Простые задачи по теории вероятности. Основная формула

Урок-лекция по теме «теория вероятности»

Задание №4 из ЕГЭ 2016.

Профильный уровень.

1 Группа: задания на использование классической формулы вероятности.

Задание 1. В фирме такси в наличии 60 легковых автомобилей; 27 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на боках, остальные - жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.

Задание 2. Миша, Олег, Настя и Галя бросили жребий - кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет не Галя.

Задание 3. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Задание 4. В сборнике билетов по химии всего 15 билетов, в 6 из них встречается вопрос по теме «Кислоты». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Кислоты».

Задание 5. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 45 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Испании и 9 прыгунов из США. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двадцать четвёртым будет выступать прыгун из США.

Задание 6. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 40 докладов - в первый день 8 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Задание 1. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 теннисистов, среди которых 9 участников из России, в том числе Тимофей Трубников. Найдите вероятность того, что в первом туре Тимофей Трубников будет играть с каким-либо теннисистом из России.

Задание 2. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 бадминтонистов, среди которых 22 спортсмена из России, в том числе Виктор Поляков. Найдите вероятность того, что в первом туре Виктор Поляков будет играть с каким-либо бадминтонистом из России.

Задание 3. В классе 16 учащихся, среди них два друга - Олег и Михаил. Класс случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Олег и Михаил окажутся в одной группе.

Задание 4. В классе 33 учащихся, среди них два друга - Андрей и Михаил. Учащихся случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Михаил окажутся в одной группе.

Задание 1: На фабрике керамической посуды 20% произведенных тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Задание 2. На фабрике керамической посуды 30% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 60% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка имеет дефект. Ответ округлите до сотых.

Задание 3: Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, вторая – 70%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

2 Группа: нахождение вероятности противоположного события.

Задание 1. Вероятность попасть в центр мишени с расстояния 20 м у профессионального стрелка равна 0,85. Найдите вероятность не попасть в центр мишени.

Задание 2. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

3 Группа: Нахождение вероятности наступления хотя бы одного из несовместных событий. Формула сложения вероятностей.

Задание 1. Найти вероятность того, что при бросании кубика выпадет 5 или 6 очков.

Задание 2. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность вытянуть цветной шар.

Задание 3. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую – 0,35.Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Задание 4. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,95. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна 0,6. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 17.

Задание 5. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Задание 6. Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,61. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

4 Группа: Вероятность одновременного наступления независимых событий. Формула умножения вероятностей.

Задание 1. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Задание 2. Помещение освещается фонарем с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Задание 3. В магазине два продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,4. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени оба продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Задание 4. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,2. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Задание 5: По отзывам покупателей, Михаил Михайлович оценил надежность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,81. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина В, равна 0,93. Михаил Михайлович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Задача 6: Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,6. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

5 Группа: Задачи на применение обеих формул.

Задание 1: Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,02. Известно, что 66% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Задание 2. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Задание 3:

В некоторой местности наблюдения показали:

1. Если июньское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1. 2. Если июньское утро пасмурное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,4. 3. Вероятность того, что утро в июне будет пасмурным, равна 0,3.

Найдите вероятность того, что в случайно взятый июньский день дождя не будет.

Задание 4. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем – 0,9. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,96?

План проведения семинара-практикума для учителей математики ОУ города Тулы по теме «Решение заданий ЕГЭ по математике из разделов: комбинаторика, теория вероятностей. Методика обучения»

Время проведения : 12 00 ; 15 00

Место проведения : МБОУ «Лицей № 1», каб. № 8

I . Решение задач на вероятность

1. Решение задач на классическое определение вероятности

Мы, как учителя, уже знаем, что основные типы задач в ЕГЭ по теории вероятностей основаны на классическом определении вероятности. Вспомним, что называется вероятностью события?

Вероятностью события называется отношение числа исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу исходов.

В нашем научно-методическом объединении учителей математики выработана общая схема решения задач на вероятность. Вашему вниманию я ее хочу представить. Кстати, мы поделились своим опытом работы, и у вас в материалах, которые мы вашему вниманию дали для совместного обсуждения решения задач, мы эту схему дали. Тем не менее, я хочу ее озвучить.

На наш взгляд эта схема помогает быстрее логически разложить все по полочкам, и после этого задача поддается решению гораздо легче и для учителя, и для учащихся.

