Если одна прямая перпендикулярна двум другим. Перпендикулярные прямая и плоскость, признак и условия перпендикулярности прямой и плоскости

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

План-конспект урока по геометрии в 10 классе на тему «Перпендикулярность прямой и плоскости»

Цели урока:

обучающие

введение признака перпендикулярности прямой и плоскости;

формировать представления учащихся о перпендикулярности прямой и плоскости, их свойствах;

формировать умения учащихся решать типичные задачи по теме, умения доказывать утверждения;

развивающие

развивать самостоятельность, познавательную активность;

развивать умение анализировать, делать выводы, систематизировать полученную информацию,

развивать логическое мышление;

развивать пространственное воображение.

воспитательные

воспитание культуры речи учащихся, усидчивости;

прививать учащимся интерес к предмету.

Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления знаний.

Формы работы учащихся: фронтальный опрос.

Оборудование: компьютер, проектор, экран.

Литература: «Геометрия 10-11», Учебник. Атанасян Л.С. и др.

(2009, 255с.)

План урока:

Организационный момент (1 минуты);

Актуализация знаний (5 минут);

Изучение нового материала (15 минут);

Первичное закрепление изученного материала (20 минуты);

Подведение итогов (2 минуты);

Домашнее задание (2 минуты).

Ход урока.

Организационный момент (1 минуты)

Приветствие учеников. Проверка готовности учащихся к уроку: проверка наличия тетрадей, учебников. Проверка отсутствующих на уроке.

Актуализация знаний (5 минут)

Учитель. Какая прямая называется перпендикулярной к плоскости?

Ученик. Прямая перпендикулярная любой прямой лежащей в этой плоскости называется прямой перпендикулярной этой плоскости.

Учитель. Как звучит лемма о двух параллельных прямых перпендикулярных третьей?

Ученик. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Учитель. Теорема о перпендикулярности двух параллельных прямых к плоскости.

Ученик. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Учитель. Как звучит теорема обратная данной?

Ученик. Если две прямые перпендикулярный одной и той же плоскости, то они параллельны.

Проверка домашнего задания

Домашнее задание проверяется, если у учеников возникли трудности при его решении.

Изучение нового материала (15 минут)

Учитель. Мы с вами знаем, что если прямая перпендикулярная к плоскости, то она будет перпендикулярна к любой прямой лежащей в этой плоскости, но в определении перпендикулярность прямой к плоскости дается как факт. На практике же часто приходится определить будет ли являться прямая перпендикулярной к плоскости или нет. Такие примеры можно привести из жизни: при строительстве зданий сваи вбивают перпендикулярно поверхности земли, иначе конструкция может рухнуть. Определением прямой перпендикулярной плоскости в этом случае воспользоваться невозможно. Почему? Сколько прямых можно провести в плоскости?

Ученик. В плоскости можно провести бесконечно много прямых

Учитель. Правильно. И проверить перпендикулярность прямой к каждой отдельной плоскости невозможно, так как это займет бесконечно много времени. Для того чтобы понять является ли прямая перпендикулярной к плоскости введем признак перпендикулярности прямой и плоскости. Запишите в тетради. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Запись в тетради. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Учитель. Таким образом нам нет необходимости проверять перпендикулярность прямой для каждой прямой плоскости, достаточно проверить перпендикулярность лишь для двух прямых этой плоскости.

Учитель. Давайте докажем это признак.

Дано: p и q – прямые, p ∩ q = O , a ⊥ p , a ⊥ q , p ϵ α, q ϵ α.

Доказать: a ⊥ α.

Учитель. И все таки для доказательства воспользуемся определением прямой перпендикулярной плоскости, как оно звучит?

Ученик. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости.

Учитель. Правильно. Начертим в плоскости α любую прямую m . Проведем через точку О прямую l ║ m . На прямой a отметим точки А и В так чтобы точка О была серединой отрезка АВ. Проведем прямую z таким образом, чтобы она пересекала прямые p , q , l , точки пересечения этих прямых обозначим P , Q , L соответственно. Соединим концы отрезка АВ с точками P ,Q и L .

Учитель. Что мы можем сказать о треугольниках ∆APQ и ∆BPQ ?

Ученик. Эти треугольники будут равны (по 3 признаку равенства треугольников).

Учитель. Почему?

Ученик. Т.к. прямые p и q – серединные перпендикуляры, то AP = BP , AQ = BQ , а сторона PQ – общая.

Учитель. Правильно. Что мы можем сказать о треугольниках ∆APL и ∆BPL ?

