Арифметические операции над действительными числами. Конспект урока "действительные числа"

Урок №2.

Тема урока. Действительные числа.

Цель урока. Ввести понятие действительного числа. Действия с действительными числами.

Ход урока.

I. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.

II . Повторение пройденного материала.

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения знаний (самостоятельная работа).

1 вариант. 2 вариант.

1. Найдите значения выражений:

1) ; 2) ; 3) 1) 2) 3)

2. Вычислить:

1) 2) 1) 2)

3) 4) 3) ; 4)

III . Изучение нового материала.

1.Рациональных чисел недостаточно для решения задач измерения. Так диагональ квадрата с единичной стороной не может быть измерена, если использовать только рациональные числа(2,5т.л. до н.э.)

Для задач измерения можно выбрать стандартную величину - длину отрезка и задать числа геометрически – отрезками, а точнее их отношениями к выбранному единичному отрезку (единице масштаба). Если назвать числом отношение отрезка к единичному, то возникает задача записи числа. Удобна запись числа в виде десятичной дроби, отражающей некоторый процесс измерения.

Измеряя диагональ квадрата со стороной 1, мы сначала отложим целый

единичный отрезок и получим число 1. В остатке будем откладывать деся-

тую часть единичного отрезка. Она отложится 4 раза, и останется отрезок

длины, меньшей . Получим десятичную дробь 1,4. Затем делим

снова на 10 частей, откладываем новый отрезок в остатке и записываем

результат. Получим последовательность десятичных дробей с увеличива-

ющимся количеством знаков после запятой: 1; 1.4; 1,41; 1,414; 1,4142;… .

Эту последовательность удобно представить в виде одной беско-

нечной десятичной дроби 1,414213562373095…, которую и можно считать

числом. Итак, по определению действительное число – это бесконечная

непериодическая десятичная дробь.

2. Конечная десятичная дробь. Рациональное число, представленное

Дробью, в знаменателе которой стоят только двойки и пятерки, запишется

конечной десятичной дробью, так как на каком-то шаге десятичный процесс измерения закончится – некоторая доля единичного отрезка отложится в остатке целое число раз.

Например:

Если у некоторой несократимой дроби в знаменателе есть простые числа, отличные от 2 и 5, то процесс десятичного измерения станет периодическим, и цифры (одна или несколько) начнут периодически повторяться.

Например:

3. Иррациональные числа – это числа, не являющиеся рациональными. Они записываются бесконечными непериодическими десятичными дробями.

Например: .

Объединение множества рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных чисел R . ( ).

4 . Зачем понадобились действительные числа, и хватает ли их для решения задач?

Добавление к рациональным числам иррациональных чисел было вызвано необходимостью измерения длины любых отрезков. С помощью так построенных действительных чисел можно измерять многие другие величины, которые были названы скалярными .

5 . Почему диагональ квадрата со стороной, равной единице, нельзя измерить рациональным числом?

6. Действия над действительными числами.

Бесконечная десятичная дробь – это последовательность приближений конечными десятичными дробями к данному действительному числу. Для выполнения арифметических операций над ними эти операции делаются с конечными десятичными дробями.

Например: . Получим:

Аналогично (с помощью калькулятора).

Действительные числа можно изобразить точками на числовой оси. Если два числа b изображены точками на числовой оси, то расстояние между А и В равно модулю разности чисел a u b : Свойства:

I v . Закрепление пройденного материала.

1. Ответить на вопросы.

1) Всякое ли целое число является рациональным? (Да)

2) Является ли число иррациональным? (Нет)

3) Всегда ли сумма рациональных чисел является рациональным числом? (Нет. Сумма периодических дробей.)

4) Может ли при сложении иррациональных чисел получиться рациональное число? (Нет)

5) Может ли частное от деления рационального числа на иррациональное быть рациональным числом? (Нет)

6) Всегда ли квадрат иррационального числа является рациональным числом? (Нет. ).

2. Решение примеров.

1) Приведите примеры рациональных и иррациональных чисел.

2) Укажите рациональные и иррациональные числа:

3) Верно ли, что: а) . б)

Повторение неполной средней школы

Интеграл

Производная

Объемы тел

Тела вращения

Метод координат в пространстве

Прямоугольная система координат. Связь между координатами векторов и координатами точек. Простейшие задачи в координатах. Скалярное произведение векторов.

