Jak rozwiązać wykładniczy. Wykład: „Metody rozwiązywania równań wykładniczych

Uniwersytet Państwowy w Biełgorodzie

DZIAŁ algebrę, teorię liczb i geometrię

Temat: Równania i nierówności potęg wykładniczych.

Praca student Wydziału Fizyki i Matematyki

Opiekun naukowy:

______________________________

Recenzent: _______________________________

________________________

Biełgorod. 2006

Wstęp.

„...radość widzenia i zrozumienia…”

A. Einsteina.

W tej pracy starałem się przekazać moje doświadczenie jako nauczyciela matematyki, choć w pewnym stopniu oddać mój stosunek do jej nauczania - ludzkiego przedsięwzięcia, w którym nauki matematyczne, pedagogika, dydaktyka, psychologia, a nawet filozofia są ze sobą zaskakująco powiązane.

Miałem okazję pracować z dziećmi i absolwentami, z dziećmi na biegunach rozwoju intelektualnego: tymi, które były zapisane u psychiatry i które naprawdę interesowały się matematyką

Miałem okazję rozwiązać wiele problemów metodologicznych. Postaram się opowiedzieć o tych, które udało mi się rozwiązać. Ale jeszcze więcej zawiodło i nawet w tych, które wydają się zostać rozwiązane, pojawiają się nowe pytania.

Ale jeszcze ważniejsze od samego doświadczenia są refleksje i wątpliwości nauczyciela: dlaczego to jest właśnie to, to doświadczenie?

A lato jest teraz inne, a rozwój edukacji stał się ciekawszy. „Pod Jowiszami” nie jest dziś poszukiwaniem mitycznego optymalnego systemu nauczania „wszystkich i wszystkiego”, ale samego dziecka. Ale potem - z konieczności - nauczyciel.

W szkolnym toku algebry i na początku analizy, w klasach 10-11, przy zdaniu Unified State Exam dla kursu w szkole średniej i na egzaminach wstępnych na uniwersytety spotyka się równania i nierówności zawierające niewiadomą w podstawie i wykładnikach - te są równaniami wykładniczymi i nierównościami.

W szkole poświęca się im niewiele uwagi, w podręcznikach praktycznie nie ma zadań na ten temat. Wydaje mi się jednak, że opanowanie metodologii ich rozwiązywania jest bardzo przydatne: zwiększa zdolności umysłowe i twórcze uczniów, a przed nami otwierają się zupełnie nowe horyzonty. Rozwiązując problemy, uczniowie nabywają pierwsze umiejętności pracy badawczej, wzbogaca się ich kultura matematyczna i rozwijają zdolności logicznego myślenia. Dzieci w wieku szkolnym rozwijają takie cechy osobowości, jak determinacja, wyznaczanie celów i niezależność, które przydadzą im się w późniejszym życiu. Istnieje także powtarzanie, rozszerzanie i głęboka asymilacja materiału edukacyjnego.

Zacząłem pracować nad tym tematem w ramach badań do mojej pracy magisterskiej, pisząc zajęcia. W trakcie dogłębnych studiów i analizy literatury matematycznej na ten temat zidentyfikowałem najodpowiedniejszą metodę rozwiązywania równań i nierówności wykładniczych.

Polega na tym, że oprócz ogólnie przyjętego podejścia przy rozwiązywaniu równań wykładniczych (przyjmuje się, że podstawa jest większa niż 0) i przy rozwiązywaniu tych samych nierówności (przyjmuje się, że podstawa jest większa niż 1 lub większa niż 0, ale mniejsza niż 1) , rozważane są również przypadki, gdy podstawy są ujemne, równe 0 i 1.

Z analizy pisemnych prac egzaminacyjnych uczniów wynika, że ​​brak uwzględnienia w podręcznikach szkolnych zagadnienia o ujemnej wartości argumentu funkcji wykładniczej nastręcza im szereg trudności i prowadzi do błędów. A problemy mają też na etapie usystematyzowania uzyskanych wyników, gdzie w wyniku przejścia do równania – konsekwencji lub nierówności – w konsekwencji mogą pojawić się obce pierwiastki. W celu wyeliminowania błędów stosujemy test z wykorzystaniem pierwotnego równania lub nierówności oraz algorytm rozwiązywania równań wykładniczych, lub plan rozwiązywania nierówności wykładniczych.

Uważam, że aby studenci pomyślnie zdali egzaminy końcowe i wstępne, należy zwracać większą uwagę na rozwiązywanie równań wykładniczych i nierówności na zajęciach lub dodatkowo w zajęciach fakultatywnych i klubowych.

Zatem temat moją tezę zdefiniowano następująco: „Równania potęg wykładniczych i nierówności”.

Cele tej pracy to:

1. Przeanalizuj literaturę na ten temat.

2. Podaj pełną analizę rozwiązań równań wykładniczych i nierówności.

3. Podaj wystarczającą liczbę przykładów różnego typu na ten temat.

4. Sprawdź na zajęciach klasowych, fakultatywnych i klubowych, jak będą postrzegane proponowane metody rozwiązywania równań wykładniczych i nierówności. Podaj odpowiednie zalecenia dotyczące studiowania tego tematu.

Temat Nasze badania mają na celu opracowanie metodologii rozwiązywania równań i nierówności wykładniczych.

Cel i przedmiot badań wymagał rozwiązania następujących problemów:

1. Przestudiuj literaturę na temat: „Równania potęg wykładniczych i nierówności”.

2. Opanować techniki rozwiązywania równań wykładniczych i nierówności.

3. Wybierz materiał szkoleniowy i opracuj system ćwiczeń na różnych poziomach na temat: „Rozwiązywanie równań wykładniczych i nierówności”.

W trakcie badań magisterskich przeanalizowano ponad 20 prac dotyczących zastosowania różnych metod rozwiązywania równań i nierówności wykładniczych. Stąd dostajemy.

Plan pracy dyplomowej:

Wstęp.

Rozdział I. Analiza literatury dotyczącej tematu badań.

Rozdział II. Funkcje i ich własności stosowane w rozwiązywaniu równań wykładniczych i nierówności.

II.1. Funkcja potęgowa i jej właściwości.

II.2. Funkcja wykładnicza i jej własności.

Rozdział III. Rozwiązywanie równań potęg wykładniczych, algorytm i przykłady.

Rozdział IV. Rozwiązywanie nierówności wykładniczych, plan rozwiązania i przykłady.

Rozdział V. Doświadczenia w prowadzeniu zajęć z dziećmi w wieku szkolnym na ten temat.

1.Materiały szkoleniowe.

2.Zadania do samodzielnego rozwiązania.

Wniosek. Wnioski i sugestie.

Wykaz używanej literatury.

W rozdziale I dokonano analizy literatury

Równania wykładnicze to takie, w których niewiadoma jest zawarta w wykładniku. Najprostsze równanie wykładnicze ma postać: a x = a b, gdzie a > 0, a 1, x jest nieznane.

Główne właściwości potęg, za pomocą których przekształcane są równania wykładnicze: a>0, b>0.

Przy rozwiązywaniu równań wykładniczych wykorzystuje się również następujące właściwości funkcji wykładniczej: y = a x, a > 0, a1:

Aby przedstawić liczbę jako potęgę, użyj podstawowej tożsamości logarytmicznej: b = , a > 0, a1, b > 0.