Так, я хочу разобрать подробно задачу следующего содержания.

Мне хотелось совместно с вами побеседовать, чтобы объяснить методику, как до ребят донести такое решение, в процессе которого ребята бы поняли эту типовую задачу, и в последствии они бы сами в этих задачах разбирались.

Что в данной задаче является случайным экспериментом? Теперь нам необходимо вычленить элементарное событие в этом эксперименте. Что является этим элементарным событием? Перечислим их.

Вопросы по задаче?

Уважаемые коллеги, вы тоже, очевидно, рассматривали задачи на вероятность с игральными кубиками. Думаю, нам надо разобрать ее, потому как есть свои нюансы. Давайте будем разбирать данную задачу согласно той схеме, которую мы вам предложили. Так как на каждой грани кубика есть число от 1 до 6, то элементарными события представляют собой числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Мы нашли, что общее число элементарных событий равно 6. Определим, какие элементарные события благоприятствуют событию . Благоприятствуют этому событию всего два события – 5 и 6 (так как из условия следует, что должно выпасть 5 и 6 очков).

Пояснить, что все элементарные события равновозможны. Какие будут вопросы по задаче?

Как вы понимаете, что монета симметрична? Давайте разберемся в этом, иногда определенные фразы вызывают недопонимание. Давайте в понятийном режиме разберемся в этой задаче. Давайте разберемся с вами в том эксперименте, который описан, какие могут быть элементарные исходы. Вы все представляете, где орел, где решка? Какие могут быть варианты выпадения? Есть другие события? Сколько общее число событий? По задаче известно, что орел выпал ровно один раз. Значит, данному событию благоприятствуют элементарные события из этих четырех ОР и РО, два раза уже такого быть не может. Используем формулу, по которой находится вероятность события. Напомним, что ответы в части В должны представлять собой либо целое число, либо десятичную дробь.

Показываем на интерактивной доске. Читаем задачу. Что является элементарным исходом в этом опыте? Уточнить, что пара упорядоченная – то есть число выпало на первом кубике, и на втором кубике. В любой задаче есть такие моменты, когда нужно выбирать рациональные методы, формы и представлять решение в виде таблиц, схем и т.д. В данной задаче удобно использовать такую таблицу. Я вам даю уже готовое решение, но в ходе решения выясняется, что в данной задаче рационально использовать решение в виде таблицы. Объясняем, что обозначает таблица. Вам понятно, почему в столбцах написано 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Начертим квадрат. Строки соответствуют результатам первого броска – их шесть, потому что у кубика шесть граней. Как и столбцы. В каждой клетке напишем сумму выпавших очков. Показываем заполненную таблицу. Закрасим клетки, где сумма равна восьми (так как это требуется в условии).

Я полагаю, что следующую задачу, после разбора предыдущих, можно дать ребятам решить самостоятельно.

В следующих задачах нет нужды выписывать все элементарные исходы. Достаточно просто подсчитать их количество.

(Без решения) Такую задачу я давал решить ребятам самостоятельно. Алгоритм решения задачи

1. Определяем, в чем состоит случайный эксперимент и что является случайным событием.

2. Находим общее число элементарных событий.

3. Находим число событий, благоприятствующих событию, указанному в условии задачи.

4. Находим вероятность события с использованием формулы .

Учащимся можно задать вопрос, если 1000 аккумуляторов поступило в продажу, а среди них 6 неисправных, то выбранный аккумулятор определяется как? Чем он является в нашей задаче? Дальше я задаю вопрос о нахождении, что здесь используется в качестве числа и предлагаю найти это число . Дальше спрашиваю, что является здесь событием? Сколько аккумуляторов благоприятствует выполнению события? Далее, используя формулу, вычисляем данную вероятность.

Здесь ребятам можно предложить второй способ решения. Давайте обсудим, какой может быть этот способ?

1. Какое событие можно рассмотреть теперь?

2. Как найти вероятность данного события?

Ребятам нужно сказать об этих формулах. Они следующие

Восьмую задачу можно предложить ребятам самостоятельно, так как она аналогично шестой задаче. Ее им можно предложить в качестве самостоятельной работы, или на карточке у доски.

Данную задачу можно решить применительно к олимпиаде, которая сейчас проходит. Несмотря на то, что в задачах участвуют разные события, однако же задачи являются типовыми.