Понятие цилиндра. Площадь поверхности цилиндра. Понятие конуса.

Площадь поверхности конуса. Сфера и шар. Площадь сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости.

Понятие объема. Объем прямоугольного параллелœепипеда. Объем прямой призмы, цилиндра. Объем пирамиды и конуса. Объём шара.

Раздел III. Начала математического анализа

Производная. Производная степенной функции. Правила дифференцирования. Производные некоторых элементарных функций. Геометрический смысл производной.

Применение производной к исследованию функций Возрастание и убывание функции. Экстремумыфункции. Применение производной к построению графиков. Наибольшее, наименьшее значенияфункции.

Первообразная. Правила нахождения первообразных. Площадь криволинœейной трапеции и интеграл. Вычисление интегралов. Вычисление площадей с помощью интегралов.

Учебно-тренировочные задания к экзаменам

Раздел I. Алгебра

Число - абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Числа возникли еще в первобытном обществе в связи с потребностью людей считать предметы. С течением времени по мере развития науки число превратилось в важнейшее математическое понятие.

Для решения задач и доказательства различных теорем крайне важно понимать, какие бывают виды чисел. Основные виды чисел включают в себя: натуральные числа, целые числа, рациональные числа, действительные числа.

Натуральные числа - ϶ᴛᴏ числа, получаемые при естественном счёте предметов, а вернее при их нумерации («первый», «второй», «третий»...). Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N (можно запомнить, опираясь на английское слово natural). Можно сказать, что N ={1,2,3,....}

Дополнением натуральных чисел нулём и отрицательными числами (ᴛ.ᴇ. числами, противоположными натуральным) множество натуральных чисел расширяется до множества целых чисел.

Целые числа - ϶ᴛᴏ числа из множества {0, 1, -1, 2, -2, ....}. Это множество состоит из трех частей – натуральные числа, отрицательные целые числа (противоположные натуральным числам) и число 0 (нуль). Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Можно сказать, что Z={1,2,3,....}. Рациональные числа - ϶ᴛᴏ числа, представимые в виде дроби , где m - целое число, а n - натуральное число.

Существуют рациональные числа, которые нельзя записать в виде конечной десятичной дроби, к примеру . В случае если, к примеру, попытаться записать число в виде десятичной дроби, используя известный алгоритм делœения уголком, то получится бесконечная десятичная дробь . Бесконечную десятичную дробь называют периодической, повторяющуюся цифру 3 – её периодом. Периодическую дробь коротко записывают так: 0,(3); читается: «Ноль целых и три в периоде».

Вообще, периодическая дробь - ϶ᴛᴏ бесконечная десятичная дробь, у которой начиная с некоторого десятичного знака повторяется одна и та же цифра или несколько цифр – период дроби.

К примеру, десятичная дробь периодическая с периодом 56; читается «23 целых, 14 сотых и 56 в периоде».

Итак, каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Справедливо и обратное утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом, так как может быть представлена в виде дроби , где - целое число, - натуральное число.

Действительные (вещественные) числа - ϶ᴛᴏ числа, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ применяются для измерения непрерывных величин. Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R. Действительные числа включают в себя рациональные числа и иррациональные числа. Иррациональные числа - ϶ᴛᴏ числа, которые получаются в результате выполнения различных операций с рациональными числами (к примеру, извлечение корня, вычисление логарифмов), но при этом не являются рациональными. Примеры иррациональных чисел - ϶ᴛᴏ .

Любое действительное число можно отобразить на числовой прямой:

Для перечисленных выше множеств чисел справедливо следующее высказывание: множество натуральных чисел входит во множество целых чисел, множество целых чисел входит во множество рациональных чисел, а множество рациональных чисел входит во множество действительных чисел. Это высказывание можно проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера.

Упражнения для самостоятельного решения

1. Понятие иррационального числа. Бесконечные десятичные непериодические дроби. Множество действительных чисел.

2. Арифметические действия над действительными числами. Законы сложения и умножения.

3. Расширение действительных положительных чисел до множества действительных чисел. Свойства множества действительных чисел.

4. Приближенные числа.Правила округления действительных чисел и действия с приближенными числами. Вычисления с помощью микрокалькулятора.