Zadania i testy na temat „Równania wykładnicze”

• Równania wykładnicze

  Lekcje: 4 Zadania: 21 Testy: 1

• Równania wykładnicze - Ważne tematy do przeglądu Unified State Examination z matematyki

  Zadania: 14

• Układy równań wykładniczych i logarytmicznych - Funkcje wykładnicze i logarytmiczne klasa 11

  Lekcje: 1 Zadania: 15 Testy: 1

• §2.1. Rozwiązywanie równań wykładniczych

  Lekcje: 1 Zadania: 27

• §7 Równania i nierówności wykładnicze, logarytmiczne - Część 5. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne, ocena 10

  Lekcje: 1 Zadania: 17

Aby skutecznie rozwiązywać równania wykładnicze, należy znać podstawowe własności potęg, właściwości funkcji wykładniczej i podstawową tożsamość logarytmiczną.

Przy rozwiązywaniu równań wykładniczych stosuje się dwie główne metody:

1. przejście od równania a f(x) = a g(x) do równania f(x) = g(x);
2. wprowadzenie nowych linii.

Przykłady.

1. Równania zredukowane do najprostszych. Rozwiązuje się je poprzez redukcję obu stron równania do potęgi o tej samej podstawie.

3 x = 9 x – 2.

Rozwiązanie:

3 x = (3 2) x – 2 ;
3x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.

Odpowiedź: 4.

2. Równania rozwiązywane poprzez wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów.

Rozwiązanie:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3x – 2x8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

Odpowiedź: 3.

3. Równania rozwiązywane poprzez zmianę zmiennej.

Rozwiązanie:

2 2x + 2 x – 12 = 0
Oznaczamy 2 x = y.
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Równanie nie ma rozwiązań, ponieważ 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Odpowiedź: dziennik 2 3.

4. Równania zawierające potęgi o dwóch różnych (nieredukowalnych) podstawach.

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.

3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 × 23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.

Odpowiedź: 2.

5. Równania jednorodne względem a x i b x.

Widok ogólny: .

9 x + 4 x = 2,5 x 6 x.

Rozwiązanie:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Oznaczmy (3/2) x = y.
y 2 – 2,5 roku + 1 = 0,
y1 = 2; y2 = ½.

Odpowiedź: log 3/2 2; - log 3/2 2.

Ta lekcja jest przeznaczona dla tych, którzy dopiero zaczynają uczyć się równań wykładniczych. Jak zawsze zacznijmy od definicji i prostych przykładów.

Jeśli czytasz tę lekcję, to podejrzewam, że przynajmniej w minimalnym stopniu rozumiesz najprostsze równania - liniowe i kwadratowe: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ itd. Umiejętność rozwiązywania takich konstrukcji jest absolutnie konieczna, aby nie „utknąć” w temacie, który będzie teraz omawiany.

Zatem równania wykładnicze. Podam kilka przykładów:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Niektóre z nich mogą wydawać Ci się bardziej skomplikowane, inne wręcz przeciwnie, są zbyt proste. Ale wszystkie mają jedną ważną cechę wspólną: ich zapis zawiera funkcję wykładniczą $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Wprowadźmy zatem definicję:

Równanie wykładnicze to dowolne równanie zawierające funkcję wykładniczą, tj. wyrażenie w postaci $((a)^(x))$. Oprócz określonej funkcji takie równania mogą zawierać dowolne inne konstrukcje algebraiczne - wielomiany, pierwiastki, trygonometrię, logarytmy itp.

OK. Ustaliliśmy definicję. Teraz pytanie brzmi: jak rozwiązać ten cały syf? Odpowiedź jest prosta i złożona zarazem.

Zacznijmy od dobrej wiadomości: z mojego doświadczenia w nauczaniu wielu uczniów mogę powiedzieć, że dla większości z nich równania wykładnicze są znacznie łatwiejsze niż te same logarytmy, a tym bardziej trygonometria.

Ale jest zła wiadomość: czasami kompilatorów zadań do wszelkiego rodzaju podręczników i egzaminów uderza „inspiracja”, a ich narkotyczny mózg zaczyna produkować tak brutalne równania, że ​​ich rozwiązanie staje się problematyczne nie tylko dla uczniów – nawet dla wielu nauczycieli daj sobie spokój z takimi problemami.

Nie mówmy jednak o smutnych sprawach. I wróćmy do tych trzech równań podanych na samym początku historii. Spróbujmy rozwiązać każdy z nich.

Pierwsze równanie: $((2)^(x))=4$. Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2, aby otrzymać liczbę 4? Pewnie to drugie? Przecież $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - i otrzymaliśmy poprawną równość liczbową, czyli rzeczywiście $x = 2 $. Cóż, dzięki, Cap, ale to równanie było tak proste, że nawet mój kot potrafił je rozwiązać :)

Spójrzmy na następujące równanie:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Ale tutaj jest to trochę bardziej skomplikowane. Wielu uczniów wie, że $((5)^(2))=25$ to tabliczka mnożenia. Niektórzy podejrzewają również, że $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ jest w istocie definicją potęg ujemnych (podobną do wzoru $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Wreszcie tylko nieliczni zdają sobie sprawę, że fakty te można połączyć i uzyskać następujący wynik:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Zatem nasze pierwotne równanie zostanie przepisane w następujący sposób:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Strzałka w prawo ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Ale jest to już całkowicie do rozwiązania! Po lewej stronie równania znajduje się funkcja wykładnicza, po prawej stronie równania jest funkcja wykładnicza, nigdzie poza nimi nie ma nic innego. Dlatego możemy „odrzucić” podstawy i głupio zrównać wskaźniki:

Otrzymaliśmy najprostsze równanie liniowe, które każdy uczeń może rozwiązać w zaledwie kilku linijkach. OK, w czterech linijkach:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Jeśli nie rozumiesz, co wydarzyło się w ostatnich czterech linijkach, koniecznie wróć do tematu „równania liniowe” i powtórz go. Ponieważ bez jasnego zrozumienia tego tematu jest zbyt wcześnie, aby zajmować się równaniami wykładniczymi.

\[((9)^(x))=-3\]

Jak więc możemy to rozwiązać? Pierwsza myśl: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, więc oryginalne równanie można przepisać w następujący sposób:

\[((\lewo(((3)^(2)) \prawo))^(x))=-3\]

Następnie pamiętamy, że podnosząc potęgę do potęgi, wykładniki mnoży się:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Strzałka w prawo ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

I za taką decyzję otrzymamy szczerze zasłużoną dwójkę. Ponieważ ze spokojem Pokemona wysłaliśmy znak minus przed trójką do potęgi tej właśnie trójki. Ale nie możesz tego zrobić. I oto dlaczego. Przyjrzyj się różnym potęgom trójki:

\[\begin(macierz) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(macierz)\]

Kompilując tę ​​tabliczkę niczego nie przekręciłem: patrzyłem na potęgi dodatnie i ujemne, a nawet ułamkowe... no właśnie, gdzie tu jest chociaż jedna liczba ujemna? Nie ma go! A tak być nie może, bo funkcja wykładnicza $y=((a)^(x))$ po pierwsze zawsze przyjmuje tylko wartości dodatnie (nieważne ile jeden pomnożymy lub podzielimy przez dwa i tak będzie to liczba dodatnia), a po drugie, podstawa takiej funkcji – liczba $a$ – jest z definicji liczbą dodatnią!

No dobrze, ale jak w takim razie rozwiązać równanie $((9)^(x))=-3$? Ale nie ma mowy: nie ma korzeni. I w tym sensie równania wykładnicze są bardzo podobne do równań kwadratowych - może też nie być pierwiastków. Ale jeśli w równaniach kwadratowych liczbę pierwiastków określa dyskryminator (różniownik dodatni - 2 pierwiastki, ujemny - brak pierwiastków), to w równaniach wykładniczych wszystko zależy od tego, co jest na prawo od znaku równości.