2. Простейшие правила и формулы вычисления вероятностей (противоположные события, сумма событий, произведение событий)

Это задача из сборника ЕГЭ. Решение выводим на доску. Какие мы вопросы должны поставить перед учащимися, чтобы разобрать эту задачу.

1. Сколько было автоматов? Раз два автомата, то событий уже два. Задаю вопрос детям – каково будет событие ? Каково будет второе событие?

2. – это вероятность события. Нам ее вычислять не нужно, так как она дана в условии. По условию задачи вероятность того, что «кофе закончится в обоих автоматах», равна 0,12. Было событие А, было событие В. И появляется новое событие? Я детям задаю вопрос – какое? Это событие, когда в обоих автоматах заканчивается кофе. В данном случае, в теории вероятности это новое событие, которое называется пересечением двух событий А и В и обозначается это таким образом.

Воспользуемся формулой сложения вероятности. Формула следующая

Мы ее даем вам в справочном материале и ребятам можно давать эту формулу. Она позволяет находить вероятность суммы событий. У нас спрашивалась вероятность противоположного события, вероятность которого находится по формуле.

В задаче 13 используется понятие произведения событий, формула для нахождения вероятности которого приведена в приложении.

3. Задачи на применение дерева возможных вариантов

По условию задачи легко составить схему и найти указанные вероятности.

С помощью какого теоретического материала вы разбирали с учащимися решение задач такого рода? Использовали ли вы дерево возможных вариантов или использовали другие методы решения таких задач? Давали ли вы понятие графов? В пятом или шестом классе у ребят есть такие задачи, разбор которых дает понятие графов.

Я бы хотел вас спросить, рассматривали вы с учащимися использование дерева возможных вариантов при решении задач на вероятность? Дело в том, что мало того, что в ЕГЭ есть такие задачи, но появились задачи достаточно сложные, которые мы сейчас будем решать.

Давайте обсудим с вами методику решения таких задач – если она совпадет с моей методикой, как я объясняю ребятам, то мне будет легче с вами работать, если нет, то я помогу вам разобраться с этой задачей.

Давайте мы с вами обсудим события. Какие события в задаче 17 можно вычленить?

При построении дерева на плоскости обозначается точка, которая называется корнем дерева. Далее мы начинаем рассматривать события и. Мы построим отрезок (в теории вероятностей он называется ветвь). По условию сказано, что первая фабрика выпускает 30% мобильных телефонов этой марки (какой? Той, которую они выпускают), значит, в данный момент я учащихся спрашиваю, чему равна вероятность выпуска первой фабрикой телефонов этой марки, тех, которые они выпускают? Так как событие есть выпуск телефона на первой фабрике, то вероятность этого события есть 30% или 0,3. Остальные телефоны выпущены на второй фабрике – мы строим второй отрезок, и вероятность этого события равна 0,7.

Учащимся задается вопрос – какого типа может быть телефон, выпущенный первой фабрикой? С дефектом или без дефекта. Какого вероятность того, что телефон, выпущенный первой фабрикой, имеет дефект? По условию сказано, что она равна 0,01. Вопрос: какова вероятность того, что телефон, выпущенный первой фабрикой, не имеет дефекта? Так как это событие противоположно данному, то его вероятность равна.

Требуется найти вероятность того, что телефон с дефектом. Он может быть с первой фабрики, а может быть и со второй. Тогда воспользуемся формулой сложения вероятностей и получим, что вся вероятность это есть сумма вероятностей того, что телефон с дефектом с первой фабрики, и что телефон с дефектом со второй фабрики. Вероятность того, что телефон имеет дефект и выпущен на первой фабрике найдем по формуле произведения вероятностей, которая приведена в приложении.

4. Одна из самых сложных задач из банка ЕГЭ на вероятность

Разберем, например, № 320199 из Банка заданий ФИПИ. Это одна из самых сложных задач В6.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку - 0,8, по иностранному языку - 0,7 и по обществознанию - 0,5.

Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Для того чтобы поступить хотя бы на одну из двух специальностей, З. должен набрать не менее 70 баллов по математике. И по русскому. И еще – обществознания или иностранный.

Вероятность набрать 70 баллов по математике для него равна 0,6.