5. Основные выводы

Действительные числа

Одним из источников появления десятичных дробей является деле­ние натуральных чисел, другим - измерение величин. Выясним, на­пример, как могут получиться десятичные дроби при измерении дли­ны отрезка.

Пусть х - отрезок, длину которого надо измерить, е - единичный отрезок. Длину отрезка х обозначим буквой X , а длину отрезка е - буквой Е . Пусть отрезок х состоит из n отрезков, равных е ₁ и отрезка х ₁, который короче отрезка е (рис. 130), т.е. n ∙Е < X < (n + 1) ∙Е . Числа n и n + 1 есть приближенные значения длины от­резка х при единице длины Е с недос­татком и с избытком с точностью до 1.

Чтобы получить ответ с большей точностью, возьмем отрезок е ₁ - деся­тую часть отрезка е и будем уклады­вать его в отрезке х ₁. При этом возможны два случая.

1) Отрезок е₁ уложился в отрезке х ₁ точно n раз. Тогда длина n от­резка х выражается конечной десятичной дробью: X = (n + n ₁\10) ∙Е= n, n ₁∙Е. Например, X = 3,4∙Е.

2) Отрезок х ₁ оказывается состоящим из n отрезков, равных е ₁, и отрезка х ₂, который короче отрезка е ₁. Тогда n , n ₁∙Е < X < n , n ₁ n ₁′∙Е , где n , n ₁ и n , n ₁ n ₁′ - приближенные значения длины отрезка х с не­достатком и с избытком с точностью до 0,1.

Ясно, что во втором случае процесс измерения длины отрезка х можно продолжать, взяв новый единичный отрезок е ₂ - сотую часть отрезка е .

На практике этот процесс измерения длины отрезка на каком-то этапе закончится. И тогда результатом измерения длины отрезка бу­дет либо натуральное число, либо конечная десятичная дробь. Если же представить этот процесс измерения длины отрезка в идеале (как и делают в математике), то возможны два исхода:

1)На k-том шагу процесс измерения окончится. Тогда длина от­резках выразится конечной десятичной дробью вида n , n ₁… n k.

2) Описанный процесс измерения длины отрезка х продолжается бесконечно. Тогда отчет о нем можно представить символом n , n ₁… n k..., который называют бесконечной десятичной дробью.

Как убедиться в возможности второго исхода? Для этого доста­точно произвести измерение длины такого отрезка, для которого известно, что его длина выражена, например, рациональным числом 5 . Если бы оказалось, что в результате измерения длины такого отрезка получается конечная десятичная дробь, то это означало бы, что число 5 можно представить в виде конечной десятичной дро­би, что невозможно: 5 = 5,666....

Итак, при измерении длин отрезков могут получаться бесконеч­ные десятичные дроби. Но всегда ли эти дроби периодические? От­вет на этот вопрос отрицателен: существуют отрезки, длины кото­рых нельзя выразить бесконечной периодической дробью (т.е. по­ложительным рациональным числом) при выбранной единице дли­ны. Это было важнейшим открытием в математике, из которого следовало, что рациональных чисел недостаточно для измерения длин отрезков.

Теорема . Если единицей длины является длина стороны квадра­та, то длина диагонали этого квадрата не может быть выражена по­ложительным рациональным числом.

Доказательство . Пусть длина стороны квадрата выражается числом 1. Предположим противное тому, что надо доказать, т.е., что длина диагонали АС квадрата АВСВ выражается несократимой дро­бью . Тогда по теореме Пифагора, выполнялось бы равенство

1²+ 1² = . Из него следует, что m² = 2n². Значит, m² - четное число, тогда и число m - четно (квадрат нечетного числа не может быть чет­ным). Итак, m = 2р. Заменив в равенстве m² = 2n² число m на 2р, получаем, что 4р² = 2n², т.е. 2р² = n². Отсюда следует, что n² четно, сле­довательно, n - четное число. Таким образом, числа m и n четны, значит, дробь можно сократить на 2, что противоречит предположению о ее несократимости. Установленное противоречие доказывает, что если единицей длины является длина стороны квадрата, то длину диагонали этого квадрата нельзя выразить рациональным числом.

Из доказанной теоремы следует, что существуют отрезки, длины которых нельзя выразить положительным числом (при выбранной едини­це длины), или, другими словами, записать в виде бесконечной периодической дроби. И значит, получаемые при измерении длин отрезков бесконечные десятичные дроби могут быть непериодическими.