Sformułujmy zatem kluczowy wniosek: najprostsze równanie wykładnicze postaci $((a)^(x))=b$ ma pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy $b>0$. Znając ten prosty fakt, możesz łatwo określić, czy zaproponowane ci równanie ma pierwiastki, czy nie. Te. Czy warto to w ogóle rozwiązywać, czy od razu spisywać, że korzeni nie ma.

Wiedza ta wielokrotnie nam się przyda, gdy będziemy musieli rozwiązać bardziej złożone problemy. Na razie dość tekstów – czas przestudiować podstawowy algorytm rozwiązywania równań wykładniczych.

Jak rozwiązywać równania wykładnicze

Sformułujmy zatem problem. Konieczne jest rozwiązanie równania wykładniczego:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Zgodnie z „naiwnym” algorytmem, z którego korzystaliśmy wcześniej, konieczne jest przedstawienie liczby $b$ jako potęgi liczby $a$:

Dodatkowo, jeśli zamiast zmiennej $x$ będzie jakieś wyrażenie, otrzymamy nowe równanie, które można już rozwiązać. Na przykład:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Strzałka w prawo ((2)^(x))=((2)^(3))\Strzałka w prawo x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Strzałka w prawo ((3)^(-x))=((3)^(4))\Strzałka w prawo -x=4\Strzałka w prawo x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]

I co dziwne, ten schemat działa w około 90% przypadków. A co z pozostałymi 10%? Pozostałe 10% to lekko „schizofreniczne” równania wykładnicze w postaci:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Do jakiej potęgi trzeba podnieść 2, żeby otrzymać 3? Pierwszy? Ale nie: $((2)^(1))=2$ to za mało. Drugi? Nie: $((2)^(2))=4$ to za dużo. Który w takim razie?

Doświadczeni uczniowie prawdopodobnie już się domyślili: w takich przypadkach, gdy nie można rozwiązać problemu „pięknie”, w grę wchodzi „ciężka artyleria” - logarytmy. Przypomnę, że za pomocą logarytmów dowolną liczbę dodatnią można przedstawić jako potęgę dowolnej innej liczby dodatniej (z wyjątkiem jednej):

Pamiętasz tę formułę? Kiedy opowiadam moim uczniom o logarytmach, zawsze ostrzegam: ten wzór (jest to jednocześnie główna tożsamość logarytmiczna lub, jak kto woli, definicja logarytmu) będzie Was prześladować przez bardzo długi czas i „wyskoczy” w większości przypadków. nieoczekiwane miejsca. No cóż, wyszła na powierzchnię. Spójrzmy na nasze równanie i tę formułę:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Jeśli założymy, że $a=3$ jest naszą pierwotną liczbą po prawej stronie, a $b=2$ jest podstawą funkcji wykładniczej, do której tak chcemy sprowadzić prawą stronę, otrzymamy co następuje:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Strzałka w prawo ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Strzałka w prawo x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]

Otrzymaliśmy nieco dziwną odpowiedź: $x=((\log )_(2))3$. W przypadku innego zadania wielu miałoby wątpliwości co do takiej odpowiedzi i zaczęłoby ponownie sprawdzać swoje rozwiązanie: co by było, gdyby gdzieś wkradł się błąd? Spieszę cię zadowolić: nie ma tu błędu, a logarytmy w pierwiastkach równań wykładniczych są sytuacją całkowicie typową. Więc przyzwyczaj się :)

Rozwiążmy teraz pozostałe dwa równania przez analogię:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Strzałka w prawo x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Strzałka w prawo ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Strzałka w prawo 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]

To wszystko! Nawiasem mówiąc, ostatnią odpowiedź można zapisać inaczej:

Wprowadziliśmy czynnik do argumentu logarytmu. Ale nikt nie zabrania nam dodać do bazy tego współczynnika:

Co więcej, wszystkie trzy opcje są poprawne - są to po prostu różne formy zapisu tej samej liczby. To, który z nich wybrać i zapisać w tym rozwiązaniu, zależy od Ciebie.

W ten sposób nauczyliśmy się rozwiązywać dowolne równania wykładnicze w postaci $((a)^(x))=b$, gdzie liczby $a$ i $b$ są ściśle dodatnie. Jednak surowa rzeczywistość naszego świata jest taka, że ​​tak proste zadania będą spotykane bardzo, bardzo rzadko. Najczęściej spotkasz się z czymś takim:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Jak więc możemy to rozwiązać? Da się to w ogóle rozwiązać? A jeśli tak, to jak?

Nie panikować. Wszystkie te równania szybko i łatwo sprowadzają się do prostych wzorów, które już rozważaliśmy. Wystarczy zapamiętać kilka sztuczek z kursu algebry. I oczywiście nie ma żadnych zasad pracy z dyplomami. Opowiem Ci o tym wszystkim teraz :)

Konwersja równań wykładniczych

Pierwsza rzecz do zapamiętania: każde równanie wykładnicze, bez względu na to, jak skomplikowane może być, w ten czy inny sposób należy sprowadzić do najprostszych równań - tych, które już rozważaliśmy i które wiemy, jak rozwiązać. Innymi słowy, schemat rozwiązywania dowolnego równania wykładniczego wygląda następująco:

1. Zapisz oryginalne równanie. Na przykład: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Zrób jakieś dziwne rzeczy. Albo nawet jakieś bzdury zwane „przekształcaniem równania”;
3. Na wyjściu uzyskaj najprostsze wyrażenia w postaci $((4)^(x))=4$ lub coś podobnego. Co więcej, jedno równanie początkowe może dać kilka takich wyrażeń jednocześnie.

Już w pierwszym punkcie wszystko jest jasne – nawet mój kot potrafi napisać równanie na kartce papieru. Trzeci punkt również wydaje się mniej więcej jasny - rozwiązaliśmy już całą masę takich równań powyżej.

Ale co z drugim punktem? Jakie transformacje? Zamienić co w co? I jak?

Cóż, rozwiążmy to. Przede wszystkim chciałbym zwrócić uwagę na następującą kwestię. Wszystkie równania wykładnicze są podzielone na dwa typy:

1. Równanie składa się z funkcji wykładniczych o tej samej podstawie. Przykład: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Wzór zawiera funkcje wykładnicze o różnych podstawach. Przykłady: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ i $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09 USD.

Zacznijmy od równań pierwszego typu – one są najłatwiejsze do rozwiązania. A w ich rozwiązaniu pomoże nam taka technika, jak podkreślanie stabilnych wyrażeń.

Izolowanie stabilnego wyrażenia

Spójrzmy jeszcze raz na to równanie:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Co widzimy? Cztery są podniesione w różnym stopniu. Ale wszystkie te potęgi są prostymi sumami zmiennej $x$ z innymi liczbami. Dlatego należy pamiętać o zasadach pracy ze stopniami:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(align)\]

Mówiąc najprościej, dodawanie można przekształcić na iloczyn potęg, a odejmowanie można łatwo przekształcić w dzielenie. Spróbujmy zastosować te wzory do stopni z naszego równania:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(wyrównaj)\]

Przepiszmy pierwotne równanie, biorąc pod uwagę ten fakt, a następnie zbierzmy wszystkie wyrazy po lewej stronie:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]

Pierwsze cztery wyrazy zawierają element $((4)^(x))$ - wyjmijmy go z nawiasu:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]

Pozostaje podzielić obie strony równania przez ułamek $-\frac(11)(4)$, czyli zasadniczo pomnóż przez ułamek odwrócony - $-\frac(4)(11)$. Otrzymujemy:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(align)\]

To wszystko! Zredukowaliśmy pierwotne równanie do najprostszej postaci i otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź.