Ученик. Эти треугольники тоже будут равны (по 1 признаку равенства треугольников).

Учитель. Почему?

Ученик. AP = BP , PL – общая сторона,  APL =  BPL (из равенства ∆ APQ и ∆ BPQ )

Учитель. Правильно. А значит AL = BL . Значит каким будет ∆ALB ?

Ученик. Значит ∆ALB будет равнобедренным.

Учитель. LO – медиана в ∆ALB , значит чем она будет являться в этом треугольнике?

Ученик. Значит LO будет являться еще и высотой.

Учитель. Следовательно прямая l будет перпендикулярна прямой a . А так как прямая l – любая прямая принадлежащая плоскости α, то по определению прямая a ⊥ α. Что и требовалось доказать.

Доказывается при помощи призентации

Учитель. А что делать если прямая a не пересекает точку О, но остается перпендикулярной к прямым p и q ? Если прямая а пересекает любую другую точку данной плоскости?

Ученик. Можно построить прямую а 1 , которая будет параллельна прямой а, будет пересекать точку О, а по лемме о двух параллельных прямых перпендикулярных третьей можно доказать, что a 1 ⊥ p , a 1 ⊥ q .

Учитель. Правильно.

Первичное закрепление изученного материала (20 минут)

Учитель. Для того чтобы закрепить изученный нами материал решим номер 126. Прочтите задание.

Ученик. Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. Определите вид треугольника МВD , где D – произвольная точка прямой АС.

Рисунок.

Дано: ∆ ABC , MB ⊥ BA , MB ⊥ BC , D ϵ AC .

Найти: ∆MBD.

Решение.

Учитель. Можно через вершины треугольника провести плоскость?

Ученик. Да, можно. Плоскость можно провести по трем точкам.

Учитель. Как будут расположены прямые ВА и СВ относительно этой плоскости?

Ученик. Эти прямые будут лежать в этой плоскости.

Учитель. Получается, что мы имеем плоскость, и в ней две пересекающиеся прямые. Как относится прямая МВ к этим прямым?

Ученик. Прямая МВ ⊥ ВА, МВ ⊥ ВС.

Запись на доске и в тетрадях. Т.к. МВ ⊥ ВА, МВ ⊥ ВС

Учитель. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости, то прямая будет относится к этой плоскости?

Ученик. Прямая МВ будет перпендикулярна плоскости АВС.

⊥ АВС.

Учитель. Точка D – произвольная точка на отрезке АС, значит как будет относится прямая BD к плоскости АВС?

Ученик. Значит BD принадлежит плоскости АВС.

Запись на доске и в тетрадях. Т.к. BD ϵ ABC

Учитель. Какими относительно друг друга будут являться прямые МВ и BD ?

Ученик. Эти прямые будут перпендикулярны по определению прямой перпендикулярной к плоскости.

Запись на доске и в тетрадях. ↔ МВ ⊥ BD

Учитель. Если МВ перпендикулярно BD , то каким будет треугольник MBD ?

Ученик. Треугольник MBD будет прямоугольным.

Запись на доске и в тетрадях. ↔ ∆MBD – прямоугольный.

Учитель. Правильно. Решим номер 127. Прочтите задание.

Ученик. В треугольнике ABC сумма углов A и B равна 90°. Прямая BD перпендикулярна к плоскости ABC . Докажите, что CD ⊥ AC.

Ученик выходит к доске. Рисует чертеж.

Запись на доске и в тетради.

Дано: ∆ ABC ,  A +  B = 90°, BD ⊥ ABC .

Докажите: CD ⊥ AC .

Доказательство:

Учитель. Чему равна сумма углов треугольника?

Ученик. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Учитель. Чему будет равен угол C в треугольнике ABC ?

Ученик. Угол C в треугольнике ABC будет равен 90°.

Запись на доске и в тетрадях.  C = 180° -  A -  B = 90°

Учитель. Если угол С равен 90°, то как относительно друг друга будут располагаться прямые АС и ВС?

Ученик. Значит АС ⊥ ВС.

Запись на доске и в тетрадях. ↔ АС ⊥ ВС

Учитель. Прямая BD перпендикулярна плоскости ABC . Что из этого следует?

Ученик. Значит BD перпендикулярно любой прямой из ABC .

BD ⊥ ABC ↔ BD перпендикулярно любой прямой из ABC (по определению)

Учитель. В соответствии с этим, как будут относится прямые BD и AC ?

Ученик. Значит эти прямые будут перпендикулярны.

BD ⊥ AC

Учитель. АС перпендикулярно двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости DBC , но АС не проходит через точку пересечения. Как это исправить?