Вероятность набрать баллы по математике и русскому равна.

Разберемся с иностранным и обществознанием. Нам подходят варианты, когда абитуриент набрал баллы по обществознанию, по иностранному или по обоим. Не подходит вариант, когда ни по языку, ни по «обществу» он не набрал баллов. Значит, вероятность сдать обществознание или иностранный не ниже чем на 70 баллов равна. В результате вероятность сдать математику, русский и обществознание или иностранный равна

Это ответ.

II . Решение комбинаторных задач

1. Число сочетаний и факториалы

Давайте кратко разберем теоретический материал.

Выражение n ! читается как «эн-факториал» и обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно: n ! = 1 · 2 · 3 · ... · n .

Кроме того, в математике по определению считают, что 0! = 1. Такое выражение бывает редко, но все же встречается в задачах по теории вероятностей.

Определение

Пусть имеется объектов (карандашей, конфет, чего угодно), из которых требуется выбрать ровно различных объектов. Тогда количество вариантов такого выбора называется числом сочетаний из элементов по. Это число обозначается и считается по специальной формуле.

Обозначение

Что дает нам эта формула? На самом деле, без нее не решается практически ни одна серьезная задача.

Для лучшего понимания разберем несколько простейших комбинаторных задач:

Задача

У бармена есть 6 сортов зеленого чая. Для проведения чайной церемонии требуется подать зеленый чай ровно 3 различных сортов. Сколькими способами бармен может выполнить заказ?

Решение

Тут все просто: есть n = 6 сортов, из которых надо выбрать k = 3 сорта. Число сочетаний можно найти по формуле:

Ответ

Подставляем в формулу. Мы все задачи решить не можем, но типовые задачи мы выписали, они представлены вашему вниманию.

Задача

В группе из 20 студентов надо выбрать 2 представителей для выступления на конференции. Сколькими способами можно это сделать?

Решение

Опять же, всего у нас есть n = 20 студентов, а выбрать надо k = 2 студента. Находим число сочетаний:

Обратите внимание: красным цветом отмечены множители, входящие в разные факториалы. Эти множители можно безболезненно сократить и тем самым значительно уменьшить общий объем вычислений.

Ответ

190

Задача

На склад завезли 17 серверов с различными дефектами, которые стоят в 2 раза дешевле нормальных серверов. Директор купил в школу 14 таких серверов, а сэкономленные деньги в количестве 200 000 рублей направил на приобретение другого оборудования. Сколькими способами директор может выбрать бракованные серверы?

Решение

В задаче довольно много лишних данных, которые могут сбить с толку. Наиболее важные факты: всего есть n = 17 серверов, а директору надо k = 14 серверов. Считаем число сочетаний:

Красным цветом снова обозначены множители, которые сокращаются. Итого, получилось 680 комбинаций. В общем, директору есть из чего выбрать.

Ответ

680

Эта задача капризная, так как в этой задаче есть лишние данные. Многих учащихся они сбивают с правильного решения. Всего серверов было 17, а директору необходимо выбрать 14. Подставляя в формулу, получаем 680 комбинаций.

2. Закон умножения

Определение

Закон умножения в комбинаторике: число сочетаний (способов, комбинаций) в независимых наборах умножается.

Другими словами, пусть имеется A способов выполнить одно действие и B способов выполнить другое действие. Путь также эти действия независимы, т.е. никак не связаны между собой. Тогда можно найти число способов выполнить первое и второе действие по формуле: C = A · B .

Задача

У Пети есть 4 монеты по 1 рублю и 2 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, достал из кармана 1 монету номиналом 1 рубль и еще 1 монету номиналом 10 рублей, чтобы купить ручку за 11 рублей. Сколькими способами он может выбрать эти монеты?

Решение

Итак, сначала Петя достает k = 1 монету из n = 4 имеющихся монет номиналом 1 рубль. Число способов сделать это равно C 4 1 = ... = 4.

Затем Петя снова лезет в карман и достает k = 1 монету из n = 2 имеющихся монет номиналом 10 рублей. Здесь число сочетаний равно C 2 1 = ... = 2.

Поскольку эти действия независимы, общее число вариантов равно C = 4 · 2 = 8.

Ответ

Задача

В корзине лежат 8 белых шаров и 12 черных. Сколькими способами можно достать из этой корзины 2 белых шара и 2 черных?

