedstawieniu pierwiastka jako iloczynu dla nieparzystego n lub jako iloczynu dla parzystego n, gdzie B i C to pewne liczby lub wyrażenia.

Dla przykładu wróćmy do poprzedniego akapitu: wyrażenie irracjonalne po usunięciu czynnika spod znaku pierwiastka przyjmuje postać . Inny przykład: usunięcie czynnika spod pierwiastka w wyrażeniu daje iloczyn, który można przepisać jako .

Na czym opiera się ta transformacja i na jakich zasadach jest przeprowadzana, zbadamy w osobnym artykule usunięcie mnożnika spod znaku pierwiastka. Tam też podamy rozwiązania przykładów i wyszczególnimy sposoby zredukowania radykalnego wyrażenia do formy wygodnej do mnożenia.

Zamiana ułamków zawierających pierwiastki

Wyrażenia niewymierne mogą zawierać ułamki, które mają pierwiastki w liczniku i mianowniku. Za pomocą takich frakcji możesz wykonać dowolne z podstawowych przekształcenia tożsamościowe ułamków.

Po pierwsze, nic nie stoi na przeszkodzie, aby pracować z wyrażeniami w liczniku i mianowniku. Rozważmy na przykład ułamek. Wyrażenie niewymierne w liczniku jest oczywiście identyczne i przechodząc do własności pierwiastków, wyrażenie w mianowniku można zastąpić pierwiastkiem. W rezultacie pierwotny ułamek jest konwertowany do postaci .

Po drugie, możesz zmienić znak przed ułamkiem zwykłym, zmieniając znak licznika lub mianownika. Na przykład zachodzą następujące transformacje wyrażenia irracjonalnego: .

Po trzecie, czasami możliwe i wskazane jest zmniejszenie ułamka. Na przykład, jak odmówić sobie przyjemności zmniejszania ułamka do wyrażenia irracjonalnego, w wyniku czego otrzymujemy .

Oczywiste jest, że w wielu przypadkach przed skróceniem ułamka należy rozłożyć na czynniki wyrażenia w jego liczniku i mianowniku, co w prostych przypadkach można osiągnąć za pomocą skróconych wzorów na mnożenie. Czasami pomaga zmniejszyć ułamek, zastępując zmienną, co pozwala przejść od pierwotnego ułamka z irracjonalnością do ułamka racjonalnego, z którym praca jest wygodniejsza i bardziej znana.

Weźmy na przykład wyrażenie . Wprowadźmy nowe zmienne i w tych zmiennych pierwotne wyrażenie ma postać . Wystąpił w liczniku

PRACA PRAKTYCZNA nr 1

Temat: „Transformacja wyrażeń algebraicznych, wymiernych, irracjonalnych i potęgowych”.

Cel pracy: nauczyć się przekształcać wyrażenia algebraiczne, wymierne, irracjonalne, potęgowe za pomocą skróconych wzorów na mnożenie, podstawowe właściwości pierwiastków i potęg.

Informacje teoretyczne.

KORZENIE STOPNIA NATURALNEGO Z LICZBY, ICH WŁAŚCIWOŚCI.

Źródło N – stopnie : , N - wykładnik pierwiastkowy, A - radykalne wyrażenie

Jeśli N – liczba nieparzysta, potem wyrażenie ma sens, kiedy A

Jeśli N – liczba parzysta, wtedy wyrażenie ma sens kiedy

Pierwiastek arytmetyczny:

Nieparzysty pierwiastek liczby ujemnej:

PODSTAWOWE WŁAŚCIWOŚCI KORZENI

Zasada wyodrębniania korzenia z produktu:

Zasada wyodrębniania korzenia z korzenia:

Zasada usuwania mnożnika spod znaku pierwiastka:

Wpisanie mnożnika pod pierwiastkiem:

,

Indeks pierwiastka i indeks wyrażenia radykalnego można pomnożyć przez tę samą liczbę.

Zasada podnoszenia pierwiastka do potęgi.

STOPIEŃ ZE WSKAŹNIKIEM NATURALNYM

= , A – podstawa stopnia,N – wykładnik

Właściwości:

Przy mnożeniu potęg o tych samych podstawach wykładniki są dodawane, ale podstawa pozostaje niezmieniona.

Dzieląc stopnie o tych samych podstawach, wykładniki są odejmowane, ale podstawa pozostaje niezmieniona.

Przy podnoszeniu potęgi do potęgi wykładniki mnoży się.

Podnosząc iloczyn dwóch liczb do potęgi, każdą liczbę podnosi się do tej potęgi, a wyniki mnoży się.

Jeśli iloraz dwóch liczb zostanie podniesiony do potęgi, wówczas licznik i mianownik zostaną podniesione do tej potęgi, a wynik zostanie przez siebie podzielony.

STOPIEŃ ZE WSKAŹNIKIEM CAŁKOWITYM

Właściwości:

Na R >0 > Na R <0

7 . Dla dowolnych liczb wymiernychR IS z nierówności > powinien

> Na A >1 Na

Skrócone wzory na mnożenie.

Przykład 1. Uprość wyrażenie.

Zastosujmy własności potęg (mnożenie potęg o tej samej podstawie i dzielenie potęg o tej samej podstawie): .

Odpowiedź: 9m 7 .