Jednocześnie w procesie rozwiązywania odkryliśmy (a nawet usunęliśmy go z nawiasu) wspólny czynnik $((4)^(x))$ - jest to wyrażenie stabilne. Można ją wyznaczyć jako nową zmienną lub po prostu wyrazić ją ostrożnie i uzyskać odpowiedź. W każdym razie kluczowa zasada rozwiązania jest następująca:

Znajdź w oryginalnym równaniu stabilne wyrażenie zawierające zmienną, którą można łatwo odróżnić od wszystkich funkcji wykładniczych.

Dobra wiadomość jest taka, że ​​prawie każde równanie wykładnicze pozwala wyizolować takie stabilne wyrażenie.

Zła wiadomość jest jednak taka, że ​​wyrażenia te mogą być dość trudne i trudne do zidentyfikowania. Spójrzmy więc na jeszcze jeden problem:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Być może ktoś ma teraz pytanie: „Pasza, czy jesteś naćpany? Tutaj są różne podstawy – 5 i 0,2.” Ale spróbujmy przeliczyć potęgę na podstawę 0,2. Na przykład pozbądźmy się ułamka dziesiętnego, redukując go do zwykłego:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\lewo(x+1 \prawo)))=((\lewo(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Jak widać, liczba 5 nadal się pojawiała, choć w mianowniku. Jednocześnie wskaźnik został przepisany na ujemny. Przypomnijmy sobie teraz jedną z najważniejszych zasad pracy ze stopniami:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=(5)^(x+1))\ ]

Tutaj oczywiście trochę skłamałem. Ponieważ dla pełnego zrozumienia wzór na pozbycie się negatywnych wskaźników musiał być napisany w ten sposób:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ prawo))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Z drugiej strony nic nie stało na przeszkodzie, aby pracować tylko z ułamkami:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ prawo))^(-\lewo(x+1 \prawo)))=((5)^(\lewo(-1 \prawo)\cdot \lewo(-\lewo(x+1 \prawo) \prawo) ))=((5)^(x+1))\]

Ale w tym przypadku musisz być w stanie podnieść moc do innej potęgi (przypomnę: w tym przypadku wskaźniki są sumowane). Ale nie musiałem „odwracać” ułamków - być może dla niektórych będzie to łatwiejsze :)

W każdym razie oryginalne równanie wykładnicze zostanie przepisane jako:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]

Okazuje się więc, że pierwotne równanie można rozwiązać jeszcze prościej niż poprzednio rozważane: tutaj nie trzeba nawet wybierać stabilnego wyrażenia - wszystko zostało samo w sobie zredukowane. Pozostaje tylko pamiętać, że $1=((5)^(0))$, z czego otrzymujemy:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(align)\]

To jest rozwiązanie! Otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź: $x=-2$. Jednocześnie chciałbym zwrócić uwagę na jedną technikę, która znacznie uprościła dla nas wszystkie obliczenia:

W równaniach wykładniczych pamiętaj o pozbyciu się ułamków dziesiętnych i zamień je na zwykłe. Umożliwi to zobaczenie tych samych podstaw stopni i znacznie uprości rozwiązanie.

Przejdźmy teraz do bardziej złożonych równań, w których istnieją różne podstawy, których w ogóle nie można do siebie zredukować za pomocą potęg.

Korzystanie z właściwości Degrees

Przypomnę, że mamy dwa bardziej trudne równania:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Główna trudność polega na tym, że nie jest jasne, co dać i na jakiej podstawie. Gdzie są wyrażenia stabilne? Gdzie są te same podstawy? Nie ma nic z tego.

Spróbujmy jednak pójść inną drogą. Jeśli nie ma gotowych identycznych baz, możesz spróbować je znaleźć, rozkładając na czynniki istniejące bazy.

Zacznijmy od pierwszego równania:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(align)\]

Ale możesz zrobić odwrotnie - z cyfr 7 i 3 utwórz liczbę 21. Jest to szczególnie łatwe do zrobienia po lewej stronie, ponieważ wskaźniki obu stopni są takie same:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(align)\]

To wszystko! Wziąłeś wykładnik poza iloczyn i od razu otrzymałeś piękne równanie, które można rozwiązać w kilku linijkach.

Spójrzmy teraz na drugie równanie. Tutaj wszystko jest znacznie bardziej skomplikowane:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

W tym przypadku ułamki okazały się nieredukowalne, ale jeśli można coś zredukować, koniecznie to zmniejsz. Często pojawią się ciekawe powody, z którymi możesz już pracować.

Niestety, nie pojawiło się dla nas nic szczególnego. Ale widzimy, że wykładniki po lewej stronie iloczynu są przeciwne:

Przypomnę: aby pozbyć się znaku minus na wskaźniku, wystarczy „odwrócić” ułamek. Cóż, przepiszmy oryginalne równanie:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]

W drugim wierszu po prostu wyciągnęliśmy wykładnik całkowity z iloczynu z nawiasu zgodnie z regułą $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a \cdot b \right))^ (x))$, a w ostatnim po prostu pomnożyli liczbę 100 przez ułamek.

Teraz zauważ, że liczby po lewej stronie (u podstawy) i po prawej stronie są nieco podobne. Jak? Tak, to oczywiste: są to potęgi tej samej liczby! Mamy:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \prawo))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \prawo))^(2)). \\\end(align)\]

Zatem nasze równanie zostanie przepisane w następujący sposób:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\prawo))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \prawo))^(3\lewo(x-1 \prawo)))=((\lewo(\frac(10)(3) \prawo))^(3x-3))\]

W tym przypadku po prawej stronie możesz również uzyskać stopień o tej samej podstawie, dla którego wystarczy po prostu „odwrócić” ułamek:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Nasze równanie ostatecznie przyjmie postać:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]

To jest rozwiązanie. Jego główna idea sprowadza się do tego, że nawet przy różnych podstawach staramy się, haczykiem lub oszustem, sprowadzić te podstawy do tego samego. Pomagają nam w tym elementarne przekształcenia równań i zasady pracy z potęgami.

Ale jakich zasad i kiedy używać? Jak rozumiesz, że w jednym równaniu trzeba podzielić obie strony przez coś, a w innym uwzględnić podstawę funkcji wykładniczej?

Odpowiedź na to pytanie przyjdzie wraz z doświadczeniem. Najpierw spróbuj swoich sił w prostych równaniach, a następnie stopniowo komplikuj problemy - a już wkrótce Twoje umiejętności wystarczą do rozwiązania dowolnego równania wykładniczego z tego samego egzaminu stanowego Unified State Exam lub dowolnej pracy niezależnej/testowej.

Aby pomóc Ci w tym trudnym zadaniu, sugeruję pobranie z mojej strony zestawu równań do samodzielnego rozwiązania. Wszystkie równania mają odpowiedzi, więc zawsze możesz się sprawdzić.