Решение

Всего в корзине n = 8 белых шаров, из которых надо выбрать k = 2 шара. Это можно сделать C 8 2 = ... = 28 различными способами.

Кроме того, в корзине имеется n = 12 черных шаров, из которых надо выбрать опять же k = 2 шара. Число способов сделать это равно C 12 2 = ... = 66.

Поскольку выбор белого шара и выбор черного - события независимые, общее число комбинаций считается по закону умножения: C = 28 · 66 = 1848. Как видим, вариантов может быть довольно много.

Ответ

1848

Закон умножения показывает, сколькими способами можно выполнить сложное действие, которое состоит из двух и более простых - при условии, что все они независимы.

3. Закон сложения

Если закон умножения оперирует «изолированными» событиями, которые не зависят друг от друга, то в законе сложения все наоборот. Здесь рассматриваются взаимоисключающие события, которые никогда не случаются одновременно.

Например, «Петя вынул из кармана 1 монету» и «Петя не вынул из кармана ни одной монеты» - это взаимоисключающие события, поскольку вынуть одну монету и при этом не вынуть ни одной невозможно.

Аналогично, события «Выбранный наугад шар - белый» и «Выбранный наугад шар - черный» также являются взаимоисключающими.

Определение

Закон сложения в комбинаторике: если два взаимоисключающих действия можно выполнить A и B способами соответственно, то эти события можно объединить. При этом возникнет новое событие, которое можно выполнить X = A + B способами.

Другими словами, при объединении взаимоисключающих действий (событий, вариантов) число их комбинаций складывается.

Можно сказать, что закон сложения - это логическое «ИЛИ» в комбинаторике, когда нас устраивает любой из взаимоисключающих вариантов. И наоборот, закон умножения - это логическое «И», при котором нас интересует одновременное выполнение и первого, и второго действия.

Задача

В корзине лежат 9 черных шаров и 7 красных. Мальчик достает 2 шара одинакового цвета. Сколькими способами он может это сделать?

Решение

Если шары одинакового цвета, то вариантов немного: оба они либо черные, либо красные. Очевидно, что эти варианты - взаимоисключающие.

В первом случае мальчику предстоит выбирать k = 2 черных шара из n = 9 имеющихся. Число способов сделать это равно C 9 2 = ... = 36.

Аналогично, во втором случае выбираем k = 2 красных шара из n = 7 возможных. Число способов равно C 7 2 = ... = 21.

Осталось найти общее количество способов. Поскольку варианты с черными и красными шарами - взаимоисключающие, по закону сложения имеем: X = 36 + 21 = 57.

Ответ 57

Задача

В ларьке продаются 15 роз и 18 тюльпанов. Ученик 9-го класса хочет купить 3 цветка для своей одноклассницы, причем все цветы должны быть одинаковыми. Сколькими способами он может составить такой букет?

Решение

По условию, все цветы должны быть одинаковыми. Значит, будем покупать либо 3 розы, либо 3 тюльпана. В любом случае, k = 3.

В случае с розами придется выбирать из n = 15 вариантов, поэтому число сочетаний равно C 15 3 = ... = 455. Для тюльпанов же n = 18, а число сочетаний - C 18 3 = ... = 816.

Поскольку розы и тюльпаны - это взаимоисключающие варианты, работаем по закону сложения. Получаем общее число вариантов X = 455 + 816 = 1271. Это и есть ответ.

Ответ

1271

Дополнительные условия и ограничения

Очень часто в тексте задачи присутствуют дополнительные условия, накладывающие существенные ограничения на интересующие нас сочетания. Сравните два предложения:

Имеется набор из 5 ручек разных цветов. Сколькими способами можно выбрать 3 ручки для обводки чертежа?

Имеется набор из 5 ручек разных цветов. Сколькими способами можно выбрать 3 ручки для обводки чертежа, если среди них обязательно должен быть красный цвет?

В первом случае мы вправе брать любые цвета, какие нам нравятся - дополнительных ограничений нет. Во втором случае все сложнее, поскольку мы обязаны выбрать ручку красного цвета (предполагается, что она есть в исходном наборе).

Очевидно, что любые ограничения резко сокращают итоговое количество вариантов. Ну и как в этом случае найти число сочетаний? Просто запомните следующее правило:

Пусть имеется набор из n элементов, среди которых надо выбрать k элементов. При введении дополнительных ограничений числа n и k уменьшаются на одинаковую величину.