Ученик. Через точку В проведем прямую а параллельную АС. Так как АС перпендикулярно BC и BD , то и а будет перпендикулярно BC и BD по лемме.

Запись на доске и в тетрадях. Через точку В проведем прямую а ║АС ↔ а ⊥ BC , а ⊥ BD

Учитель. Если прямая а будет перпендикулярно BC и BD , то что можно сказать о взаимном расположении прямой а и плоскости BDC ?

Ученик. Значит прямая а будет перпендикулярна плоскости BDC , а значит и прямая АС будет перпендикулярна BDC .

Запись на доске и в тетрадях. ↔ а ⊥ BDC ↔ АС ⊥ BDC .

Учитель. Если АС перпендикулярна BDC , то как относительно друг друга будут располагаться прямые АС и DC ?

Ученик. АС и DC будут перпендикулярны по определению прямой перпендикулярной к плоскости.

Запись на доске и в тетрадях. Т.к. АС ⊥ BDC ↔ АС ⊥ DC

Учитель. Молодец. Решим номер 129. Прочитайте задание.

Ученик. Прямая AM перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD , диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите, что: а) прямая BD перепендикулярна к плоскости AMO ; б) MO ⊥ BD .

К доске выходит ученик. Рисует чертеж.

Запись на доске и в тетради.

Дано: ABCD – квадрат, AM ⊥ ABCD , AC ∩ BD = O

Доказать: BD ⊥ AMO, MO ⊥ BD

Доказательство:

Учитель. Нам нужно доказать чтопрямая BD ⊥ AMO . Какие условия для этого должны выполняться?

Ученик. Нужно чтобы прямая BD была перпендикулярна хотябы двум пересекающимся прямым из плоскости AMO .

Учитель. В условии сказано что BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым из AMO ?

Ученик. Нет.

Учитель. Но мы знаем, что AM перпендикулярна ABCD . Какой вывод можно из этого сделать?

Ученик. Значит, что AM перпендикулярна любой прямой из этой плоскости, тоесть AM перпендикулярна BD .

AM ⊥ ABCD ↔ AM ⊥ BD (по определению).

Учитель. Одна прямая перпендикулярна BD есть. Обратите внимание на квадрат, как будут распологаться относительно друг друга прямые AC и BD ?

Ученик. AC будет перпендикулярна BD по свойству диагоналей квадрата.

Запись на доске и в тетради. Т.к. ABCD – квадрат, то AC ⊥ BD (по свойству диагоналей квадрата)

Учитель. Мы нашли две пересекающиеся прямые лежащие в плоскости AMO перпендикулярные прямой BD . Что из этого следует?

Ученик. Значит, что BD перпендикулярна плоскости AMO .

Запись на доске и в тетрадях. Т.к. AC ⊥ BD и AM ⊥ BD ↔ BD ⊥ AMO (по признаку)

Учитель. Какая прямая называется прямой перпендикулярной к плоскости?

Ученик. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.

Учитель. А значит как взаимо расположены прямые BD и OM ?

Ученик. Значит BD перпендикулярно OM . Что и требовалось доказать.

Запись на доске и в тетрадях. ↔ BD ⊥ MO (по определению). Что и требовалось доказать.

Подведение итогов (2 минуты)

Учитель. Сегодня мы изучили признак перпендикулярности прямой и плоскости. Как он звучит?

Ученик. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости, то эта прямая перпендикулярна этой плоскости.

Учитель. Правильно. Мы научились применять этот признак при решении задач. Кто отвечал у доски и помогал с места молодцы.

Домашнее задание (2 минуты)

Учитель. Параграф 1, пункты 15 -17, учить: лемму, определение и все теоремы. №130, 131.

В этой статье мы поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Сначала дано определение прямой, перпендикулярной к плоскости, приведена графическая иллюстрация и пример, показано обозначение перпендикулярных прямой и плоскости. После этого сформулирован признак перпендикулярности прямой и плоскости. Далее получены условия, позволяющие доказывать перпендикулярность прямой и плоскости, когда прямая и плоскость заданы некоторыми уравнениями в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. В заключении показаны подробные решения характерных примеров и задач.

Навигация по странице.

Перпендикулярные прямая и плоскость – основные сведения.

Рекомендуем для начала повторить определение перпендикулярных прямых , так как определение прямой, перпендикулярной к плоскости, дается через перпендикулярность прямых.

Определение.

Говорят, что прямая перпендикулярна к плоскости , если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Также можно сказать, что плоскость перпендикулярна к прямой, или прямая и плоскость перпендикулярны.