Poziom wejścia

Równania wykładnicze. Najlepszy przewodnik (2019)

Cześć! Dzisiaj omówimy z Wami, jak rozwiązywać równania, które mogą być albo elementarne (i mam nadzieję, że po przeczytaniu tego artykułu prawie wszystkie będą dla Was takie), jak i te, które zwykle podaje się „do wypełnienia”. Podobno by w końcu zasnąć. Ale postaram się zrobić wszystko, co możliwe, abyś teraz nie miał kłopotów w obliczu tego typu równań. Nie będę już owijał w bawełnę, ale od razu zdradzę ci mały sekret: dzisiaj będziemy się uczyć równania wykładnicze.

Zanim przejdziemy do analizy sposobów ich rozwiązania, od razu zarysuję dla Ciebie szereg pytań (dość małych), które powinieneś powtórzyć, zanim zaczniesz atakować ten temat. Aby uzyskać najlepsze wyniki, proszę powtarzać:

1. Właściwości i
2. Rozwiązanie i równania

Powtarzający się? Niesamowity! Wtedy nie będzie ci trudno zauważyć, że pierwiastkiem równania jest liczba. Czy rozumiesz dokładnie, jak to zrobiłem? Czy to prawda? Zatem kontynuujmy. A teraz odpowiedz na moje pytanie: ile wynosi trzecia potęga? Masz całkowitą rację: . Jaką potęgą dwójki jest osiem? Zgadza się – trzeci! Ponieważ. Cóż, teraz spróbujmy rozwiązać następujący problem: Pomnożę liczbę przez samą siebie raz i otrzymam wynik. Pytanie brzmi: ile razy sam pomnożyłem? Możesz to oczywiście sprawdzić bezpośrednio:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( wyrównywać)

Wtedy możesz stwierdzić, że pomnożyłem przez siebie razy. Jak inaczej możesz to sprawdzić? Oto jak: bezpośrednio z definicji stopnia: . Ale musisz przyznać, że gdybym zapytał, ile razy trzeba pomnożyć dwa przez siebie, aby otrzymać, powiedzmy, odpowiedziałbyś mi: nie będę się oszukiwał i nie będę mnożył przez siebie, dopóki nie zsinieję się w twarz. I miałby całkowitą rację. Bo jak możesz zapisz krótko wszystkie kroki(a zwięzłość jest siostrą talentu)

gdzie - to są te same "czasy", kiedy mnożysz przez siebie.

Myślę, że wiesz (a jeśli nie wiesz, to pilnie, bardzo pilnie powtórz stopnie!), że wtedy mój problem zostanie zapisany w postaci:

Jak możesz racjonalnie stwierdzić, że:

Więc niezauważony zapisałem najprostsze równanie wykładnicze:

I nawet go znalazłem źródło. Nie uważasz, że wszystko jest całkowicie banalne? Myślę dokładnie tak samo. Oto kolejny przykład dla Ciebie:

Ale co zrobić? Przecież nie da się tego zapisać jako potęgi (rozsądnej) liczby. Nie rozpaczajmy i zauważmy, że obie te liczby doskonale wyrażają się poprzez potęgę tej samej liczby. Jaki? Prawidłowy: . Następnie pierwotne równanie zostaje przekształcone do postaci:

Gdzie, jak już zrozumiałeś, . Nie zwlekajmy dłużej i zapiszmy to definicja:

W naszym przypadku: .

Równania te rozwiązuje się sprowadzając je do postaci:

a następnie rozwiązujemy równanie

Właściwie w poprzednim przykładzie właśnie to zrobiliśmy: otrzymaliśmy co następuje: I rozwiązaliśmy najprostsze równanie.

Wydaje się, że to nic skomplikowanego, prawda? Najpierw poćwiczmy na najprostszych przykłady:

Znów widzimy, że prawą i lewą stronę równania należy przedstawić jako potęgi jednej liczby. To prawda, że ​​​​po lewej stronie już to zrobiono, ale po prawej stronie jest liczba. Ale jest w porządku, ponieważ moje równanie w cudowny sposób przekształci się w to:

Czego musiałem tu użyć? Jaka zasada? Zasada „stopni w stopniach” który brzmi:

Co jeśli:

Zanim odpowiemy na to pytanie, wypełnijmy poniższą tabelę:

Łatwo nam zauważyć, że im mniejsza, tym mniejsza wartość, niemniej jednak wszystkie te wartości są większe od zera. I TAK BĘDZIE ZAWSZE!!! Ta sama właściwość dotyczy KAŻDEJ PODSTAWY Z DOWOLNYM WSKAŹNIKIEM!! (dla dowolnego i). Jakie zatem możemy wyciągnąć wnioski na temat równania? Oto co to jest: to nie ma korzeni! Tak jak każde równanie nie ma pierwiastków. Teraz poćwiczmy i Rozwiążmy proste przykłady:

Sprawdźmy:

1. Tutaj nie będzie od ciebie wymagane nic poza znajomością właściwości stopni (co, nawiasem mówiąc, prosiłem o powtórzenie!). Z reguły wszystko prowadzi do najmniejszej podstawy: , . Wtedy oryginalne równanie będzie równoważne następującemu: Jedyne, czego potrzebuję, to skorzystać z właściwości potęg: Przy mnożeniu liczb o tej samej podstawie potęgi się dodaje, a przy dzieleniu odejmuje. Wtedy dostanę: No cóż, teraz z czystym sumieniem przejdę od równania wykładniczego do liniowego: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(wyrównaj)

2. W drugim przykładzie musimy być bardziej ostrożni: problem w tym, że po lewej stronie nie możemy w żaden sposób przedstawić tej samej liczby jako potęgi. W tym przypadku czasem się to przydaje przedstawiają liczby jako iloczyn potęg o różnych podstawach, ale tych samych wykładnikach:

Lewa strona równania będzie wyglądać następująco: Co nam to dało? Oto co: Liczby o różnych podstawach, ale tych samych wykładnikach można pomnożyć.W tym przypadku podstawy są mnożone, ale wskaźnik się nie zmienia:

W mojej sytuacji da to:

\begin(wyrównaj)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(wyrównaj)

Nieźle, prawda?

3. Nie lubię, gdy niepotrzebnie po jednej stronie równania mam dwa wyrazy, a po drugiej żadnego (czasami jest to oczywiście uzasadnione, ale teraz tak nie jest). Przesunę wyraz minus w prawo:

Teraz, tak jak poprzednio, napiszę wszystko w potęgach trójki:

Dodaję stopnie po lewej stronie i otrzymuję równoważne równanie

Możesz łatwo znaleźć jego korzeń:

4. Podobnie jak w przykładzie trzecim, wyraz minus znajduje się po prawej stronie!

U mnie po lewej prawie wszystko w porządku, tylko za czym? Tak, niepokoi mnie „zły stopień” tych dwóch. Ale mogę to łatwo naprawić, pisząc: . Eureka - po lewej wszystkie podstawy są różne, ale wszystkie stopnie są takie same! Pomnóżmy się natychmiast!

Tutaj znowu wszystko jest jasne: (jeśli nie rozumiesz, jak w magiczny sposób uzyskałem ostatnią równość, zrób chwilę przerwy, weź oddech i jeszcze raz bardzo uważnie przeczytaj właściwości stopnia. Kto powiedział, że możesz pominąć stopień z wykładnikiem ujemnym? Cóż, tutaj jestem o tym samym, co nikt). Teraz dostanę:

\begin(wyrównaj)
& ((2)^(4\lewo((x) -9 \prawo)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(wyrównaj)

Oto kilka problemów do przećwiczenia, na które ja podam jedynie odpowiedzi (ale w formie „mieszanej”). Rozwiąż je, sprawdź, a Ty i ja będziemy kontynuować nasze badania!