Другими словами, если из 5 ручек надо выбрать 3, при этом одна из них должна быть красной, то выбирать придется из n = 5 − 1 = 4 элементов по k = 3 − 1 = 2 элемента. Таким образом, вместо C 5 3 надо считать C 4 2 .

Теперь посмотрим, как это правило работает на конкретных примерах:

Задача

В группе из 20 студентов, среди которых 2 отличника, надо выбрать 4 человека для участия в конференции. Сколькими способами можно выбрать этих четверых, если отличники обязательно должны попасть на конференцию?

Решение

Итак, есть группа из n = 20 студентов. Но выбрать надо лишь k = 4 из них. Если бы не было дополнительных ограничений, то количество вариантов равнялось числу сочетаний C 20 4 .

Однако нам поставили дополнительное условие: 2 отличника должны быть среди этих четырех. Таким образом, согласно приведенному выше правилу, мы уменьшаем числа n и k на 2. Имеем:

Ответ

153

Задача

У Пети в кармане есть 8 монет, из которых 6 монет по рублю и 2 монеты по 10 рублей. Петя перекладывает какие-то три монеты в другой карман. Сколькими способами Петя может это сделать, если известно, что обе монеты по 10 рублей оказались в другом кармане?

Решение

Итак, есть n = 8 монет. Петя перекладывает k = 3 монеты, из которых 2 - десятирублевые. Получается, что из 3 монет, которые будут переложены, 2 уже зафиксированы, поэтому числа n и k надо уменьшить на 2. Имеем:

Ответ

III . Решение комбинированных задач на применение формул комбинаторики и теории вероятностей

Задача

В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 2 рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублевые монеты лежат в одном кармане.

Решение

Предположим, что обе двухрублевые монеты действительно оказались в одном кармане, тогда возможны 2 варианта: либо Петя их вообще не перекладывал, либо переложил сразу обе.

В первом случае, когда двухрублевые монеты не перекладывались, придется переложить 3 монеты по рублю. Поскольку всего таких монет 4, число способов это сделать равно числу сочетаний из 4 по 3: C 4 3 .

Во втором случае, когда обе двухрублевые монеты были переложены, придется переложить еще одну рублевую монету. Ее надо выбрать из 4 существующих, и число способов так поступить равно числу сочетаний из 4 по 1: C 4 1 .

Теперь найдем общее число способов переложить монеты. Поскольку всего монет 4 + 2 = 6, а выбрать надо лишь 3 из них, общее число вариантов равно числу сочетаний из 6 по 3: C 6 3 .

Осталось найти вероятность:

Ответ

0,4

Показать на интерактивной доске. Уделить внимание на то, что по условию задачи Петя, не глядя, переложил три монеты в один карман. Мы, отвечая на этот вопрос, можем предположить, что две двухрублевые монеты действительно остались в одном кармане. Сослаться на формулу сложения вероятностей. Показать еще раз формулу.

Задача

В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Решение

Чтобы пятирублевые монеты лежали в разных карманах, надо переложить только одну из них. Количество способов это сделать равно числу сочетаний из 2 по 1: C 2 1 .

Поскольку всего Петя переложил 3 монеты, придется переложить еще 2 монеты по 10 рублей. Таких монет у Пети 4, поэтому количество способов равно числу сочетаний из 4 по 2: C 4 2 .

Осталось найти, сколько всего есть вариантов переложить 3 монеты из 6 имеющихся. Это количество, как и в предыдущей задаче, равно числу сочетаний из 6 по 3: C 6 3 .

Находим вероятность:

В последнем шаге мы умножали число способов выбрать двухрублевые монеты и число способов выбрать десятирублевые, поскольку данные события независимы.

Ответ

0,6

Итак, в задачах с монетами есть собственная формула вероятности. Она настолько простая и важная, что ее можно оформить ее в виде теоремы.

Теорема

Пусть монету бросают n раз. Тогда вероятность того, что орел выпадет ровно k раз, можно найти по формуле:

Где C n k - число сочетаний из n элементов по k , которое считается по формуле:

Таким образом, для решения задачи с монетами нужны два числа: число бросков и число орлов. Чаще всего эти числа даны прямо в тексте задачи. Более того, не имеет значения, что именно считать: решки или орлы. Ответ получится один и тот же.