Считают, что бесконечные непериодические десятичные дроби являются записью новых чисел - положительных иррациональных чисел. Так как часто понятия числа и его записи отождествляют, то говорят, что бесконечные непериодические десятичные дроби - это и есть положительные иррациональные числа.

Мы пришли к понятию положительного иррационального числа че­рез процесс измерения длин отрезков. Но иррациональные числа можно получить и при извлечении корней из некоторых рациональных чисел. Так √2 , √7, √24 - это иррациональное числа. Иррациональными являются также lg 5, sin 31, числа π =3,14..., е = 2,7828... и другие.

Множество положительных иррациональных чисел обозначают символом J+.

Объединение двух множеств чисел: положительных рациональных и положительных иррациональных называют множеством положительных действительных чисел и обозначают символом R+. Таким обра­зом, Q+ ∪ J + = R+. При помощи кругов Эйлера эти множества изображены на рисунке 131.

Любое положительное действительное чис­ло может быть представлено бесконечной деся­тичной дробью - периодической (если оно является рациональным), либо непериодической (если оно является иррациональным).

Действия над положительными действительными числами сво­дятся к действиям над положительными рациональными числами.

Сложение и умножение положительных действительных чисел обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, а умно­жения дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

С помощью положительных действительных чисел можно выра­зить результат измерения любой скалярной величины: длины, пло­щади, массы и т.д. Но на практике часто нужно выразить числом не результат измерения величины, а ее изменение. Причем ее изменение может происходить различно - она может увеличиваться, умень­шаться или оставаться неизменной. Поэтому, чтобы выразить изме­нение величины, кроме положительных действительных чисел нуж­ны иные числа, а для этого необходимо расширить множество R+, присоединив к нему число 0 (нуль) и отрицательные числа.

Объединение множества положительных действительных чисел с множеством отрицательных действительных чисел и нулем есть множество R всех действительных чисел.

Сравнение действительных чисел и действия над ними выполняют­ся по правилам, известным нам из школьного курса математики.

Упражнения

1. Опишите процесс измерения длины отрезка, если отчет о нем представляется дробью:

а) 3,46; б) 3,(7); в) 3,2(6).

2. Седьмая часть единичного отрезка укладывается в отрезке а 13 раз. Конечной или бесконечной дробью будет представлена длина этого отрезка? Периодической или непериодической?

3. Дано множество: {7; 8 ; √8; 35,91; -12,5; -√37; 0; 0,123; 4136}.

Можно ли разбить его на два класса: рациональные и иррациональные?

4. Известно, что любое число можно изобразить точкой на коорди­натной прямой. Исчерпывают ли точки с рациональными координатами всю координатную прямую? А точки с действительными координатами?

99. Основные выводы § 19

При изучении материала данного параграфа мы уточнили многие известные из школьного курса математики понятия, связав их с изме­рением длины отрезка. Это такие понятия, как:

дробь (правильная и неправильная);

равные дроби;

несократимая дробь;

положительное рациональное число;

равенство положительных рациональных чисел;

смешанная дробь;

бесконечная периодическая десятичная дробь;

бесконечная непериодическая десятичная дробь;

иррациональное число;

действительное число.

Мы выяснили, что отношение равенства дробей есть отношение эквивалентности и воспользовались этим, определяя понятие положи­тельного рационального числа. Выяснили также, как связано с изме­рением длин отрезков сложение и умножение положительных рацио­нальных чисел и получили формулы для нахождения их суммы и произведения.

Определение отношения «меньше» на множестве Q+ позволило назвать его основные свойства: оно упорядоченное, плотное, в нем нет наименьшего и наибольшего числа.

Мы доказали, что множество Q+ положительных рациональных чисел удовлетворяет всем тем условиям, которые позволяют его считать расширением множества N натуральных чисел.

Введя десятичные дроби, мы доказали, что любое положительное рациональное число представимо бесконечной периодической десятичной дробью.

Бесконечные непериодические дроби считают записями иррациональных чисел.

Если объединить множества положительных рациональных и иррациональных чисел, то получаем множество положительных действительных чисел: Q+ ∪ J + = R+.

Если к положительным действительным числам присоединить отрицательные действительные числа и нуль, то получаем множество R всех действительных чисел.