Gotowy? Odpowiedzi tak:

1. dowolny numer

Dobra, dobra, żartowałem! Oto kilka szkiców rozwiązań (niektóre bardzo krótkie!)

Czy nie sądzisz, że to nie przypadek, że jeden ułamek po lewej stronie jest drugi „odwrócony”? Grzechem byłoby z tego nie skorzystać:

Zasada ta jest bardzo często stosowana przy rozwiązywaniu równań wykładniczych, pamiętaj o tym dobrze!

Wtedy oryginalne równanie będzie wyglądać następująco:

Rozwiązując to równanie kwadratowe, otrzymasz następujące pierwiastki:

2. Inne rozwiązanie: podzielenie obu stron równania przez wyrażenie po lewej (lub prawej stronie). Podziel przez to, co jest po prawej stronie, i otrzymuję:

Gdzie (dlaczego?!)

3. Nawet nie chcę się powtarzać, wszystko zostało już tak „przeżute”.

4. odpowiednik równania kwadratowego, pierwiastki

5. Musisz skorzystać ze wzoru podanego w pierwszym zadaniu, a otrzymasz, że:

Równanie zamieniło się w trywialną tożsamość, która jest prawdziwa dla każdego. Wtedy odpowiedzią jest dowolna liczba rzeczywista.

Cóż, teraz ćwiczyłeś rozwiązywanie proste równania wykładnicze. Teraz chcę podać kilka przykładów z życia wziętych, które pomogą ci zrozumieć, dlaczego są one w zasadzie potrzebne. Tutaj podam dwa przykłady. Jedna z nich jest dość codzienna, ale druga ma raczej charakter naukowy niż praktyczny.

Przykład 1 (handlowy) Niech masz ruble, ale chcesz zamienić je na ruble. Bank oferuje Ci odbiór tych pieniędzy według stawki rocznej z miesięczną kapitalizacją odsetek (comiesięczne naliczanie). Pytanie brzmi, na ile miesięcy trzeba otworzyć lokatę, aby osiągnąć wymaganą kwotę końcową? Całkiem przyziemne zadanie, prawda? Niemniej jednak jego rozwiązanie wiąże się z konstrukcją odpowiedniego równania wykładniczego: Niech – kwota początkowa, – kwota ostateczna, – stopa procentowa za okres, – liczba okresów. Następnie:

W naszym przypadku (jeśli stawka jest roczna, to naliczana jest miesięcznie). Dlaczego jest podzielony przez? Jeśli nie znasz odpowiedzi na to pytanie, pamiętaj o temacie „”! Następnie otrzymujemy to równanie:

To równanie wykładnicze można już rozwiązać jedynie za pomocą kalkulatora (jego wygląd na to wskazuje, a to wymaga znajomości logarytmów, z którymi zapoznamy się nieco później), co też zrobię: ... Zatem , żeby otrzymać milion, będziemy musieli wpłacać składkę przez miesiąc (niezbyt szybko, prawda?).

Przykład 2 (raczej naukowy). Pomimo jego pewnej „izolacji” polecam zwrócić na niego uwagę: regularnie „wpada na Jednolity Egzamin Państwowy!! (zadanie wzięte z wersji „rzeczywistej”) Podczas rozpadu izotopu promieniotwórczego jego masa maleje zgodnie z prawem, gdzie (mg) jest początkową masą izotopu, (min.) jest czasem, jaki upłynął od moment początkowy (min.) to okres półtrwania. W początkowej chwili masa izotopu wynosi mg. Jego okres półtrwania wynosi min. Po ilu minutach masa izotopu będzie równa mg? Nie ma problemu: po prostu bierzemy i podstawiamy wszystkie dane do zaproponowanego nam wzoru:

Podzielmy obie części przez, „w nadziei”, że po lewej stronie dostaniemy coś strawnego:

Cóż, mamy dużo szczęścia! Jest po lewej stronie, więc przejdźmy do równoważnego równania:

Gdzie jest min.

Jak widać, równania wykładnicze mają bardzo realne zastosowanie w praktyce. Teraz chcę pokazać inny (prosty) sposób rozwiązywania równań wykładniczych, który polega na wyjęciu wspólnego czynnika z nawiasów, a następnie zgrupowaniu wyrazów. Nie bój się moich słów, zetknąłeś się z tą metodą już w 7. klasie, studiując wielomiany. Na przykład, jeśli chcesz rozłożyć wyrażenie na czynniki:

Pogrupujmy: terminy pierwszy i trzeci oraz termin drugi i czwarty. Oczywiste jest, że pierwsza i trzecia to różnica kwadratów:

a drugi i czwarty mają wspólny współczynnik wynoszący trzy:

Wtedy oryginalne wyrażenie jest równoważne temu:

Skąd wyprowadzić wspólny czynnik nie jest już trudne:

Stąd,

Mniej więcej tak zrobimy przy rozwiązywaniu równań wykładniczych: poszukaj „wspólności” między terminami i usuń ją z nawiasów, a następnie - niech przyjdzie, co będzie, wierzę, że będziemy mieli szczęście =)) Na przykład:

Po prawej stronie daleko do potęgi siódemki (sprawdziłem!) A po lewej - jest trochę lepiej, możesz oczywiście „odciąć” czynnik a od drugiego od pierwszego wyrazu, a następnie rozwiązać z tym, co masz, ale bądźmy wobec ciebie bardziej rozważni. Nie chcę zajmować się ułamkami, które nieuchronnie powstają podczas „wybierania”, więc czy nie powinienem raczej tego usunąć? Wtedy nie będę miał żadnych ułamków: jak to mówią, wilki są nakarmione, a owce bezpieczne:

Oblicz wyrażenie w nawiasach. Magicznie, magicznie okazuje się, że (choć czego innego można się spodziewać?).

Następnie redukujemy obie strony równania o ten współczynnik. Otrzymujemy: , od.

Oto bardziej skomplikowany przykład (naprawdę całkiem sporo):

Co za problem! Nie mamy tu jednej wspólnej płaszczyzny! Nie do końca wiadomo, co teraz zrobić. Zróbmy, co możemy: najpierw przesuńmy „czwórki” na jedną stronę, a „piątki” na drugą:

Teraz usuńmy „generała” po lewej i prawej stronie:

I co teraz? Jaki jest pożytek z tak głupiej grupy? Na pierwszy rzut oka w ogóle tego nie widać, ale spójrzmy głębiej:

Cóż, teraz upewnimy się, że po lewej stronie mamy tylko wyrażenie c, a po prawej - wszystko inne. Jak to zrobić? Oto jak to zrobić: Najpierw podziel obie strony równania przez (aby pozbyć się wykładnika po prawej stronie), a następnie podziel obie strony przez (aby pozbyć się współczynnika liczbowego po lewej stronie). Wreszcie otrzymujemy:

Niesamowity! Po lewej stronie mamy wyrażenie, a po prawej proste wyrażenie. Wtedy od razu to stwierdzamy

Oto kolejny przykład do wzmocnienia:

Podam jego krótkie rozwiązanie (bez zawracania sobie głowy wyjaśnieniami), spróbuj sam zrozumieć wszystkie „subtelności” rozwiązania.