На первый взгляд, теорема кажется слишком громоздкой. Но стоит чуть-чуть потренироваться - и вам уже не захочется возвращаться к стандартному алгоритму, описанному выше.

Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза.

Решение

По условию задачи, всего бросков было n = 4. Требуемое число орлов: k = 3. Подставляем n и k в формулу:

С тем же успехом можно считать число решек: k = 4 − 3 = 1. Ответ будет таким же.

Ответ

0,25

Задача [Рабочая тетрадь «ЕГЭ 2012 по математике. Задачи B6»]

Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

Решение

Снова выписываем числа n и k . Поскольку монету бросают 3 раза, n = 3. А поскольку решек быть не должно, k = 0. Осталось подставить числа n и k в формулу:

Напомню, что 0! = 1 по определению. Поэтому C 3 0 = 1.

Ответ

0,125

Задача [Пробный ЕГЭ по математике 2012. Иркутск]

В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет больше раз, чем решка.

Решение

Чтобы орлов было больше, чем решек, они должны выпасть либо 3 раза (тогда решек будет 1), либо 4 (тогда решек вообще не будет). Найдем вероятность каждого из этих событий.

Пусть p 1 - вероятность того, что орел выпадет 3 раза. Тогда n = 4, k = 3. Имеем:

Теперь найдем p 2 - вероятность того, что орел выпадет все 4 раза. В этом случае n = 4, k = 4. Имеем:

Чтобы получить ответ, осталось сложить вероятности p 1 и p 2 . Помните: складывать вероятности можно только для взаимоисключающих событий. Имеем:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Ответ

0,3125

В целях экономии вашего времени при подготовке с ребятами к ЕГЭ и ГИА, мы представили решения еще многих задач, которые вы можете выбирать и решать с ребятами.

Материалы ГИА, ЕГЭ различных лет, учебники и сайты.

IV. Справочный материал

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение.

Рассмотрим события

А = кофе закончится в первом автомате,

В = кофе закончится во втором автомате.

A·B = кофе закончится в обоих автоматах,

A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию P(A) = P(B) = 0,25; P(A·B) = 0,15.

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,35 = 0,65.

Ответ: 0,65.

Приведем другое решение.

Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 − 0,25 = 0,75. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна 1 − 0,25 = 0,75. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,15 = 0,85. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,85 = 0,75 + 0,75 − х , откуда искомая вероятость х = 0,65.

Примечание.

Заметим, что события А и В не являются независимыми. Действительно, вероятность произведения независимых событий была бы равна произведению вероятностей этих событий: P(A·B) = 0,25·0,25 = 0,0625, однако, по условию, эта вероятность равна 0,15.

Елена Александровна Попова 10.10.2018 09:57

Я, доцент, кандидат педагогических наук, считаю ПОЛНОЙ ГЛУПОСТЬЮ И НЕЛЕПОСТЬЮ ВКЛЮЧАТЬ ЗАДАНИЯ НА ЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ. Этот раздел НЕ ЗНАЮТ учителя - меня приглашали читать лекции по ТВ на курсы повышения квалификации учителей. Этого раздела нет и не может быть в программе. Выдумывать методы без обоснования НЕ НУЖНО. ЗАДАЧИ подобного рода просто исключить. Ограничиться КЛАССИЧЕСКИМ ОПРЕДЕЛЕНИЕМ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Да и то предварительно изучить школьные учебники - посмотреть, а что там написали по этому поводу авторы. Посмотрите Зубареву 5 класс. Она даже обозначений не знает и вероятность дает в процентах. После обучения по таким учебникам ученики так и считают, что вероятность - это процент. Много интересных задач на классическое определение вероятностей. Их и нужно спрашивать школьников. Возмущения нет предела у преподавателей ВУЗов от ВАШИХ глупостей по введению подобного рода задач.

Внимание абитуриентам! Здесь разобрано несколько задач ЕГЭ. Остальные, более интересные, - в нашем бесплатном видеоматериале . Смотрите и поступайте!

Мы начнем с простых задач и основных понятий теории вероятностей.
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
Вы выиграли в лотерею - случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте - тоже случайное событие. Правда, мастер оказался поблизости и освободил всю компанию через десять минут - и это тоже можно считать счастливой случайностью…

Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью . Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.