Przykład 2. Skróć ułamek:

Rozwiązanie. Zatem dziedziną definicji ułamka są wszystkie liczby z wyjątkiem x ≠ 1 i x ≠ -2. .Redukując ułamek, otrzymujemy .Dziedzina definicji ułamka wynikowego: x ≠ -2, tj. szerszy niż zakres definicji frakcji wyjściowej. Dlatego ułamki i są równe dla x ≠ 1 i x ≠ -2.

Przykład 3. Skróć ułamek:

Przykład 4. Upraszczać:

Przykład 5.Upraszczać:

Przykład 6. Upraszczać:

Przykład 7. Upraszczać:

Przykład 8. Upraszczać:

Przykład 9. Obliczać: .

Rozwiązanie.

Przykład 10. Uprość wyrażenie:

Rozwiązanie.

Przykład 11.Zmniejsz ułamek jeśli

Rozwiązanie. .

Przykład 12. Uwolnij się od irracjonalności w mianowniku ułamka

Rozwiązanie. W mianowniku mamy niewymierność drugiego stopnia, dlatego mnożymy zarówno licznik, jak i mianownik ułamka przez wyrażenie sprzężone, czyli sumę liczb i , następnie w mianowniku mamy różnicę kwadratów, która eliminuje irracjonalność.

1. Uprość wyrażenie:

, gdzie a jest liczbą wymierną, B – liczba naturalna

,

5. Uprość:

;

,
,

10. Wykonaj następującą akcję:

8. Zmniejsz ułamek

9. Podejmij działanie

OPCJA - II

1. Uprość wyrażenie:

2. Znajdź znaczenie wyrażenia:

3. Przedstaw potęgę z wykładnikiem ułamkowym jako pierwiastkiem

4. Sprowadź podane wyrażenie do postaci
, gdzie a jest liczbą wymierną, B – liczba naturalna

,

5. Uprość:

;

6. Zamień pierwiastki arytmetyczne na potęgi z wykładnikiem ułamkowym

,
,

7. Przedstaw wyrażenie jako ułamek, którego mianownik nie zawiera pierwiastka

10. Wykonaj następującą akcję:

8. Zmniejsz ułamek

9. Podejmij działanie

1. Wykonaj tę czynność:

2. Znajdź znaczenie wyrażenia:

3. Przedstaw potęgę z wykładnikiem ułamkowym jako pierwiastkiem

4. Sprowadź podane wyrażenie do postaci
, gdzie a jest liczbą wymierną, B – liczba naturalna

,

5. Uprość:

;

6. Zamień pierwiastki arytmetyczne na potęgi z wykładnikiem ułamkowym

,
,

7. Przedstaw wyrażenie jako ułamek, którego mianownik nie zawiera pierwiastka

10. Wykonaj następującą akcję:

8. Zmniejsz ułamek

9. Podejmij działanie

OPCJA - IV

1. Wykonaj tę czynność:

2. Znajdź znaczenie wyrażenia:

3. Przedstaw potęgę z wykładnikiem ułamkowym jako pierwiastkiem

,

4. Sprowadź podane wyrażenie do postaci
, gdzie a jest liczbą wymierną, B – liczba naturalna

,

5. Uprość:

Trener nr 1

Temat: Zamiana potęgi i wyrażeń niewymiernych

1. Program zajęć do wyboru z matematyki dla uczniów klas 10

   Program

   Aplikacja. Zastosowanie podstawowych wzorów trygonometrycznych do transformacja wyrażenia. Temat 4. Funkcje trygonometryczne i ich wykresy. Podsumuj... . 16.01-20.01 18 Konwersja stateczny I irracjonalny wyrażenia. 23.01-27.01 19 ...

2. Kalendarz i planowanie tematyczne algebry materiału edukacyjnego i początków analizy, klasa 11

   Kalendarz i planowanie tematyczne

   I racjonalny wskaźnik. Konwersja stateczny I irracjonalny wyrażenia. 2 2 2 Wrzesień Własności logarytmów. Konwersja logarytmiczny wyrażenia. 1 1 1 ... są uwzględniane w całości od te studenci, którzy chcą osiągać wysokie...

3. Temat lekcji Rodzaj lekcji (4)

   Lekcja

   ... transformacja numeryczne i alfabetyczne wyrażenia, zawierający stopnie ... stopnie Wiadomo: koncepcja stopień z irracjonalnym wskaźnikiem; podstawowe właściwości stopnie. Potrafić: znaleźć sens stopnie Z irracjonalny... 3 do temat « Stopień liczba dodatnia...

4. Temat: Kulturowe i historyczne podstawy rozwoju wiedzy psychologicznej w pracy Temat: Praca jako rzeczywistość społeczno-psychologiczna

   Dokument

   Itp.) temat praca jest ściśle powiązana ze sferą społeczno-ekonomiczną przemiany. Na przykład… restrukturyzacja świadomości, instynktów, irracjonalny trendy, tj. wewnętrzne konflikty... wyjaśniające obecność i stopnie powaga człowiek ma pewne...

5. Konwersja wyrażeń zawierających pierwiastki kwadratowe (1)

   Lekcja

   Pod redakcją S.A. Telyakovsky. Temat lekcja: Konwersja wyrażenia, zawierający kwadrat...) transformacja pierwiastki produktu, frakcji i stopnie, mnożenie... (kształcenie umiejętności identyczności przemiany irracjonalny wyrażenia). Nr 421. (przy tablicy...