Teraz ostateczna konsolidacja omawianego materiału. Spróbuj samodzielnie rozwiązać poniższe problemy. Podam tylko krótkie zalecenia i wskazówki dotyczące ich rozwiązania:

1. Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów: Gdzie:
2. Przedstawmy pierwsze wyrażenie w postaci: , podzielmy obie strony przez i otrzymamy to
3. , wówczas oryginalne równanie zostaje przekształcone do postaci: Cóż, teraz podpowiedź - poszukaj, gdzie ty i ja już rozwiązaliśmy to równanie!
4. Wyobraź sobie, jak, no cóż, podzielić obie strony przez, żeby otrzymać najprostsze równanie wykładnicze.
5. Wyciągnij go z nawiasów.
6. Wyciągnij go z nawiasów.

RÓWNANIA WYKŁADNICZE. POZIOM ŚREDNI

Zakładam, że po przeczytaniu pierwszego artykułu, o którym mowa czym są równania wykładnicze i jak je rozwiązywać, opanowałeś niezbędną minimalną wiedzę niezbędną do rozwiązania najprostszych przykładów.

Teraz przyjrzę się innej metodzie rozwiązywania równań wykładniczych

„sposób wprowadzenia nowej zmiennej” (lub zamiany). Rozwiązuje najbardziej „trudne” problemy z zakresu równań wykładniczych (i nie tylko równań). Metoda ta jest jedną z najczęściej stosowanych w praktyce. Na początek polecam zapoznać się z tematem.

Jak już zrozumiałeś z nazwy, istotą tej metody jest wprowadzenie takiej zmiany zmiennej, aby Twoje równanie wykładnicze w cudowny sposób przekształciło się w takie, które możesz łatwo rozwiązać. Po rozwiązaniu tego bardzo „uproszczonego równania” pozostaje Ci jedynie dokonać „odwrotnej zamiany”, czyli powrotu z zastąpionego do zastąpionego. Zilustrujmy to, co właśnie powiedzieliśmy, bardzo prostym przykładem:

Przykład 1:

Równanie to rozwiązuje się za pomocą „prostego podstawienia”, jak lekceważąco nazywają je matematycy. Tak naprawdę zastąpienie tutaj jest najbardziej oczywiste. Trzeba to tylko zobaczyć

Wtedy oryginalne równanie zmieni się w to:

Jeśli dodatkowo wyobrazimy sobie, jak to zrobić, jest absolutnie jasne, co należy wymienić: oczywiście . Co zatem stanie się pierwotnym równaniem? Oto co:

Możesz łatwo znaleźć jego korzenie na własną rękę: . Co powinniśmy teraz zrobić? Czas wrócić do pierwotnej zmiennej. O czym zapomniałem wspomnieć? Mianowicie: przy wymianie pewnego stopnia na nową zmienną (czyli przy wymianie typu) będę zainteresowany tylko pozytywne korzenie! Sam możesz łatwo odpowiedzieć dlaczego. Zatem ty i ja nie jesteśmy zainteresowani, ale drugi korzeń jest dla nas całkiem odpowiedni:

Więc skąd.

Odpowiedź:

Jak widać w poprzednim przykładzie zmiennik po prostu prosił o nasze ręce. Niestety, nie zawsze tak jest. Nie przechodźmy jednak od razu do smutnych rzeczy, ale poćwiczmy na jeszcze jednym przykładzie z dość prostym zamiennikiem

Przykład 2.

Wiadomo, że najprawdopodobniej będziemy musieli dokonać zamiany (jest to najmniejsza z potęg zawartych w naszym równaniu), jednak przed wprowadzeniem zamiany należy „przygotować” do niej nasze równanie, czyli: , . Następnie możesz zastąpić, w rezultacie otrzymuję następujące wyrażenie:

Och, horror: równanie sześcienne z absolutnie okropnymi wzorami na jego rozwiązanie (cóż, mówiąc ogólnie). Ale nie popadajmy od razu w rozpacz, tylko zastanówmy się, co powinniśmy zrobić. Sugeruję oszukiwanie: wiemy, że aby uzyskać „piękną” odpowiedź, musimy uzyskać ją w postaci jakiejś potęgi trójki (dlaczego miałoby to być, co?). Spróbujmy odgadnąć przynajmniej jeden pierwiastek naszego równania (zacznę od potęgi trójki).

Pierwsze przypuszczenie. Nie korzeń. Niestety i ach...

.
Lewa strona jest równa.
Prawa strona: !
Jeść! Odgadłem pierwszy korzeń. Teraz wszystko stanie się łatwiejsze!

Czy znasz schemat podziału „narożnego”? Oczywiście, że tak, używasz go, dzieląc jedną liczbę przez drugą. Ale niewiele osób wie, że to samo można zrobić z wielomianami. Jest jedno wspaniałe twierdzenie:

Odnosząc się do mojej sytuacji, mówi mi to, że jest ona podzielna bez reszty przez. Jak dokonuje się podziału? Oto jak:

Patrzę, przez który jednomian powinienem pomnożyć, aby otrzymać Jasne, a następnie:

Odejmując otrzymane wyrażenie od, otrzymuję:

A teraz przez co muszę pomnożyć, żeby otrzymać? Jasne jest, że dalej dostanę:

i ponownie odejmij wynikowe wyrażenie od pozostałego:

Cóż, ostatnim krokiem jest pomnożenie i odjęcie od pozostałego wyrażenia:

Hurra, podział się skończył! Co zgromadziliśmy prywatnie? Oczywiście: .

Otrzymaliśmy wówczas następujące rozwinięcie pierwotnego wielomianu:

Rozwiążmy drugie równanie:

Ma korzenie:

Następnie oryginalne równanie:

ma trzy pierwiastki:

Oczywiście odrzucimy ostatni pierwiastek, ponieważ jest on mniejszy od zera. A pierwsze dwa po odwrotnej zamianie dadzą nam dwa pierwiastki:

Odpowiedź: ..

W tym przykładzie wcale nie chciałem cię przestraszyć; raczej moim celem było pokazanie, że chociaż mieliśmy dość proste zastąpienie, to jednak doprowadziło to do dość złożonego równania, którego rozwiązanie wymagało od nas specjalnych umiejętności. Cóż, nikt nie jest na to odporny. Ale wymiana w tym przypadku była dość oczywista.

Oto przykład z nieco mniej oczywistym zamiennikiem:

Nie jest wcale jasne, co powinniśmy zrobić: problem polega na tym, że w naszym równaniu istnieją dwie różne podstawy i jednej podstawy nie można uzyskać z drugiej, podnosząc ją do dowolnej (rozsądnej, naturalnie) potęgi. Co jednak widzimy? Obie podstawy różnią się jedynie znakiem, a ich iloczynem jest różnica kwadratów równa jeden:

Definicja:

Zatem liczby będące podstawami w naszym przykładzie są sprzężone.

W tym przypadku mądrym krokiem byłoby Pomnóż obie strony równania przez liczbę sprzężoną.

Na przykład, wtedy lewa strona równania stanie się równa i prawa. Jeśli dokonamy podstawienia, wówczas nasze pierwotne równanie będzie wyglądać następująco:

zatem ma swoje korzenie i pamiętając o tym, rozumiemy to.

Odpowiedź: , .

Z reguły metoda zastępowania jest wystarczająca do rozwiązania większości „szkolnych” równań wykładniczych. Poniższe zadania pochodzą z ujednoliconego egzaminu państwowego C1 (podwyższony poziom trudności). Masz już wystarczającą wiedzę, aby samodzielnie rozwiązać te przykłady. Podam tylko wymagany zamiennik.