Начнем с самого простого примера. Вы бросаете монетку. Орел или решка?

Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием .

Орел и решка - два возможных исхода испытания.

Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна .

Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.

Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом .

Вероятность выпадения тройки равна (один благоприятный исход из шести возможных).

Вероятность четверки - тоже

А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.

Вот другой пример. В пакете яблок, из них - красные, остальные - зеленые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко. Вероятность вытащить красное яблоко равна , а зеленое - .

Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна .

Разберем задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ.

. В фирме такси в данный момент свободно машин: красных, желтых и зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.

Всего имеется машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых - девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна , то есть .

. (Демо-вариант ) В сборнике билетов по биологии всего билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна , то есть .

. Родительский комитет закупил пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них с картинами известных художников и с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вовочке достанется пазл с животным.

Задача решается аналогично.

Ответ: .

. В чемпионате по гимнастике участвуют спортсменок: из России, из США, остальные - из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.

Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется двадцатый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равен (поскольку из Китая - спортсменок). Ответ: .

. Ученика попросили назвать число от до . Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?

Каждое пятое число из данного множества делится на . Значит, вероятность равна .

Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.

Нечетные числа; - четные. Вероятность нечетного числа очков равна .

Ответ: .

. Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?

Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.

Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?

Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка

Две монеты - уже четыре исхода:

Три монеты? Правильно, исходов, так как .

Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.

Ответ: .

. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет очков. Результат округлите до сотых.

Бросаем первую кость - шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть - когда мы бросаем вторую кость.

Получаем, что у данного действия - бросания двух игральных костей - всего возможных исходов, так как .

А теперь - благоприятные исходы:

Вероятность выпадения восьми очков равна .

>. Стрелок попадает в цель с вероятностью . Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре раза выстрела подряд.

Если вероятность попадания равна - следовательно, вероятность промаха . Рассуждаем так же, как и в предыдущей задаче. Вероятность двух попадания подряд равна . А вероятность четырех попаданий подряд равна .

Вероятность: логика перебора.

Вот задача из диагностической работы, которая многим показалась сложной.

В кармане у Пети было монеты по рублей и монеты по рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы?

Можно, конечно, обозначить пятирублевые монеты цифрами , а десятирублевые цифрами - а затем посчитать, сколькими способами можно выбрать три элемента из набора .

Однако есть более простое решение:

Кодируем монеты числами: , (это пятирублёвые), (это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:

Есть шесть фишек с номерами от до . Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами и не оказались вместе?

Давайте запишем, что у нас в первом кармане.

Для этого составим все возможные комбинации из набора . Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях и - это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:

Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на . Продолжаем:

Всего возможных исходов.

У нас есть условие - фишки с номерами и не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация нам не подходит - она означает, что фишки и обе оказались в не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы - такие, где есть либо только , либо только . Вот они:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – всего благоприятных исходов.

Тогда искомая вероятность равна .

Какие же задачи ждут вас на ЕГЭ по математике?

Разберем одну из сложных задач по теории вероятностей.

Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент З. должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов - математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов - математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку - 0,8, по иностранному языку - 0,7 и по обществознанию - 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Заметим, что в задаче не спрашивается, будет ли абитуриент по фамилии З. учиться и лингвистике, и коммерции сразу и получать два диплома. Здесь надо найти вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух данных специальностей – то есть наберет необходимое количество баллов.
Для того чтобы поступить хотя бы на одну из двух специальностей, З. должен набрать не менее 70 баллов по математике. И по русскому. И еще – обществознания или иностранный.
Вероятность набрать 70 баллов по математике для него равна 0,6.
Вероятность набрать баллы по математике и русскому равна 0,6 0,8.

Разберемся с иностранным и обществознанием. Нам подходят варианты, когда абитуриент набрал баллы по обществознанию, по иностранному или по обоим. Не подходит вариант, когда ни по языку, ни по «обществу» он не набрал баллов. Значит, вероятность сдать обществознание или иностранный не ниже чем на 70 баллов равна
1 – 0,5 0,3.
В результате вероятность сдать математику, русский и обществознание или иностранный равна
0,6 0,8 (1 - 0,5 0,3) = 0,408. Это ответ.