Для обозначения перпендикулярности используют значок вида «». То есть, если прямая c перпендикулярна к плоскости , то можно кратко записать .

В качестве примера прямой, перпендикулярной к плоскости, можно привести прямую, по которой пересекаются две смежных стены комнаты. Эта прямая перпендикулярна к плоскости и к плоскости потолка. Канат в спортивном зале можно также рассматривать как отрезок прямой, перпендикулярной к плоскости пола.

В заключении этого пункта статьи отметим, что если прямая перпендикулярна к плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным девяноста градусам.

Перпендикулярность прямой и плоскости - признак и условия перпендикулярности.

На практике часто возникает вопрос: «Перпендикулярны ли заданные прямая и плоскость»? Для ответа на него существует достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости , то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует перпендикулярность прямой и плоскости. Это достаточное условие называют признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Сформулируем его в виде теоремы.

Теорема.

Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости Вы можете посмотреть в учебнике геометрии за 10 -11 классы.

При решении задач на установление перпендикулярности прямой и плоскости также часто применяется следующая теорема.

Теорема.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна к плоскости.

В школе рассматривается много задач, для решения которых применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости, а также последняя теорема. Здесь мы не будем на них останавливаться. В этом пункте статьи основное внимание сосредоточим на применении следующего необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Это условие можно переписать в следующем виде.

Пусть - направляющий вектор прямой a , а - нормальный вектор плоскости . Для перпендикулярности прямой a и плоскости необходимо и достаточно, чтобы выполнялось и : , где t – некоторое действительное число.

Доказательство этого необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости основано на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Очевидно, это условие удобно использовать для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости, когда легко находятся координаты направляющего вектора прямой и координаты нормального вектора плоскости в зафиксированной в трехмерном пространстве. Это справедливо для случаев, когда заданы координаты точек, через которые проходят плоскость и прямая, а также для случаев, когда прямую определяют некоторые уравнения прямой в пространстве , а плоскость задана уравнением плоскости некоторого вида.

Рассмотрим решения нескольких примеров.

Пример.

Докажите перпендикулярность прямой и плоскости .

Решение.

Нам известно, что числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве , являются соответствующими координатами направляющего вектора этой прямой. Таким образом, - направляющий вектор прямой .

Коэффициенты при переменных x , y и z в общем уравнении плоскости являются координатами нормального вектора этой плоскости, то есть, - нормальный вектор плоскости .

Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Так как , то векторы и связаны соотношением , то есть, они коллинеарны. Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости .

Пример.

Перпендикулярны ли прямая и плоскость .

Решение.

Найдем направляющий вектор заданной прямой и нормальный вектор плоскости, чтобы проверить выполнений необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Направляющим вектором прямой является

Определение . Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.

Приведем без доказательства известные в школьном курсе стереометрии теоремы, необходимые для решения последующих метрических задач.

1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

2. Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

3. Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Для построения прямой t " Е, перпендикулярной плоскости Σ, необходимо, на основании признака перпендикулярности, провести в плоскости две пересекающиеся прямые h и f, а затем построить прямую t по условиям: t ^ h, t ^ f (рис. 7.3). В общем случае прямые t и h, t и f – пары скрещивающихся прямых.

Задача. Даны плоскость Σ(ΔАВС) и точка Е.

Построить прямую t по условиям: t " E, t ^ Σ (рис. 7.4).

Решение задачи может быть следующим:

1) строятся линии уровня h и f в плоскости Σ, где h 2 // х, f 1 // x;

2) строятся проекции t 1 и t 2 искомой прямой t, где t 2 " Е 2 , t 2 ^ f 2 ; t 1 " E 1 , t 1 ^ h 1 . В итоге t 1 , t 2 – решение задачи. Прямая t скрещивается с f и h.

Выбор линий уровня h и f в качестве пересекающихся прямых в плоскости Σ продиктован приведенными выше условиями теоремы о проецировании прямого угла и простотой построений на КЧ. Если точка Е находится в плоскости Σ, то последовательность построений остается прежней.

Задача. Даны прямая t и точка Е. Построить плоскость, проходящую через точку Е и перпендикулярную прямой t (рис. 7.5).

Решение задачи основывается на построении двух линий уровня h(h 1 ,h 2) и f(f 1 ,f 2), проходящих через точку Е: h 2 " E 2 , h 2 // х, h 1 " E 1 , h 1 ^ t 1 ; f 1 " E 1 , f 1 // х, f 2 " E 2 , f 2 ^ t 2 . Плоскость (h , f) – решение задачи.