1. Rozwiąż równanie:
2. Znajdź pierwiastki równania:
3. Rozwiąż równanie: . Znajdź wszystkie pierwiastki tego równania należące do odcinka:

A teraz kilka krótkich wyjaśnień i odpowiedzi:

1. W tym miejscu wystarczy zauważyć, że... Wtedy oryginalne równanie będzie równoważne temu: Równanie to można rozwiązać zastępując. Dalsze obliczenia wykonaj samodzielnie. Ostatecznie Twoje zadanie zostanie zredukowane do rozwiązywania prostych problemów trygonometrycznych (w zależności od sinusa lub cosinusa). Przyjrzymy się rozwiązaniom podobnych przykładów w innych sekcjach.
2. Tutaj możesz obejść się nawet bez podstawienia: po prostu przesuń odejmowanie w prawo i przedstaw obie podstawy poprzez potęgę dwójki: , a następnie przejdź bezpośrednio do równania kwadratowego.
3. Trzecie równanie również rozwiązuje się dość standardowo: wyobraźmy sobie, jak. Następnie, zastępując, otrzymujemy równanie kwadratowe: wtedy

   Wiesz już, co to jest logarytm, prawda? NIE? Zatem przeczytaj pilnie temat!

   Pierwszy pierwiastek oczywiście nie należy do segmentu, ale drugi jest niejasny! Ale dowiemy się tego już wkrótce! Skoro zatem (jest to właściwość logarytmu!) porównajmy:

   Odejmij od obu stron i otrzymamy:

   Lewą stronę można przedstawić jako:

   pomnóż obie strony przez:

   można więc pomnożyć przez

   Następnie porównaj:

   od tego czasu:

   Następnie drugi pierwiastek należy do wymaganego przedziału

   Odpowiedź:

Jak widać, dobór pierwiastków równań wykładniczych wymaga dość głębokiej znajomości własności logarytmów, dlatego radzę zachować jak największą ostrożność przy rozwiązywaniu równań wykładniczych. Jak rozumiesz, w matematyce wszystko jest ze sobą powiązane! Jak mawiał mój nauczyciel matematyki: „matematyki, podobnie jak historii, nie można przeczytać z dnia na dzień”.

Z reguły wszystkie Trudność w rozwiązaniu problemów C1 polega właśnie na wyborze pierwiastków równania. Poćwiczmy na jeszcze jednym przykładzie:

Oczywiste jest, że samo równanie zostało rozwiązane po prostu. Dokonując podstawienia, redukujemy nasze pierwotne równanie do następującego:

Najpierw spójrzmy na pierwszy korzeń. Porównajmy i: od tego czasu. (właściwość funkcji logarytmicznej, w). Wtedy jest jasne, że pierwszy pierwiastek nie należy do naszego przedziału. Teraz drugi korzeń: . Jest to oczywiste (ponieważ funkcja at jest rosnąca). Pozostaje porównać i...

od tego czasu w tym samym czasie. W ten sposób mogę „wbić kołek” pomiędzy i. Ten kołek jest liczbą. Pierwsze wyrażenie jest mniejsze, a drugie większe. Wtedy drugie wyrażenie jest większe od pierwszego i pierwiastek należy do przedziału.

Odpowiedź: .

Na koniec spójrzmy na inny przykład równania, w którym podstawienie jest dość niestandardowe:

Zacznijmy od razu od tego, co można zrobić i co – w zasadzie można, ale lepiej tego nie robić. Wszystko możesz sobie wyobrazić za pomocą potęgi trójki, dwójki i szóstki. Do czego to doprowadzi? Do niczego to nie doprowadzi: mieszaniny stopni, z których niektórych będzie dość trudno się pozbyć. Co w takim razie jest potrzebne? Zauważmy, że a A co nam to da? I fakt, że rozwiązanie tego przykładu możemy sprowadzić do rozwiązania dość prostego równania wykładniczego! Najpierw przepiszmy nasze równanie jako:

Podzielmy teraz obie strony otrzymanego równania przez:

Eureka! Teraz możemy zastąpić, otrzymujemy:

Cóż, teraz twoja kolej na rozwiązanie problemów demonstracyjnych, a ja przedstawię im tylko krótkie komentarze, abyś nie zbłądził! Powodzenia!

1. Najtrudniejsze! Trudno tu znaleźć zamiennika! Niemniej jednak ten przykład można całkowicie rozwiązać za pomocą podkreślając cały kwadrat. Aby go rozwiązać, wystarczy zauważyć, że:

Oto Twój zamiennik:

(Proszę pamiętać, że podczas naszej zamiany nie możemy odrzucić pierwiastka ujemnego! Jak myślisz, dlaczego?)

Teraz, aby rozwiązać przykład, wystarczy rozwiązać tylko dwa równania:

Obydwa można rozwiązać poprzez „standardową wymianę” (ale ta druga w jednym przykładzie!)

2. Zauważ to i dokonaj wymiany.

3. Rozłóż liczbę na czynniki względnie pierwsze i uprość otrzymane wyrażenie.

4. Podziel licznik i mianownik ułamka przez (lub, jeśli wolisz) i dokonaj podstawienia lub.

5. Zauważ, że liczby i są sprzężone.

RÓWNANIA WYKŁADNICZE. POZIOM ZAAWANSOWANY

Ponadto spójrzmy na inny sposób - rozwiązywanie równań wykładniczych metodą logarytmu. Nie mogę powiedzieć, że rozwiązywanie równań wykładniczych tą metodą jest bardzo popularne, ale tylko w niektórych przypadkach może nas doprowadzić do prawidłowego rozwiązania naszego równania. Szczególnie często wykorzystuje się go do rozwiązywania tzw. równania mieszane„: czyli takie, w których występują funkcje różnych typów.

Na przykład równanie postaci:

w ogólnym przypadku można to rozwiązać jedynie poprzez logarytmy obu stron (na przykład do podstawy), w których pierwotne równanie zmieni się w następującą postać:

Spójrzmy na następujący przykład:

Oczywiste jest, że zgodnie z ODZ funkcji logarytmicznej jesteśmy zainteresowani tylko. Wynika to jednak nie tylko z ODZ logarytmu, ale z jeszcze jednego powodu. Myślę, że nie będzie trudno zgadnąć, który to jest.

Sprowadźmy logarytm obu stron naszego równania do podstawy:

Jak widać, obliczenie logarytmu z naszego pierwotnego równania szybko doprowadziło nas do poprawnej (i pięknej!) odpowiedzi. Poćwiczmy na jeszcze jednym przykładzie:

Tutaj też nie ma nic złego: podnieś logarytm obu stron równania do podstawy i otrzymamy:

Zróbmy zamiennik:

Jednak coś nam umknęło! Czy zauważyłeś, gdzie popełniłem błąd? W końcu:

co nie spełnia warunku (pomyśl skąd się wzięło!)

Odpowiedź:

Spróbuj zapisać rozwiązanie poniższych równań wykładniczych:

Teraz porównaj swoją decyzję z tą:

1. Logarytmujemy obie strony do podstawy, biorąc pod uwagę, że:

(drugi korzeń nie jest dla nas odpowiedni ze względu na wymianę)

2. Logarytm do podstawy:

Przekształćmy otrzymane wyrażenie do następującej postaci:

RÓWNANIA WYKŁADNICZE. KRÓTKI OPIS I PODSTAWOWE FORMUŁY

Równanie wykładnicze

Równanie postaci:

zwany najprostsze równanie wykładnicze.

Właściwości stopni

Podejścia do rozwiązania

• Redukcja na tej samej podstawie
• Redukcja do tego samego wykładnika
• Zmienna wymiana
• Uproszczenie wyrażenia i zastosowanie jednego z powyższych.