Пусть некоторое число х Î R + сначала изменили на а, а потом на в, причем число х настолько велико, что оба эти изменения не выводят из множестваR + . Назовем суммой чисел а и в действительное число, выражающее результирующее изменение. Например, если сначала сделать изменение на 4, а потом на 7, число 12 перейдет сначала в 16, а потом 16 перейдет в 23. Но чтобы 12 перешло в 23, надо изменить его на 11, значит, 4 + 7 = 11, как и должно быть. Если же сначала сделать изменение на –4, а потом на –7, то 12 перейдет сначала в 8; а потом в 1. Но чтобы из 12 получить 1, надо изменить 12 на –11. Отсюда следует, что (–4) + (–7) = –11.

Вообще, если а и в – положительные действительные числа и
х > а + в, то при изменении на –в число х – а переходит в (x – а) – в, т.е. в х –(а + в ). Но чтобы получить х – (а + в ),надо изменить х на
–(а + в ). Это показывает, что (–а ) + (–в ) = – (а + в ).

Рассмотрим теперь сложение чисел противоположных знаков. Начнем со случая, когда слагаемые – противоположные числа. Очевидно, что если изменить число х сначала на а , а потом на –а, то получим снова х. Иными словами, х + (а + (–а )) = х. Так как, с другой стороны, и х + 0 = х, то надо положить а + (–а ) = 0. Итак, сумма противоположных чисел равна нулю.

Теперь найдем сумму а + (–в ) в общем случае (мы считаем, что а и в – положительные числа, а потому –в отрицательно). Если а > в, то
а = (а – в ) + в, и потому а + (–в ) = (а – в )+ в + (–в ). Но последовательные изменения числа х на а – в, в и –в можно заменить изменением на а – в (изменения на в и –в взаимно уничтожаются). Поэтому положим а + (–в ) = а – в, если а > в. Очевидно, что при а > в и (–в ) + а = а – в.

Пусть теперь а < в. В этом случае мы имеем –в = (–а )+ (–(в – а )), и потому а + (–в ) = а + (–а ) + (–(в – а )) = – (в – а ). Значит, при a < в надо положить а + (–в ) = – (в – а ). Тот же результат получится при сложении –в и а : (–в ) + а = –(в – а ).

Полученные правила сложения действительных чисел можно сформулировать в виде следующего определения.

Определение. При сложении двух действительных чисел одного и того же знака получится число того же знака, модуль которого равен сумме модулей слагаемых. При сложении чисел различного знака получается число, знак которого совпадает со знаком слагаемого, имеющего больший модуль, а модуль равен разности большего и меньшего модулей слагаемых. Сумма противоположных чисел равна нулю, а сложение с нулем не меняет числа.

Легко проверить, что сложение в R обладает свойствами коммутативности, ассоциативности и сократимости. Из данного выше определения видно, что нуль – нейтральный элемент относительно сложения, т.е.

а + 0= а.

Вычитание в множестве R определяется как операция, обратная сложению. Поскольку каждое число в в R имеет противоположное ему число –в, такое, что в + (–в ) = 0, то вычитание числа в равносильно сложению с числом –в: а – в = а + (–в ).

В самом деле, для любых а и в имеем:

(а + (–в )) + в = а + ((–в ) + в ) = а, а это и означает, что а – в = а + (–в ).

Для положительных чисел а и в , таких, что а > в, их разность
а – в была изменением, при котором в переходит в а. По аналогии с этим назовем для любых действительных чисел а и в число а – в изменением, переводящим в в а . Оно переводит точку 0 в точку а – в. Как и для положительных действительных чисел это изменение геометрически изображается направленным отрезком, идущим из точки в в точку а. Его длина равна расстоянию от начала отсчета до точки
а – в, т.е. модулю числа а – в. Мы доказали следующее важное утверждение:

Длина отрезка, идущего из точки в в точку а, равна |а – в |.

Введем в множество R отношение порядка. Будем считать, что
а > в в том и только в том случае, когда разность а – в положительна. Легко доказать, что это отношение антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением строгого порядка. При этом для любых а и в из R справедливо одно и только одно из отношений: а = в , а < в, в < а, т.е. отношение порядка в R линейно. Поскольку а – 0 = а, то а > 0, если a Î R + , и а < 0, еслиа Î R – .

Нетрудно доказать, что если а > в, то для любого с Î R имеем
а + с > в + с.